Một số dạng phương trình và bất phương trình chứa căn thức và phương pháp giải ( SKKN toán 9)

Sở giáo dục & đào tạo Hải Dơng
Sáng kiến kinh
nghiệm
Một số dạng phơng trình - bất phơng
trình chứa căn thức và phơng pháp giải
Môn : Toán
Khối : 9
1
Năm học 2007 - 2008
Phòng giáo dục & đào tạo thanh miện
Sáng kiến kinh
nghiệm
Một số dạng phơng trình - bất phơng trình
chứa căn thức và phơng pháp giải
Môn : Toán
Khối : 9
Ngời thực hiện: bùi văn uý
đánh giá của tổ chuyên môn
(Nhận xét, đánh giá xếp loại)









đánh giá của hội đồng nhà trờng
(Nhận xét, đánh giá xếp loại, ký và đóng dấu)

2
Phần ghi số phách
của Phòng GD & ĐT






Sáng kiến kinh
nghiệm
Một số dạng phơng trình - bất phơng trình
chứa căn thức và phơng pháp giải
Môn : Toán
Khối : 9
đánh giá, xếp loại của Phòng giáo dục và đào tạo
(Nhận xét, đánh giá xếp loại, ký và đóng dấu)






3
Phần ghi số phách
của Phòng GD & ĐT

tác giả :
Đơn vị công tác :
A. đặt vấn đề
Trong chơng trình dạy toán nói chung của trung học cơ sở, có rất nhiều vấn
đề mà ngời dạy chúng ta cần quan tâm, đánh giá và suy nghĩ để từ đó t duy tổng
hợp, tiến hành thực hiện áp dụng việc đổi mới giúp cho việc giảng dạy của thầy hiệu
quả hơn, việc tiếp thu của trò dễ dàng hơn và học trò hứng thú với việc học tập ở tr-
ờng. Qua nghiên cứu chơng trình giảng dạy tôi nhận thấy trong phân môn Đại số
lớp 9 phần bài tập liên quan đến căn thức và các phép biến đổi của căn thức đặc biệt
là các dạng toán về phơng trình và bất phơng trình chứa căn thức đối với học sinh
khi thực hiện rất khó khăn, trong một số đề thi học sinh giỏi các cấp thì dạng toán
liên quan đến giải phơng trình và bất phơng trình chứa căn thức là những bài toán
hay và khó.
Trong những năm gần đây, việc đổi mới phơng pháp dạy học là một yêu cầu
bắt buộc đối với tất cả các môn học, cụ thể chúng ta phải áp dụng linh hoạt các ph-
ơng pháp để tạo cho học sinh học tập có hệ thống, tự giác trong việc nghiên cứu lý
thuyết cũng nh tìm tòi lời giải, phát triển tính sáng tạo của học sinh trong việc vận
dụng các kiến thức đã học để khám phá lời giải của các bài tập, thống kê và đa
chúng về một số dạng cơ bản trên cơ sở đó thực hiện việc giải toán một cách dễ
dàng hơn.
Qua quá trình giảng dạy các đối tợng học sinh, tôi đã thực hiện việc tổng hợp
một số dạng toán về phơng trình - bất phơng trình chứa căn thức và phơng pháp
giải, bớc đầu đã đạt đợc những kết quả nhất định. Tôi mạnh dạn tổng hợp và viết
sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng ph ơng trình bất ph ơng trình và phơng
pháp giải trong khuôn khổ của chơng trình toán trung học cơ sở nhằm mong muốn
đợc các đồng nghiệp tham khảo và cho ý kiến.
4

B. giảI quyết vấn đề
Một trong những điều cần lu ý nhất đối với phơng trình và bất phơng trình
chứa căn là tính không thuận nghịch của các phép toán. Nhìn chung những dạng ph-
ơng trình và bất phơng trình cơ bản là các phơng trình, bất phơng trình có thể đa về
phơng trình và bất phơng trình đại số bậc nguyên. Vì vậy cần lu ý đến điều kiện có
nghĩa của biểu thức.
Ví dụ 1: A(x) = (1 +
x
)
2
+ (1 -
x
)
2
và
B(x) = 2 + 2x thì A(x) = B(x) chỉ đúng khi x > 0
Ví dụ 2: Xét phơng trình
4
)(xA
= B(x) (1) thì điều kiện đối với B(x) là quan
trọng. Nếu cha biết thông tin đối với B(x) thì không thể viết:
(1)

