Chuyên đề giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
CHUYÊN  LUYN THI TT NGHIP THPT
VÀ TUYN SINH I HC, CAO NG 2009
MÔN: TOÁN
BIÊN SON: T TOÁN – TT BI DNG VN HÓA HOCMAI.VN
CHUYÊN : GIÁ TR LN NHT VÀ GIÁ TR NH NHT CA HÀM S

I. MC ÍCH CHUYÊN 
- Chuyên đ này s trình bày cho các bn các phng pháp tìm giá tr ln nht ca
hàm s nh: dung đo hàm đ tìm GTLN, GTNN ; dùng phng pháp chiu bin
thiên hàm s, pp min giá tr…
- Các bn s nm vng đc các pp thng gp đ tìm GTLN, GTNN bng cách
dùng hàm s.
II. KIN THC C BN
1. Lý thuyt.
a. nh ngha:

Gi s F(x) là hàm s xác đnh trên min D. S M gi là giá tr ln nht ca F(x) trên
min D nu nh nó tha mãn 2 điu kin sau:
1/ F(x) ≤ M.
2/ Tn ti x
0

∈
sao cho F(x
0
) = M.
M
Khi đó ta s dng ký hiu: M = max F(x).
S m gi là giá tr nh nht ca F(x) trên min D nu nh nó tha mãn 2 điu kin
sau:

1/ F(x) ≥ M.
2/ Tn ti x
0

∈
sao cho F(x
0
) = m.
M
Khi đó ta s dng ký hiu: m = min F(x).
Chú ý:
Hocmai.vn
– Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 1
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
- nh ngha có 2 phn và ko đc xem nh phn nào. Nói vy vì các bn hc sinh
thng b qua phn th 2 trong đnh ngha. Nói rõ hn:T F(x)≤ M x M thì cha th
suy ra M = max F(x).
∀
∈
Xét VD sau:
Cho F(x,y,z) =
+
x
yz
+
+yz
x
+
+
y

xz
+
+xz
y
+
+
z
yx
+
+xy
z

Trên min D = { x>0, y > 0, z > 0}
Nu bn làm:

+
x
yz
+
+yz
x
≥ 2

+
y
xz
+
+xz
y
≥ 2

+
z
yx
+
+xy
z
≥ 2
T đó F(x,y,z) ≥ 6 Vi x>0, y > 0, z > 0.
∀
Vì th: Max F(x,y,z) = 6 vi x,y,z ∈D.
Chúng tôi nói rng bn đã sai. Vì sao?
n gin bn hãy th ly x = y = z =1. Khi đó F(1,1,1) = 7,5 > 6.
Lý do sai là mi t phn 1 ca đnh ngha đã suy ra kt lun.
- Các bn cn phân bit 2 khái nim:
+ “giá tr ln nht ca F(x) trên min D” vi “cc đi ca hàm s” .
+ “giá tr nh nht ca F(x) trên min D” vi “cc tiu ca hàm s” .
Nói chung các khái nim này khác nhau.
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 2
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Xét VD sau:
Cho hàm s F(x) = x
3
– 3x
2
trên min D = {-2 ≤ x ≤ 4}.
Ta có: F’(x) = 3x
2
– 6x.
Lp bng bin thiên sau:

x -2 0 2 4
F’(x) + 0 - 0 +
F(x) -20 0 -4 12
Ta thy khi hàm s có cc đi ti (0,0) => giá tr cc đi = 0
Hàm s có cc tiu ti (2,-4) => giá tr cc tiu= -4
Trong khi đó d thy:
Max F(x) = 12 Min F(x) = -20
x
∈D x ∈D
Trong VD này:
+ Giá tr ln nht ca F(x) trên min > giá tr cc đi ca hàm s.
+ Giá tr nh nht ca F(x) trên min < giá tr cc tiu ca hàm s.
Nh vy ta có th nói rng: Giá tr ln nht và giá tr nh nht ca mt hàm s trên min D
mang tính toàn cc
; còn giá tr cc đi, giá tr cc tiu ca hàm s mang tính đa phng.
Dân gian có câu: “ X mù thng cht làm vua” . Có th ly câu ví von này làm VD
chng minh cho tính đa phng ca giá tr cc đi.
b. S dng đo hàm đ tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca mt hàm s
:
- o hàm là công c duy nht đ tìm cc đi, cc tiu ca hàm s.
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 3
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
-  tìm Giá tr ln nht và giá tr nh nht ca mt hàm s F(x) trên min D ta có th s
dng đo hàm và kt hp vi vic so sánh giá tr cc đi, cc tiu vi các giá tr đc bit (ta
gi đó là các giá tr ti hn).
- Giá tr ti hn này thng là giá tr ti đu mút các đon (mà trên đó cn tìm Giá tr ln
nht và giá tr nh nht ca mt hàm s) hoc là giá tr ca hàm s ti các đim mà không
tn ti đo hàm.
- Lc đ chung ca phng pháp s dng đo hàm đ tìm Giá tr ln nht và giá tr nh
nht ca mt hàm s F(x) trên min D cho trc nh sau:

