Hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THCSTHPT bá thước cách tìm nhanh nghiệm của bất phương trình dưới dạng tích,thương các đa thức bậc n

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Lò Văn Hùng
2. Ngày tháng năm sinh: 08/ 10/ 1987
3. Giới tính : Nam
4. Địa chỉ: xã Thành Sơn –Huyện Bá Thước – Tỉnh Thanh Hoá
5. Điện thoại: 0985142983

Gmail:

6. Chức vụ: Giáo viên
7. Đơn vị công tác: Trường THCS & THPT Bá Thước.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học
- Năm nhận bằng: 2011
- Chuyên ngành đào tạo: Toán học
III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán
Số năm có kinh nghiệm: 8 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm được xếp loại cấp tỉnh : Một số phương pháp
giúp học sinh trương THPT Bá Thước 3 có kỹ năng giải phương
trình chứa tham số. Xếp loại C năm 2015.

1


I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là môn học khoa học cơ bản có vai trò và vị trí rất đặc biệt quan
trọng trong khoa học kỹ thuật và đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ
dàng các môn khoa học khác có hiệu quả .Thông qua việc học toán giúp học
sinh có thể vận dụng vào các môn học khác. Chính vì thế toán học có vai trò

quan trọng trong trường phổ thông, nó đòi hỏi người thầy giáo luôn tìm tòi và
sáng tạo để có những phương pháp giảng dạy giúp học sinh giải quyết bài toán.
Trong việc học toán cũng như trong việc học các môn khác mà học thuộc bài
một cách cứng nhắc. Không chịu suy nghĩ để các kiến thức tiếp thu được trở
thành một kiến thức sống, linh hoạt hơn, sẵn sàng vận dụng được trong bất cứ
trường hợp nào. Là một giáo viên THPT, trong tình hình hiện nay tôi thấy mình
phải tìm tòi, nắm bắt mọi thông tin, nhằm tự rèn luyện cho bản thân cũng như kỹ
năng giảng dạy được tốt hơn. Để luôn đáp ứng tốt nhu cầu của xã hội và phục vụ
tốt cho chủ trương, đường lối chính sách của Đảng và nhà nước đã đề ra.
Sau 8 năm công tác tôi thấy. Đa số học sinh nhân thức còn chậm, giáo viên cần
có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài toán tốt
hơn. Trong các kỳ thi THPT quốc gia gần đây, yêu cầu học sinh nắm chắc kiến
thức và tính toán nhanh các bài toán, đó là yếu điểm của học sinh trường tôi.
Trong chương trình môn toán lớp 10 bậc THPT, học sinh được học về dấu của
nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai. Qua đó đưa đến việc xác định
nghiệm của bất phương trình, đặc biệt đối với những bất phương trình phức tạp
(có dạng tích các nhị thức và tam thức bậc hai) thì công việc này quả là khó đối
với học sinh. Để giúp học sinh khắc phục vấn đề trên tôi đã suy nghĩ và đề ra
hướng giải quyết thông qua đề tài : “Hướng dẫn học sinh lớp 10 trường
THCS & THPT Bá Thước cách tìm nhanh nghiệm của một bất phương
trình dưới dạng tích, thương các đa thức bậc “.

II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Cña ĐỀ TÀI

2


1. Thuận lợi:

Trong quá trình giảng dạy tôi nhìn thấy một số học sinh rất có khả năng và

muốn học hỏi từ thầy cô, bạn bè, sách tham khảo và trên mọi phương tiện truyền
thông…Bên cạnh đó sự trao đổi và học hỏi lẫn nhau giữa các đồng nghiệp để
trau dồi, nâng cao chuyên môn. Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ
cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản
để giải toán, tìm nghiệm của một bất phương trình có dạng tích thương của các
đa thức bậc một cách nhanh nhất.
2. Khó khăn:

Trường tôi nằm ở địa hình không mấy thuận lợi như quý vị đã biết. Do đó
điểm thi đầu vào còn thấp nên có nhiều học sinh còn yếu về học lực. Khả năng
tiếp thu của các học sinh trong lớp chưa đồng đều nên vấn đề giảng dạy còn khó
khăn là vấn đề làm cho người giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng luôn
phải trăn trở.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường THCS &THPT Bá Thước tôi
nhận ra rằng đa số học sinh vẫn chưa ý thức được việc học. Phần lớn học sinh
lười học, không làm bài tập về nhà, có chăng là làm để đối phó với giáo viên mà
thôi. Đa số học sinh không có thời gian đọc sách, cũng như tìm kiếm tài liệu
tham khảo.Vấn đề này cũng khó khắc phục bởi học sinh của tôi đa phần là con
của gia đình dân tộc thiểu số, nông dân có hoàn cảnh khó khăn, sau những buổi
đi học về các em còn phải phụ giúp gia đình. Sự quan tâm của cha, mẹ đối với
việc học của con cái còn hạn chế nhiều mặt.
Thực tế khảo sát trên một số lớp như sau:
Lớp
10A1
10A2
10A3
10A4

% HS giải nhanh
12%

14%
12%
15%

% HS giải chậm
48%
44%
50%
45%

% HS không biết
40%
42%
38%
40%

III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI.