A(x) = B(x)
4
B(x)

0
Ví dụ 3: Giải phơng trình

4
1x
=
x1
Phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1 (2)
Nếu chỉ dựa vào phép tính biến đổi ta sẽ thấy:
(2)

x - 1 = (1 - x)
2








=
=
2
1
x
x
Do vậy, trong mọi trờng hợp, cần phải xem xét điều kiện có nghĩa của phơng
trình một cách chi tiết, sau đó mới tiến hành các phép biến đổi tơng đơng.
1. Quy tắc giản ớc : Khác với các biểu thức đại số bậc nguyên khi một thừa
số khác không, ta có thể giản ớc hoặc đặt thừa số chung. Đối với biểu thức chứa
căn, cần đặc biệt lu ý tới điều kiện có nghĩa.
Bài toán 1 : Giải phơng trình:

xx ))1(
+
xx )2(
=
)3( +xx
Giải: Điều kiện có nghĩa:
(x - 1)x

0 x

2
(x - 2)x

0

x = 0
x(x + 3)

0 x

- 3
1) x = 0 là một nghiệm.
2) Xét x

2 khi đó có thể giản ớc hai vế của phơng trình cho
x
1x
+
2x
=

3+x

2x - 3 + 2
)2)(1( xx
= x + 3

2
)2)(1( xx
= 6 - x
6 - x

0 x

6
5





x =

3
28

4 (x
2
- 3x + 2) = 36 - 12x + x
2
3x

2
= 28
Kết hợp với điều kiện x

2 ta đợc nghiệm x =
3
28
3) Xét x

- 3 khi đó viết phơng trình đã cho dới dạng:
))(1( xx
+
))(2( xx
=
)3)(( xx
Giản ớc 2 vế cho
x
x1
+
x2
=
x 3
Trờng hợp này phơng trình vô nghiệm vì vế trái lớn hơn vế phải.
Tóm lại: phơng trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x =
3
28
2. Quy tắc thay giá trị:
Sử dụng hằng đẳng thức: (u + v)
3
= u

3
+ v
3
+ 3uv (u +v)
Từ biểu thức u + v = a dễ dàng suy ra:
u
3
+ v
3
+ 3uva = a
3
Tuy nhiên, phép thế giá trị u + v = a này vào biểu thức lập phơng có thể dẫn
đến một phép bình phơng và phép biến đổi không còn là phép biến đổi tơng đơng.
Bài toán 2 : Giải bất phơng trình:
3
x
+
3
3 x


m (1)
Giải: (1)


3
3 x


m -

3
x


3 - x

m
3
- 3m
2
3
x
+ 3m
3
x
2
- x


3m
3
x
2
- 3m
2
3
x
+ m
3
- 3

0
1) m = 0,

x là nghiệm.
2) m

0 xét tam thức bậc hai:
f(t) = 3mt
2
- 3m
2
t + m
3
- 3, với t =
3
x
= 9m
4
- 12m(m
3
- 3) = - 3m
4
+ 36m = - 3m(m
3
- 12)
m 0
3
12
- 0 + 0 -

a) Nếu m < 0 thì < 0 => f(t)

0,
t
. Vậy
x
là nghiệm
b) Nếu 0 < m


3
12
thì f(t)

0
=>
m
m
6
3
2



t


m
m
6

3
2
+
Từ đó ta đợc









m
m
6
3
2
3
x

m
m
6
3
2
3
c) m >
3
12
thì

< 0 => f(t) > 0
t

, bất phơng trình vô nghiệm
Bài toán 3: Giải phơng trình:
3
2
2 xx ++
+
3
2
2 xx
=
3
4
Giải: Lập phơng hai vế ta đợc:
4 + 3

3
2
2 xx ++
.
3
2
2 xx
(
3
2
2 xx ++
+
3
2
2 xx
) = 4
Vậy phơng trình tơng đơng với:
3
2
2 xx ++
+
3
2
2 xx
=
3
4
3
3
2