+ Tìm đo hàm F’(x) và t đó tìm cc đi, cc tiu ca F(x) (d nhiên ta ch quan tâm
ti cc đi, cc tiu thuc min D).
+ So sánh giá tr cc đi, cc tiu vi các giá tr ti hn trên min D.
+ T đó suy ra đc kt lun cn tìm.
1. Các bài toán đn thun tìm GTLN và GTNN ca mt hàm s:
Ví d 1
: Cho x + y = 1, x ≥ 0, y ≥ 0. Tìm Giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu thc:
P = 3
2x
+ 3
y
.
T x + y = 1 => y = 1 – x. Thay vào P ta có:
P = 3
2x
+ 3
1-x
= 3
2x
+
x
3
3
.
Do x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 1 => 0 ≤ x ≤ 1
=> 1 ≤ 3
x
≤ 3.
t t = 3
x

, khi đó ta đa bài toán v: Tìm giá tr mã, min ca hàm s:
F(t) = t
2
+
3
t
vi 1 ≤ t ≤ 3.
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 4
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Ta có: F’(t) = 2t -
2
3
t
=
−
2
2
2t 3
t

Lp bng xét du vi chú ý: 1 ≤ t ≤ 3 :
t 1
3
3
2
3
F’(t) - 0 +
F(t) 4 3
3
9

4
10
T đó suy ra:
Min F(t) = F(
3
3
2
) = 3
3
9
4
vi 1 ≤ t ≤ 3.
Max F(t) = max {f(1), f(3)} = max {4,10} = 10 vi 1 ≤ t ≤ 3
Vy
Max P = Max F(t) = 10
1 ≤ t ≤ 3
Min P = Min F(t) =
1 ≤ t ≤ 3
3
3
9
4

Giá tr ln nht ca P đt đc khi t = 3 <=> 3
x
= 3 <=> x = 1, y = 0
Giá tr nh nht ca P đt đc khi

t =
3

3
2
<=> 3
x
=
3
3
2

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 5
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Suy ra: x= log
3

3
3
2
=
1
3
log
3

3
3
2

y = 1 -
1
3

log
3

3
3
2

Nhn xét
: Ngi ta hay dung phng pháp đi bin trong quá trình tìm giá tr max, min ca
hàm s đ đa v 1 bài toán mi có cu trúc đn gin hn. Ch lu ý 1 điu: Khi đã đi bin
thì phi đi min xác đnh ca bài toán.
Nh VD trên min xác đnh c là: 0 ≤ x ≤ 1. Khi chuyn sang bin t mi (do t= 3
x
) nn
min xác đnh mi là: 1 ≤ t ≤ 3.
Ví d 2
: Cho hàm s:
y= Sin
+
2
2x
1x
+ Cos
+
2
4x
1x
+ 1, Vi x ∈R.
Tìm giá tr max, min ca hàm s trên R.
áp dng công thc Cos2u= 1 – 2sin

2
u, ta có th đa hàm s F(x) v dng:
F(x) = -2Sin
2
+
2
2x
1x
+ Sin
+
2
2x
1x
+ 2.
t t = Sin
+
2
2x
1x
,
Vi x ∈R ta có: -1 ≤
+
2
2x
1x
≤ 1
-Sin1 ≤ t ≤ Sin1

(Do [-1,1] ∈[-
π

2
,
π
2
] nên ta có điu trên).
Bài toán đa v tìm giá tr max, min ca hàm s:
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 6
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
F(t) = -2t
2
+ t + 2 vi -Sin1 ≤ t ≤ Sin1
Ta có: F’(t) = -4t + 1.
Lp bng bin thiên:
t -Sin1
1
4
Sin1
F'(t) /// 0 ///
F(t) /// ///

(bn có bit vì sao ta có – Sin1 < 1/4 < Sin1 không?)
T đó suy ra:
Max F(t) = F(1/4) = 17/8
t
≤ Sin1