3


1. Cơ sở lý luận
Xét đa thức bậc n: f(x) = a nxn + an-1xn-1 + . . . + a2x2 + a1x + ao. Giả sử đa
thức f(x) có đúng n nghiệm phân biệt x1, x2, . . ., xn sao cho:
x1 < x2 < . . . < xn-1 < xn. Khi đó ta có thể viết đa thức f(x) dưới dạng
f(x) = an(x - xn)(x - xn-1). . .(x - x2)(x - x1)
Ta có bảng xét dấu đa thức f(x) như sau:
x

x1

x - x1

-

x - x2

-

...

x2 . . .
0

+
-

...

xn-1

...

0

xn

+

+

+

+

+

+

...

...

x - xn-1

-

-

-

x - xn

-

-

-

0

...
+

+

-

f(x)

0

+

trái dấu với an 0 cùng dấu với an
Có thể xét dấu f(x) bằng trục số:
x1

x2 . . .

xn-1

xn

trái dấu với an

cùng dấu với an

Kết luận: f(x) luôn cùng dấu với an trên khoảng (xn ;) và lần lượt đan dấu
trên các khoảng kế tiếp còn lại

- Trường hợp đa thức f(x) có k nghiệm trùng nhau x k với k là số chẵn. Khi
đó (x - xk)k . Do đó dấu của f(x) phụ thuộc vào dấu của đa thức.
g(x) = an(x - x1)(x - x2). . .(x - xn-k) nên có thể không cần ghi xk trong bảng xét
dấu của f(x)
- Trường hợp đa thức f(x) có k nghiệm trùng nhau x k với k là số lẻ, ta vẫn
duy trì xk trong bảng xét dấu của f(x) vì (x - xk)k > 0 khi x > xk và (x - xk)k < 0
khi x < xk
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
2.1 Về dấu của nhị thức bậc nhất .
a Lý Thuyết:
Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị
trong khoảng, trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng
b. Bài tập vận dụng:
Chẳng hạn xét ví dụ 2 (tr.91 - sgk Đại số 10): Xét dấu biểu thức
4


f(x) =
Để giải bài này, học sinh làm các bước sau:
f(x) không xác định khi (tìm tập xác định của biểu thức)
(tìm nghiệm của các nhân tử)
Bảng xét dấu
x

-2

4x - 1

-

x+2

-

-3x + 5

+

f (x)

+

Trả lời:

0
0

+

+

+

+

+

+

+

-

0

0

0

+

-

f(x) > 0 khi
f(x) < 0 khi
f(x) = 0 khi
f(x) không xác định khi

2.2. Về dấu của tam thức bậc hai .
a Lý Thuyết:
Cho f(x) = ax2 + bx + c (ao), = b2 - 4ac
Nếu < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x
Nếu = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x =
Nếu > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2, trái dấu với
hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1, x2 (x1 < x2) là hai nghiệm của f(x)
b. Bài tập vận dụng:
Chẳng hạn xét ví dụ 2 (tr.103 - sgk Đại số 10): Xét dấu biểu thức
Để giải bài này, học sinh làm các bước sau:
f(x) không xác định khi x =
Bảng xét dấu

x

-

-2

1

2

+

5


2x2 - x - 1

+

x2 - 4

+

+
0

-

-

+
Trả lời:

0

-

0

0

+

+

+

- 0
0

+

-

+

f(x) > 0 khi
f(x) < 0 khi
f(x) = 0 khi
f(x) không xác định khi x =

2.3. Xét dấu đa thức.
a Lý Thuyết:
Căn cứ vào cơ sở lý luận trên, tôi đưa ra cách xét dấu một đa thức như sau:
Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức
Bước 2: Vẽ trục số, ghi tất cả các nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ ((2k + 1)
nghiệm trùng nhau) theo thứ tự trên trục số. Sau đó xét dấu khoảng (xi ;),với xi là
nghiệm có giá trị lớn nhất trong tất cả các nghiệm của f(x), khoảng này luôn có
dấu cùng với dấu của an (an là hệ số của x với số mũ n cao nhất trong f(x)), còn
các khoảng kết tiếp còn lại cứ đan dấu nhau.
b. Bài tập vận dụng:
Ví dụ 1: Xét dấu f(x) = 3x3 - 9x2 - 18x + 24
- Bước 1: Tìm nghiệm của f(x) = 0
3x3 - 9x2 - 18x + 24 = 0 khi x = -2, x = 1, x = 4. Do đó có thể viết
f(x) = 3(x + 2)(x - 1)(x - 4)
- Bước 2: Vẽ trục số, ghi các nghiệm -2, 1, 4 trên trục số và xét dấu f(x) ở
hàng dưới trục số (thay cho bảng xét dấu thực hiện như trong ví dụ 2, tr.91 - sgk
- Đs 10)
-2
-

0

1
+

0

4
-

0

+
(cùng dấu với hệ số 3
của x3)

Kết luận:

f(x) > 0 khi x
f(x) < 0 khi x
f(x) = 0 khi x = -2 hay x = 1 hay x = 4
6


Ví dụ 2: Xét dấu f(x) = -5x4 + 50x3 - 140x2 + 30x + 225
- Bước 1: f(x) = 0 khi x = -1, x = 5, x = 3 (nghiệm kép). Do đó có thể
viết
f(x) = -5(x - 3)2(x + 1)(x - 5)
- Bước 2: Vẽ trục số, chỉ ghi các nghiệm -1, 5 trên trục số và xét dấu
-1
-

0

5
+

0

-

(cùng dấu với hệ số -5 của x4)
Kết luận:

f(x) > 0 khi x
f(x) < 0 khi x

Ví dụ 3: Xét dấu f(x) = -x5 - 5x4 + 6x3 + 76x2 + 152x + 96
- Bước 1: f(x) = 0 khi x = -3, x = -2 (ba nghiệm trùng nhau), x = 4. Do
đó có thể viết f(x) = -(x + 2)3(x + 3)(x - 4)
- Bước 2: Vẽ trục số, ghi các nghiệm -3, -2, 4 trên trục số và xét dấu f(x)
-3
+

0

-2
-

0

4
+

0

-

(cùng dấu với hệ số -1 của x5)

Kết luận:

f(x) > 0 khi x
f(x) < 0 khi x

2.4 . Tìm nhanh nghiệm của bất phương trình một ẩn.
Việc giải bất phương trình một ẩn hoàn toàn dựa vào việc xét dấu đa thức
đã nói ở trên, sau đó cần chọn tập nghiệm của bất phương trình phù hợp với dấu
của nó ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho.
Ví dụ 4: Giải bất phương trình
Ta thấy dấu của biểu thức ở vế trái của bất phương trình cũng là dấu của đa thức
f(x) = -(2x + 1)(x - 4)(3x - 5)(x2 - 4x + 3) hay
f(x) = -(2x + 1)(x - 4)(3x - 5)(x - 1)(x - 3)
Do đó để tìm nhanh nghiệm của bất phương trình đã cho ta có thể làm như sau:
Bước 1: Tìm nghiệm của các nhân tử trong biểu thức ở vế trái của bất
phương trình ta được: Bước 2: Biểu diễn các số : - trên trục số và xét dấu trên khoảng (4 ; +) có
dấu âm (là kết quả của tích các hệ số âm của x với số mũ cao nhất trong các
nhân tử hay chỉ cần đếm số các dấu âm này, nếu là số lẻ ta có dấu âm, nếu là số
chẵn ta có dấu dương)
7


1
+

0

3

-

+

-

4
+

0

-

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là:
-Với những ví dụ minh họa cho cơ sở lí luận trên, trong thực hành học
sinh có thể giải nhanh một bất phương trình qua các ví dụ sau đây:
Ví dụ 5: Giải bất phương trình
Giải: Cho

, phương trình vô nghiệm
-2
+

0

2
-

+

0

-

0

+

(chú thích: trên khoảng , vế trái của bất phương trình có dấu dương vì
có hai dấu âm trước hệ số của x và x2 trong các nhân tử của bất phương trình)
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
bất phương trình
Giải: Cho

Ví dụ 6: Giải

, phương trình vô nghiệm

-1

2(kép)

-

+

-

-

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là:

Ví dụ 7: Giải bất phương trình
Giải: Cho
-2(bội ba)
-

1
+

0

2
-

3
+

0

5
-

+

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình la:
Tóm lại: Khi giải một bất phương trình, ta làm như sau
8


-Bước 1: Biến đổi tương đương bất phương trình đã cho về dạng tích hoặc
thương các đa thức (vế phải của bất phương trình là 0)