2 xx ++
.
3
2
2 xx
= 0
6
Vì
3
2
2 xx ++
> 0 nên suy ra:
3
2
2 xx
= 0 =>



=
=
2
1
x
x

Hai giá trị này đều thoả mãn phơng trình đã cho.
3. Phép hữu tỉ hoá:
Một trong những phơng pháp cơ bản để giải phơng trình và bất phơng trình
chứa căn là chuyển bài toán đã cho về dạng hữu tỷ (bậc nguyên) bằng cách đặt ẩn

phụ.
Bài toán 4: Giải phơng trình:
4
1+x
= (a
4
x
-
4
1+x
)x
Giải: Điều kiện x

0
Nhận xét:
a

, x = 0 không là nghiệm của phơng trình. Chia 2 vế của phơng
trình cho x
4
x
, ta đợc:






+
x

x 1
4
5
= a (1)
+ Nếu a

1 phơng trình vô nghiệm.
+ Xét a > 1 khi đó (1)


x
x 1+
= a
5
4


x =
1
1
5
4
a

Bài toán 5: Giải phơng trình:
4
5 x
+
4
1x

=
2
(1)
Giải: Điều kiện 1

x

5; Đặt
4
1x
= y +
2
2
, -
2
2


y


2
2
Khi đó:
x = (y +
2
2
)
4
+ 1,

4
5 x
=
4
4
)
2
2
(4 + y
Thay vào (1) ta đợc phơng trình:
4
4
)
2
2
(4 + y
+ y +
2
2
=
2

( y +
2
2
)
4
+ (y -
2
2

)
4
= 4


(y +
2
2
)
2
- (y -
2
2
)
2

2
+ 2(y
2
-
2
1
)
2
= 4

2y
4
+ 6y
2

-
2
7
= 0 => y =
2
2

Vậy phơng trình có nghiệm x
1
= (
4
)
2
2
2
2
+
+ 1 = 5
x
2
= (-
4
)
2
2
2
2
+
+ 1 = 1
Bài toán 6: Giải bất phơng trình: 2(

xx 1
)


4
1 x
+
4
x

Giải: Điều kiện 0

x

1
Viết bất phơng trình đã cho dới dạng:
(
4
1 x
+
4
x
)
2
+ (
4
1 x
-
4
x

)
2



4
1 x
+
4
x
(1)
Đặt
4
1 x
+
4
x
= y

4
1 x


1 - x
Do Nên: y

1 suy ra y
2

y

4
x


x
Do vậy (
4
1 x
+
4
x
)
2



4
1 x
+
4
x
Vậy (1) luôn luôn đúng. Suy ra nghiệm là đoạn
[ ]
1;0
4. Phép chuyển về hệ: (hữu tỉ hoá gián tiếp)
7
Nhìn chung, các phơng trình và bất phơng trình chứa căn thức đều có thể
chuyển đợc về một hệ hữu tỉ. Tuy nhiên, không phải khi nào cũng cho thấy tính u
việt của hệ nhận đợc. Thông thờng, phép toán chuyển về hệ sẽ có hiệu quả khi các
phép toán đó có sử dụng các hằng đẳng thức quen biết.

Bài toán 7 : Giải phơng trình
x
x


5
26
+
x
x
+
+
5
26
=
3
8
Giải: Điều kiện: -5 < x < 5; Đặt
x5
= u ;
x+5
= v ; 0 < u , v < 2
5
(*)
Khi đó ta đợc hệ:
u
2
+ v
2
= 10

-
u
4
-
v
4
+ 2(u + v) =
3
8
(u + v)
2
= 10 + 2uv



(u + v)(1 -
uv
2
) =
3
4
Đặt tiếp
uv
2
= t

uv =
t
2
, t >

5
2
Ta đợc hệ: (u + v)
2
= 10 +
t
4

(u + v)
2
=
2
)1(9
16
t
uv =
t
2
Vậy t phải thoả mãn phơng trình
2
)1(9
16
t
= 10 +
t
4

8t = 45t(1 - t)
2
+ 18(1 - t)

