LÝ THUYẾT VỀ CÁC BÀI TOÁN TẤM BÊ TÔNG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.73 MB, 130 trang )
- 1 -
MỞ ĐẦU
Tấm, đặc biệt là tấm bằng vật liệu BTXM, BTCT, được dùng rất phổ biến
trong các công trình xây dựng dân dụng, giao thông và quân sự.
Mặt đường BTXM thông thường được phân chia thành các tấm. Tấm và nền
móng dưới tấm là một kết cấu tổng thể, có đủ bền vững và độ ổn định để chịu được
các tác động của tải trọng và môi trường. Chiều dày tấm do tính toán mà có. Các
tấm được đặt trên một lớp cách ly để giảm ứng suất nhiệt và khắc phục các hiện
tượng co dãn do thay đổi nhiệt độ gây ra nứt tấm trong điều kiện tấm bê tông không
có cốt thép chịu lực (chỉ có thép làm thanh truyền lực tại khe nối). Các khe co, khe
dãn, khe dọc phải có cấu tạo đảm bảo cho tấm co dãn tự do, đồng thời phải đảm bảo
truyền lực từ tấm này sang tấm khác khi tải trọng tác dụng gần mép tấm. Lớp móng
được đặc biệt chú ý đến cường độ, độ ổn định và thoát nước tốt để tăng tuổi thọ cho
kết cấu mặt đường.
Trên thế giới có nhiều phương pháp thiết kế mặt đường BTXM đường ô tô
và sân bay, sản phẩm cuối cùng của các phương pháp thiết kế là đưa ra được một
kết cấu áo đường với kích thước và bố trí vật liệu hợp lý, đáp ứng yêu cầu khai thác.
Có thể chia các phương pháp thiết kế thành hai nhóm cơ bản: Thực nghiệm và Cơ
học. Phương pháp thực nghiệm có tính địa phương, và do đó, khó có thể giải quyết
tốt đối với vật liệu mới, các điều kiện mới về tác động của tải trọng và của môi
trường. Ngược lại, phương pháp cơ học sử dụng phân tích lý thuyết và các tính chất
cơ lý của vật liệu để đưa ra lời giải.
Bên cạnh hai nhóm phương pháp cơ bản này, còn có phương pháp nửa thực
nghiệm, phương pháp thiết kế định hình theo Catalogue.
Nhóm các phương pháp thực nghiệm:
- Đại diện tiêu biểu cho trường phái này là phương pháp của AASHTO.
Phương pháp này, về cơ bản dựa trên các mặt đường thực nghiệm, dưới tác dụng
của xe chạy trên nền đất đặc trưng bởi hệ số nền (k) hoặc mô đun phản ứng nền hữu
hiệu (M
R
). Phương pháp này được giới thiệu dưới dạng các toán đồ giải các phương
- 2 -
trình thực nghiệm rút ra được từ kết quả của các đợt thí nghiệm, có sửa chữa bổ
sung và phát triển qua các thời kỳ.
- Phương pháp dựa trên cơ sở thực nghiệm của AASHTO: FAA, DCED,
Nhóm các phương pháp lý thuyết-thực nghiệm:
- Đại diện tiêu biểu là quy trình СНИП 02.05.08-85 của Liên Xô (cũ) và quy
trình СНИП 32.02.97 của CHLB Nga. Các quy trình này sử dụng mô đun đàn hồi
để đặc trưng cho cường độ của nền đất và đưa ra 3 tiêu chuẩn để tính toán thiết kế
kết cấu áo đường BTXM. Mô hình tính toán là tấm trên bán không gian đàn hồi
đồng nhất, đẳng hướng.
- Quy phạm JTG-D40-2011, [47], của Trung Quốc cũng sử dụng mô đun đàn
hồi để đặc trưng cho cường độ nền đường và sử dụng mô hình tấm trên nền đàn hồi
nhiều lớp để tính toán kết cấu mặt đường BTXM. Đây là một trong những phương
pháp mà nước ta đang nghiên cứu ứng dụng, [2], [3].
Các phương pháp khác:
- Phương pháp tính của CH Pháp, được lập ra trên cơ sở bài toán Burmister.
- Phương pháp nửa thực nghiệm của Anh quốc: sử dụng chỉ tiêu CBR .
- Phương pháp của Yang H. Huang, [43], [44].
Cơ sở lý thuyết tính toán tấm mặt đường BTXM:
- Cơ sở lý thuyết tính toán tấm BTXM mặt đường ô tô và sân bay trong quy
phạm thiết kế của các nước, kể cả phương pháp thực nghiệm AASHTO và một số
phương pháp khác dựa trên kinh nghiệm của AASHTO, là đi tìm lời giải cho bài
toán “Tấm trên nền đàn hồi”.
- Mô hình tính toán tấm trên nền đàn hồi, phổ biến nhất là:
+ Tấm một lớp trên hệ đàn hồi nhiều lớp.
+ Tấm hai lớp tách rời trên hệ đàn hồi nhiều lớp.
+ Ba vị trí đặc trưng cho tác dụng của tải trọng là: giữa tấm, góc tấm và
giữa cạnh tấm. Vị trí tác dụng của tải trọng giới hạn sinh ra hư hỏng tổng hợp (do
hoạt tải và nhiệt độ gây ra) lớn nhất là ở giữa mép khe dọc của tấm.
- 3 -
Việc giải bài toán “ Tấm trên nền đàn hồi ” hiện nay và những tồn tại:
- Hiện nay, ở nước ta vẫn dùng 22TCN 223-95 và mới đây Bộ GTVT đã ra
quyết định tạm thời về Tiêu chuẩn thiết kế, thi công và nghiệm thu mặt đường cứng,
[2], [3]. Riêng về thiết kế mặt đường cứng sân bay thì ở ta vẫn sử dụng song song
hai quy trình : СНИП 32.02.97 của CHLB Nga và FAA của Mỹ.
