Một số hiệu ứng của vật chất tối phân rã muộn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
HOÀNG VĂN CHIẾN
MỘT SỐ HIỆU ỨNG CỦA
VẬT CHẤT TỐI PHÂN RÃ MUỘN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÍ
Hà Nội - 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
HOÀNG VĂN CHIẾN
MỘT SỐ HIỆU ỨNG CỦA
VẬT CHẤT TỐI PHÂN RÃ MUỘN
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán
Mã số: 60.44.01.03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÍ
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Quỳnh Lan
Hà Nội - 2012
Mục lục
Lời cảm ơn 3
Lời nói đầu 7
1 Mô hình vũ trụ chuẩn 8
1.1 Vũ trụ giãn nở. Định luật Hubble . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Phương trình Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Các phương trình Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Mật độ năng lượng tổng cộng . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Các thông số vũ trụ theo quan sát hiện tại . . . . . . . . 13
2 Vật chất tối phân rã muộn 15
2.1 Các kết quả nghiên cứu vật chất tối . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Bằng chứng về vật chất tối . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Bản chất vật chất tối . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Vật chất tối phân rã muộn và sự gia tốc vũ trụ . . . . . 18

2.2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Vật chất tối với khối lượng phụ thuộc thời gian . 19
2.2.3 Vũ trụ với độ nhớt khối . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.4 Độ nhớt khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.5 Thời gian cân bằng áp suất . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Sao siêu mới loại Ia - Ngọn nến chuẩn . . . . . . . . . . . 29
2.4 Tính chất và nguồn gốc của bức xạ nền vũ trụ . . . . . . 30
2.4.1 Các tính chất cơ bản của bức xạ nền vũ trụ . . . 30
2.4.2 Tỉ lệ giữa photon so với baryon . . . . . . . . . . 32
2.4.3 Nguồn gốc của bức xạ nền vũ trụ . . . . . . . . . 33
1
3 Hiệu ứng của vật chất tối phân rã muộn lên thang cấu
trúc lớn 35
3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Xây dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Tính toán các hàm phân bố nền . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1 Hạt mẹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2 Hạt con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Kết quả và biện luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1 Mật độ năng lượng nền . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.2 Đánh giá từ nghiên cứu thực nghiệm của hằng số
Hubble, BAO và CMB . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Phương pháp Markov Chain Monte Carlo . . . . . . . . 44
3.6 Phân tích thống kê với các dữ liệu quan sát . . . . . . . 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO 53
2
Dao động điều hòa cơ và dao động
điều hòa điện
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để em hoàn thành khóa học

của mình. Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể các thầy cô
trong nhà trường đã giảng dạy, chỉ bảo tận tình trong quá trình học tập
tại trường.
Em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể các thầy cô trong Tổ Vật lí lí thuyết,
khoa Vật lí trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi nhất để em hoàn thành luận văn của mình. Đặc biệt, em xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới cô giáo PGS. TS. Nguyễn Quỳnh Lan,
người đã trực tiếp chỉ bảo và hướng dẫn tận tình em trong suốt quá
trình thực hiện luận văn.
Cuối cùng, xin được cảm ơn gia đình, bạn bè, các đồng nghiệp, những
người đã luôn ở bên để giúp đỡ và chia sẻ những khó khăn với em trong
suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình.
Hà Nội, tháng 10 năm 2012
Tác giả
Hoàng Văn Chiến
3
Lời nói đầu
Hiện nay, mô hình vũ trụ chuẩn(Hot Big Bang) được hầu hết các nhà
khoa học chấp nhận vì mô hình này giải thích được nhiều hiện tượng
quan sát được trong vũ trụ. Theo mô hình này, vũ trụ hình thành cách
đây khoảng 13,7 tỉ năm từ vụ nổ Big Bang. Ở thời điểm ban đầu, vũ trụ
chỉ là một miền không gian vô cùng nhỏ (có thể coi là một điểm) chứa
vật chất vô cùng nóng đặc. Sau đó vũ trụ đã trải qua các giai đoạn tiến
hóa và tiến hóa khác nhau để trở thành khoảng không gian rộng lớn bao
la chứa vô số thiên hà, sao và Mặt Trời cùng Trái Đất mà chúng ta sống
ngày nay[6].
Mô hình vũ trụ chuẩn được xây dựng dưa trên cơ sở lí thuyết tương
đối rộng của Einstein. Theo đó, hình dạng và kích thước của vũ trụ được
qui định bởi vật chất và năng lượng vũ trụ. Khám phá của Hubble vào
năm 1929 về sự giãn nở của vũ trụ đã mở ra kỉ nguyên của vũ trụ học hiện

đại, định luật Hubble biểu thị tốc độ giãn nở của vũ trụ theo thời gian.
Trong mô hình vũ trụ chuẩn, chúng ta coi rằng vũ trụ được lấp đầy
bởi các loại chất lưu lí tưởng: vật chất phi tương đối tính, bức xạ và
năng lượng chân không. Mỗi loại chất lưu cũng đều được đặc trưng bởi
phương trình trạng thái tương ứng của nó: p
i
= ω
i
ρ
i
, trong đó p
i
, ρ
i
là áp suất và mật độ năng lượng tương ứng của các loại chất lưu. Mật
độ năng lượng trong mô hình chuẩn gồm có vật chất, bức xạ và năng
lượng chân không, ta biết rằng ω
rad
= 1/3, ω
mat
= 0 và năng lượng
chân không ω
λ
= −1.
Năm 1965, hai nhà vật lí người Mĩ là Penzias và Wilson tình cờ phát
hiện ra bức xạ nền gần như đẳng hướng đến từ mọi phương trên bầu
trời có phổ năng lượng khớp hoàn toàn với phổ Planck của vật đen tuyệt
đối ở nhiệt độ xấp xỉ 3K [3]. Đây là bằng chứng thực nghiệm quan trong
nhất ủng hộ mạnh mẽ cho thuyết Big Bang. Bức xạ nền vũ trụ(CMB)
được cho là bức xạ tàn dư của vụ nổ nguyên thủy khai sinh ra vũ trụ