Min F(t) = Min {F(Sin1); F(-Sin1)}
t
≤ Sin1

= Min {-2Sin
2
1 – Sin1 + 2; -2Sin
2
1 + Sin1 + 2 }
= -2Sin
2
1 – Sin1 + 2
Tóm li:
Max F(x) = Max F(t) = F(1/4) = 17/8
x
∈R.
t
≤ Sin1

Min F(x) = Min F(t) = Min {F(Sin1); F(-Sin1)}
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 7
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
x ∈R.
t
≤ Sin1
= -2Sin
2
1 – Sin1 + 2

Giá tr nh nht ca F(x) đt đc khi t = - Sin1 = Sin(-1).
Tc là: Sin
+
2
2x

1x
= Sin (-1).
<=>
+
2
2x
1x
= -1 (Chú ý: -1 ≤
+
2
2x
1x
≤ 1)
<=> (x+1)
2
= 0
<=> x = 1.
Giá tr ln nht ca F(x) đt đc khi nào, các bn t tính.
2. Bài toán giá tr ln nht, giá tr nh nht cha tham s:
- Trong các bài toán này, giá tr max, min ca mt hàm s F(x) trên mt min D s ph
thuc vào tham s m. Khi m bin thiên, nói chung các giá tr này cng thay đi. Cn nhn
mnh rng phng pháp dùng đo hàm t ra có hiu lc rõ rt vi loi bài toán này.
- Có 2 loi bài toán chinhs thng gp:
+ Tìm giá tr max, min ca hàm s F(x) trên min D theo tham s m.
+ Xét 1 bài toán khác sau khi đã tìm xong giá tr max, min.
Chúng ta hãy xét các VD sau:
Ví d 3
: Cho hàm s :
y = Sin
4

x + Cos
4
x + m SinxCosx, Vi x ∈R.
Tìm giá tr max, min ca hàm s và bin lun theo m?
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 8
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Ta có y = 1 –
1
2
Sin
2
2x +
m
2
Sin2x
t t = Sin2x. Bài toán quy v: Tìm giá tr max, min ca hàm s :
F(t) = -
1
2
t
2
+
m
2
t +1 vi -1 ≤ t ≤ 1
F'(t) = -t +
m
2
.
Xét các kh nng sau:

1) Nu m ≥ 2 (khi đó
m
2
≥ 1). Ta có bng bin thiên sau:
t -1 1
m

2
F'(t) + /// 0
F(t) ///

Ta có:
Max F(t) =
t
≤ 1
F(1) =
+m1
2


Min F(t) =
t
≤ 1
F(-1) =
−+m1
2

2) Nu m ≤ -2 (khi đó
m
2

≤ 1). Ta có bng bin thiên sau:
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 9
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
t
m
2
-1 1
F'(t) 0 /// -
F(t) ///

Ta có:
Max F(t) =
t
≤ 1
F(-1) =
−+m1
2


Min F(t) =
t
≤ 1
F(1) =
+m1
2

3) Nu -2 < m < 2 (Khi đó -1 <
m
2
< 1) Ta có bng bin thiên sau:

t -1
m
2
1
F'(t) + 0 - ///
F(t) ///

Max F(t) =
t
≤ 1
F(
m
2
) =
+
2
m8
8


Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 10
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Min F(t)
t
≤ 1
= Min{f(-1); f(1)}

Nu 0 ≤ m ≤ 2

= Min{

−+m1
2
;
+m1
2
}
=
⎧
−
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
+
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
1m
2
1m
2

Nu -2 ≤ m ≤ 0

Tóm li ta đi đn kt qu sau:

+1m
2

Nu 2 ≤ m
+
2
8m
8

Nu -2 < m < 2
Max y
x
∈R.
=

−1m
2

Nu -2 ≤ m

Nu 0 ≤ m
Min y
x
∈R.
=
⎧
−
⎪
⎪
⎪

⎪
⎪
⎨
⎪
+
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
1m
2
1m
2

Nu m < 0
Chú ý: Có th vit đáp s gn hn: VD Min y =
+1m
2

Ví d 4
: Cho hàm s F(x) = 4x
2
– 4ax + a
2
– 2a, Xét khi -2 ≤ x ≤ 0
Tìm a đ: Min F(x): = 2?
-2 ≤ x ≤ 0
Ta có: F'(x) = 8x – 4a =>F'(x) = 0 khi x =
a

2
.
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 11
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Xét các kh nng sau:
1) Nu a > 0 (tc
a
2
> 0). Ta có bng bin thiên sau:
x -2 0
a
2