- Bài toán “Tấm trên nền đàn hồi” , đi tìm cách giải quyết hai vấn đề cơ bản
là Tấm và Nền . Hiện nay :
+ Tính toán tấm dựa trên lý thuyết tấm của G.R.Kirchhoff, xác định một
hàm ẩn duy nhất là độ võng của tấm. Vấn đề tồn tại của lý thuyết tấm Kirchhoff là
không xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang do lực cắt gây ra trong tấm. Và
như vậy, chỉ làm thỏa 2 điều kiện biên của tấm.
+ Sau khi xác định được độ võng tấm, tính phản lực nền, rồi cho tác dụng
trở lại nền để tính toán nền. Có nhiều phương pháp tính toán đất nền: R.D.Mindlin,
toán đồ của Packard, phương pháp đồ giải của Foster và Ahlvin,…Cùng với kinh
nghiệm thi công và khai thác, xác định được kết cấu nền móng dưới tấm BTXM.
Như vậy, không tính được đồng thời trạng thái ứng suất-biến dạng của tấm
và nền. Nền móng dưới tấm BTXM mặt đường được tính toán gián tiếp.
- Đã có nhiều lý thuyết xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang do lực
cắt gây ra trong tấm chịu uốn, tiêu biểu nhất là lý thuyết tấm của E.Reissner. Theo
lý thuyết tấm của E.Reissner, tiết diện trước biến dạng và sau khi biến dạng vẫn
phẳng nhưng không còn thẳng góc với mặt trung bình của tấm. Do có xét ảnh
hưởng của biến dạng trượt ngang, nên đã làm thỏa mãn cả 3 điều kiên biên của tấm.
Đây là điểm khác biệt cơ bản so với lý thuyết tấm của Kirchhoff.
- Các tác giả của các tác phẩm [1], [9], [23] đã trình bày một phương pháp
tốt để giải quyết hiện tượng “nghẽn cắt” trong dầm và cả trong tấm chịu uốn. Tuy
nhiên, trong [1], chưa giải quyết được bài toán:
+ Tấm có 4 cạnh hoàn toàn tự do
+ Tấm nằm trên nền đàn hồi
+ Và chưa nghiên cứu về mặt ứng dụng như thế nào trong thực tế.
- 4 -
- Có nhiều mô hình mô tả quan hệ giữa độ võng tấm và phản lực đất nền: mô
hình Winkler, bán không gian đàn hồi, mô hình Pasternak,….Cần thiết đánh giá
đúng tương tác giữa chúng, để làm giảm khối lượng tính toán, tăng độ bền và tuổi
thọ công trình.
- Trên thế giới có nhiều phần mềm mạnh phục vụ tính toán kết cấu mặt
đường BTXM, như: ALIZE’5, COMFAA, KENPAVE, R805FAA,….Tuy nhiên,
chúng không cho biết đồng thời trạng thái ứng suất-biến dạng của tấm và của nền.
Lý do lựa chọn đề tài luận án:
Với mong muốn giải quyết tốt hơn bài toán “ Tấm trên nền đàn hồi”, phục vụ
cho việc thiết kế tấm BTXM mặt đường, nghiên cứu sinh lựa chọn đề tài:
“Nghiên cứu phương pháp tính toán tấm bê tông xi măng mặt đường có xét ảnh
hưởng của biến dạng trượt ngang”
Mục đích nghiên cứu:
Hoàn thiện phương pháp tính tấm trên nền đàn hồi.
Đối tượng nghiên cứu:
Tấm bê tông xi măng mặt đường.
Phạm vi nghiên cứu:
Tính tấm trên nền đàn hồi Winker và trên nền bán không gian đàn hồi, có xét
ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang do lực cắt gây ra trong tấm.
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:
Góp phần hoàn thiện lý thuyết tính toán tấm trên nền đàn hồi, từ đó có những
ứng dụng thiết thực vào việc thiết kế tấm BTXM mặt đường ô tô và sân bay.
- 5 -
CHNG 1
TNG QUAN V Mễ HèNH NN V PHNG PHP TNH TM
Chng ny, trỡnh by tng quan mt s mụ hỡnh nn, lý thuyt tớnh toỏn tm
hin nay v lý do la chn phng phỏp xõy dng bi toỏn tm trờn nn n hi.
1.1. Mễ HèNH NN V TNG TC GIA KT CU VI T NN
Trong nhng nm gn õy, cú rt nhiu mụ hỡnh nn ó c xem xột, chng
hn: mụ hỡnh Filonenko-Borodich, Hentenvy, Pasternak, mụ hỡnh n do, mụ hỡnh
phi tuyn v n nht,. Mi mụ hỡnh u cú u im, nhc im v phm vi ỏp
dng riờng. Vn t ra l cn thit phi mụ hỡnh húa v n gin húa s lm vic
ca t nn di tỏc dng ca ti trng, nhm gim khi lng tớnh toỏn v tng
bn d tr cho cụng trỡnh. Mụ hỡnh n hi Winkler v mụ hỡnh bỏn khụng gian n
hi c s dng ph bin nht:
1.1.1. Mụ hỡnh Winkler-mụ hỡnh mt h s nn.
Theo mụ hỡnh ny, lỳn ca nn t l vi ti trng tỏc dng. í ny do Vin
s ngi Nga Fuksser xut vo nm 1801 v c E.Winkler ng dng tớnh
toỏn dm trờn nn n hi vo nm 1867.
Tải trọng q(x,y)
Tấm
Lò xo
Tầng cứng
Hỡnh 1.1. Mụ hỡnh Winkler
Theo mụ hỡnh Winkler, nn t c biu din bng h lũ xo n hi, cú
cng
k
. Bin dng ca t nn ch gii hn trong phm vi tỏc dng ca ti trng.
S ph thuc chuyn v-phn lc c xỏc nh bng biu thc:
R kw
(1.1)
u im ca mụ hỡnh Winkler l tớnh n gin. Nhc im ca mụ hỡnh
ny l h s nn
k
khụng ch ph thuc vo tớnh cht ca t nn m cũn ph
thuc vo din tớch t ti. Ngoi ra, khụng xỏc nh c nh hng lỳn ca cụng
trỡnh bờn cnh ti cụng trỡnh ang xem xột.