trong mô hình vũ trụ chuẩn. Đây chính là bức xạ phát ra tại mặt cầu tán
4
xạ cuối cùng. Bức xạ nền chứa đựng những thông tin liên quan đến môi
trường của vũ trụ nguyên thủy, lúc vũ trụ mới 300.000 năm tuổi. Các
máy thu đặt trên các vệ tinh COBE và WMAP đã phát hiện các thăng
giáng nhỏ của nhiệt độ, sự phân cực và sự không đẳng hướng trong bức
xạ nền vũ trụ - chìa khóa quan trọng để nghiên cứu và tìm hiểu vũ trụ
ở buổi ban đầu.
Mô hình vũ trụ chuẩn có nhiều ưu điểm và được nhiều nhà khoa học
chập nhận. Tuy nhiên, mô hình vũ trụ chuẩn vẫn chưa có lời giải cho
một số bài toán, chẳng hạn như bài toán về đường chân trời, bài toán
về bản chất, nguồn gốc của vật chất tối và năng lượng tối trong vũ trụ
cũng như những ảnh hưởng(hiệu ứng) của vật chất tối và năng lượng tối
tới sự tiến hóa của vũ trụ.
Sự tồn tại của vật chất tối được thừa nhận bởi các kết quả quan sát vật
lí thiên văn độc lập. Bản chất và nguồn gốc của vật chất tối, năng lượng
tối hiện là vấn đề được rất nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu.
Qua các kết quả nghiên cứu, các nhà khoa học đều cho rằng phần lớn vật
chất trong vũ trụ là vật chất tối( 22%) và năng lượng tối( 73%)[11].
Vật chất tối là loại vật chất không hấp thụ cũng như không bức xạ trên
toàn bộ dải phổ điện từ. Do đó, ta chỉ phát hiện ra chúng dựa vào các
hiệu ứng hấp dẫn mà chúng gây ra cho vật chất thông thường
Vật chất tối có là hai loại là vật chất tối baryon và vật chất tối phi
baryon. Trong đó, vật chất tối phi baryon lại được chia thành hai loại
là vật chất tối nóng và vật chất tối lạnh(CDM). Cấu tạo từ những loại
hạt tương đối tính, có vận tốc cỡ vận tốc ánh sáng. CDM cấu tạo từ các
hạt phi tương đối, không phát xạ năng lượng, phân bố không đồng nhất
trong vũ trụ. Ta có thể ước tính giá trị mật độ năng lượng vật chất tối
bằng việc nghiên cứu động lực học đường cong quay của các thiên hà và
cụm thiên hà. Với các kết quả nghiên cứu và để phù hợp nhất, các nhà

khoa học cho rằng, đa phần vật chất tối là CDM.
Có nhiều hiện tượng thiên văn cho thấy sự tồn tại của CDM, chẳng
hạn như đường cong quay phẳng của thiên hà, tính không đẳng hướng
của CMB và các phép đo của thấu kính hấp dẫn [5]. Tuy nhiên, chúng
ta biết rất ít về vật chất tối lạnh.
Cùng với các kết quả nghiên cứu của CMB, các phép đo độ dịch chuyển
đỏ của sao siêu mới loại Ia đều cho thấy vũ trụ đang được gia tốc [13]. Có
nhiều giả thuyết cho sự gia tốc của vũ trụ. Một trong những giả thuyết
5
đó là sự phân rã của vật chất tối mà cụ thể ở đây là sự phân rã của các
hạt CDM ở thời kì muộn của vũ trụ. Các hạt vật chất tối lạnh ban đầu
là bền, nhưng có khối lượng tăng theo thời gian sẽ dẫn tới sự không bền
vững của chúng ở thời kì muộn và phân rã. Sự phân rã muộn của các
hạt vật chất tối tạo ra độ nhớt khối trong chất lưu vũ trụ. Độ nhớt khối
này gây ra một áp suất âm và có thể gây ra gia tốc cho vũ trụ. Mô hình
vật chất tối phân rã giải quyết được hạn chế của mô hình chuẩn trong
việc giải thích nguồn gốc của năng lượng tối cũng như giải thích được
cách thức hạt nặng bền có thể bị phân rã ở thời kì muộn của vũ trụ.
Ý tưởng về sự phân rã muộn của vật chất tối không phải là mới. Nó
được đưa ra trước đây như một phương pháp để tính thông số vũ trụ
của vật chất Ω
M
= 0, 1 ÷0, 3 (trong trường hợp không tính đến độ cong
không gian) (Ω
tot
= 1) và loại vật chất cấu tạo từ những hạt tương đối
tính tương tác yếu. Chúng tôi cho rằng độ nhớt khối được tạo ra trong
quá trình phân rã vật chất tối và sẽ nhanh chóng gia tốc cho sự giãn nở
của vũ trụ như vật chất bị chuyển từ dạng phi tương đối thành dạng
tương đối tính.

Có nhiều nghiên cứu về vật chất tối phân rã, đặc biệt là thời gian
sống của nó Γ
−1
[9, 30]. Đối với sự phân rã vật chất tối với thời gian sống
dài, có những hạn chế từ các quan sát thiên văn, từ tính không đẳng
hướng của CMB, sự đa dạng của các cụm thiên hà [7, 12, 16, 24]. Hầu
hết những hạn chế này đều giải quyết được với giả thuyết vật chất tối
phân rã thành các hạt con không khối lượng. Trong luận văn này chúng
tôi phát triển thêm các kết quả đã có từ mô hình vật chất tối phân rã
trước đó [8, 27]. Bằng cách sử dụng các phương trình Boltzmann cho
các hàm phân bố của hạt mẹ f
h
(q
h
) và các hạt con f
l
(q
l
), chung tôi tính
được các hàm phân bố nền để từ đó tìm được sự phụ thuộc của mật độ
năng lượng của hạt mẹ và hạt con vào thời gian.
Từ mô hình vật chất tối phân rã muộn và bằng việc sử dụng phương
pháp Markov Chain Monte Carlo (MCMC) và gói chương trình Cos-
moMC [10], cùng với ngôn ngữ lập trình Fortran. Chúng tôi biện luận
cho các khả năng vật chất tối phân rã ảnh hưởng lên thang cấu trúc lớn.
Luận văn này chủ yếu tập trung trình bày về hai hiệu ứng của vật chất
tối phân rã trong vũ trụ đó là hiệu ứng gia tốc của vũ trụ ở chương 2
và hiệu ứng của vật chất tối lên thang cấu trúc lớn ở chương 3. Phương
pháp được sử dụng là phương pháp giải tích và phương pháp tính số.
6