2


45t
3
- 72t
2
+ t + 18 = 0

15 (3t
3
- 2t
2
) - 14 (3t
2
- 2t) - 9(3t - 2) = 0

(3t - 2) (15t
2
- 14t - 9) = 0
t =
3
2
=> uv = 3

t =
15
4627 +
=> uv =
4627

30
+
= a
1
Vậy u,v là nghiệm của một trong hai hệ sau:
(u + v)
2
= 10 + 2uv = 16 u
1
= 3 ; v
1
= 1
(1) =>
(u - v)
2
= 10 - 2uv = 4 u
2
= 1 ; v
2
= 3

u
3
=
2
1
(
)210210
11
aa ++

(u + v)
2
= 10 + 2a
1
v
3
=
2
1
(
)210210
11
aa +

(2) =>
(u - v)
2
= 10 - 2a
1
u
4
=
2
1
(
)210210
11
aa +
v
4

=
2
1
(
)210210
11
aa ++
Các nghiệm này đều thoả mãn điều kiện (*)
8
Suy ra nghiệm của phơng trình là: x = 5 -
2
k
u
, k = 1,2,3,4
Bài toán 8 : Giải phơng trình: x
2
- 2x = 2
12 x
Giải: Điều kiện x


2
1
Đặt
12 x
=

y +

. Chọn

,
để hệ :
x
2
- 2x = 2 (

y +

)
(

y +

)
2
= 2x - 1
Là hệ đối xứng: Lấy

= 1,

= -1
Ta đợc hệ:
x
2
- 2x = 2(y - 1)
( x


2

1
, y

1) (*)
y
2
- 2y = 2(x - 1)

x
2
- 2x = 2(y - 1)
(x
2
- 2x) - (y
2
- 2y) = 2(y - 1) - 2(x - 1)

y = x
x
2
- 2x = 2(y - 1) x
2
- 2x = 2(x - 1)



x
2
- y
2

= 0 y = - x
x
2
- 2x = 2(- x - 1)
y = x


x = y = 2
2

x
2
- 4x + 2 = 0
y = -x
( vô nghiệm)
x
2
= -2
Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta đợc nghiệm duy nhất của phơng trình :
x = 2 +
2
Bài toán 9 : Giải phơng trình:
x2
+
4
x
=
2
1
Giải: Điều kiện 0

x

2
Đặt
x2
= u
4
x
= v 0

u


2
; 0

v


4
2

u + v =
2
1
u = (
2
1
- v)

sẽ đợc hệ

(1)
u
2
+ v
4
= 2 (
2
1
- v)
2
+ v
4
= 2
Giải phơng trình (1): v
4
+ v
2
-
2
v +
2
1
= 2

(v
4
+ 2v
2

+ 1) - (v
2
+
2
v +
2
1
) = 0

(v
2
+ 1)
2
- (v +
2
1
)
2
= 0

(v
2
+ v + 1 +
2
1
)(v
2
- v + 1 -
2
1

) = 0
9
Vế trái luôn luôn dơng, vậy phơng trình đã cho vô nghiệm.
5. Phân tích thành nhân tử: (phép đặt ẩn phụ không toàn phần)
Một trong những nội dung khó nhất của loại phơng trình và bất phơng trình
chứa căn chính là xác định tiêu chuẩn để một biểu thức chứa căn có thể phân tích đ-
ợc thành nhân tử. Tuy nhiên, dựa vào đặc thù riêng của từng bài, có thể xem một bộ
phận thích hợp của biểu thức đã cho nh một biến số độc lập và phân tích chúng theo
biến phụ đó.
Bài toán 10 : Giải phơng trình:
4
x+1
- 1 = 3x + 2
x1
+
2
1 x
(1)
Phân tích: Coi
x1
= t nh biến độc lập. Khi đó viết (1) dới dạng:
4
x+1
- 1 = 3(1 - t
2
) + 2t + t
x+1


3t

2
- (2 +
x+1
) t + 4(
x+1
- 1) = 0 (2)
Cũng nh vậy, nếu coi
x+1
= t là ẩn phụ mới thì cũng có một phơng trình t-
ơng tự. Tuy nhiên, sự may mắn để giải đợc phơng trình (2) theo tam thức bậc hai
của t quả là ít xảy ra. Đó chính là điểm nút quan trọng nhất trong phơng pháp đặt ẩn
số phụ không toàn phần: Thông thờng, trớc khi giải, ta cần xét biểu diễn của số
hạng 3x dới dạng tổ hợp của 2 số:
(
x1
)
2
; (
x+1
)
2
; 3x =