- 6 -
Tuy vậy, mô hình Winkler vẫn được sử dụng rộng rãi, bởi những lý do sau đây:
- Theo mô hình này, coi nền đất như một hệ lò xo cùng độ cứng
k
(được
gọi là hệ số nền), độ lún của đất nền chỉ xảy ra trong phạm vi đặt tải. Độ lún của
mặt đất nền cũng là độ lún của tấm đặt trên nền đó và chỉ có chuyển vị thẳng đứng.
Đây là ưu điểm nổi bật của mô hình Winkler.
- Theo AASHTO, FAA, khi tính toán chiều dày tấm BTXM mặt đường ôtô
và sân bay, sử dụng mô đun hữu hiệu của đất nền
R
M
được xác định thông qua thí
nghiệm FWD, để tính hệ số nền theo quan hệ
/19.4
R
kM
, sau đó hệ số nền được
hiệu chỉnh qua hệ số tổn thất
LS
và theo mùa. Cuối cùng, đưa hệ số nền đã hiệu
chỉnh vào các toán đồ để xác định chiều dày tấm BTXM.
- Phương pháp PCA dựa trên công thức của Picket là công thức nửa thực
nghiệm, tìm được trên cơ sở về sự làm việc thực tế của nền-mặt đường và kết quả
thực nghiệm ở bang Arlinhton (Mỹ). Công thức của Picket sử dụng tham số bán
kính độ cứng của tấm bê tông của Westergaard với mô hình hệ số nền Winkler .
- Kết cấu mặt đường BTXM được tính toán dựa trên nguyên lý tấm trên nền
đàn hồi với lời giải của Westergaard cho 3 trường hợp tải trọng đặt tải ở giữa, ở
cạnh và ở góc tấm. Công thức của Westergaard dựa trên mô hình Winkler với hệ số
nền
k
, đã giải quyết được khiếm khuyết của phương pháp Shekter. I.A.Mednicov
đã tính đổi từ mô hình hệ số nền
k
sang mô hình bán không gian đàn hồi có mô
đun đàn hồi
o
E
và hệ số poisson
o
. Quan hệ giữa
k
và
o
E
được tìm bằng
cách đồng nhất các công thức tính toán ứng suất cho trường hợp đặt tải ở giữa tấm
của Westergaard và của Shekter. Kết quả là Mednicov đã tìm được công thức xác
định chiều dày tấm BTXM mặt đường cho cả 3 trường hợp đặt tải. Dựa vào quan hệ
này, Mednicov, Ivanov và Motulev đã soạn được các bảng tính để xác định chiều
dày tấm BTXM cho các trường hợp đặt tải và được sử dụng trong 22TCN 223-95.
- Theo AASHTO-T222, cường độ của nền đường dưới mặt đường BTXM
sân bay được xác định bằng thí nghiệm nén tấm ép đường kính 30 inches, hoặc xác
- 7 -
định bằng cách đo mô đun đàn hồi tĩnh. Từ thí nghiệm đó, xác định được hệ số nền.
Theo FAA, khi thiết kế mặt đường cứng sân bay không nên sử dụng
500k pci
.
- Hiện nay trên thế giới, phương pháp tính toán mặt đường BTXM sân bay
của FAA và của CH Pháp được dùng phổ biến nhất, thông qua các toán đồ hoặc các
đồ thị cho từng loại máy bay với sơ đồ càng 1 bánh và nhiều bánh. Hệ số nền được
sử dụng là hệ số nền tương đương cho cả nền đất và móng nhân tạo.
- Những năm gần đây, có nhiều bài viết nghiên cứu về tấm trên nền đàn hồi,
mô hình nền được sử dụng phổ biến là mô hình Winkler, [30], [35], [39], [45].
1.1.2. Mô hình bán không gian đàn hồi, đồng nhất và đẳng hướng.
Nền đất được xem như một bán không gian đàn hồi đồng nhất và đẳng
hướng (sau đây gọi tắt là nền bán không gian đàn hồi), có đặc trưng là mô đun đàn
hồi
o
E
và hệ số poisson
o
. Biến dạng của nền đất dưới kết cấu khi chịu áp lực
tác dụng không chỉ trong phạm vi dưới kết cấu mà cả ngoài phạm vi kết cấu, [10].
Mô hình này được G.Proctor và K.Wieghardt đề xuất từ những năm đầu thế
kỷ XX, sau đó đã được các nhà khoa học N.Gersevanop, B.Zemochkin, O.Shekter
(1939), M.Gorbunov-Possadov (1941), phát triển:
T¶i träng q(x,y)
Ph¶n lùc ®Êt nÒn R(x,y)
TÊm
Hình 1.2. Quan hệ giữa tải trọng ngoài và độ võng của nền theo mô hình
bán không gian đàn hồi
Chuyển vị
w
của điểm bất kỳ có tọa độ
,,x y z
, cách điểm đặt lực
P
một
khoảng
r
(hình 1.3), được xác định theo lời giải bài toán của J.Boussinesq, [10]:
2
2
,
2
1
, , 1
21
o
oo
P
z
x y z
r E r
w
(1.2)
Độ lún của 1 điểm bất kỳ trên mặt nền
0z
, dưới tác dụng của lực tập
trung
P
đặt tại tọa độ
,
sẽ là:
- 8 -
2
,
1
, ,0
o
o
P
xy
rE
w
(1.3)
Hình 1.3. Mô hình bài toán
J.Boussinesq
Z
X
Y
P
x
y
w
M'
r
z
M
O
Nếu một áp lực có cường độ
q
tác dụng phân bố trên một diện tích
ab
có tọa độ trọng tâm là
,
, khi đó độ lún của điểm bất kỳ trên mặt nền sẽ là:
2
22
00
1
,
, ,0
ab
o
o
q
x y d d
E
xy
w
(1.4)
Ưu điểm của mô hình này là khi thử nghiệm hiện trường mô đun đàn
hồi
o
E
của đất nền không phụ thuộc vào kích thước tấm ép và cho phép xét đến
ảnh hưởng lún của công trình bên cạnh tới công trình đang xét. Nhược điểm là khó
xác định chính xác phản lực trên biên của móng. Mô hình này được một số nước
như Nga, Pháp, Trung Quốc sử dụng trong quy phạm tính toán của mình.