Luận văn được trình bày với cấu trúc gồm ba phần: Phần mở đầu,
phần nội dung và phần kết luận. Trong đó, phần nội dung gồm 3 chương:
Chương 1: Mô hình vũ trụ chuẩn
• Là những nét cơ bản nhất về mô hình vũ trụ chuẩn - mô hình thành
công nhất hiện nay, giải thích về sự hình thành, phát triển của vũ
trụ tới nay cũng như đưa ra các dự đoán về sự tiến hóa của vũ trụ
trong tương lai.
Chương 2: Vật chất tối phân rã muộn
• Trình bày về các kết quả nghiên cứu về vật chất tối: Từ bằng chứng
đến bản chất của vật chất tối. Trên cơ sở của các kết quả nghiên
cứu về vật chất tối, xây dựng mô hình vật chất tối phân rã với giả
thuyết hạt vật chất tối có khối lượng phụ thuộc thời gian và bị phân
rã ở thời kì muộn của vũ trụ, tạo ra độ nhớt khối cho vũ trụ. Sự
phân rã của vật chất tối ở thời kì muộn của vũ trụ gây ra sự gia
tốc của vũ trụ.
• Chương này cũng trình bày sơ lược về nguồn gốc, tính chất của bức
xạ nền vũ trụ và sao siêu mới loại Ia. Phần nôi dung này được trình
bày nhằm phục vụ cho chương 3.
Chương 3: Hiệu ứng của vật chất tối phân rã muộn lên thang cấu trúc lớn
• Trình bày về mô hình vật chất tối phân rã trong đó sự khác nhau
giữa khối lượng của hạt mẹ và hạt con là rất nhỏ. Thiết lập phương
trình Boltzmann cho hạt mẹ, hạt con và các hàm phân bố cũng như
thời gian phát triển của mật độ năng lượng và đặc trưng của hạt con.
• Sử dụng gói chương trình CosmoMC về mô hình vật chất tối phân
rã đã công bố và áp dụng phương pháp MCMC cùng với ngôn ngữ
lập trình Fortran để tìm hiểu cho các khả năng ảnh hưởng của vật
chất tối phân rã lên thang cấu trúc lớn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2012
Tác giả
Hoàng Văn Chiến

7
Chương 1
Mô hình vũ trụ chuẩn
Các mô hình vũ trụ đều được xây dựng dựa trên cơ sở lí thuyết tương
đối rộng của Einstein. Theo lí thuyết này, hình dạng và kích thước của
vũ trụ được ấn định bởi vật chất và năng lượng trong vũ trụ. Mô hình
vũ trụ chuẩn được xây dựng dựa trên ba giả thuyết quan trọng [19]:
• Xét trên thang đo đủ lớn (trên 100 Mpc), vũ trụ là đồng nhất và
đẳng hướng.
• Các thành phần năng lượng và vật chất cấu thành vũ trụ được coi
là các chất lưu lí tưởng.
• Các định luật động lực học chi phối sự tiến hóa của vũ trụ cũng như
dạng hình học của vũ trụ tuân theo thuyết tương đối rộng của Einstein.
Các giả thiết này còn được gọi là nguyên lí vũ trụ.
1.1 Vũ trụ giãn nở. Định luật Hubble
Từ năm 1912 người ta đã phát hiện ra rằng, khi quan sát các thiên hà
có hình xoắn ốc, các vạch quang phổ có sự dịch chuyển về phía đỏ. Theo
hiệu ứng Doppler, khi nguồn sáng đi ra xa thì các vạch quang phổ dịch
chuyển về phía bước sóng dài nghĩa là dịch chuyển về phía đỏ khi nguồn
đi tới thì các vạch quang phổ dịch chuyển về phía bước sóng ngắn.
Nếu sự dịch chuyển đỏ là do hiệu ứng Doppler thì có nghĩa các thiên
hà đang rời xa nhau với vận tốc tỉ lệ với khoảng cách giữa chúng và điều
này là một bằng chứng cho thấy vũ trụ của chúng ta đang giãn nở.
Vào năm 1929, Hubble công bố khám phá về sự giãn nở của vũ trụ
cùng định luật mang tên ông:
−→
v (t) = H(t)
−→
r (t) (1.1)
8

Trong đó
−→
r (t),
−→
v (t) lần lượt là khoảng cách và vận tốc dịch chuyển
tương đối ra xa nhau giữa hai thiên hà. Hằng số Hubble H(t) có giá trị
như nhau tại một thời điểm đối với mọi quan sát viên trong vũ trụ.
Trong vũ trụ học, để thuận tiện, người ta sử dụng hệ tọa độ đồng
chuyển động. Đây là hệ tọa độ "gắn liền" với sự giãn nở của vũ trụ. Bởi
vì sự giãn nở là như nhau đối với mọi quan sát viên tại một thời điểm
nên ta có thể viết:
−→
r (t) = a(t)
−→
r
0
(t) (1.2)
Vơi
−→
r ,
−→
r
0
và a(t) lần lượt là tọa độ vật lí, tọa độ đồng chuyển động và
thông số thang đo. Thay (1.1) vào (1.2) ta được:
˙a(t)
−→
r
0
= H(t)a(t)

−→
r
0
Suy ra
H(t) =
˙a(t)
a(t)
(1.3)
1.2 Phương trình Einstein
Việc tìm nghiệm phương trình Einstein cho phép chúng ta tìm hiểu
hình dạng, kích thước và sự tiến hóa của vũ trụ từ khởi thủy đến tương lai.
Phương trình Einstein có dạng:
R
µν
−
1
2
g
µν
R = 8πGT
µν
(1.4)
Ở đây R
µν
là tensor Ricci, R là vô hướng Ricci, g
µν
là tensor metric, G là
hằng số hấp dẫn, T
µν
là tensor năng - xung lượng.

Theo nguyên lí vũ trụ, xét trên thang đo đủ lớn, vũ trụ là đồng nhất
và đẳng hướng, yếu tố khoảng phải thỏa mãn tính bất biến dưới phép
quay và có dạng:
ds
2
= g
µν
dx
µ
dx
ν
= dt
2
− a
2
(t)

dr
2
1 − kr
2
+ r
2

dθ
2
+ sin
2
θdφ
2



(1.5)
Các tọa độ r, θ, φ là các tọa độ đồng chuyển động. Trong hệ tọa độ đồng
chuyển động, các thiên hà có tọa độ cố định. Vì vậy các tọa độ đồng
chuyển động của thiên hà cũng cố định và không đổi. Hệ số k là thông số
đặc trưng cho độ cong của không gian: k = 0 tương ứng với không gian
9
vũ trụ phẳng, k = 1 tương ứng với không gian vũ trụ cầu và k = −1
tương ứng với không gian vũ trụ hypebol.
Tensor metric trong (1.4) và (1.5) có dạng:
g
µν
=




1 0 0 0
0 −
a
2
1−kr
2
0 0
0 0 −a
2
r
2
0

0 0 0 −a
2
r
2
sin
2
θ




(1.6)
Tensor Ricci được tính theo công thức: R
µν
= R
α
µαν
với
R
α
βµν
= Γ
α
βν,µ
− Γ
α
βµ,ν
+ Γ
α
σµ

Γ
σ
βν
− Γ
α
σν
Γ
σ
βµ
(1.7)
Trong đó Γ
γ
βµ
là kí hiệu Christoffel, được định nghĩa như sau:
Γ
γ
βµ
=
1
2
(g
αβ,µ
+ g
αµ,β
− g
βµ,α
) (1.8)
Từ (1.6) và (1.8) ta có thể tính được các giá trị của kí hiệu Christoffel,
cụ thể như sau:
Γ

i
0i
=
˙a
a
Γ
0
11
=
˙aa
1 − kr
2
; Γ
1
11
=
kr
1 − kr
2
; Γ
2
12
= Γ
3
13
=
1
r
Γ
0