-Bước 2: Tìm nghiệm của các đa thức nhân tử (lưu ý các nghiệm bội chẵn
và bội lẻ, nếu có)
-Bước 3: Thể hiện các nghiệm trên trục số kể cả nghiệm bội lẻ (không ghi
nghiệm bội chẵn), các nghiệm này chia trục số thành các khoảng và xét dấu biểu
thức ở vế trái của bất phương trình, khởi đầu từ khoảng tận cùng bên phải của
trục số (khoảng này có dấu là tích các dấu âm của hệ số của x có bậc cao nhất
trong mỗi nhân tử)
-Bước 4: Suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Rõ ràng qua đề tài trên, đã giúp học sinh tìm được nghiệm của bất phương
trình một cách nhanh chóng và gọn hơn so với cách làm theo sách giáo khoa,
chẳng hạn trong ví dụ 7 nói trên, nếu giải theo sách giáo khoa, học sinh sẽ làm
như sau:
Đặt f(x) =
Cho

Bảng xét dấu
x

-2

1

2

3

x3 - 2x2 -5x + 6

-

x+2

0

+

0 -

-

-

0

+

+

-x2 + 4

-

0

+

5-x

+

+

f(x)

-

+

0

5

+

+

+

+

+

+

+

0 -

-

-

+

+

+

-

+ 0

-

0

0

+

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là:
Ta thấy học sinh sẽ mất thời gian nhiều hơn khi lập bảng xét dấu
Chẳng hạn với đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2008 có câu:
9


Giải bất phương trình , học sinh giải như sau là đạt điểm tối đa của câu
(Để có kết quả cuối cùng, các em phải vẽ trục số trên giấy nháp và thực hiện xét
dấu:

-4
-

+

-3
0

-

8
0

+

Qua một thời gian áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy tôi thấy được tâm
trạng của các học sinh trở nên tự tin hơn trong kiểm tra cũng như trong thi cử.
Đa số học sinh khi được trải nghiệm qua sáng kiến này thì cảm hứng học toán
dâng tràn. Hứng thú, say mê các dạng toán mang tính tư duy này, giúp học
sinh luôn luôn củng cố lại các kiến thức cũ và tiếp cận kiến thức mới. Việc
học môn toán không còn là vấn đề nan giải nữa,làm cho các em trở nên phấn
chấn và thoải mái hơn rất nhiều khi có tiết học toán, thÇy, trò không còn thấy
áp lực nữa.
Sau một thời gian áp dụng sáng kiến này kết quả học tập của các em khả quan
hơn. Kết quả khảo sát và thống kê ở 4 lớp 10 trường THCS & THPT Bá
Thước năm học 2018 - 2019 cho thấy:
Lớp
10A1
10A2
10A3

10A4

% HS giải nhanh
60%
64%
57%
64%

% HS giải chậm
26%
25%
24%
25%

% HS không biết
14%
11%
19%
11%

V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Với đề tài trên, có thể áp dụng rộng rãi trong các đơn vị giáo dục với môn toán
đại số lớp 10 như sau: sau khi giáo viên trình bày nội dung như trong sách giáo
khoa đã nêu để khắc sâu kiến thức cơ bản cho học sinh về xét dấu một biểu thức,
đến phần luyện tập giáo viên có thể giới thiệu và rèn luyện cho học sinh thực
hiện theo đề tài trên nhằm giúp các em đỡ mất thời gian hơn khi phải giải một
bất phương trình phức tạp, nhất là trong các kì thi tuyển sinh đại học sau này.
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa Đại số 10 - của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doản
Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài - Nhà xuất bản Giáo dục - năm

2006
XÁC NHẬN CỦA
Bá Thước, ngày 09 tháng 5 năm 2019
10


THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi viết,
không sao chép nội dung của người khác.
NGƯỜI CAM KẾT

Lò Văn Hùng

MỤC LỤC
NỘI DUNG
Sơ yếu lích lịch khoa học.
I. Lý do chọn đề tài.
II.Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài.
1.Thuận lợi:
2. Khó khăn
III. Nội dung đề tài.
1. Cơ sở lý luận

Trang

2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

1
2

3
3
3
4
4
4

2.1 Về dấu của nhị thức bậc nhất .

4

2.2. Về dấu của tam thức bậc hai .
2.3. Xét dấu đa thức

5

2.4 . Tìm nhanh nghiệm của bất phương trình một ẩn.

6
8

IV. Hiệu quả của đề tài.

10

V. Đề xuất,khuyến nghị khả năng áp dụng.

12

VI. Tài liệu tham khảo.

12

11


12