Việc đánh giá quá cao tác động của tải trọng tác dụng trên lớp mặt, nên chiều
dày tấm mặt đường tính toán theo mô hình này có xu hướng lớn hơn so với khi sử
dụng mô hình nền khác.
1.2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN TẤM
Lý thuyết về tấm đã có trên 100 năm nay, gắn với tên tuổi những nhà khoa
học nổi tiếng: G.R.Kirchhoff, S.Germain, J.Lagrange, C.L.Navier, M.Lévy,…Đóng
góp lớn cho sự hoàn thiện lý thuyết tấm phải kể đến: S.P.Timoshenko, E.Reissner,
H.Hertz, R.D.Mindlin, A.Kromm, H.Hencky, O.Shekter, K.A.Kitôver, I.G.Bubnov,
Y.H.Huang, GS.TSKH Hà Huy Cương, GS.TSKH Nguyễn Văn Liên,…
Tấm là vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng mà khoảng cách giữa chúng,
gọi là bề dày tấm, nhỏ hơn nhiều so với hai kích thước còn lại. Mặt ngăn cách và
cách đều hai mặt phẳng trên gọi là mặt trung bình của tấm. Giao tuyến của mặt
- 9 -
trung bình với những mặt bên của tấm gọi là chu tuyến. Căn cứ vào độ lớn tương
đối giữa bề dày với cạnh bé nhất của tấm, người ta chia tấm thành ba loại: tấm dày,
tấm mỏng và màng.
Theo [11], [16], [17], [19], tấm được coi là “mỏng” khi thỏa mãn điều kiện:
8 100 5 8
1
5
l l h l l
l
w
h
(1.5)
1.2.1.Các giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm G.R.Kirchhoff, [11], [17].
Mặt trung bình của tấm không bị biến dạng. Ứng suất pháp trong mặt
phẳng thẳng đứng ở bề mặt trung bình có giá trị bằng 0.
Tiết diện trước biến dạng và sau khi biến dạng vẫn phẳng và thẳng góc với
mặt trung bình của tấm.
Các lớp riêng biệt của tấm không gây ra áp lực (chèn ép) lên nhau.
- Giả thiết thứ nhất: Cho phép chỉ cần xét đến chuyển vị thẳng đứng (độ
võng của mặt trung bình)
( , )w x y
của tấm. Thông thường, gối tựa của tấm không di
động được cho nên mặt trung bình, đặc biệt ở gần gối tựa, cũng bị biến dạng. Do
vậy, giả thiết này chỉ đúng khi coi tấm là “mỏng”.
- Giả thiết thứ hai: Độ võng
( , )w x y
của mặt trung bình chỉ do mô men uốn
gây ra, bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt đối với độ võng của tấm.
- Giả thiết thứ ba: Xem các mặt phẳng song song với mặt trung bình của tấm
đều có trạng thái ứng suất phẳng.
Hình 1.4. Các thành phần ứng suất tác dụng lên phân tố tấm
y
z
x
x
zx
yx
zy
y
xy
o
dx
dy
h
x
- 10 -
Xét phân tố tấm, hình 1.4, trên mỗi điểm của mặt bên có các thành phần ứng
suất, do không xét
z
(
z
= 0) nên các biến dạng
x
và
y
xác định như sau:
11
;
x x y y y x
EE
(1.6)
Để xác định
x
và
y
ta xét một điểm A nằm cách trục trung hòa khoảng cách
z và gọi u và v lần lượt là chuyển vị ngang của điểm A theo chiều x và chiều y (hình
1.5). Nhờ giả thiết thứ 2, tính được u và v như sau:
2
2
2
2
2
;
2
x
y
xy
ww
u z v z
xy
uw
z
xx
vw
z
yy
u v w
z
y x x y
(1.7)
Từ (1.6) tính được
x
và
y
:
22
;
11
x x y y y x
EE
(1.8)
w
w
z
w
A'
y
w
W
x
A
A'
x
W
x
u
z
x
A
y
v
z
z
Hình 1.5. Giả thiết pháp tuyến thẳng
Theo lý thuyết đàn hồi, [15],
xy
và
yx
được xác định:
21
xy yx xy
E
(1.9)
- 11 -
Từ (1.6), (1.7), (1.8) và (1.9), thực hiện vài biến đổi, cuối cùng ta được:
22
22
2
22
22
2
2
1
1
21
x
y
xy yx
Ez w w
xy
Ez w w
yx
Ez w
xy
(1.10)
Các giá trị mô men uốn và mô men xoắn tác dụng lên mặt trung bình của tấm:
/2 /2 /2
/2 /2 /2
;;
h h h
x x y y xy xy
h h h
M zdz M zdz M zdz
(1.11)
Thay (1.10) vào (1.11), lấy tích phân:
22
22
22
22
2
1
x
y
xy yx
ww
MD
xy
ww
MD
yx
w
M M D
xy
(1.12)
Trong đó:
D
- Độ cứng trụ của tấm,
/2
3
2
2
2
/2
1
12 1
h
h
E Eh
D z dz
, (1.13)
Hình 1.6. Thành phần ứng suất và mô men tác dụng tại mặt trung bình của tấm
dx
x
y
z
dy
h/2
h/2
x
xy
Mxy
Mx
dF
o
z
- 12 -
Lực cắt được xác định theo công thức:
/2 /2
/2 /2
;
hh
x zx y zy
hh
Q dz Q dz
(1.14)
Để tính lực cắt
x
Q
,
y
Q
tác dụng lên mặt trung bình cần biết sự phân bố ứng suất cắt
zx
và
zy
trên chiều dày tấm.
Tóm lại:
- Từ các giả thiết về tấm, có các mối quan hệ cơ bản giữa biến dạng và
chuyển vị (1.7); giữa ứng suất và độ võng (1.10); giữa mô men và độ võng (1.12).