22
=
.
aar
2
; Γ
1
22
= −r(1 − kr
2
); Γ
3
32
= Γ
3
23
= cotθ
Γ
1
33
= −r(1 − kr
2
sin
2
θ); Γ
2
33
= −sinθcosθ
Các thành phần còn lại đều bằng 0.
Do đó các thành phần của tensor Ricci được xác định như sau:

R
00
= −
3¨a
a
; R
11
=
a¨a + 2˙a + 2k
1 − kr
2
R
22
= (a¨a + 2 ˙a + 2k)r
2
; R
33
= (a¨a + 2 ˙a + 2k)r
2
sin
2
θ
Ricci vô hướng:
R = R
µ
µ
= R
1
1
+ R

2
2
+ R
3
3
Với
R
µ
ν
= g
µα
R
να
10
Do đó
R = −6(
¨a
a
+
˙a
2
a
2
+
k
a
2
)
Trong mô hình vũ trụ chuẩn, chúng ta coi rằng vũ trụ được lấp đầy
bởi các loại chất lưu lí tưởng: vật chất phi tương đối tính, bức xạ và

năng lượng chân không. Mỗi loại chất lưu cũng đều được đặc trưng bởi
phương trình trạng thái tương ứng của nó: p
i
= ω
i
ρ
i
, trong đó p
i
, ρ
i
là
áp suất và mật độ năng lượng tương ứng của các loại chất lưu. Ta cũng
biết rằng ω
rad
= 1/3, ω
mat
= 0 và năng lượng chân không ω
λ
= −1,
tensor năng xung lượng có dạng:
T
µν
= (p + ρ)u
µ
u
ν
− pg
µν
(1.9)

Vì vũ trụ là đồng nhất và đẳng hướng nên T
ij
phải triệt tiêu với
i, j = 0. Khi vũ trụ giãn nở kéo theo toàn bộ chất lưu thì chất lưu
sẽ ở trạng thái nghỉ trong hệ tọa độ đồng chuyển động, vector vận tốc
4 chiều u
µ
có dạng:
u
µ
=
dx
µ
ds
= (1, 0, 0, 0)
Tensor năng - xung lượng thỏa mãn điều kiện đạo hàm hiệp biến:
T
µν
;α
= 0
Trong đó:
T
µν
;α
= T
µν
,α
+ Γ
µ
αρ

T
ρν
+ Γ
ν
αρ
T
ρµ
Như vậy các thành phần của tensor năng - xung lượng là:
T
µν
=




ρ 0 0 0
0 p 0 0
0 0 p 0
0 0 0 p




(1.10)
1.3 Các phương trình Friedmann
Thay các thành phần của tensor metric, tensor Ricci và Ricci vô
hướng vào phương trình Einstein tổng quát ta thu được các phương
trình Friedmann:
11
Thành phần 0-0 của phương trình Einstein cho ta phương trình Fried-

mann thứ nhất:
(
˙a
a
)
2
=
8πGρ
3
−
k
a
2
(1.11)
Các thành phần i-i ( với i = 1, 2, 3 ) của phương trình Einstein cho
ta phương trình Friedmann thứ hai:
2
¨a
a
+ (
˙a
a
)
2
+
k
a
2
= −8πGp (1.12)
Từ (1.11) vào (1.12) ta tìm được phương trình gia tốc:

¨a
a
= −
4πG
3
(ρ + 3p) (1.13)
Do vậy phương trình liên tục:
˙ρ − 3
˙a
a
(ρ + p) = 0 (1.14)
Các phương trình trên không phụ thuộc vào phương trình trạng thái
của chất lưu lí tưởng.
1.4 Mật độ năng lượng tổng cộng
Từ các phương trình Friedmann và phương trình liên tục, nếu chúng
ta biết mật độ năng lượng tổng cộng của các chất lưu trong vũ trụ và
độ cong của không gian, về nguyên tắc, chúng ta hoàn toàn xác định
được sự tiến triển của vũ trụ theo thời gian. Tuy nhiên thật khó để tìm
lời giải của bài toán trong trường hợp tổng quát. Để đơn giản, ta giả sử
rằng vũ trụ là phẳng (k = 0).
Phương trình trạng thái là p = ωρ, trong đó tham số trạng thái
ω = const phụ thuộc vào mỗi thành phần của chất lưu.
Mật độ năng lượng tổng cộng trong vũ trụ được xác định bởi:
ρ
tot
= ρ
mat
+ ρ
rad
+ ρ

Λ
(1.15)
Với ρ
mat
, ρ
rad
, ρ
Λ
theo thứ tự là mật độ năng lượng vật chất, mật độ năng
lượng bức xạ, mật độ năng lượng chân không.
12
Khi vũ trụ giãn nở, mật độ năng lượng thay đổi theo. Ta tìm được sự
phụ thuộc của mật độ năng lượng vào thông số thang đo bằng cách thay
phương trình trạng thái tổng quát vào phương trình liên tục (1.14):
ρ = const.a
−3(1+ω)
(1.16)
Nếu chúng ta chọn a
0
= 1 thì mật độ năng lượng phụ thuộc theo
thông số thang đo a(t) theo qui luật:
ρ = ρ
0
a
−3(1+ω)
(1.17)
Thay (1.16) vào (1.11) với lưu ý k = 0, sau một số phép biến đổi đơn
giản ta được:
a(t) ∼ t
2

3(ω +1)
(1.18)
Như vậy:
• Khi bức xạ thống trị vũ trụ tức là ω = 1/3 thì:
ρ ∼
1
a
4
và a ∼ t
1/2
suy ra ρ ∼ t
−2
• Khi vật chất thống trị vũ trụ tức là ω = 0 thì:
ρ ∼
1
a
3
và a ∼ t
2/3
suy ra ρ ∼ t
−2
• Khi năng lượng thống trị vũ trụ tức là ω = −1 thì:
ρ = const và a ∼ exp(

Λ/3.t)
1.5 Các thông số vũ trụ theo quan sát hiện tại
Ta định nghĩa mật độ năng lượng tới hạn ρ
cr
và thông số mật độ Ω
như sau:

ρ
cr
=
3H
2
8πG
; Ω =
ρ
ρ
cr
(1.19)
Khi đó phương trình Friedmann viết lại dưới dạng:
Ω − 1 =
k
a
2
H
2
(1.20)
Theo các kết quả quan trắc hiện tại, người ta kết luận rằng vũ trụ
gần phẳng với mật độ năng lượng được đóng góp bởi các thành phần
thành phần[2]:
ρ
tot
= ρ
rad
+ ρ
mat
+ ρ
Λ