(1 - x) +

(1+ x) +


Và chọn

,

,

thích hợp để tam thức theo biến t có biệt thức

= 0.
Giải: Điều kiện -1

x

1 (1)
Đặt
x1
= t
3x = - (1 - x) + 2 (1 + x) - 1 = - t
2
+ 2(x + 1) - 1
Khi đó phơng trình (1) có dạng
4
x+1
- 1 = - t
2
+ 2(x + 1) - 1 + 2t + t
x+1

t
2
- (2 +

x+1
)t + 4
x+1
- 2(1 + x) = 0 (3)

= (2 - 3
x+1
)
2
Suy ra (3)

(t - 2
x+1
) (t - 2 +
x+1
) = 0
t = 2
x+1

x1
= 2
x+1
x = -
5
3

t = 2 -
x+1

x1
= 2 -
x+1
x = 0
Cả hai giá trị đều thoả mãn điều kiện (1). Vậy phơng trình có hai nghiệm là x = 0 và
x = -
5
3
6. Phép giải và biện luận:
Việc giải phơng trình và bất phơng trình chứa căn thức có tham số thờng đợc
tiến hành theo đặc thù của từng bài cụ thể để tìm cách giải tối u. Để có một cách hệ
thống các bớc, ta sắp xếp việc biện luận theo trình tự dới đây:
Bài toán 11 : Giải và biện luận bất phơng trình
1
2
x


x m (1)
Phân tích: Các điểm đặc biệt: x =

1, x = m

-1 1 m
Từ đó, suy ra phép biện luận theo sự phân bố của m.
10

Giải: Điều kiện x

1
x

- 1
1) m = 1 (1)


1
2
x


x - 1
a) x - 1

0 => x

1. Suy ra x

- 1 là nghiệm
b) x - 1

0 => x

1
Bất phơng trình (1)

x

2
- 1

x
2
- 2x + 1

x

1
Vậy x

1
Là nghiệm
x

- 1
2) m = -1 (1)


1
2
x


x + 1 (2)
a) x

- 1 là nghiệm
b) Xét x > - 1. Bất phơng trình (2)

x
2
- 1

x
2
+2x +1

x

-1 (loại)
Vậy x

-1 là nghiệm
3) m < -1
a) x < m là nghiệm
b) Xét x

m khi đó bất phơng trình (1)

x
2
-1

x
2
- 2mx + m
2

2mx

m
2
+ 1

x


m
m
2
1
2
+
=> m

x


m
m
2
1
2
+

Vậy x

m
m
2
1
2
+
là nghiệm.
4) -1 < m < 1
a) x

-1 là nghiệm
b) Xét x

1
Bất phơng trình (1)

x
2
-1

x
2
-2mx + m
2


2mx

m
2

+ 1 (*)
+ -1 < m

0 thì ( * ) vô nghiệm
+ 0 < m < 1 thì ( * )

x


m
m
2
1
2
+
thoả mãn điều kiện x

1
Vậy x

-1
x


m
m
2
1
2
+

là nghiệm .
5) m > 1
a) x

-1 là nghiệm
b) Xét x

m
Bất phơng trình (1)

x


m
m
2
1
2
+
không thoả mãn điều kiện x

m.
Vậy x

-1 là nghiệm.
Bài toán 12: Giải và biện luận bất phơng trình sau:

)2)(( + mxmx

2x - m - 1 (1)

Giải: (1)


22
)1()1( mx


2(x - 1) - (m - 1) (1')
Điều kiện để căn thức có nghĩa: x

1 +
1m
(2)
x

1 -
1m
1) Xét 2(x - 1) - (m - 1)

0

x

1 +
2
1m
kết hợp với (2) thì (1) có nghiệm:
x

1 -

1m
11
2) Xét 2(x - 1) - ( m - 1) > 0

x > 1 +
2
1m
kết hợp với (2) ta đợc x > 1 khi m = 1
và x

1 +
1m
khi m

1 khi đó :
(1)

