biến cố và xác suất XSTK

Chương 1
Biến cố và xác suất của biến cố

Nội dung chính:
1. Một số kiến thức về giải tích tổ hợp
2. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
3. Mối quan hệ giữa các biến cố
4. Xác suất của biến cố
5. Các công thức tính xác suất
§1 Một số kiến thức về giải tích tổ hợp

1. Quy tắc cộng
Một công việc có thể được thực hiện theo một trong 
phương án: 

ho

ho

.
Có 

cách thực hiện phương án 

,


cách thực hiện phương án 

,



cách thực hiện phương án 

.
Số cách có thể để thực hiện công việc đó là:









2. Quy tắc nhân
Một công việc nào đó bao gồm  công đoạn:






.
Công đoạn 

có thể thực hiện theo 

cách,
Công đoạn 


có thể thực hiện theo 

cách,

Công đoạn 

có thể thực hiện theo 

cách.

Số cách có thể để thực hiện công việc đó là:



 




3. Hoán vị
Cho tập  có     phần tử. Khi sắp xếp các phần
tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử
của tập  (gọi tắt là một hoán vị của ).




Qui ước:   
Số hoán vị của một tập hợp có  phần tử là:



        
4. Chỉnh hợp
Cho tập  có  phần tử và số nguyên     .
Khi lấy ra  phần tử của  và sắp xếp chúng theo một
thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập  của  phần tử của
 (gọi tắt là một chỉnh hợp chập  của ).




Qui ước: 


 .
Số
các chỉnh hợp chập  của một tập hợp có 
phần
tử
     là:




           
5. Tổ hợp
Cho tập  có  phần tử và số nguyên      .
Mỗi tập con của  có  phần tử được gọi là một tổ hợp

chập  của  phần tử của  (gọi tắt là một tổ hợp chập 
của ).





Qui ước: 


 
Số
các tổ hợp chập  của một tập hợp có  phần tử
là:









          


Ví dụ 1: Một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi vàng. Có bao nhiêu
cách lấy từ hộp:
a) 2 bi đỏ.
b) 4 bi trong đó có nhiều nhất 2 bi đỏ.

Đ/s: a) 10 b) 265.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách để lập ra một nhóm có 4
người từ nhóm có 15 người để đi làm một công việc.

Ví dụ 3: Cho 5 chữ số {1, 2, 3, 4, 5} có bao nhiêu cách
lập một số:
a) Có 3 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số trên.
b) Có 3 chữ số từ các chữ số trên.
§2 Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu


1.Khái niệm phép thử ngẫu nhiên
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí
nghiệm hay một hành động mà:
- Kết quả của nó không đoán trước được;
- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể
xảy ra của phép thử đó.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử được
gọi là không gian mẫu của phép thử, kí hiệu Ω -ômêga
(hoặc U).
2. Biến cố
Khi thực hiện phép thử T có thể xảy ra nhiều hiện tượng
khác nhau. Ta gọi các hiện tượng đó là biến cố hay kết
cục của phép thử T.

Định nghĩa:
• Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà
việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết
quả của T.

• Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được
gọi là một kết quả thuận lợi cho A.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là 


Các biến cố thường được kí hiệu như sau:
- Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất định xảy ra khi
thực hiện phép thử, kí hiệu là Ω (hoặc ) .
- Biến cố không thể có: Là biến cố nhất định không
xảy ra khi thực hiện phép thử, kí hiệu là  (hoặc ).
- Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc
không xảy ra khi thực hiện phép thử, thường được
kí hiệu bởi các chữ cái in hoa, chẳng hạn: A, B, C,
, A
1
, A
2
, , A
n
, B
1
, B
2
, , B
m
,
Ví dụ 1: Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong một hộp đựng 6
viên bi xanh và 4 viên bi đỏ – đây là một phép thử.
- “Lấy được 2 viên bi xanh” – đây là một biến cố.
- “Lấy được hai viên bi khác màu” – đây cũng là một

biến cố.
Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc – đây là một phép thử.
- “Xuất hiện mặt hai chấm ở mặt trên của con xúc
xắc” – đây là một biến cố.
- “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn” – đây cũng là một
biến cố.
- “Xuất hiện một mặt có 7 chấm” – đây là biến cố
không thể có.
- “Xuất hiện mặt có số chấm ≤ 6 và ≥ 1” – đây là biến
cố chắc chắn.
§3 Mối quan hệ giữa các biến cố


1.Sự kéo theo
Nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B cũng xảy ra, khi đó ta
nói rằng A kéo theo B, kí hiệu    hay   .