= ρ
CDM
+ ρ
b
+ ρ
ν
+ ρ
γ
+ ρ
Λ
(1.21)
13
hay
Ω
tot
= Ω
rad
+ Ω
mat
+ Ω
Λ
= Ω
CDM
+ Ω
b
+ Ω
ν
+ Ω
γ
+ Ω

Λ
(1.22)
Các thông số trên đều thay đổi theo thời gian cùng với sự giãn nở của
vũ trụ. Thông thường ta thêm chỉ số 0 vào các thông số để chỉ giá trị
ở thời điểm hiện tại của chúng. Thông số Hubble cho ta biết về tốc độ
giãn nở của vũ trụ được ước tính qua khoảng cách và độ dịch chuyển đỏ
của các thiên hà và quasar ở xa, giá trị được chấp nhận hiện nay [3] :
H
0
= 100h
0
kms
−1
Mpc
−1
với 0, 7 ≤ h
0
≤ 0, 73
Từ đó ta dễ dàng tính được mật độ vật chất giới hạn ở thời điểm hiện tại:
ρ
cr0
=
3H
2
0
8πG
(1.23)
Như vậy:
ρ
cr0

= 1, 88.10
−29
h
2
0
gcm
−3
= 1, 05.10
−5
h
2
0
GeV cm
−3
Ta có thể ước tính giá trị mật độ năng lượng vật chất tối bằng việc
nghiên cứu động lực học đường cong quay của các thiên hà và tinh vân
thiên hà, hoặc từ việc nghiên cứu bức xạ nền vũ trụ. Mật độ vật chất
baryon được ước tính từ việc nghiên cứu điều kiện cân bằng nhiệt của
thời kì tạo nucleo nguyên thủy. Các giá trị được chấp nhận hiện nay [2]:
h
2
0
Ω
CDM0
= 0, 111; h
2
0
Ω
b0
= 0, 023; h

2
0
Ω
mat0
= 0, 134
Năng lượng tối được cho là phân bố đồng nhất trong vũ trụ và có phương
trình trạng thái: p
Λ
= ω
Λ
ρ
Λ
với ω
Λ
< 1/3. Theo thực nghiệm: h
2
0
Ω
Λ0
=
0, 357. Vậy nếu ta chọn giá trị h
0
 0, 7 [2] thì:
Ω
CDM0
 0, 22; Ω
b0
 0, 046; Ω
mat0
 0, 73

Mật độ bức xạ:
h
2
0
Ω
rad0
= h
2
0
Ω
γ0
+ h
2
0
Ω
ν0
Trong đó:
h
2
0
Ω
γ0
= 2, 47.10
−5
; h
2
0
Ω
ν0
= 1, 68.10

−5
Trong thực tế, đóng góp vào mật độ năng lượng của bức xạ còn có
thành phần năng lượng tàn dư sóng hấp dẫn (được sinh ra trong thời kì
lạm phát) Ω
gω0
[2]. Nhưng vì mật độ năng lượng tàn dư của sóng hấp
dẫn là quá nhỏ h
2
0
Ω
gω0
< 10
−11
, nên chúng ta có thể bỏ qua nó.
14
Chương 2
Vật chất tối phân rã muộn
2.1 Các kết quả nghiên cứu vật chất tối
Vật chất tối hiện nay là vấn đề lớn của vũ trụ học hiện đại và vật lí
hạt cơ bản. Vật chất tối là loại vật chất không hấp thụ cũng như không
bức xạ trên toàn bộ dải phổ điện từ. Vì vậy ta chỉ có thể phát hiện ra
chúng dựa vào các hiệu ứng hấp thụ mà chúng gây ra cho vật chất thông
thường.
2.1.1 Bằng chứng về vật chất tối
Trong thời gian gần đây, sự tìm kiếm vật chất tối thu được nhiều kết
quả đáng kể và đưa quá trình nghiên cứu tiến lên một bước. Sự tồn tại
vật chất tối trên thực tế được thừa nhận do kết quả của các quan sát vật
lí thiên văn độc lập. Một số bằng chứng quan trọng về vật chất tối [1]
có thể kể ra là:
1. Sự quay của các thiên hà xoắn ốc

Đĩa của các thiên hà chứa đầy sao và khí có quỹ đạo gần như tròn
và đồng phẳng tạo nên một trường hấp dẫn là chúng có thể chuyển
động trong đó. Phần trung tâm là vùng tập trung khối lượng, như
trong hệ Mặt Trời (nơi mà phần lớn khối lượng tập trung ở Mặt
Trời), mối quan hệ giữa vận tốc quay của các sao và khí với khoảng
cách đến tâm thiên hà tuân theo định luật 3 Kepler: v ∼

M/R.
Trong đó M là khối lượng vật chất bên trong quỹ đạo có bán kính
R. Nhưng với những sao nằm bên ngoài vùng trung tâm, ở rìa
thiên hà quan hệ vận tốc - khoảng cách trên bị vi phạm rất rõ
ràng: v = const. Vì vậy đồ thị của vân tốc quay theo R (tức đường
15
cong quay của thiên hà là xoắn ốc) có tên gọi là "đường cong quay
phẳng". Để có sự phụ thuộc như vậy, sự phân bố khối lượng phải
có dạng sao cho mật độ khối lượng tỉ lệ với 1/R
2
. Từ đó tính được
khối lượng tổng cộng của các thiên hà phải gấp khoảng 10 lần khối
lượng của tất cả các sao, tàn dư sao chết, khí và bụi mà ta có thể
quan sát được trong thên hà. Điều đó chứng tỏ ngoài vật chất thông
thường còn có vật chất tối.
2. Vận tốc của các thiên hà trong cụm thiên hà
Các thiên hà trong cụm thiên hà có một quỹ đạo bất kì. Bằng cách
đo đạc sự phân tán của 100 thiên hà trong cụm thiên hà, người ta
tìm được vân tốc phân tán đặc trưng là 1000 km/s. Các thiên hà
trong cụm thiên hà phải được giữ cạnh nhau bởi lực hấp dẫn nếu
không các thiên hà sẽ được giải thoát trong khoảng 1 tỷ năm nữa.
Khối lượng của cụm thiên hà đòi hỏi phải bằng 10 lần khối lượng
của toàn bộ vật chất quan sát được trong các thiên hà. Vấn đề này