- Tồn tại các ứng suất cắt
,
zx zy
nhưng biến dạng do chúng gây ra không
được xét đến. Nói cách khác, coi mô đun trượt của vật liệu tấm
G
.
1.2.2. Các phương trình cân bằng và các điều kiện biên của tấm chữ nhật.
Khi đã biết các liên hệ cơ bản giữa ứng suất - độ võng (1.10) hoặc mô men -
độ võng (1.12) thì có thể xác định được các phương trình vi phân cân bằng của tấm
bằng một trong các phương pháp sau:
Xét các điều kiện cân bằng của ứng suất hoặc nội lực trên phân tố tấm;
Sử dụng phương trình Lagrange;
Sử dụng hai nguyên lý biến phân năng lượng;
Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss.
Nhờ các giả thiết của lý thuyết tấm chịu uốn mà ta chỉ cần xét mặt trung bình
có độ võng
,w x y
và các mô men, các lực cắt tác dụng lên nó.
Sau đây, trình bày phương pháp thiết lập các phương trình cân bằng và các
điều kiện biên của tấm mỏng chữ nhật bằng cách xét các điều kiện cân bằng ứng
suất và nội lực trên phân tố tách ra từ mặt trung bình của tấm.
1.2.2.1. Các phương trình cân bằng:
Xét phân tố chữ nhật có các cạnh dx, dy tách ra từ mặt trung bình của tấm
(hình 1.7) và đặt các nội lực mô men và lực cắt lên các cạnh của phân tố.
- Tổng các lực lên trục đứng:
- 13 -
0
y
x
x x y y
Q
Q
Q Q dx dy Q Q dy dx qdxdy
xy
(1.15)
Suy ra:
0
y
x
Q
Q
q
xy
(1.16)
Hình 1.7. Thành phần nội lực tác dụng lên phân tố tấm tại mặt trung hòa
- Tổng mô men đối với cạnh dy:
0
xy
xx
x x xy xy x
M
MQ
M M dx dy M M dy dx Q dx dydx
x y x
(1.17)
Sau khi rút gọn, bỏ qua mô men do lực q và mô men do thay đổi lực cắt
x
Q
gây ra vì nó là đại lượng vô cùng bé bậc cao hơn những đại lượng mà ta giữ lại:
0
xy
x
x
M
M
dxdy dydx Q dxdy
xy
(1.18)
Hay:
0
xy
x
x
M
M
Q
xy
(1.19)
- Tổng mô men đối với cạnh dx:
0
y yx y
y y yx yx y
M M Q
M M dy dx M M dyx dy Q dy dxdy
y x y
(1.20)
Bỏ qua các đại lượng vô cùng bé bậc cao, ta có:
0
y yx
y
MM
dxdy dxdy Q dxdy
yx
(1.21)
Hay:
0
y yx
y
MM
Q
yx
(1.22)
Qx
Qy
Qy+ Qy y)dy
Qx+ Qx x)dx
x
z
y
b/
q
dx
dy
x
z
y
Mx
Mxy
Mx+ Mx x)dx
Mxy+ Mxy x)dx
My
Myx
My+ My y)dy
Myx+ Myx y)dy
a/
- 14 -
Lấy đạo hàm phương trình (1.19) theo x và phương trình (1.22) theo y rồi cộng
lại với nhau ta sẽ có:
2 2 2
2
22
xy y yx y
xx
M M M Q
MQ
x x y y x y x y
Vì M
xy
= M
yx
và chú ý tới phương trình (1.16), ta được:
22
2
22
2
xy y
x
MM
M
q
x x y y
(1.23)
Phương trình (1.23) là phương trình cân bằng mô men và ngoại lực tác dụng.
Thay M
x
, M
y
và M
xy
xác định theo (1.12) vào phương trình (1.23) nhận được:
Dwq
(1.24)
Phương trình (1.24) là phương trình cân bằng độ võng và ngoại lực tác dụng, còn
được gọi là phương trình Sophie Germain, [11].
Như vậy, lý thuyết tấm chịu uốn dẫn về giải phương trình vi phân (1.24) với 2
điều kiện biên trên mỗi cạnh tấm để tìm độ võng
,w x y
. Các giá trị mô men được
xác định theo (1.12). Lực cắt Q
x
, Q
y
được xác định theo công thức:
/2 /2
/2 /2
;
hh
x zx y zy
hh
Q dz Q dz
(1.25)
Theo lý thuyết đàn hồi, [15], [16], [19], [26], tính được:
22
22
22
2
22
22
22
2
4
81
4
81
zx
zy
E h z
ww
x x y
E h z
ww
y x y
(1.26)
Từ (1.26) ta thấy, ứng suất cắt
zx
=
xz
và
zy
=
yz
phân bố theo chiều dày tấm
theo dạng parabol, tương tự như trong bài toán dầm chịu uốn.