2. Sự tương đương
Nếu A kéo theo B và B cũng kéo theo A, thì ta nói rằng A
và B là hai biến cố tương đương, kí hiệu:   .
Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc.
Gọi A = “Xuất hiện mặt một chấm”;
B = “Xuất hiện mặt có số chấm lẻ”;
C = “Xuất hiện mặt có số chấm bé hơn 2”.
Ta có:        .
3. Biến cố tổng (hay hợp)
Cho hai biến cố  và . Biến cố “ít nhất một trong hai
biến cố xảy ra” (hoặc  xảy ra), kí hiệu  , được
gọi là tổng (hay hợp) của hai biến cố  .

Biến cố tổng AB
4. Biến cố tích (hay giao)
Cho hai biến cố  và . Biến cố “ và  xảy ra”, kí
hiệu là  (hay  ), được gọi là tích (hay giao)
của hai biến cố  và .






Biến cố tích AB

Chú ý: Khái niệm tổng và tích của các biến cố có thể
được mở rộng cho nhiều hơn hai biến cố.





 

“ít nhất một trong các biến cố


, 


, , 

xảy ra”.






 “Các biến cố 





cùng xảy ra”
5. Biến cố xung khắc
Hai biến cố  và  được gọi là xung khắc nếu
chúng không cùng xảy ra khi thực hiện phép thử.




Hai biến cố xung khắc AB = 
Chú ý: Tổng của hai biến cố xung khắc  và 
thường được kí hiệu dạng   (thay vì   .
6. Biến cố đối
Cho  là một biến cố. Biến cố “không xảy ra ”,
kí hiệu là 


, được gọi là biến cố đối của A.
Hai biến cố đối nhau A và 


Nhận xét:
•  



 

 



 


• 


 
•   

 ;
•     

;
• 




 

 







7. Nhóm đầy đủ các biến cố
 biến cố 





được gọi là một nhóm đầy đủ
các biến cố nếu thoả mãn 2 điều kiện sau:
- 



     
- 

 


 

 




Nhóm đầy đủ các biến cố A
1
, A
2
, A
3
, A
4

Ví dụ 2: Hai xạ thủ, mỗi người bắn 1 viên đạn vào bia.
Gọi 

= “Xạ thủ  bắn trúng bia”,  = 1, 2.
Biểu diễn các biến cố sau qua A
1
và A
2
.
a) Xạ thủ thứ nhất bắn trúng và xạ thủ thứ hai bắn trượt.
b) Cả hai xạ thủ cùng bắn trượt.
c) Có ít nhất một người bắn trúng.
d) Nhóm đầy đủ các biến cố.
§4 Xác suất của biến cố

1. Xác suất của biến cố
Xác suất của biến cố  là một số không âm, nhỏ
hơn hoặc bằng 1, kí hiệu là   (P – Probability),
đo lường khả năng khách quan sự xuất hiện của
biến cố  khi thực hiện phép thử.
2. Định nghĩa cổ điển của xác suất
Giả sử phép thử T có không gian mẫu  là một tập
hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu
A là một biến cố liên quan với phép thử T và 

là tập
hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A, kí
hiệu là , được xác định như sau:



Nhận xét: -      
-    ;
-    
- Nếu   thì    .
  




Ví dụ 1: Giả sử một gia đình có 3 con. Khi đó xác suất

để gia đình đó có 2 con trai và 1 con gái là bao nhiêu?

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất. Tìm
xác suất xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3, xác
suất xuất hiện mặt có số chấm chẵn.

Ví dụ 3: Một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên
từ hộp 4 bi. Tính xác suất để trong đó có nhiều nhất 2
bi đỏ.