được giải thích đầu tiên bởi Fritz Zwicky, người đã nghiên cứu cụm
thiên hà Coma. Hiên nay chúng ta biết rằng, hầu như tất cả các
cụm thiên hà đều có đặc điểm giống như vậy.
3. Hiệu ứng thấu kính hấp dẫn
Thuyết tương đối tổng quát cho thấy, chúng ta có thể coi lực hấp
dẫn như một loại vật chất có thể làm cong không thời gian. Một
trong những hệ quả của điều này là khi quan sát một vật thể từ xa
qua một vật thể có khối lượng đủ lớn nằm giữa ta và vật thể cần
quan sát, vật thể có khối lượng lớn có thể uốn cong đường đi của
tia sáng đến từ vật cần quan sát. Vì vậy, những vật thể cần quan
sát qua những vật thể khối lượng lớn (thiên hà hay tinh vân thiên
hà) có rất nhiều ảnh hoặc bị biến dạng. Đây gọi là hiệu ứng thấu
kính hấp dẫn, vật thể khối lượng lớn có tác dụng như một thấu
kính. Khi chúng ta biết khoảng cách giữa vật ở xa và vật có khối
lượng lớn ta có thể tính được khối lượng trong vùng thấu kính và
cũng như các bằng chứng trên, ta lại phải có nhiều khối lượng hơn
ở trạng thái không quan sát được.
4. Khí nóng trong các thiên hà và tinh vân thiên hà
Gần đây người ta tìm thấy các thiên hà là những nguồn bức xạ tia
16
X rất mạnh. Bức xạ tia X không phải phát ra từ bản thân của thiên
hà mà từ khối khí nóng và loãng có nhiệt độ khoảng 10
7
K nằm giữa
các thiên hà. Với nhiệt độ cao như vậy, để giữ những khối khí này
bên trong nhau chống lại chuyển động nhiệt cực mạnh của chúng,
tránh sự tan rã cần phải có một khối lượng vật chất không quan
sát được rất lớn.
5. Ở thang cấu trúc lớn của vũ trụ
Khi quan sát ở thang cấu trúc lớn của vũ trụ có bằng chứng cho

thấy sự chuyển động khối của các thiên hà hướng về phía các siêu
tinh vân thiên hà (như tinh vân thiên hà Great Attractor). Có một
vấn đề nữa đặt ra là sự phù hợp giữa các thăng giáng rất nhỏ quan
sát được (khoảng 10
−5
) trong bức xạ nền với sự phân bố không đều
của các thiên hà quan sát được ngày nay. Vật chất tối có thể giúp
đỡ một cách tuyệt vời để phù hợp hai sự kiện trên. Bởi vì các thăng
giáng mật độ phát triển nhanh hơn theo thời gian trong một vũ trụ
có mật độ cao hơn mật độ vật chất quan sát được. Theo lí thuyết
lạm phát tiên đoán rằng, vũ trụ có mật độ chính xác bằng mật độ tới
hạn, điều đó đòi hỏi 95% khối lượng trong vũ trụ là năng lương tối.
2.1.2 Bản chất vật chất tối
Bằng chứng về vật chất tối đã được chấp nhận rộng rãi trong vật lí
thiên văn, vũ trụ học và vật lí hạt. Tuy nhiên bản chất của vật chất tối là
gì vẫn đang là câu hỏi lớn. Vấn đề nghiên cứu bản chất của vật chất tối
và vai trò của nó trong vũ trụ đang được các nhà khoa học nghiên cứu.
Các kết quả nghiên cứu cho thấy vật chất tối có hai loại: vật chất tối
baryon và vật chất tối phi baryon
1. Vật chất tối baryon
Từ lý thuyết về sự tổng hợp hạt nhân nguyên thủy, lượng vật chất
baryon tồn tại trong vũ trụ phải nhiều hơn so với năng lượng vật
chất thông thường quan sát được, do vậy chắc chắn phải có vật chất
baryon ở dạng không quan sát được, tức là vật chất tối baryon. Ứng
viên cho vật chất tối baryon là các khối khí, hành tinh, tàn dư các
sao(sao lùn trắng), chúng quá "mờ" nên ta không quan sát được
17
qua các kính thiên văn. Tuy nhiên có thể sử dụng hiệu ứng vi thấu
kính để tìm ra các ứng viên này.
2. Vật chất tối phi baryon

Dạng phi baryon đồng nghĩa với dạng ngoại lai của vật chất mà
chúng ta vẫn chưa biết. Theo nghiên cứu, vật chất tối phi baryon
lại được chia thành hai loại:
• Vật chất tối nóng: Cấu tạo từ những loại hạt tương đối tính, có
vận tốc cỡ vân tốc ánh sáng và ứng viên cho loại vật chất này
là neutrino có khối lượng.
• Vật chất tối lạnh: Cấu tạo từ những loại hạt phi tương đối tính.
Nguồn gốc của sự phân loại này là do phân tích sự tạo thành
các cấu trúc trong vũ trụ như sự tạo thành các siêu cụm thiên
hà hay cụm thiên hà. Vật chất tối nóng có thể tạo thành những
cấu trúc rất lớn, còn vật chất tối lạnh thì ngược lại. Những nỗ
lực quan trọng của các nhóm nghiên cứu sự dụng siêu máy tính
để mô tả tương tác của hệ N vật cho thấy sự tạo thành các
cấu trúc lớn trong vũ trụ không thể giải thích được với sự chi
phối chủ yếu của vật chất tối nóng. Và để phù hợp nhất thì đa
phần vật chất tối là vật chất tối lạnh và lượng vật chất tối nóng
rất nhỏ. Ứng viên cho vật chất tối lạnh được ưu tiên nhất hiện
nay là neutralion. Ngoài ra còn có các hạt nặng tương tác yếu
(WIMPS) và các hạt axion.
2.2 Vật chất tối phân rã muộn và sự gia tốc vũ trụ
2.2.1 Giới thiệu
Một trong những loại hạt có thể là ứng viên cho vật chất tối lạnh
phân rã muộn là hạt vật chất tối có thời gian sống dài mà khối lượng
nghỉ của nó tăng theo thời gian [20]. Điều đó có thể dẫn tối sự không
bền vững của hạt vật chất tối ở thời kì muộn của vũ trụ và ở đó chúng
có thể phân rã.
Bản chất và nguồn gốc của vật chất tối lạnh và năng lượng tối là một
thách thức của vũ trụ học hiện đại. Năng lượng tối thường được quy cho
hằng số vũ trụ [21]. Có sự trùng hợp ngẫu nhiên là cả vật chất tối và
18