Đưa (1.26) vào (1.25), được:
2 2 2 2
2 2 2 2
;
xy
w w w w
Q D Q D
x x y y x y
(1.27)
- 15 -
Theo định luật Hookes:
2
23
22
12
11
xx
x
EM
Ez d w
z
dx h
(1.28)
Rút ra được giá trị ứng suất lớn nhất, khi thay
2/hz
:
2 2 2
max
max max
66
6
;;
y xy
x
x y xy
MM
M
h h h
(1.29)
Và:
max
max
3
3
;
22
y
x
xz yz
Q
Q
hh
(1.30)
1.2.2.2. Các điều kiện biên của tấm chữ nhật:
Điều kiện biên của tấm ở đây là nói tới điều kiện biên trên các cạnh tấm tại
mặt trung bình của nó. Phương trình (1.24) là phương trình vi phân cấp 4 đối với độ
võng
,w x y
sẽ giải được với 2 điều kiện biên trên mỗi cạnh tấm. Sử dụng phương
pháp biến phân năng lượng, [11], Kirchhoff đã đưa ra các điều kiện biên mà lý
thuyết tấm mỏng cần phải thỏa mãn, như minh họa trên hình 1.8:
0
0
y
M
w
0
0
w
w
x
0
0
x
xy
xx
M
M
VQ
y
0
0
y
yx
yy
M
M
VQ
x
O
y
x
a
b
c¹ nh tù do
c¹ nh khí p
c¹ nh tù do
c¹ nh ngµm
R
Mxy= Myx = 0
- 16 -
Hình 1.8. Điều kiện biên trên các cạnh tấm chữ nhật
a/Cạnh ngàm (vừa có gối tựa, vừa liên kết ngàm):
Độ võng và góc xoay bằng 0. Giả sử cạnh x = 0 ; x = a bị ngàm cứng, ta có :
0;
0
x x a
w
và
0;
0
x x a
w
x
(1.31)
b/Cạnh khớp (vừa có gối tựa vừa liên kết khớp):
Độ võng và mô men uốn bằng 0. Giả sử cạnh x = 0 ; x = a liên kết khớp:
0;
0
x x a
w
và
22
22
0;
0;
00
x
x x a
x x a
ww
M
xy
(1.32)
Nếu trên biên x = 0; x = a có mô men ngoại lực phân bố
'
x
M
tác dụng thì
'
xx
MM
. Trong trường hợp này, do
0w
nên
0
2
2
y
w
y
w
, lúc này ta có:
0;
0
x x a
w
và
'
2
2
0;
x
x x a
M
w
xD
(1.33)
c/Biên tự do và trên biên không có tải trọng tác dụng:
Mô men uốn và lực cắt bằng 0. Giả sử cạnh x = 0 ; x = a tự do, mô men uốn
M
x
và lực cắt tính toán V
x
bằng 0:
22
22
0;
0;
00
x
x x a
x x a
ww
M
xy
(1.34)
33
32
0;
0;
0 (2 ) 0
x
x x a
x x a
ww
V
x x y
(1.35)
Lực cắt tính toán V
x
là tổng lực cắt Q
x
và lực cắt quy ước
y
M
Q
xy
x
*
tương
đương tĩnh với mô men xoắn. Vậy:
y
M
QV
xy
xx
(1.36)
- 17 -
Nếu trên biên có mô men và lực tác dụng thì các mô men và lực cắt tính theo
công thức (1.34) và (1.35) sẽ tương ứng bằng các giá trị này.
Khi biên tự do, ở các góc mô men xoắn bằng 0:
0
2
yx
w
(1.37)
Như vậy, trên biên tự do của tấm, mô men uốn, lực cắt và cả mô men xoắn
đều bằng 0. Đây là yêu cầu do Poisson đưa ra. Để thỏa mãn biểu thức (1.24) thì 3
điều kiện này là quá thừa, chỉ cần 2 điều kiện là đủ, [11]. Kirchhoff đã chứng minh
được rằng hai yêu cầu của Poisson đối với mô men xoắn
xy
M
và lực cắt
x
Q
phải
được thay bằng một điều kiện thống nhất. Thomson và Tait cũng đã chỉ rõ rằng sự
uốn của tấm sẽ không đổi nếu trên cạnh
ax
thay lực ngang hợp thành ngẫu xoắn
xy
M
đặt lên phân tố với chiều dài
dy
bằng hai lực thẳng đứng có độ lớn
xy
M
với cánh
tay đòn
dy
, như trên hình 1.9.
Hình 1.9. Phân tích mô men
xoắn trên biên tự do thành
ngẫu lực
Tiến hành biến đổi tương tự ngẫu xoắn dọc theo cạnh tấm và xét hai phân tố
kề nhau ở cạnh tấm ta thấy rằng sự phân bố mô men xoắn
xy
M
tương đương về mặt
tĩnh học với sự phân bố lực cắt có cường độ:
ax
xy
x
y
M
Q
'
Kết hợp mô men xoắn
xy
M
và lực cắt
x
Q
tại cạnh tự do
ax
thành:
0
ax
xy
xx
y
M
QV
Thay
xy
M
và
x
Q
bằng các biểu thức ở (1.12) và (1.27), ta được (1.36).
Mxy+ Mxy y)dy
Mxy
Mxy+ Mxy y)dy
Mxy
dy
b
h
a
- 18 -
Khi biến đổi ngẫu xoắn như vậy, ta không những được lực cắt
'
x
Q
phân bố
liên tục dọc theo cạnh
ax
, mà còn được hai lực tập trung ở hai đầu cạnh đó, hình
1.10. Độ lớn của các lực này bằng giá trị của các ngẫu xoắn
xy
M
(ngẫu xoắn
xy
M
là
mô men trên một đơn vị dài và vì vậy, nó có thứ nguyên của lực) ở các góc tương
ứng của tấm. Biến đổi tương tự các ngẫu xoắn
yx
M
dọc theo cạnh
by
thì, cũng
giống như trên ta được lực cắt
'
y
Q
phân bố liên tục dọc theo cạnh
by
, và được hai
lực tập trung ở hai đầu cạnh đó, độ lớn của các lực này bằng giá trị của các ngẫu
xoắn
yx
M
. Điều đó nói lên rằng, khi tấm chữ nhật tựa theo cách nào đó dọc theo các
cạnh và chịu uốn, thì không những chỉ có phản lực tựa phân bố dọc theo cạnh mà
còn có phản lực tập trung ở các góc. Theo hướng của
xy
M
và
yx
M
, và do tính chất
đối xứng nên có thể nhận thấy rằng tất cả các lực ở góc tấm có cùng độ lớn và cùng
chiều hướng xuống dưới.
Hình 1.10. Lực tập trung ở đầu cạnh tấm
Hình 1.11.Các lực ở góc tấm
Độ lớn của lực
R
, hình 1.11:
2
;
;
2 2 1
xy
x a y b
x a y b
w
R M D
xy
(1.38)
Nếu góc tấm có gối tựa thì phản lực này làm góc tấm có xu hướng bị vênh lên.
Trên các cạnh
0y
và
yb
cũng có các điều kiện biên tương tự như trên.
