Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh SKKN toán 12

SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
A. ĐẶT VẤN ĐỀ .
I)LỜI MỞ ĐẦU.
Để bồi dưỡng năng lực tư duy độc lập ,tư duy tích cực và tư duy sáng tạo
của học sinh, trước tiên phải trang bị cho các em có nền kiến thức cơ bản
phổ thông vững trắc, có khả năng giải các dạng bài tập. Muốn vậy người
giáo viên phả vận dụng các phương pháp khác nhau, hướng các em vào
một môi trường hoạt động tích cực, xem học tập là một quá trình tự khám
phá liên tục. Học tập phải thực sự là nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ
động và sáng tạo của học sinh. Người thầy giáo phảI giúp học sinh xem
xét một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tưởng, kết
nối giữa dữ kiện và yêu cầu của bài toán. Giữa bài toán chưa biết cách giải
với bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Biết phân tích, tổng hợp, và so
sánh, từng trường hợp riêng lẻ để đem đến cáI chung nhất mang tính chân
lý. Từ đó vận dụng các phương pháp toán học để giảI quyết các bài toán
đặt ra.
Với lý do đó tôi chọn đề tài “ Phương pháp giải toán nguyên hàm –
tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh “
II)THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU.
1) Thực trạng:
Trong chương trình giảI tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân chiếm
một phần rất quan trọng. Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm, tích phân
chưa nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, chưa có nhiều phương
pháp. Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo một hướng nhất định nào đó. Do
đó các bài toán về nguyên hàm, tích phân chưa khai thác hết được, chưa phát
huy được tính sáng tạo, khám phá của học sinh.

1
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Tôi nhận thấy việc khai thác các phương pháp giải các bài toán về nguyên
hàm, tích phân để học sinh có thể tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành
nhiều cách giải khác nhau là một điều rất quan trọng.
2) Kết quả:
Khi tôi được phân cônggiảng dạy lớp 12, kiến thức về giảI tích học sinh
lớp tôi được phân công còn hạn chế,các bài toán về nguyên hàm, tích phân
còn ít nên việc vận dụng các phương pháp giảI còn chậm và đang còn bế
tắc trong cách định hìnhphương pháp giải.
Tôi đã dần hình thành các phương pháp giải, phát triển từ bài toán cơ bản
đến những bài toán ở mức độ khó hơn.
Từ thực trạng trên, để công việc giảng dạy được tốt hơn, tôi đã mạnh dạn
cảI tiến nội dung, phương pháp, khai thác cấu trúc logic của bài toán, tìm
ra nhiều phương pháp giải cho bài toán, phát triển bài toàn dưới nhiều hình
thức khác nhau.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
I) GIẢI PHÁP THỰC HIỆN.
1. Các yêu cầu cơ bản về giải toán nguyên hàm – tích phân.
Học sinh nắm vững các định nghĩa nguyên hàm – tích phân, các tính chất cơ
bản và các phương pháp chủ yếu để tính nguyên hàm và tích phân.
Học sinh có kĩ năng giải toán nguyên hàm và tích phân bằng nhiều phương
pháp khác nhau, nắm vững ý nghĩa hình học của tích phân để trong một
số trường hợp ta có thể tính các tích phân bằng một phương pháp đơn
giản hơn thông thường.
Học sinh được phát triển về tư duy thuật giải trong quá trình tính nguyên
hàm, tích phân theo những quy trình xác định, được rèn luyện về tính
linh hoạt , khả năng sáng tạo trong quá trình giải toán.

2
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Trong chương trình môn toán trường phổ thông trung học, nội dung
kiến thức mà học sinh học về nguyên hàm và tích phân ở lớp 12 gồm
các vấn đề sau đây:
- Định nghĩa nguyên hàm. Các tính chất của nguyên hàm. Bảng các
nguyên hàm cơ bản.
- Định nghĩa tích phân. Các tính chất của tích phân. Các phương pháp
tính tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích.
1.Các phương pháp xác định nguyên hàm – tích phân
Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa
Ví dụ : Chứng minh rằng hàm số:






<++
≥
=
01
0
)(
2
khixxx
khixe
xF
x
là một nguyên hàm của hàm số:





<+
≥
=
012
0
)(
khixx
khixe
xf
x
trên R.
Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta xét hai trường hợp sau:
- Với x ≠ 0, ta có:



<+
>
=
012
0
)('
khixx
khixe
xF
x
- Với x = 0, ta có:

1lim
0
)0()(
lim)0('
1
1
lim
0
)0()(
lim)0('
0
00
02
00
=
−
=
−
−
=
=
−−+
=
−
−
=
++
−−
→→

+
→→
−
x
ee
x
FxF
F
x
exx
x
FxF
F
x
xx
xx
Nhận xét rằng F’(0
-
) = F’(0
+
) = 1 ⇒ F’(0) = 1, có nghĩa là hàm số
F(x) có đạo hàm tại điểm x = 0.
Tóm lại :
)(
012
0
)(' xf
khixx
khixe
xF

x
=



<+
≥
=

3
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.
Xác định tích phân bằng phương pháp phân tích.
Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất
thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các nhân tử
mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên
hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết.
Phương pháp chung:
Bước 1: Biến đổi f(x) về dạng:
f(x) =
∑
=
n
i
ii
xf
1
)(
α

với f
i
(x) có nguyên hàm trong bảng công thức và α
i
là các hằng số.
Bước 2: Khi đó:

∑
∫∫ ∫
∑
==
==
n
i
iii
n
i
i
dxxfdxxfdxxf
11
)()()(
αα
Ví dụ: Tính tích phân :
∫
+
=
x
e
dx
I

1
.
Giải: Sử dụng đồng nhất thức:
1 = (1 + e
x
) – e
x
.
Ta được:

( )
( )
∫∫∫
+
+
−=








+
−=⇒
+
−=
+
−+

=
+
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
e
ed
dxdx
e
e
I
e
e
e
ee
e
1
1
1
1
1
1
1
1

1
1
= x - ln(1 + e
x
) + C.
Xác định tích phânbằng phương phápđổi biến số.
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích
phân. Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên
định lý sau:

4
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Định lý1:
b. Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C và u = ϕ(x) là hàm số có đạo hàm thì:
∫f(u)du = F(u) + C.
c. Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = ϕ(t) trong đó ϕ(t) cùng với
đạo hàm ϕ’(t) là những hàm số liên tục, ta được:
∫f(x)dx = ∫f[ϕ(t)].ϕ’(t)dt.
Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác định cũng có hai dạng
cơ bản dựa trên định lý sau:
Định lý 2:
a. Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C và u = ϕ(x) là hàm số có đạo hàm trong
khoảng [a,b] thì:

)(
)(
)(
)(
)()(

b
a
b
a
uFduuf
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
∫
=
.
b. Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x =
ϕ(t) xác định và liên tục trên đoạn [α, β] và thoả mãn các điều kiện
sau:
(i). Tồn tại đạo hàm ϕ’(t) liên tục trên đoạn [α, β].
(ii). ϕ(α) = a và ϕ( β) = b.
(iii). Khi đó:
[ ]
∫ ∫
=
b
a
dtttfdxxf
β
α
ϕϕ
.)(')()(
Tuy nhiên cái khó của phương pháp này là cách chọn hàm x = ϕ(t)
hay u = ϕ(x) sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể.

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:

5
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Dấu hiệu Cách chọn
22
xa −
( )





≤≤=






≤≤
−
=
π
ππ
ttax
ttax
0,cos
22

,sin
22
ax −
[ ]






≠∈=
≠






−
∈=
2
,,0,
cos
0,
2
,
2
,
sin
π

π
ππ
tt
t
a
x
tt
t
a
x
xa
xa
xa
xa
+
−
−
+
,
tax 2cos
=
( )( )
xbax −−
x= a + (b – a)sin
2
t
Hàm có mẫu số t là mẫu số
Hàm f(x,
)(xf
) t =

)(xf
Hàm f(x) =
( )( )
bxax ++
1
t =
bxax +++
Ví dụ 1: Tính tích phân:
∫
+
=
1
2
xx
dx
I
.
Giải: Đổi biến số:

xdxtdtxtxt
=⇒+=⇒+=
11
222
Ta có:

( )
C
x
x
C

t
t
dt
tt
t
dt
tt
tdt
xx
xdx
xx
dx
I
+








++
−+
=
+









+
−
=






+
−
−
=
−
=
−
=
+
=
+
=
∫∫∫
∫ ∫
11
11
ln

2
1
1
1
ln
2
1
1
1
1
1
2
1
11
11
2
2
22
222
Ví dụ 2: Tính các tích phân:
∫
+
=
8
3
2
1xx
dx
I
Giải:

Đặt:

6
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

38
23
1
1
2
2
=⇒=
=⇒=
=⇒=
+
=⇒+=
tx
tx
x
tdt
dx
t
xdx
dx
x
x
dtxt
Khi đó:
( )

dt
tt
t
dt
tt
tdt
xx
tdt
xx
dx






+
−
−
=
−
=
−
=
+
=
+
1
1
1

1
2
1
11
11
22
222

( )
.
2
3
ln
2
1
1
1
ln
2
1
1ln1ln
2
1
1
1
1
1
2
1
3

2
3
2
3
2
=






+
−
=
+−−=






+
−
−
=⇒
∫
t
t
ttdt

tt
I

Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Phương pháp tích phân từng phần được sử dụng rất thông dụng
trong quá trình xác định nguyên hàm của hàm số. Phương pháp này cụ
thể như sau:
Cho u, v là các hàm số có đạo hàm liên tục thì:
∫udv = uv - ∫vdu.
Còn đối với tích phân xác định, ta có:

∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
Dựa vào công thức tính tích phân từng phần,để tính tích phân
I=∫f(x)dx ta tiến hành theo các bước sau:
- Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
I = ∫f(x)dx = ∫f
1
(x).f
2
(x)dx.
- Bước 2: Đặt: u = f
1

(x), dv= f
2
(x)dx ⇒ du,v.
- Bước 3: I = uv - ∫vdu.

7
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Chúng ta cần chú ý, khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần
để tính nguyên hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau:
- Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ
dàng.
- Tích phân ∫vdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với I.
Ta dùng P(x) để chỉ cho một đa thức.
- Khi gặp các tích phân có dạng:
∫P(x)a
x
dx, ∫P(x)sinxdx, ∫P(x)cosxdx
nên dùng tích phân từng phần để tính với cách đặt: u = P(x).
- Khi gặp các tích phân có dạng:
∫P(x)log
a
xdx
nên dùng tích phân từng phần để tính với cách đặt: u = P(x).
- Khi gặp các tích phân có dạng:
∫e
ax
sinbxdx, ∫e
ax
cosbxbx

nên dùng tích phân từng phần hai lần để tính với cách đặt: u = e
ax
.
Sau đây là ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến và tiện lợi của
phương pháp này:
Ví dụ : Tính tích phân:
.
1
)1ln(
2
2
dx
x
xxx
I
∫
+
++
=
Giải: Ta viết lại I dưới dạng:
.
1
)1ln(
2
2
dx
x
x
xxI
∫

+
++=
Đặt:
(
)







+=
+
=
++
+
+
=
⇒





+
=
++=
1
1

.
1
1
1
1
1ln
2
22
2
2
2
xv
x
dx
dx
xx
x
x
du
dx
x
x
dv
xxu
Khi đó:

8
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

( )
( )
.1ln1
1ln1
22
22
Cxxxx
xdxxxxI
+−+++=
−+++=
∫

Xác định tích phân bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ.
Phương pháp xác định nguyên hàm của hàm số f(x) bằng kỹ
thuật dùng hàm phụ xuất phát từ ý tưởng chủ đạo là tìm kiếm một hàm
g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn,
từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).Để xác định nguyên
hàm của hàm số f(x) theo phương pháp này, ta tiến hành thực hiện theo
các bước sau:
- Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x).
- Bước 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x),
tức là:




+=−
+=+
')()()(
)()()(

CxBxGxF
CxAxGxF
- Bước 3: Từ hệ trên ta nhận được: F(x) =
2
1
[A(x) + B(x)] + C.
Đối với phương pháp này, điều khó là cách tìm hàm số g(x) như
thế nào để sao cho việc giải bài toán là dễ dàng hơn.
Ví dụ : Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) =
xx
x
cossin
sin
−
.
Giải: Chọn hàm số phụ: g(x) =
xx
x
cossin
cos
−
.
Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x),
g(x). Ta có: f(x) + g(x) =
xx
xx
cossin
cossin
−
+

