SKKN các bài toán về tính tổng toán 6

A: lý do chọn đề tài
I Cơ sở lý luận:
Môn toán là một môn khoa học ,những tri thức ,kỹ năng toán
học cùng với phơng pháp làm việc trong toán học trở thành công
cụ để học tập những môn khoa học khác , môn toán là công cụ
của nhiều ngành khoa học .
Môn toán giúp cho học sinh hình thành và phát triển những
phơng pháp, phơng thức t duy và hoạt động nh toán học hoá tình
huống thực tế, thực hiện và xây dựng thuật toán ,phát hiện và
giải quyết vấn đề . Những kỹ năng này rất cần cho ngời lao động
trong thời đại mới .
Môn toán góp phần phát triển nhân cách con ngời , ngoài
việc cung cấp những kiến thức , kỹ năng toán học, môn toán
góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp
, trừu tợng hoá , khái quát hoá.
Ta thấy đợc môn toán có vai trò rất quan trọng trong đời sống
và trong kỹ thuật . Vì vậy ngời thầy phải có phơng pháp dạy học
để phát huy đợc tính tích cực học tập của học sinh ,nhất là học
sinh giỏi .
Theo nh yêu cầu của bộ môn toán nói chung , môn toán 6 nói
riêng ,mỗi tiết học phải hạn chế lý thuyết kinh viện mà chủ yếu
khai thác sâu bài tập và thực hành . Trong mỗi bài tập , ngời thầy
phải giúp hoc sinh phân tích từng khía cạnh của bài toán , rồi
khai thác phát triển bài toán đó , thậm trí phải lật ngợc lại vấn
đề . Nếu làm đợc việc đó thì học sinh càng hiểu sâu sắc bài toán
, dạng toán. Từ đó sẽ kích thích đợc tính tò mò , khơi dậy cho
học sinh tính sáng tạo, khai thác đợc tiềm năng về môn toán của
học sinh .
Trong kho tàng toán học có vô vàn những bài toán hay trong
đó có hai bài toán tính tổng :

A=
100.99
1

3.2
1
2.1
1
+++
A=1.2+2.3+ +99.100.
Đợc áp dụng rộng rãi , nếu khai thác đợc bài toán này ta thấy đ-
ợc nhiều điều thú vị .
Với lý do đó tôi chọn viết sáng kiến kinh nghiệm Khai thác và
phát triển các bài toán từ một bài toán đơn giản .
II Cơ sở thực tiễn :
a Đối với học sinh :
1
Đa số học sinh kể cả là học sinh giỏi khi giải xong bài toán
là đã bằng lòng với kết quả đó .Chính vì lý do đó nếu thay đổi
một vài dữ kiện thì học sinh lúng túng. Cụ thể bài toán tính
tổng :
A=
.
100.99
1

3.2
1
2.1
1

+++
Nếu ta thay đổi
1.2=2;2.3=6; ;99.100=9900
Bài toán trở thành tính tổng A=
.
9900
1

6
1
2
1
+++
Thì học sinh lúng túng mặc dù đã biết cách giải bài toán trớc đó
. Trong thực tế nếu biết khai thác và phát triển bài toán này thì
ta thấy bái toán rất hay .
b Đối với bản thân :
Khi giảng dạy tại trờng T.H.C.S.Hng Đạo,một trờng có bề
dầy thành tích dạy tốt , học tốt .Thể hiện tại các đợt hội giảng
,đợt thi học sinh giỏi các cấp. Để đạt đợc những thành tích đó
,bản thân tôi cũng nh các bạn đồng nghiệp phải thờng xuyên học
hỏi lẫn nhau ,đồng thời đọc các tài liệu tham khảo . Từ đó tìm
tòi hệ thống các phơng pháp giảng dạy cho phù hợp .
Xuất phát từ việc giảng dạy hai bài toán tính tổng:
A=
.
100.99
1