F'(x) 0 - /// 0
F(x) ///

Vì th: Min F(x) = F(0) = a
2
– 2a.
-2 ≤ x ≤ 0
Min F(x) = 2 <=> a
2
– 2a = 2.
<=>
⎡
=+
⎢
⎢
=−
⎢

⎣
a1 3
a1 3

Vì a> 0 nên ch ly giá tr: a = 1+
3
2) Nu a < -4 (Tc
a
2
< -2) Ta có bng bin thiên sau:
x
a
2
-2 0
F'(x) 0 /// + ///
F(x) /// ///

Vì th: Min F(x) = F(-2) = a
2
– 6a + 16.
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 12
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
-2 ≤ x ≤ 0

Min F(x) = 2 <=> a
2
– 6a + 16 = 2.
<=> a
2
– 6a + 14 = 0

∆ = 9 – 14 = -5 < 0. PT vô nghim.
3) Nu -4 ≤ a ≤ 0 (Tc -2 ≤
a
2
≤ 0) Ta có bng bin thiên sau:
x -2
a
2
0
F'(x) // - 0 + ///
F(x) // ///

Vì th: Min F(x) = F(
a
2
) = – 2a
-2 ≤ x ≤ 0

Min F(x) = 2 <=> –2a = 2
<=> a = -1.
Giá tr a = -1 tha mãn điu kin -4 ≤ a ≤ 0 nên chp nhn đc.
Tóm li các giá tr cn tìm ca tham s a là: a = -1 và a = 1+
3
3. Phng pháp min giá tr hàm s

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 13
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Xét bài toán tìm giá tr ln nht và nh nht ca hàm s f(x) …? Mt min D cho…? . Gi
y
o

là mt giá tr tùy ý ca f(x) trên D, thì h sau đây (ca x) có nghim
0
() (1)
(2)
fx y
xD
=
⎧
⎨
∈
⎩
Tùy dng ca h (1) (2) mà ta có các điu kin có nghim tng ng. Trong nhiu trng
hp, điu kin y (sau khi bin đi) đa đc v dng
0
(3)y
α
β
≤
≤ . Vì y
o
là mt giá tr bt
kì ca f(x), nên t (3) ta có
() ; ()
xD xD
Min f x Max f x
α
β
∈∈
=
= . Nh vy khi s dng phng pháp

này đ tìm giá tr ln nht ca mt hàm s, thc cht ta đã qui v vic tìm điu kin đ mt
phng trình (thng làm có thêm điu kin ph) có nghim.
Xét các thí d sau:
Thí d 1

Tìm giá tr ln nht và nh nht ca hàm s
2sin osx+1
() ,?i x R
sinx-2cosx+3
xc
fx
+
=
∈v .
Bài gii:

 ý rng do
3 5 sinx-2cosx+3 3 5,
x
−≤ ≤+∀, nên f(x) xác đnh xác đnh trên toàn R. Gi y
o
là mt giá
tr tùy ý ca f(x), ta có phng trình sau (ca x)
0
2sin osx+1
(1)
sinx-2cosx+3
xc
y
+

= có nghim.
D thy (1) <=> 2sinx + cosx + 1 = y
o
sinx - 2y
o
cosx + 3 y
o

<=> (2 - y
o
)sinx + (1 + 2 y
o
)cosx = 3 y
o
- 1 (2)
Vì (2) có nghim, nên ta có
2222 2
000 00 00 0
1
(2 ) (1 2 ) (3 1) 4 6 4 0 2 3 2 0 2(3)
2
yyy yy yy y− ++ ≥ − ⇔ − −≤⇔ − −≤⇔−≤ ≤
T
(3) suy ra
1
() ; () 2
2
xR xR
Min f x Max f x
∈∈

=− =
Chú ý

Nu thay y
o
= 2 vào (2) ta có 5cosx = 5 <=> cosx = 1 <=> 2
x
k
π
=
. Vy Maxf(x) đt đc
khi
2,
x
kkZ
π
=∈(Xét tng t cho Min(fx).
Thí d 2

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 14
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Tìm giá tr ln nht và nh nht ca hàm s:
2
2
2723
() ,
210
xx
f
xxR

x
x
++
=
∈
+
+

Bài gii:

Gi y
o
là mt giá tr tùy ý ca hàm s, thì phng trình sau (ca x)
2
0
2
2723
(1)
210
xx
y
x
x
++
=
++
có
nghim.
D thy
2