Suy ra:

9
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

( )
CxxxxF
CxxGxF
CxxxGxF
CxdxxGxF
xx
xx
xgxf
Cxx
xx
xxd
dx
xx
xx
xGxF
++−=⇒



+=−
+−=+
⇒
+==−⇒

=
−
−
=−
+−=
−
−
=
−
+
=+
∫
∫∫
cossinln
2
1
)(
')()(
cossinln)()(
')()(
1
cossin
cossin
)()(
cossinln
cossin
)cos(sin
cossin
cossin
)()(

Xác định tích phân của các hàm số lượng giác.
Để xác định tích phân của các hàm số lượng giác, ta thường sử
dụng các phương pháp sau:
a) Sử dụng các nguyên hàm cơ bản.
b) Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm lượng giác.
c) Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ
bản.
d) Phương pháp đổi biến.
Đối với các dạng tích phân: I = ∫R(sinx, cosx)dx, ta giải bằng cách
đổi biến lựa chọn một trong các hướng sau:
- Hướng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng
phép đổi biến t = cosx.
- Hướng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng phép
đổi biến t = sinx.
- Hướng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) thì sử dụng phép
đổi biến t = tgx.
- Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm
hữu tỉ bằng phép đổi biến t = tg
2
x
.
e) Phương pháp tích phân từng phần.
f) Sử dụng nguyên hàm phụ.

10
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Ví dụ : Tính:
( )

∫
−
+
=
0
2
2
.
sin2
2sin
π
dx
x
x
I
Giải: Ta có nhận xét rằng:

( ) ( ) ( )
)cos,(sin
sin2
)cos(sin2
sin2
cossin2
sin2
2sin
)cos,(sin
222
xxR
x
xx

x
xx
x
x
xxR
−−=
+
−
−=
+
=
+
=
Từ nhận xét đó giúp ta định hướng được phép biến đổi.
Đặt: t = sinx, khi đó dt = cosxdx.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;
x =
2
π
−
⇒ t = -1.
Khi đó:

( )
( )
( ) ( )
( )
( )
.22ln2
2

2
2ln2
2
2
2
2
1
2
2
22
2
2
2
0
1
0
1
2
0
1
2
0
1
2
−=







+
++=
+






+
−
+
=
+
−+
=
+
=
−
−−−
∫∫∫
t
t
td
t
t
dt
t
t

t
tdt
I

Tích phân của các hàm số hữu tỉ
Để xác định tích phân các hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn
một trong các phương pháp cơ bản sau:
1. Phương pháp tam thức bậc hai.
2. Phương pháp phân tích.
3. Phương pháp đổi biến.
4. Phương pháp tích phân từng phần.
5. Sử dụng các phương pháp khác nhau: có thể kết hợp việc dùng công
thức đổi biến số với kĩ thuật phân tích ra số hạng đơn giản hoặc tích
phân từng phần.

11
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Tuy nhiên, chọn cách sử dụng phương pháp nào cần phải căn cứ vào
dạng của từng bài toán cụ thể.
Ví dụ : Tính tích phân:
.
34
1
0
24
∫
++
=
xx

dx
I
Giải: Biến đổi:

( )( )






+
−
+
=
++
=
++
3
1
1
1
2
1
31
1
34
1
222224
xxxxxx

Khi đó:









+
−
+
=
∫ ∫
1
0
1
0
22
31
2
1
x
dx
x
dx
I
.
+) Ta đi xác định tích phân

∫
+
=
1
0
2
1
1x
dx
I
.
Đặt x = tgt,
22
ππ
<<
−
t
;
Suy ra:
( )
( )
dt
ttg
dtttg
x
dx
dtttgdx
=
+
+

=
+
+=
2
2
2
2
1
1
1
&1
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;
x = 1 ⇒ t =
4
π
.
Khi đó:
∫
===
4
0
4
0
1
4
π
π
π
tdtI
.