Tóm lại:
Phương trình (1.24) được giải với các điều kiện biên đã cho để xác định độ
võng của tấm, từ đó tính được các giá trị nội lực. Đối với trường hợp biên tấm hoàn
toàn tự do, bằng cách xây dựng lực cắt quy đổi thông qua biến đổi mô men xoắn
(Mxy)x=a;y=0
(Myx)x=a;y=b
(Mxy)x=a;y=b
a
h
b
(Myx)x=0;y=b
R
R
R
R
b
a
- 19 -
xy
M
thành một ngẫu lực, Kirchhoff đã thống nhất 2 yêu cầu của Poisson thành 1
điều kiện và số điều kiện biên từ 3 giảm xuống 2. Cách quy đổi như thế có sai số.
Sai số ở chỗ là đã bỏ qua biến dạng lệch của phân tố tấm do lực cắt gây ra, hiển
nhiên là tương đương với giả thiết coi mô đun trượt
G
. Nhờ giả thiết này nên
tấm không chịu được xoắn bởi ngẫu nào đó đặt trong mặt trụ của tấm, nếu véc tơ
của ngẫu trùng với pháp tuyến của mặt này. Điều này cho phép coi số gia
/
xy
yM
của ngẫu xoắn do ứng suất tiếp ngang tại cạnh
xa
cũng giống như tác dụng của
lực thẳng đứng
x
Q
cũng tại đây, được biểu thức (1.38).
Việc không xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang do lực cắt gây ra,
mặc dù làm cho lời giải của bài toán đơn giản đi rất nhiều và đủ chính xác trong
thực tế nếu coi tấm là “mỏng” và tải trọng tác dụng ở xa mép tấm, [11]. Nhưng làm
như vậy, sẽ không đủ chính xác trong trường hợp:
- Tấm chịu tải trọng tập trung.
- Tấm chịu tải trọng ở góc và ở mép tấm.
- Tấm dày.
1.2.3. Ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang đối với tấm chịu uốn.
Lý thuyết tấm có xét tới ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang do lực cắt gây
ra đã được nhiều nhà khoa học nghiên cứu, nổi bật là lý thuyết tấm của E.Reissner.
1.2.3.1. Nội dung cơ bản về lý thuyết tấm của E.Reissner, [11], [36], [37]:
Hình 1.12. Lý thuyết
tấm Reissner
dy
dx
y
x
z
xz
h/2
h/2
xy
x
y
yz
yx
z
dz
qdxdy
- 20 -
Giả sử có phân tố tấm chịu tác dụng của tải trọng
qdxdy
, (hình 1.12). Theo
E.Reissner các thành phần ứng suất
,
xy
và
xy
phân bố theo chiều dày tấm với
quy luật bậc nhất, còn phân bố thành phần ứng suất
xz
và
yz
theo quy luật parabol.
Về sự phân bố
z
, nếu xét tới điều kiện ở mặt trên và mặt dưới của tấm là:
/2 /2
;0
zz
z h z h
q
. (1.39)
Theo cách ấy, ta tìm được biểu thức sau đây:
33
3
22
12
12
;
12
3
3
22
1 ; 1
22
y
x
xy
xy
xy
y
x
xz yz
M
M
zz
hh
M
z
h
Q
Q
zz
h h h h
(a)
3
3 2 2 1 2
4 3 3
z
q z z
hh
(b)
Loại bỏ phương trình (b), thì hệ phương trình nhận được trùng với kết quả
tương ứng của lý thuyết tấm thông thường . Viết lại các điều kiện cân bằng:
0
0
y
x
xy
x
x
Q
Q
q
xy
M
M
Q
xy
(c)
0
y yx
y
MM
Q
yx
(d)
Giả thiết vật liệu tấm là đẳng hướng và các chuyển vị
,,
o o o
u v w
tại điểm bất
kỳ của tấm là nhỏ so với chiều dày
h
của tấm. Theo định luật Hooke, bỏ qua trọng
lượng bản thân tấm, ta có:
- 21 -
1
1
21
1
21
1
21
1
o
x y z
o
y x z
oo
xy xy
oo
xz xz
oo
yz yz
u
xE
v
yE
uv
y x G E
uw
z x G E
vw
z y G E
(e)
Ở đây, không đưa vào hệ thức
1
o
z x y
w
zE
vì trái với giả thiết quy luật
phân bố bậc nhất của các thành phần ứng suất
,
xy
và
xy
đã nêu trên. Từ biểu
thức (e) thấy rằng, vẫn xét
z
nhưng không xét biến dạng do nó gây ra.
Ngoài ra ta còn đưa vào đây giá trị trung bình
w
của chuyển vị ngang đối
với toàn bộ chiều dày tấm và giá trị trung bình
yx
,
của biến dạng góc (góc xoay)
của mặt cắt ứng với
constx
và
consty
. Xác định các trị số này bằng cách so
sánh công của ngẫu lực tổng hợp trên các góc xoay trung bình với công của các ứng
suất tương ứng trên chuyển vị thực
,
oo
uv
và
o
w
ở cùng một mặt cắt, tức là cho:
/2 /2
/2 /2
/2 /2
/2 /2
/2 /2
/2 /2
;
;
;
hh
x o x x xy o xy y
hh
hh
y o y y xy o xy x
hh
hh
xz o x yz o y
hh
u dz M v dz M
v dz M u dz M
w dz Q w w dz Q w
(f)
Thay (a) vào (f) được quan hệ giữa chuyển vị trung bình và chuyển vị thực :
2
/2
/2
/2
2
/2
/2
2
/2
32
1
2
12
12
h
o
h
h
o
x
h
h
o
y
h
z
w w dz
hh
uz
dz
hh
vz
dz
hh
(g)
- 22 -
Từ phương trình (c) kết hợp với phương trình (b) ta có :
3
2
3
2
3 2 2 1 2
1 4 1 3 3
3 2 2 1 2
1 4 1 3 3
21
oo
x
oo
y
oo
xy
uv
E q z z
x y h h
vu
E q z z
y x h h
uv
E
yx
(h)
Thay (h) vào (a) rồi nhân phương trình vừa tìm được với
12z
dz
h
, sau đó lấy
tích phân với các cận
/2zh
và
/2zh
, và lưu ý đến (g), cuối cùng ta có:
61
5
61
5
1
2
y
x
x
y
x
y
y
x
xy
M D q
x y Eh
M D q
y x Eh
D
M
yx
(i)
Nếu thay biểu thức (a) có các thành phần ứng suất
xz
và
yz
vào hai phương trình
cuối cùng của (e), rồi nhân kết quả với
2
3 1 2 /
2
zh
dz
h
, sau đó lấy tích phân với các
cận
/2zh
và
/2zh
, ta được :
12 1
5
12 1
5
xx
yy
w
Q
x Eh
w
Q
y Eh
(j)
Như vậy có 8 đại lượng chưa biết là
, , , , , , ,
x y xy x y x y
M M M Q Q w
sẽ ràng buộc
với nhau bởi các phương trình (i), (j), (c) và (d).