năng lượng tối đều đóng góp để tạo nên một vũ trụ đóng và chúng có
thể là sự thể hiện khác nhau của cùng một hiện tượng vật lí. Tuy nhiên
nếu xem xét một cơ chế khác, trong đó hạt vật chất tối có thể ảnh hưởng
tới sự gia tốc của vũ trụ [38]. Trong nghiên cứu này, entropy và sự kết
hợp với độ nhớt khối của vũ trụ có thể là kết quả của quá trình phân rã
của hạt vật chất tối. Hơn nữa, độ nhớt khối như một áp suất âm có tác
dụng gia tốc cho vũ trụ giống như hằng số vũ trụ. Đây là một giả thuyết
nhằm giải thích nguyên nhân gây ra sự gia tốc cho vũ trụ dựa trên cơ
chế nếu các hạt vật chất tối phân rã muộn qua một lớp các trạng thái
trung gian có thời gian sống dài trước khi phân rã tạo thành entropy
cuối cùng. Trong luận văn này, chúng tôi dựa trên giả thuyết rằng năng
lượng tối có thể tạo ra từ sự phân rã muộn của hạt vật chất tối. Tại đây,
chúng tôi cho thấy hạt vật chất tối từ trạng thái ban đầu bền vững, bắt
đầu phân rã thành các hạt tương đối tính gần với thời điểm hiện nay và
sẽ tạo ra một vũ trụ phù hợp với các quan sát gần đây về sự gia tốc của
vũ trụ suy ra từ mối quan hệ của độ dịch chuyển đỏ và khoảng cách của
sao siêu mới loại Ia mà không cần tới khái niệm hằng số vũ trụ.
Ý tưởng về sự phân rã muộn của vật chất tối không phải là mới. Nó
được đưa ra trước đây như một phương pháp để tính thông số vũ trụ
của vật chất Ω
M
= 0, 1 ÷0, 3 (trong trường hợp không tính đến độ cong
không gian) (Ω
tot
= 1) và loại vật chất cấu tạo từ những hạt tương đối
tính tương tác yếu. Chúng tôi cho rằng độ nhớt khối được tạo ra trong
quá trình phân rã vật chất tối và sẽ nhanh chóng gia tốc cho sự giãn nở
của vũ trụ như vật chất bị chuyển từ dạng phi tương đối thành dạng
tương đối tính. Mô hình này thay đổi tình thế khó khăn trong vũ trụ
hiện đại từ việc giải thích nguồn gốc của năng lượng tối đến sự giải thích

cách thức hạt nặng bền có thể bị phân rã ở thời kì muộn của vũ trụ.
Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày mô hình vũ trụ với hạt vật chất tối
có khối lượng thay đổi theo thời gian và phân rã ở thời kì muộn của vũ
trụ và sự liên hệ nó với độ nhớt khối của vũ trụ và sự gia tốc của vũ trụ.
2.2.2 Vật chất tối với khối lượng phụ thuộc thời gian
Một số tác giả đã đưa ra một mô hình đơn giản. Trong đó vật chất
tối gồm các hạt có khối lượng tăng theo thời gian [4, 32]. Điều này có
thể đạt được nếu khối lượng nghỉ của hạt thu được từ giá trị kì vọng
chân không của trường vô hướng φ. Thế năng của φ phụ thuộc vào số
19
mật độ của hạt ψ và vì vậy có thể tăng theo thời gian khi vũ trụ giãn
nở dẫn đến khối lượng của hạt ψ cũng tăng theo thời gian.
Xét trường vô hướng φ và một loại hạt ψ có thể là boson hay fermion.
Khối lượng của ψ giả sử thu được từ giá trị kì vọng chân không của trường
vô hướng φ với hằng số tỉ lệ λ không thứ nguyên:
m
ψ
= λφ (2.1)
Mặc dù có thể có mối quan hệ phức tạp hơn, nhưng các tác giả lựa
chọn sự phụ thuộc đơn giản nhất như trên. Động lực học của φ được xác
định bởi động năng thông thường và thế năng U(φ). Chọn thế năng sao
cho khi φ → 0 thì U(φ) → ∞ và khi φ → ∞ thì U(φ) → 0. Ta có:
U(φ) = u
0
φ
−α
(2.2)
Với u
0
là hằng số, α là hệ số không thứ nguyên, trong mô hình hạt vật

chất tối có khối lượng thay đổi, đơn giản nhất chọn α = 1 [14]. Dạng thế
năng này có vẻ khác thường, nhưng nó thường xuyên xuất hiện trong lí
thuyết siêu đối xứng hoặc lí thuyết dây.
Trong mô hình này, trạng thái chân không không ổn định, trạng thái
chân không của φ có thể tăng đến vô hạn. Ta xét trạng thái của φ trong
môi trường đồng nhất của các hạt ψ với số mật độ n
ψ
. Trong trường hợp
này, sự phụ thuộc của năng lượng tự do vào giá trị của φ được suy ra từ
thế năng U(φ) và cả năng lượng nghỉ của các hạt ψ có khối lượng tỉ lệ
với giá trị chân không của φ. Thế năng hiệu dụng của φ có dạng:
V (φ) = u
0
φ
−α
+ λn
ψ
φ (2.3)
Số hạng thêm vào λn
ψ
φ là do sự tăng giá trị của φ làm tăng mật độ
năng lượng của các hạt ψ, từ đó làm tăng khối lượng của các hạt ψ. Giá
trị chân không của φ là giá trị của trường mà tại đó thế năng đạt cực
tiểu. Ta có:
V

(φ) = −u
0
αφ
−α−1

+ λn
ψ
(2.4)
Cho V

(φ) = 0 ta thu được giá trị chân không của φ:
φ =

αu
0
λn
ψ

1/(1+α)
(2.5)
Trong vũ trụ đang giãn nở, số mật độ n
ψ
sẽ giảm theo thời gian, dẫn
tới khối lượng của φ và ψ đều tăng theo sự tăng của năng lượng chân
20
không theo thời gian. Khi các tương tác của ψ được bỏ qua, số mật độ
được viết dưới dạng : n
ψ
= n
ψ0
a
−3
, trong đó n
ψ0
là số mật độ khi hệ số

thang đo a=1, ứng với thời điểm hiện tại và φ biến đổi như sau:
φ = φ
0
a
3/(1+α)
(2.6)
Trong đó φ
0
là giá trị của φ ở thời điểm hiện tại. Khối lượng của φ
boson được cho bởi:
m
2
φ
=
∂
2
V
∂φ
2
=

α(α + 1)u
0
φ
−(α+2)
0

a
−3(2+α)/(1+α)
(2.7)

và khối lượng của ψ là:
m
ψ
= λφ
0
a
3/(1+α)
(2.8)
Vậy hạt vật chất tối lạnh ψ ban đầu là bền, có thời gian sống dài, nhưng do
khối lượng tăng theo thời gian trong một vũ trụ giãn nở, dẫn tới sự không
bền vững của chúng ở thời kì muộn của vũ trụ và chúng có thể phân rã.
2.2.3 Vũ trụ với độ nhớt khối
Nhiều tài liệu trong thời gian gần đây đã đề cập đến vấn đề độ nhớt
khối như là một dạng năng lượng tối và cho thấy rằng độ nhớt khối có
thể giải thích về năng lượng tối [20]. Tuy nhiên điều cần thiết là một
mô hình vật lí về sự tạo thành độ nhớt khối. Dưới đây, chúng tôi xem
xét một khả năng chính để tạo ra độ nhớt khối trong chất lưu vũ trụ
bởi sự phân rã muộn của hạt vật chất tối. Trước hết, ta nghiên cứu các
ảnh hưởng trong sự gia tốc vũ trụ của độ nhớt khối. Với mục đích này
chúng ta sử dụng mô hình vũ trụ phẳng (k = 0, Λ = 0), với metric đồng
chuyển động FRW:
g
µν
dx
µ
dx
ν
= −dt
2
+ a