+) Ta đi xác định tích phân
∫
+
=
1
0
2
2
3x
dx
I
.
Đặt x =
3
tgt,
22
ππ
<<
−
t
;

12
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Suy ra:
( )
( )
dt
ttg

dtttg
x
dx
dtttgdx
3
1
)1(3
13
3
&13
2
2
2
2
=
+
+
=
+
+=
.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;
x = 1 ⇒ t =
6
π
.
Khi đó:

363
1

3
1
6
0
6
0
2
π
π
π
===
∫
tdtI
.
Từ đó ta có:
I =
.
36
42
1








−
ππ

Nhận xét: Như vậy, ta đã kết hợp nhiều phương pháp lại với nhau để
giải ví dụ trên, cụ thể ở ví dụ trên ta đã sử dụng đồng thời hai phương
pháp là phương pháp phân tích và phương pháp đổi biến.
Tích phân của các hàm số vô tỉ.
Để xác định tích phân của các hàm số vô tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn
một trong các phương pháp sau:
- Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản.
- Phương pháp đổi biến
- Phương pháp tích phân từng phần.
- Sử dụng các phép biến đổi.
- Kết hợp các phương pháp khác nhau.
Ví dụ : Tính tích phân:
( )
.
11
3
22
∫
+++
=
xx
xdx
I
Giải: Biến đổi I về dạng:

13
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

∫

+++
=
.
11.1
22
xx
xdx
I
Thực hiện phép đổi biến:
Đặt:
.11
222
+=⇒+= xtxt
Suy ra:
tdt = xdx và
t
dt
tt
tdt
xx
xdx
+
=
+
=
+++
11
11.1
22

Khi đó:

.11212
1
2
CxCt
t
dt
I
+++=++=
+
=
∫

Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Để tính tích phân :
∫
=
b
a
dxmxfI ),(
ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Xét dấu biểu thức f(x,m) trên đoạn [a, b]. Từ đó phân đoạn
[a, b] thành các đoạn nhỏ mà trên mỗi đoạn đó f(x, m) có một dấu
xác định, giả sử:
[a, b] = [a, c
1
] ∪ [c
1
, c

2
] ∪… ∪ [c
k
, b].
- Bước 2: Khi đó ta có:

∫ ∫∫
+++=
2
1
1
),( ),(),(
c
c
b
c
c
a
k
dxmxfdxmxfdxmxfI
Ví dụ : Tính tích phân:
∫
−=
1
0
dxaxxI
(a > 0).
Giải: Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu a ≥ 1, khi đó ta có:

.
3
1
223
)(
1
0
23
1
0
−=+
−
=−−=
∫
aaxx
dxaxxI

14
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Trường hợp 2: Nếu 0 < a < 1, khi đó ta có:

.
3
1
232323
1
23
2323
)()(

33333
1
23
0
23
1
0
+−=+−−++−=








−+








+
−
=
−+−−=
∫∫

aaaaaaa
axxaxx
dxaxxdxaxxI
a
a
a
a
II, CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
1.Hình thức luyện tập trên lớp có sự hướng dẫn của Thầy giáo.
- Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập của các buổi học
chính khoá với các bài tập ở mức độ vừa phải. Thầy giáo đưa ra các phương
pháp giải và hệ thống bài tập, Học sinh nêu các lời giảI có thể có được của bài
toán. Sau đó cho học sinh tìm tòi, phát hiện một số vấn đề xung quanh bài
toán ở mức độ đơn giản.
- Thực hiện một số buổi trong công tác bồi dưỡng đối với những học sinh
khá hơn ở mức độ những bài toán cao hơn.
2. Hình thức tự nghiên cứu các bài toán có sự hướng dẫn của thầy giáo.
Hình thức này cũng cần được thực hiện liên tục trong quá trìnhhọc tậpcủa
học sinh, làm cho khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh ngày càng được
tăng lên.
C. KẾT LUẬN
1. Kết quả nghiên cứu.
Sau khi tôI thực hiện dạy một số tiết trên lớp và một số buổi bồi dưỡng và
cho tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh. Kết quả
đạt được là có 32/50(64%) học sinh đạt yêu cầu.
2. Kiến nghị, đề xuất.

15
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Cần tăng cường hơn nữa các buổi thảo luận khoa học để thống nhất cách
dạy và đưa ra các tài liệu tham khảo.

16