000
(1) ( 2) (2 7) 10 23 0(2)yxyxy⇔− + −+ −=
Xét 2 kh nng:
+ Nu y
o
= 2, thì (2) <=> -3x – 3 = 0 => phng trình này s
…? có nghim
+ Nu , thì (2) có nghim
0
2y ≠
2
00 0
35
0 9 16 15 0
22
yy y
⇔
Δ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤

Tóm li (2) có nghim
0
35
22
y⇔≤ ≤

Vì y
o
là giá tr tùy ý ca f(x), nên
35
() ; ()

22
xR xR
Min f x Max f x
∈∈
=
=


Thí d 3:

Tìm giá tr ln nht và nh nht ca biu thc vi x, y tha mãn
22
,Px y=+
{
}
222 2222
(, ) ( 1) 4 0xy D x y x y x y∈= − + + − − =
Bài gii:

Gi t
o
là mt giá tr tùy ý ca P, khi (, )
x
yD
∈
. Vy h sau đây (ca x,y)
22
0
222 2222
(1)

( 1) 4 0(2)
xyt
xy xyxy
⎧
+=
⎪
⎨
−++ −−=
⎪
⎩
có nghim. H (1),(2) tng đng vi h sau:

22
22
0
0
22
222 22 2
00
(3)
314 0(4
()3()140
xyt
xyt
tt x
xy xy x
⎧
⎧
+=
+=

⎪⎪
⇔
⎨⎨
−++ =
+−+++=
⎪⎪
⎩
⎩
)
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 15
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
 (4) (ca x) có nghim ta cn có
2
00 0
35 35
310 (5
22
tt t
−+
−+≤⇔ ≤≤ )

Vi điu kin (5). Gi
x
là nghim ca (4), và thay vào (3) ta
có:
22 2 2 22
000 0 00
444 3144 4 1(*xyt t t yt ytt+=⇔−+−+=⇔=++)
(*) chc chn có nghim vì >0.
2

00
1tt++
Vy (5) là điu kin cn và đ đ h (3), (4) có nghim. T đó suy ra
(,) (,)
35 35
;
22
xy D xy D
Min P Max P
∈∈
−+
==

Thí d 4

Tìm giá tr ln nht và nh nht ca trên min
2
3Px xy y=−−
2
,
{
}
22
(, ): 3Dxyxxyy
=
++ ≤
Bài gii:

Gi
{

}
{
}
{}
22 2
1
22
2
(, ): 3, 0 (, ): 3, 0
(, ): 3, 0
Dxyxxyy y xyx y
Dxyxxyy y
=++≤==≤
=++≤≠
=

Ta có
12
22
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
Max P=Max Max P, Max P ,(1)
Min P=Min Min P, Min P (2)
xy D xy D xy D
xy D xy D xy D
∈∈∈
∈∈∈
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭

⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
T
1
(, )
x
yD∈ thì , do đó
2
Px=
1
1
(,)
(,)
ax P=3; Min P=0 (3)
xy D
xy D
M
∈
∈
Xét biu thc
2
22 2
222 2
3
33
1
1
xx
yy

x
xy y t t
S
x
xy y t t
xx
yy
⎛⎞ ⎛⎞
−−
⎜⎟ ⎜⎟
−− −−
⎝⎠ ⎝⎠
== =
++ ++
⎛⎞ ⎛⎞
++
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Gi
α
là mt giá tr tùy ý ca S, tc là phng trình (n t)
2
2
3
(4)
1
tt
tt
α

−−
=
++
có nghim. D thy
2
(4) ( 1) ( 1) 3 0 (5)tt
ααα
⇔− ++++=
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 16
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
+ Nu
α
= 1 thì (5) có nghim t = -2
+ Nu
1
α
≠ thì (5) có nghim khi
22
0 ( 1) 4( 1)( 3) 0 3 6 11 0
ααα αα
Δ
≥⇔ + − − + ≥⇔− − − ≥
2
(1)
343 343
3 6 13 0 (6)
33
α
αα α
≠

−− −+
⇔+−≤⇔ ≤ ≤

Th li (5) có nghim
343 343
33
α
−− −+
⇔≤≤

Ta có
22
22 2
22
3
() ()
xxyy
P x xy y x xy y S
xxyy
−−
=++ =++
++
2
xxyy++ ≤

Do khi
22
()3
(,
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 17

22
) 3 43 3 4 3 (, )yD P xyD∈ ⇒−− ≤ ≤−+ ∀ ∈

x
Rõ ràng h phng trình
22
22
22
334
3
3
xxyy
xxyy
xxyy
⎧
−− −+
=
⎪
++
⎨
⎪
++ =
⎩
3
có nghim.
Nh vy
2
(,)
343 (7)
xy D