3.2

1
2.1
1
+++

A=1.2+2.3+ +99.100.
Là những bài toán đợc áp dụng rộng rãi trong toàn cấp học . Mặt
khác hai bài toán này còn có sự tơng đồng về cách khai thác và
phát triển .
Nếu càng khai thác ta càng thấy nhiều bài toán có nhiều cách
giải độc đáo ,các cách giải này lại có mối quan hệ dàng buộc lẫn
nhau .
2
b biện pháp thực hiện
Để đạt đợc hiệu quả cao trong dạy và học cụ thể là đối với
các bài toán này , một trong các biện pháp thực hiện tốt nhất là
phải xây dựng hệ thống các bài tập hợp lô gíc . Ta phải khai thác
bài toán theo từng mảng ,mỗi mảng ta lại chia thành từng
phần ,sao cho mỗi phần có sự liên kết chặt chẽ với nhau về cấu
trúc của bài toán cũng nh về phơng thức giải toán .
Đối với mỗi bài toán sau khi giải đều có phần nhận xét về thể
loại và hớng phát triển .Để thấy đợc sự tơng tự trong các bài
toán hoặc thêm một vài dữ kiện , hoặc lật ngợc vấn đề để có đợc
bài toán mới có nội dung phong phú và phù hợp hơn .
Biện pháp cụ thể:
a:bài toán I:
Tính tổng :
A=
.
100.99

1

3.2
1
2.1
1
+++
Trong phần này có 9 bài toán đựơc khai thác từ bài toánI
b:bài toán ii :
Tính tổng :
A=1.2+2.3+ +99.100.
Trong phần này cũng có 9bài toán đợc khai thác từ bài toánII.
Hai bài toán IvàII đều thuộc dạng dẫy các phép toán viết theo
quy luật . Ta cũng có thể coi bài toán II là bài toán khai thác từ
bài toán I vì ta chỉ cần nghịch đảo mỗi số hạng của tổng A trong
bài toán I là ta đợc bài toán II. Hai bài toán này khi giải ta đều
phải tách mỗi số hạng trong tổng thành hai số hạng có dấu khác
nhau.
Hai bài toán này ta thấy nhiều sự tơng đồng về cấu trúc ,cũng
nh về cách khai thác.
3

bài toán I
Tính tổng
A=
100.99
1

3 2
1

2.1
1
+++
Hớng dẫn:
Ta có:

2
1
1
1
2.1
1
=

3
1
2
1
3.2
1
=


100
1
99
1
100.99
1
=

Vậy
A=1-
100
1
99
1

3
1
2
1
2
1
+++
A=1-
100
1
A=
100
99
Tổng quát :
B=
1)1(
1

3.2
1
2.1
1
+

=
+
+++
n
n
nn
Nếu số hạng đẫu tiên của B không phải là
2.1
1
mà bắt đầu từ
)1(
1
+kk
.
Thì
4
C=
)1(
1

)1(
1
+
++
+ nnkk
:
C=
)1(
1
+

+−
nk
kn
víi
nk ≤
*NhËn xÐt :
Ta thÊy:
1.2=2
2.3=6
3.4=12
.
. 99.100=9900
VËy ta cã bµi to¸n :
Bµi to¸n 1:
H·y tÝnh tæng :
D=
9900
1

12
1
6
1
2
1
++++
Híng dÉn :
D=
+++
4.3

1
3.2
1
2.1
1
+
100.99
1
D=
100
99
* NhËn xÐt :
NÕu ta coi bµi to¸n I lµ bµi to¸n xu«i th× ta còng suy ra bµi
to¸n ngäc
Bµi to¸n :2
T×m sè tù nhiªn a biÕt

100
99
)1.(
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
=
+

++++
aa
Híng dÉn :

++
3.2
1
2.1
1
+
1)1(
1
+
=
+ a
a
aa
Nªn
100
99
1
=
+a
a
VËy a=99
*NhËn xÐt:
Ta thÊy :
5

4950

2
100.99

6
2
4.3
3
2
3.2
1
22.
1
=
=
=
=
Vµ tÊt nhiªn cã bµi to¸n :
Bµi to¸n 2:
TÝnh tæng :
F=
4950
1

3
1
1
1
+++
Híng dÉn
F=

100.99
2

3.2
2
2.1
2
+++

50
99
100
99
.2
)
100.99
1

3.2
1
2.1
1
.(2
=
=
+++=
F
F
F
* NhËn xÐt :