(x - 1)
2
- (m - 1)
2


4(x - 1)
2
- 4(m - 1) (x - 1) + (m - 1)
2

3(x - 1)
2

- 4(m - 1) (x - 1) + 2(m - 1)
2


0

(x - 1)
2
+ 2 (x - 1) - (m - 1)
2

0
x = 1 m = 1



Trờng hợp này vô nghiệm
x - m = 0 x = 1
Kết luận:

m bất phơng trình có nghiệm x

1 -
1m
Bài toán 13: Giải và biện luận phơng trình: x
2
+ m =
mx
Giải: Điều kiện: x

m
Đặt
mx
= y thì x = y
2
+ m ta đợc hệ
y

0
x
2
+ m = y x
2
+ m = y
x = y
2
+ m

(x - y)(x + y + 1) = 0
x

m; y

0 x

m; y

0
y = x
x

2
- x + m = 0 (1)
x

m; y

0

y = -1 - x
x
2
+ x + m + 1 = 0 (2)
x

m; y

0
1) Giải hệ (1)
a) Nếu m < 0 thì (1) có nghiệm x = y =
2
411 m+
b) Nếu m

0 thì điều kiện để (1) có nghiệm là

= 1 - 4m

0

0

m


4
1
. Khi
đó x - m = x
2

0 => x

m và hệ (1) có nghiệm x = y =
2
411 m+
2) Giải hệ (2)
a) m + 1 > 0

m > -1 không xảy ra vì x > m
y = -1 - x > 0
b) Nếu m + 1

0 thì (2) x =
2
431 m
< m (loại)

y =
2
431 m+

x =
2
431 m+
(loại)
y =
2
431 m
< 0
Trờng hợp này hệ vô nghiệm.
Kết luận:
12
+ Nếu m < 0 thì phơng trình có nghiệm x =
2
411 m+
.
+ Nếu 0

m


4
1
thì phơng trình có nghiệm x =
2
411 m
.
+ Nếu m >
4
1
thì phơng trình vô nghiệm.

Bài toán 14: Giải và biện luận: a
1
3
x
= x
2
+ 2
Giải: Điều kiện: x

1
Viết phơng trình dới dạng
a
)1)(1(
2
++ xxx
= (x
2
+ x + 1) - (x - 1)

a
)1)(1(
2
++ xxx
= (
1()1
22
++ xxx
)
2

a
1
1
2
++

xx
x
= 1 (
1
1
2
++

xx
x
)
2
Đặt
1
1
2
++

xx
x
= y (1); 0

y

3
323 +
Cần xác định a để phơng trình :
f(y) = y
2
+ ay - 1 = 0 (2) có nghiệm trong








+
3
323
;0
vì f(0) = -1 nên (2) luôn luôn có một nghiệm nhỏ hơn 0. Vậy (2) có nghiệm trong








+
3

323
;0
khi và chỉ khi f (
3
323 +
)

0

a


323
)13(2
+

(3)
Khi đó phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình :
1
1
2
++

xx
x
= y x =
2
242
2
1631

y
yyy +
Với y =
2
4
2
++ aa
Kết luận
i) Với a <
323
)13(2
+

phơng trình vô nghiệm.
ii) Với a


323
)13(2
+

phơng trình có nghiệm:
x =
2
242
2
1631
y
yyy +
với y =

2
4
2
++ aa
bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận các phơng trình
1)
3
ax
-
3
bx
= c
2)
1
2
+ axx
= ax + 1
3)
1
2
axx
=
1
2
x
+ x
4)
4
1x

+
4
2 x
= a
13
Bµi 2: Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c bÊt ph¬ng tr×nh
1)
ax +
+
1+x

≥

1+a
2)
)( axx −
+
)( axx +

≥

2
x
3)
x
1
-
x−3
1

≤
a
4)
ax +
-
ax −

≤

ax −2
Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
1)
1
3
−x
= x
2
+3x -1
2)
x
+
4
2
)1( xx −
+
4
3
)1( x−
=
x−1