Max P
∈
=− + . Tng t
2
(,)
343 (8)
xy D
Min P
∈
=− −
T (1), (2), (3), (7), (8) suy ra
22
(,) (,)
343; 343
xy D xy D
Max P Min P
∈∈
=− + =− − .
3. Phng pháp chiu bin thiên.
Phng pháp này kt hp vic s dng đo hàm đ kho sát tính đng bin và nghch bin
ca hàm s, vi vic so sánh các giá tr đc bit ca hàm s (các đim cc tr, các đim ti
hn). Xét các thí d minh ha sau:
Thí d 1

Tìm giá tr nh nht ca
111
Pxyz
x
yz
=

++++ +
trên min
3
(, ,): 0, 0, 0,
2
Dxyzxyzxyz
⎧⎫
=>>>++
⎨⎬
⎩⎭
≤

Bài gii:

Theo bt đng thc CoSi, ta có:
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009

111
() 9
111 9
9
(1)
xyz
xyz
xyzxyz
Pxyz
x
yz
⎛⎞
++ + + ≥

⎜⎟
⎝⎠
⇒++≥
++
⇒≥+++
++

t
3
t = x + y + z 0<t
2
⇒≤
. Xét hàm s
93
() ,0
2
ft t t
t
=
+<≤
;
2
9
'( ) 1ft
t
=
−

Ta có bng bin thiên sau:
0

t
f
’
(t)
f(t)
-
3
0
3
2
3
0




Vy
3
0
2
31
f(t)=f
22
t
Min
<≤
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠

5
. T (1) suy ra
15
2
P ≥
(2). Mt khác vi
1
2
xyz===
(khi đó
3
2
xyz++=
tha mãn điu kin
3
2
xyz
+
+≤
), ta có
15
2
P
=
. T đó kt hp vi (2) suy ra
15
2
MinP =

Chú ý:

Nu vit
111
6(*)Px y z
xyz
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
=+++ ++≥
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
. Tuy nhiên du bng trong (*)
có <=> x = y = z = 1. Nhng
3
3
2
xyz++=>
. Vy không có du bng trong (*)!
Thí d 2

Tìm giá tr ln nht và nh nht ca
11
x
y
P
y
x
=+
+
+

vi
{
}
(, ) , 0, 1xy D xy x y=≥+=
∈
Bài gii:
a P v dng
22 2
()2(
1()1
)
x
xy y xy xy xy
P
xyxy xy xy
++ + + − + +
==
+++ + ++

Do x + y + 1, nên vi
(, )
x
yD∈ , ta có :
22
(1)
2
xy
P
xy
−

=
+

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 18
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
t t = xy, khi đó
2
() 1
44
xy
xy t
+
≤≤ ⇒≤≤00
.
Xét hàm s
22
()
2
t
ft
t
−
=
+
vi
1
0
4
t≤≤

Ta có
2
6
'( )
(2 )
ft
t
−
=
+
, nên có bng bin thiên (các em t v hình) dn đn kt lun:
Vy
(,) (,)
2
1;
3
xy D xy D
Max P Min P
∈∈
==
Chú ý:

Max P đt đc
0
0, 1
01
1, 0
,0
xy
xy

txy
xy
xy
=
⎧
=
=
⎡
⎪
⇔= ⇔ + =⇔
⎨
⎢
=
=
⎣
⎪
≥
⎩

Min P đt đc
11
42
txy⇔= ⇔ = =

Thí d 3

Tìm giá tr ln nht và nh nht ca
62
() 4(1 )
3

f
xx x=+− khi
[
]
1,1x ∈− .
Bài gii

t
2
x
t= , thì 01t
≤
≤ . Ta có
6 233 33 23 3 2
4(1 ) 4(1 ) 4(1 3 3 ) 3 12 12 4
x
xt tt ttt ttt+− =+−=+−+−=−+ −+
Vy
1 2 01 11 01
() (); () ()
xtxt
M
axfx MaxFt Minfx MinFt
−≤≤ ≤≤ −≤≤ ≤≤
==
 đây vi
01
32
() 3 12 12 4Ft t t t=− + − + t
≤

≤
Ta có và có bng xét du sau:
2
'( ) 9 24 12Ft t t=− + −
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 19