Ta thÊy
100
99
kh«ng lµ sè nguyªn tõ ®ã cã ®îc bµi to¸n
Bµi to¸n 4
Chøng minh r»ng :
A=
100.99
1

3.2
1
2.1
1
+++
kh«ng lµ sè nguyªn .
Híng dÉn :
Ta tÝnh A=
100
99
Tæng qu¸t :
B=
)1(
1

3.2
1
2.1
1
+

+
+
+
nn
còng kh«ng lµ sè nguyªn
6
* Nhận xét :
Ta thấy
1.2=2!
2.3=3!
3.4<4!
4.5<5!

99.100<100!
và đơng nhiên ta có bài toán
Bài toán 5:
Chứng minh rằng :
G=
1
!100
1

!4
1
!3
1
!2
1
<++++
Hớng dẫn :

Ta có :
G<
100.99
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
++++
Vậy G<1
Tổng quát :

1,,
!
1

!3
1
!2
1
<+++
n
Cũng tơng tự ta có bài toán :
Bài toán 6:
Chứng minh rằng :

1

100
1

3
1
2
1
222
<+++=I

Hớng dẫn :
I<
++
3.2
1
2.1
1
+
100
99
100.99
1
=
Vậy I<1
Tổng quát :

1
1

3

1
2
1
222
<+++
n
* Nhận xét :
Khai thác bài toán này ta có :
7

10000
9999
100
1
1

9
8
3
1
1
4
3
2
1
1
2
2
2
=

=
=
Mà
1
100
1

3
1
2
1
222
<+++
nên ta có bài toán :
Bài toán 7:
Chứng minh rằng :

98
10000
9999

9
8
4
3
>+++
Hớng dẫn :
Ta có :

98199)

100
1

3
1
2
1
(99
100
1
1
3
1
1
2
1
1
1000
9999

9
8
4
3
222
222
=>+++=
+++=+++
* Nhận xét :
Cũng từ việc

1
100
1

3
1
2
1
222
<+++=I
ta đợc bài toán :
Bài toán 8:
Chứng minh rằng :

222
100
1

3
1
2
1
+++=I
không phải là số nguyên .

Tổng quát :

222
1

3
1
2
1
n
+++
không phải là số nguyên .
* Nhận xét :
Ta thấy với 100 số tự nhiên lớn hơn 1 khác nhau
10021
, ,, aaa

2222
100
2
2
2
1
100
1

3
1
2
11

11
+++<+++
aaa
giúp ta tìm ra bài toán .

Bài toán 9:
8
Tìm các số tự nhiên lớn hơn1 khác nhau
10021
, ,, aaa
sao cho :

1
1

11
2
100
2
2
2
1
=+++
aaa
Hớng dẫn :
Ta có :

1
100
1

3
1
2
11

11
0
2222
100
2
2
2
1
<++++++<
aaa
vậy không có số tự nhiên nào thoả mãn điều kiện của đầu
bài .
*Nhận xét :
Nếu ta nghịch đảo mỗi số hạng của bài toán I tađợc bài toán
mới.
bài toán II
Tính tổng :
A=1.2+2.3+3.4+ +99.100.
Hớng dẫn :
3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+ +99.100.3.
3A=1.2.3+2.3(4-1)+3.4(5-2)+ +99.100(101-98).
3A=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-
98.99.100.
3A=99.100.101.
A=99.100.101:3.
A=333300.
Tổng quát :
1.2+2.3+3.4+ +n(n+1)=n(n+1)(n+2):3
Nếu tổng B có số hạng đầu tiên không phải là 1.2mà là k.

(k+1) ta có :
C=k(k+1)+(k+1)(k+2)+ +n(n+1)(n+2) =[n(n+1)(n+2)-
k(k+1)(k+2)]:3
với n
k
.
*Nhận xét :
Ta thấy :
1.2= 2
9
2.3=6
3.4=12

99.100=9900
Vậy ta có đợc bài toán khó hơn .
Bài toán 1:
Tính tổng :
D=2+6+12+ +9900.
Hớng dẫn :
D=1.2+2.3+3.4+ +99.100
D=333300.
Nhận xét :
Ta coi bài toán II là bài toán thuận thì ta cũng suy ra bài toán
đảo .
Bài toán 2:
Tìm số nguyên abiết :
1.2+2.3+ +a(a+1)=333300.
Hớng dẫn :
Ta có : 1.2+2.3+ +a(a+1) = a(a+1)(a+2):3
nên a(a+1)(a+2):3=333300.