+
3
4 x
+
)1(
4
2
xx −
3) 2x
2
- 6x - 1 =
54 +x
4) 1+x - 2x
2
=
14
2
−x
-
12 +x
Bµi 4: Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh
1)
4
14 +x

≥
x
2)
2
1 x+

(
2
1 x−
+
x2
)
≤
1 - 2x - x
2
3) x
2
+ 2
≥

88 −x
4) x
2
- 2x - 1
≥
2(1 - x)
12
2
−+ xx
Bµi 5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
1) x +
1−x
= 13.
2) 2x
2
+ 3x +

932
2
++ xx
= 33.
3)
143 −−+ xx
+
168 −−+ xx
= 1.
4)
763
2
++ xx
+
14105
2
++ xx
= 4 – 2x – x
2
.
Bµi 6: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
1)
52 +x
+
53 −x
= 2.
2)
41
2
++ xx

= x + 1.
3)
x
x
3
3 +
=
2
2
9
41
9
1
xx
++
.
4) x
2
– 5 +
6
2
−x
= 7.
Bµi 7: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
1)
3
45+x
-
3
16−x

= 1.
2)
x
+
4
x
= 12.
3) 2
3
2
x
- 3
3
x
= 20.
4)
423 −−− xx
+
44 −− xx
= 1.
5)
2
22
+
+
x
x
-
22
2

+
+
x
x
=
12
7
.
6)
1
1
3
2
3
−
−
x
xx
-
1
1
3
3
2
+
−
x
x
= 4.
14

c. Kết luận
Cách đa các bài toán về một số dạng để có phơng pháp giải hợp lý đã giúp
cho học sinh nhận dạng bài toán nhanh hơn, phản ứng trớc các bài toán nhạy cảm
hơn, làm cho t duy của học sinh hoạt động một cách linh hoạt, phát huy tính độc lập
sáng tạo và tạo hứng thú cho học sinh học tập có kết quả. Để thực hiện công việc
này đòi hỏi ngời thầy phải tham khảo nhiều tài liệu, phải dành thời gian hợp lý ví dụ
ở các giờ học chính khoá, giờ học ngoại khoá, giờ học tự chọn, giờ thực hành
và phải thực sự say mê môn Toán với các căn thức đầy hóc búa. Hệ thống hoá đợc
các kiến thức liên quan đến phép biến đổi căn thức, một số kỹ năng biến đổi mang
tính định lợng và còn có thể là cả cách đặt sao cho phù hợp nhất. Đối với học trò
cần phải nắm chắc kiến thức về nhiều mảng liên quan nh các phép biến đổi căn
thức, điều kiện có nghĩa của biểu thức trong căn, một số phép biến đổi đại số .
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy vai trò của ngời thầy trong việc tạo
hứng thú học tập cho học sinh trong các giờ học là đặc biệt quan trọng, chúng ta
phải luôn luôn đa học sinh vào trong các tình huống có vấn đề để các em t duy, suy
nghĩ nhng lại phải tránh nhàm chán, lặp lại. Muốn vậy, chúng ta phải mất nhiều thời
gian cho công việc chuẩn bị giáo án, đặt ra các tình huống và phơng án giải quyết
tình huống trong mỗi dạng bài tập mà mình đã tổng hợp, làm cho các bài tập dễ trở
nên thật đơn giản, mà khó trở nên dễ dàng hơn. Mặt khác trong quá trình giảng dạy
chúng ta phải biết động viên khuyến khích, khích lệ học sinh tham gia tìm tòi sáng
tạo, sáng tạo lại những kiến thức, kỹ năng đã đợc tiếp thu, nghiên cứu. Mỗi thầy, cô
giáo nên dùng phơng pháp biểu dơng sự cố gắng của các em, trân trọng thành quả
lao động sáng tạo của các em dù là rất nhỏ.
Trên đây là một số dạng phơng trình bất phơng trình và phơng pháp giải
mà trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu tài liệu tôi đã tổng hợp đợc. Tôi rất
mong nuốn các bạn đồng nghiệp tham khảo và góp ý về cả nội dung và phơng pháp
để giúp cho sáng kiến của tôi ngày càng hoàn thiện hơn và nó thực sự giúp cho việc
học tập của học sinh theo phơng pháp mới ngày càng hiệu quả./.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!

15