2
(t)

dr
2
+ r
2
dθ
2
+ r
2
sin
2
(θ)dφ
2

(2.9)
Trong hệ tọa độ này các thành phần của vector vân tốc bốn chiều của
chất lưu vũ trụ đẳng hướng: U
0
= 1, U
i
= 0 và U
λ
;λ
= 3 ˙a/a.
Ta xem xét chất lưu với mật độ khối lượng - năng lượng toàn phần ρ
được cho bởi:
ρ = ρ
DM

+ ρ
b
+ ρ
h
+ ρ
γ
+ ρ
l
(2.10)
Trong đó ρ
DM
, ρ
b
, ρ
h
, ρ
l
, ρ
γ
lần lượt là mật độ vật chất tối bền, mật độ
baryon, mật độ vật chất tối không bền bị phân rã, mật độ hạt tương đối
21
tính nhẹ được tạo thành từ sự phân rã vật chất tối, mật độ năng lượng
của các hạt tương đối tính bền (photon, neutrino. . .).
Trước phân rã, ta có ρ
l
= ρ
l
(0) = 0 và các số hạng khác trong (2.10)
tuân theo mối quan hệ thông thường được đưa ra bởi điều kiện bảo toàn

T
µν
;ν
= 0 và các phương trình trạng thái tương ứng:
dρ
i
dt
= −3
˙a
a
(ρ
i
+ p
i
) (2.11)
Trong đó p
i
là áp suất riêng phần của mỗi loại vật chất - năng lượng.
Với vật chất tối bền và vật chất tối không bền bị phân rã thì p = 0,
ta có:
ρ
DM
=
ρ
DM
(0)
a
3
; ρ
h

=
ρ
h
(0)
a
3
(2.12)
Với vật chất tương đối tính bền: ω = p/ρ = 1/3 ⇒ p = ρ/3 ta có:
ρ
γ
=
ρ
γ
(0)
a
4
(2.13)
Mô hình chúng ta xét bắt đầu từ thời điểm ở kỉ nguyên vật chất thống
trị. Do đó ρ
γ
(0) = aT
4
γ
≈ 0 và vũ trụ gần như không có áp suất. Khi sự
phân rã bắt đầu xảy ra, mật độ năng lượng của các hạt tương đối tính
(ρ
γ
+ ρ
l
) không thể bỏ qua ngay cả ở kỉ nguyên hiện tại, cả với áp suất

cũng vậy. Do đó:
p =
1
3
(ρ
γ
+ ρ
l
) (2.14)
Khi phân rã xảy ra, ρ vẫn được xác định bởi (2.10). Tuy nhiên các
phương trình bảo toàn cho ta những phương trình mới cho các loại mật độ
năng lượng trong sự phân rã vật chất và tạo thành các hạt tương đối
tính. Đặc biệt, ta phải xét đến tác động của số hạt bị mất đi trong dòng
năng - xung lượng. Để thấy điều này, ta phải xét không chỉ tensor năng-
xung lượng T
µν
của chất lưu mà phải xét cả dòng hạt tương đối tính N
µ
.
Nếu bỏ sự phân rã và độ nhớt khối, ta có:
T
µν
= (ρ + p)U
µ
U
ν
+ g
µν
p (2.15)
N

µ
= nU
µ
(2.16)
Trong đó U
µ
là vector bốn chiều, n = −U
µ
N
µ
là mật độ số hạt được xác
định bởi quan sát viên đứng yên trong hệ tọa động đồng chuyển động,
22
ρ = nm
0
là một độ khối lượng - năng lượng đối vơi quan sát viên đứng
yên đối với chất lưu và p biểu thị áp suất sinh ra do chuyển động tương
đối, đẳng hướng của các hạt tương đối với hệ chất lưu cố định trong hệ
tọa độ đồng chuyển động.
T
µν
= (ρ + p)U
µ
U
ν
+ g
µν
p + ∆T
µν
, (2.17)

N
µ
= nU
µ
+ ∆N
µ
, (2.18)
Với ∆N
µ
là độ biến thiên số hạt, ∆T
µν
là độ biến thiên của tensor năng
- xung lượng toàn phần đối với sự phân rã của các hạt. Để tính các đại
lượng này, ta xét sự thay đổi của mật độ số hạt n
h
trong hệ tọa độ đồng
chuyển động như là số hạt bị phân rã:
n
h
→ n
h
+ ∆n
h
= −U
µ
(N
µ
h
− ∆N
µ

h
) (2.19)
Ta mô tả sự biến đổi này với tốc độ phân rã Γ = 1/τ
d
, với τ
d
là thời
gian trung bình cho sự phân rã. Sau khoảng thời gian dt, quan sát viên
đứng yên sẽ quan sát được sự thay đổi mật độ hạt là: ∆n
h
= −Γn
h
dt.
Mật độ năng lượng được cho bởi quan sát viên đứng yên trong hệ tọa
độ đồng chuyển động U
0
= 1 là T
00
= ρ
h
= m
h
n
h
.
Do đó, đối với mật độ khối lượng - năng lượng ta có:
ρ
h
→ m
h

(n
h
− Γn
h
dt) = ρ
h
− Γρ
h
dt (2.20)
Đặt phương trình (2.17) với trường hợp vật chất tối không có áp suất rã
thành các hạt tương đối tính phân bố đẳng hướng, ta thu được sự thay
đổi trong tensor năng - xung lượng đối với sự phân rã hạt:
∆T
µν
h
= −(Γρ
h
dt)U
µ
U
ν
(2.21)
Mật độ năng lượng ở dạng hạt tương đối tính tạo ra từ sự phân rã ρ
l
phải bằng mật độ năng lượng bị mất đi do sự phân rã vật chất tối. Do
đó ta có:
∆ρ
l
= +Γρ
h

dt
Tuy nhiên ta còn có sự bổ sung vào áp suất một lượng từ phân rã
tương đối tính này:
∆ρ
l
= +Γρ
h
dt/3
Vì vậy, phần hiệu chỉnh của tensor năng - xung lượng từ phân rã
tương đối tính sẽ là:
∆T
µν
l
= (
4
3
Γρ
h
dt)U
µ
U
ν
+ g
µν
Γρ
h
dt
3
(2.22)
23