4
0
t
0
F‘(t)
F(t)
1
1
2
0
3
2

9
4

Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009

Vy
11 11
4

() 4; ()
9
xx
Max f x Min f x
−≤≤ −≤≤
==

III. CNG C KIN THC
Bài 1

Tm giá tr ln nht và nh nht ca
2
33
x
y
P
=
+ , khi
{
}
(, ) 0, 0, 1xy D x y x y
∈
=≥ ≥ +=.
Bài gii:

Khi
(, ) 1
x
yD y∈⇒=−x,  đây
01

x
≤≤
, và
21 2
3
33 3
3
xxx
x
P
−
=+ =+
t
3
x
t = , thì
13
(do
t≤≤ 01
x
≤≤
), và
3
2
33t
Pt
tt
+
=+=

Xét hàm s
3
3
()
t
ft
t
+
=
vi 13 t≤≤
Ta có
3
2
2
'( )
t
ft
t
−
=
3
. Lp bng xét du sau:
t

f ’(t)
f (t)
1 3
0
4
1

3
3
2
3
9
3
4





T đó suy ra
{
}
{
}
(,) 1 3
33
(,) 1 3
( ) (1), (3) 4,0 10
39
() 3
24
xy D t
xy D t
Max P Max f t Max f f Max
Min P Min f t f
∈≤≤

∈≤≤
== =
⎛⎞
===
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
=

Bài 2
.
Tìm giá tr ln nht và nh nht ca hàm s:
() 1 sinx 1 osx,
f
xcxR
=
+++ ∈
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 20
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Do () 0,
f
xx≥∀∈Rnên ta có
22
() (); () ()(1)
xR xR xR xR
Max f x Max f x Min f x Min f x
∈∈∈∈
==
Ta thy
2

( ) 2 (sinx+cosx)+2 1+(sinx+cosx)+sinxcosxfx=+
t
2
t-1
sinx+cosx( - 2 t 2) sinxcosx=
2
t =≤≤⇒

Xét hàm s:
22
12
() 2 2 1 2 2
22
tt
Ft t t t
1t
−
++
=++ ++ =++


2
'( ) 1 2 ( 1) 1 2 1Ft t t=+ + =+ +

Do vy
12,1 2
'( )
12, 2
t
Ft

t
⎧
+−≤≤
⎪
=
⎨
−−≤≤
⎪
⎩
1−

Vì th có bng bin thiên sau:



t
F
’
(t)
F(t)
2−
-
1
2
422−
422+

0

T đó có
(
)
(
)
{
}
{
}
2
2
() () 2, 2 4 22,4 22 4 22
() () (1) 1
xR
t
xR
t
Max f x Max F t Max F F Max
Min f x Min F t F
∈
≤
∈
≤
==− =−+=+
==−=

Bài 3:
(i hc-Cao đng khi A.2003)

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 21
Cho Tìm giá tr nh nht ca
, , 0 à x+y+z 1. xyz v>≤
222
22
11
Px y z
2
1
x
yz
=+++++
Áp dng công thc qui bin v véc t
wwuv uv
+
+≥++
f
ff fff

Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Áp dng vi
11
,, ,,w,
ux vy z
1
,
x
yz
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞

⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
ff f
ta có
2
222 2
222
111 111
()
xyz xyz
xyz
xyz
⎛⎞
++ ++ +≥ +++++
⎜⎟
⎝⎠
(1)

Ta có
22
22
111 111
( ) 81( ) 80( ) (2)xyz xyz xyz
xyz xyz
⎛⎞ ⎛⎞
++ + + + = ++ + + + − ++
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

2

Theo bt đng thc CôSi, thì:
22
22
111 111 111
81( ) 2 81( ) 18( )xyz xyz xyz
x
yz xyz xyz
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
++ + + + ≥ ++ + + = ++ + +
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠

Li theo bt đng thc c s có:
111
()xyz
xyz
⎛⎞
9
+
+++≥
⎜⎟
⎝⎠
. Vì th có:
2
2
111
81( ) 162xyz
xyz

⎛⎞
++ ++ ≥
⎜⎟
⎝⎠
(3)
Do (4)
2
( ) 1 80( ) 80xyz xyz++ ≤⇒ ++ ≤
T (3), (4) và (1), (2) suy ra:
82P ≥ (5)
Ly
1
82
3
xyz P===⇒=

T đó đi đn:
P = 82Min
22
22
111 111 111
81( ) 2 81( ) 18( )xyz xyz xyz
x
yz xyz xyz
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
++ + + + ≥ ++ + + = ++ + +
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠

Li theo bt đng thc c s có:

111
()xyz
xyz
⎛⎞
9
+
+++≥
⎜⎟
⎝⎠
. Vì th có:
2
2
111
81( ) 162xyz
xyz
⎛⎞
++ ++ ≥
⎜⎟
⎝⎠
(3)
Do (4)
2
( ) 1 80( ) 80xyz xyz++ ≤⇒ ++ ≤
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 22
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
T (3), (4) và (1), (2) suy ra: 82P ≥ (5)
Ly
1
82
3

xyz P===⇒=

T đó đi đn:
P = 82Min
Bài 4:
(i hc – Cao đng khi B. 2002)
Tìm giá tr ln nht và nh nht ca hàm s:
2
() 4
f
xx x
=
+−
Ta có:
2
22
4
'( ) 1
44
x
xx
fx
x
x
−−
=− =
−−

Lp bng xét du sau:
x

'( )
f
x
()
f
x
-2 0
2
2
+
+
-
2
2
0
-2
2




(Chú ý: khi là bin thiên)
'( ) 0fx>
2x−≤ ≤0
T đó có:
2
ax f(x)=2 2
x
M
≤

{
}
{
}
2
f(x) = min f(-2);f(2) min 2;2 2
x
Min
≤
=−=

Chú ý:
Ta có th gii bng phng pháp bt đng thc nh sau:
1/ Ta có: do
2
() 4 2
2
(2) 2
fx x x
x
f
⎧
⎪
=+ − ≥−
≥− ⇒
⎨
−=−
⎪
⎩

Vy
2
f(x) = 2
x
Min
≤
−

rõ ràng đt đc trên min . Áp dng bt đng thc Bunhiacopsky:
0x >
ax f(x)M
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 23
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
(
)
(
)
22
2222
2
()
4(11) 4
8()22
x
2
x
xx
ffx

⎡⎤
⇒+− +≥+−
⎢⎥
⎣⎦
⇒≥ ⇒ ≤
x

Li có:
( 2) 2 2 ax (x)=2 2fmf=⇒

IV. BÀI TP V NHÀ

Bài 1:
Tìm giá tr ln nht ca hàm s
2
4
44
() 1 1 1
f
xxxx
=
−+−++ trên
min
{
}
:1 1Dx x=−≤≤
áp s:

xD
ax ( ) 3Mfx

∈
=
Bài 2:
Tìm giá tr bé nht ca bin thiên:
111
(1)
xyz
Pxyz xy
xyz yzx
⎛⎞
= + ++ +++−−−
⎜⎟
⎝⎠
z trên min
{
}
(, ,): 0; 0; 0Dxyzx yz
=
>>>
áp s:
mi n 6P =
Bài 3:
Tìm giá tr ln nht ca bin thiên:
Pxyz
=
trên min
111
(, ,): 0; 0; 0; 2
111
Dxyzxyz

xyz
⎧⎫
=≥≥≥++
⎨⎬
+++
⎩⎭
=

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 24
áp s:

1
ax P=
8
m

Bài 4:
Tìm giá tr ln nht ca: trên min
2
(4 )Pxy xy=−−
{
}
( , ) : 0; 0; 6Dxyx yxy
=
≥≥+≤

áp s:
; ax P = 4M Min P = - 64
Bài 5:
Tìm giá tr ln nht và nh nht ca:

22
22
(4)
x
xy
P
xy
−−
=
+
trên min
{
}
22
(, ): 0Dxyxy=+>

áp s:
; P = - 2 2 2Min
−
ax P = 2 2 2M −
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Bài 6: Tìm giá tr ln nht và nh nht ca:
22
21
7
xy
P
xy
+
+

=
+
+
; ,
x
yR
∈

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 25
áp s:

1
ax P =
2
M
;
5
P =
14
Min
−

Bài 7:
Tìm giá tr ln nht và nh nht ca hàm s:
2
() 3 6 18 3
f
xxx x=++−− +−x trên min
{
}

:3 6Dx x
=
−≤ ≤

áp s:
;
xD
ax f(x) = 3M
∈
xD
932
f(x) =
2
Min
∈
−

Bài 8:
Cho
22
() 4 4 2
f
xxaxa=−+−a xét trên min
{
}
:2 0Dx x
=
−≤ ≤ .
Tìm a đ
xD

f(x) = 2Min
∈
áp s:

a
hoc
1=−
13a =+
Ngun:
Hocmai.vn