.101.100.99999900)2)(1(
3.333300)2)(1(
==++
=++
aaa
aaa
Vậy a=99
*Nhân xét :
Ta thấy:

4950
2
100.99

6
2
4.3
3
2
3.2
1
2
2.1
=
=
=
=
Vậy ta đợc bài toán :
Bài toán 3:

Tính tổng :
E=1+3+6+ +4950.
Hớng dẫn :
10

.166650
333300
2
1
)100.99 4.33.22.1(
2
1
2
100.99

2
4.3
2
3.2
2
2.1
=
×=
++++=
++++=
E
E
E
E
*NhËn xÐt :

Ta thÊy :

2
100.99
100 321

2
4.3
321
2
3.2
21
2
2.1
1
=++++
=++
=+
=
VËy ta ph¸t triÓn tõ bµi to¸n trªn thµnh bµi to¸n
Bµi to¸n 4:
TÝnh tæng :

100.99 4.33.22.1
)100 321( )321()21(1
++++
+++++++++++
=F
Híng dÉn :

2
1
100.99 3.22.1
2
100.99

2
3.2
2
2.1
=
+++
+++
=
F
F
*NhËn xÐt :
Do:
1+(1+2)+(1+2+3)+ +(1+2+3+ +100)
=1.100+2.99+3.98+ +99.2+100.1
Ta l¹i ph¸t triÓn bµi to¸n thµnh bµi to¸n kh¸c .
Bµi to¸n 5:
Chøng minh r»ng:

100.99 3.22.1
1.100 97.399.2100.1
+++
++++
=G
11

có giá trị bằng 1
Cách giải tơng tự .
* Nhân xét :
. Hơn nữa :
2.99=2(100-1)=2.100-1.2
3.98=3(100-2)=3.100-2.3

100.1=100(100-99)
Vậy ta hình thành nên bài toán
Bài toán 6:
Tính tổng :
I=1.100+2.99+3.98+ +100.1
Hớng dẫn:
I=1.100+2.99+3.98+ +100.1
=1.100+2.100-1.2+3.100-2.3+ +100.100-99.100
=100(1+2+3+ +100)-(1.2+2.3+3.4+ +99.100)

171700
333300505000
333300
2
100.101
.100
=
=
=
* Nhận xét :

9910 0.99)1100(9999.9999

22.1)13(22.22
.12.1)12.(11.11
2
2
2
===
===
===
Vâỵ ta lập đơc bài toán mới thông qua bài toán II.
Bài toán 7:
Tính tổng:
H =
2222
99 321 ++++
Hớng dẫn:
H =1.(2-1)+2.(3-1)+ +99(100-1)
=1.2-1+2.3-2+ +99.100-99
= 1.2+2.3+ +99.100- (1+2+3+ +99)
=333300 -
2
100.99
= 333300-4950
=328350
*Nhận xét :
12
Ta đã thấy :

32835099 21
222
=+++=H

Vậy
2222
198 642 ++++=K
bằng bao nhiêu ?
Bài toán 8:
Tính tổng :

222
189 42 +++=K

Hớng dẫn :

)99 21(2
2222
+++=K
K=4.328350
K=1313400
* Nhận xét :
Ta chia H cho 4 đợc

222
222
2
2
2
2
2
2
)5,45( 1)5,0(
)

2
99
( )
2
2
()
2
1
(
2
99

2
2
2
1
+++=
+++=
+++=
M
M
M
Bài toán 9:
Hãy tính :