Khử các giá trị
x
và
y
trong các phương trình (i) và (j), để ý tới (c) ta có :
- 23 -
2 2 2 2
22
2 2 2 2
22
22
5 10 1
5 10 1
1
10
x
x
y
y
y
x
xy
Q
w w h qh
MD
x y x
Q
w w h qh
MD
y x y
Q
Q
wh
MD
x y y x
(k)
Thay các biểu thức này vào (d) và nếu kể đến (c) ta đi tới kết quả :
22
22
10 10 1
10 10 1
xx
yy
w
h h q
Q Q D
xx
w
h h q
Q Q D
yy
(l)
Trường hợp tấm mỏng (tức là coi h0) thì hệ phương trình (k) và (l) sẽ tương ứng
với hệ phương trình tính mô men và lực cắt trong lý thuyết tấm Kirchhoff.
Để rút ra phương trình vi phân hoàn chỉnh đối với tấm chịu uốn, ta thay biểu
thức (l) vào phương trình (c), được:
2
2
10 1
D w q h q
(1.40)
Phương trình (1.40) được thỏa mãn nếu ta biểu diễn ‘‘độ võng trung bình’’
w
tại điểm
yx,
dưới dạng tổng :
12
w w w
(m)
trong đó
1
w
là nghiệm riêng của phương trình :
2
1
2
10 1
h
D w q q
(n)
còn
2
w
là nghiệm tổng quát của phương trình :
2
0w
(o)
Phương trình (1.40) thỏa mãn cả 2 điều kiện biên trên mỗi cạnh tấm, như lý
thuyết Kirchhoff. Bây giờ, ta đi tìm phương trình vi phân phụ khi xét đến
,
xy
.
Phương trình cân bằng (c) sẽ được thỏa mãn nếu ta biểu thị các lực này dưới
dạng gần giống như phương trình (l), tức là cho :
- 24 -
x
y
w
QD
xy
w
QD
yx
(p)
Hay :
2
'
2
'
xx
yy
w
Q Q D
xy
w
Q Q D
yx
(q)
Ở đây
là một hàm ứng suất nào đó. Còn
'
x
Q
và
'
y
Q
phải thỏa mãn hệ thức :
22
1
''
22
1
''
10 10 1
10 10 1
xx
yy
w
h h q
Q Q D
xx
w
h h q
Q Q D
yy
(r)
Vi phân phương trình (r) lần lượt theo
x
, theo
y
rồi cộng các kết quả ấy lại
ta rút ra điều kiện cân bằng:
'
'
0
y
x
Q
Q
q
xy
(s)
Từ (s), (q), (l) tìm thấy:
22
0
10 10
hh
yx
(t)
Nhận thấy biểu thức trong dấu ngoặc phải là hằng số. Cho chúng bằng 0, rút ra:
2
10
0
h
(1.41)
Tác giả H.Hencky, [46], đưa ra phương trình vi phân đối với tấm chịu uốn như sau:
2
1
61
D w q h q
(1.42)
Còn tác giả Panc. V, [34] thì đưa ra công thức:
2
1
51
D w q h q
(1.43)
- 25 -
Trong [39], tác giả Papkovich-Neuber, đưa ra công thức:
2
83
40 1
D w q h q
(1.44)
và hàm ứng suất:
2
2
0ff
h
(1.45)
Độ chính xác của (1.44) nằm giữa (1.40), (1.42) và (1.43). Còn công thức
(1.45) tương đương với (1.41).
Tác giả Shi. M.X và Wang. W, [39], sử dụng biểu thức (1.44), (1.45) của
Papkovich-Neuber và hàm thế
z
nào đấy, trên cơ sở phương pháp của A.I.Lur’e
để xác định các chuyển vị và góc xoay, nhưng không làm rõ hàm
z
được xác
định như thế nào. Ngoài ra, tác giả cũng không đề cập tới các trường hợp biên.
Tóm lại:
Lý thuyết tấm của E.Reissner đã sử dụng hàm độ võng
w
và hai hàm góc
xoay
,
xy
của mặt trung bình để giải bài toán tấm chịu uốn có xét ảnh hưởng của
biến dạng trượt ngang, phương trình vi phân cân bằng của tấm có dạng (1.40). Khi
không xét tới ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang, các công thức (1.40) và (k), (l)
đều dẫn về các công thức tính theo lí thuyết tấm Kirchhoff.
Phương trình (1.40) là phương trình vi phân bậc 4 đối với độ võng tấm cho
phép thỏa mãn 2 điều kiện biên trên mỗi cạnh tấm. Phương trình (1.41) là phương
trình vi phân bậc 2 đối với hàm ứng suất
cho phép thỏa mãn thêm 1 điều kiện
biên trên mỗi cạnh tấm. Như vậy, khi xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang
do lực cắt gây ra ta có thể thỏa mãn 3 điều kiện biên trên mỗi cạnh tấm chứ không
phải là 2 điều kiện biên như trong lý thuyết tấm Kirchhoff.
Trong (1.40) không có thành phần lực cắt. Sau khi giải được (1.40), cần giải
tiếp phương trình (l) để xác định hàm lực cắt
x
Q
và
y
Q
. Để giải được hai phương
trình trong (l) thì E.Reissner đã chọn một hàm ứng suất
nào đó thỏa mãn điều