222
)5,45( 1)5.0( +++=M
Đáp số=328350:4=8285,5
c :kết quả
Sau khi đợc học xong bài toán này học sinh có kỹ năng làm

các bài toán một cách hợp lý , các em nhìn nhận mỗi bài toán d-
ới nhiều khía cạnh khác nhau. Từ đó kích thích đợc sự tò mò ,sự
sáng tạo ,ham học hỏi ,khám phá cái mới lạ trong học tập môn
toán nói riêng và các môn khoa học khác nói chung . Đặc biệt
nhiều em học sinh đã vận dụng phơng pháp khai thác bài toán
một cách hợp lý nên đã taọ ra đợc nhiều bài toán hay ,bài toán
khó và có những lời giải độc đáo .
d: bài học kinh nghiệm
Để đạt đợc hiệu quả cao trong dạy học môn toán . Giáo viên
phải có phơng pháp dạy học phù hợp với từng đối tợng học
sinh .Muốn có có đợc phơng pháp tốt đòi hỏi ngời thầy phải th-
ờng xuyên học hỏi , tự bồi dỡng những kiến thức cho mình .
Đồng thời phải trang bị cho học sinh những ý tởng giải toán ,sau
đó mới rèn luyện những kỹ năng trình bày lời giải .
Nội dung các bài tập khi phát triển phải theo một trình tự lô
gíc từ dễ đến khó .
13
Học sinh phải có thời gian tự học ,trao đổi ,tự tìm tòi lời
giải ,tự phân tích và phát triển mỗi bài toán theo nhiều hớng
khác nhau .
E :hạn chế
Ngoài những kết quả đã đạt nh nêu ở trên thì trong quá trình
thực hiện áp dụng kinh nghiệm này vào việc hớng dẫn giảng dạy
cho học sinh tôi thấy những hạn chế sau :
Số lợng bài toán còn ít nên việc hình thành kỹ năng và vận
dụng chuyên đề còn hạn chế .
Do thời gian có hạn nên nội dung còn sơ sài .
Các bài toán hơi khó nên chuyên đề chỉ áp dụng đối với học
sinh khá ,giỏi.

F :hớng đề xuất
Để tăng thêm hiệu quả và khắc phục nhữngtồn tại khi áp dụng
đề tài , tôi tiếp tục đề ra cho mình hớng giải quyết tiếp theo :
Tiếp tục nghiên cứu đề tài khai thác và phát triển các bài toán
từ một bài toán đơn giản và áp dụng trên lớp,đồng thời theo dõi
kết quả của học sinh để tìm ra biện pháp khắc phục nhợc điểm
và hạn chế của đề tài .
Đa ra hội thảo chuyên đề trong tổ chuyên môn thảo luận để
tìm ra biện pháp tối u nhất .
G điều kiện áp dụng
Để áp dụng chuyên đề này tôi thấy cần phải đảm bảo những
điều kiện sau:
+Đối với học sinh :
Phải nắm chắc kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt vào các
bài toán khác .
Phải có lòng say mê học tập không ngại khó không ngại
khổ ,đợc đầu t thời gian , thờng xuyên đọc các tài liệu tham
khảo .
+Đối với giáo viên :
14
Cần có nhiều thời gian và các tài liệu tha khảođểnghiên cứu và
áp dụng vào các bài toán dạng toán cụ thể.
Phải có trìng độ chuyên môn vững vàng để không những có
nhữnh lời giải hay mà còn khai thác và phát triển các bài toán
thành những bài toán hay hơn ,đa dạng hơn .
kết luận
Trên đây là toàn bộ kinh nghiệm của tôi đó là những ý kiến
nhỏ đợc rút ra từ việc học hỏi và giảng dạy .Với thời gian nghiên
cứu có hạn nên mức độ nghiên cứu cha sâu nên bản kinh nghiệm
này còn nhiều hạn chế . Tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của

các bạn đồng nghiệp để bản kinh nghiệm đợc hoàn thiện và áp
dụng có kết quả tốt .
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Ngọc sơn ngày 15

tháng 3 năm2004
Ngời viết :
Lu văn Hậu
mục lục
Trang
A Lý do chọn đề tài 1
I Cơ sở lý luận 2
II Cơ sở thực tiễn 2
B Biện pháp thực hiện 3
Bài toán I 6
Bài toán II 12
C Kết quả 17
D Bài học kinh nghiệm 18
15