Luận văn Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số VỀ VÀNH NỘI XẠ 2ĐƠN VÀ MỘT SỐ VÀNH LIÊN QUAN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN QUANG THẠNH
VỀ VÀNH NỘI XẠ 2-ĐƠN
VÀ MỘT SỐ VÀNH LIÊN QUAN
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Cán bộ hướng dẫn khoa học
GS.TS. Lê Văn Thuyết
HUẾ, 2013
MỤC LỤC
Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Chương 1. Một số kiến thức cơ bản về vành và môđun 1
1.1. Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu - Môđun nội xạ
và môđun xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Môđun đối ngẫu - Môđun Artin và một số môđun khác 4
1.3. Căn và đế của vành và môđun - Phần tử lũy linh và phần tử
lũy đẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Vấn đề linh hóa tử - Vành nửa địa phương - Vành nửa hoàn
chỉnh và vành hoàn chỉnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Môđun liên tục - Vành QF - Vành Kasch. . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6. Vành nội xạ cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7. Vành nội xạ chính và vành nội xạ đơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.8. Mở rộng tầm thường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Chương 2. Về vành nội xạ 2-đơn và một số vành liên quan . . . . . . 33
2.1. Định nghĩa và ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3. Vành nội xạ 2-đơn và vành Kasch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4. Một số kết quả liên quan đến các vành khác. . . . . . . . . . . . . 42
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
i
BẢNG KÍ HIỆU
M
R
M là R-môđun phải
R
M M là R-môđun trái
J, J(R) rad(R
R
) = rad(
R
R)
Z(M) Môđun con suy biến của môđun M
Z
r
, Z
l
Z(R
R
), Z(
R
R)
S
r
, S
l
soc(R

R
), soc(
R
R)
E(M
R
) Bao nội xạ của M
R
r
R
(X) Linh hóa tử phải của X
l
R
(X) Linh hóa tử trái của X
N ≤ M N là môđun con của M
N < M N là môđun con thực sự của M
N ≤
e
M N là môđun con cốt yếu (lớn) của M
N ≤
⊕
M N là hạng tử trực tiếp của M
N  M N là môđun con đối cốt yếu (bé) của M
N ≤
max
N là môđun cực đại của M
M
(I)
Tổng trực tiếp của |I| các bản sao của môđun M
M

I
Tích trực tiếp của |I| các bản sao của môđun M
M
∗
Hom
R
(M
R
, R)
length(M) Độ dài của dãy hợp thành của môđun M
End(M) Vành các tự đồng cấu của môđun M
c·, ·c Phép nhân trái (phải) bởi phần tử c
ii
MỞ ĐẦU
Lý thuyết vành và môđun là một bộ phận của lý thuyết đại số kết hợp, đã và đang
được phát triển mạnh mẽ, với sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Một trong các
hướng nghiên cứu của lý thuyết này là việc nghiên cứu vành và môđun nội xạ cũng
như mở rộng khái niệm nội xạ nhờ tiêu chuẩn Baer.
Trước hết, chúng tôi xin đề cập đến vành tựa Frobenius (quasi-Frobenius, viết tắt
là QF ). Vành QF được Nakayama giới thiệu vào năm 1939, đến năm 1951, Ikeda đã
đặc trưng vành này thông qua vành Artin (hoặc Nơte) phải (hoặc trái), và tự nội xạ
phải (hoặc trái). Sở dĩ Ikeda đặc trưng được như vậy, một phần là nhờ vào việc Baer
đã giới thiệu khái niệm môđun nội xạ (injective module) vào năm 1940. Tiêu chuẩn
Baer về môđun nội xạ phát biểu rằng: “Một R-môđun phải M là nội xạ khi và chỉ
khi với mọi I ⊂ R là iđêan phải, với mọi đồng cấu γ : I → M đều có thể mở rộng
thành đồng cấu từ R
R
→ M, nghĩa là γ = c· là phép nhân bởi phần tử c ∈ M”.
Từ khái niệm nội xạ ban đầu, nhiều khái niệm mới đã được hình thành và nghiên
cứu. Chẳng hạn, nếu R

R
là môđun nội xạ phải thì vành R được gọi là tự nội xạ phải
(right self-injective). Trong tiêu chuẩn Baer, nếu γ(I) là đơn thì vành R được gọi
là nội xạ đơn (simple injective). Nếu với mỗi môđun con hữu hạn sinh K của một
R-môđun phải tự do F, với mọi đồng cấu từ K → M
R
đều có thể mở rộng thành đồng
cấu từ F
R
→ M
R
thì M
R
được gọi là môđun F P -nội xạ phải (right F P-injective).
Vành R được gọi là FP -nội xạ phải nếu R
R
là môđun F P -nội xạ phải.
Bây giờ, với n ∈ N
∗
, trong tiêu chuẩn Baer, ta chọn I là iđêan n-sinh thì lúc đó
môđun M
R
được gọi là n-nội xạ phải (right n-injective) và vành R được gọi là vành
n-nội xạ; nếu lấy I là những iđêan phải chính thì ta có khái niệm môđun P -nội xạ
phải (right principally injective) và vành tương ứng là vành P -nội xạ [5]. Rõ ràng,
vành P-nội xạ phải chính là vành 1-nội xạ phải.
Tiếp theo, trong [4], S.B. Nam, N.K. Kim và J.Y. Kim đã định nghĩa rằng, vành
R được gọi là nội xạ chính suy rộng phải (right general principally injective), gọi tắt
là GP-nội xạ phải, nếu với mỗi 0 = a ∈ R, tồn tại một số nguyên dương n sao cho
a

n
= 0 và mỗi R-đồng cấu phải từ a
n
R vào R đều mở rộng được thành tự đồng cấu
của R. Vành GP -nội xạ xác định như trên còn được gọi là vành Y J-nội xạ [8]. Vành
iii
R được gọi là AGP-nội xạ phải nếu với mỗi 0 = a ∈ R, tồn tại một số nguyên dương
n sao cho a
n
= 0 và Ra
n
là một hạng tử trực tiếp của l(r(a
n
)). Vành R được gọi là
nội xạ cực tiểu phải nếu với mọi iđêan phải cực tiểu I của R, với mỗi R-đồng cấu từ
I vào R đều có thể mở rộng thành tự đồng cấu của R. Liên quan đến các khái niệm
vành mở rộng ở trên, chúng ta có một số kết quả chính sau đây:
tự nội xạ phải ⇒ nội xạ đơn phải và FP -nội xạ phải.
F P -nội xạ phải ⇒ 2-nội xạ phải ⇒ P -nội xạ phải ⇒ GP-nội xạ phải ⇒ AGP -nội
xạ phải và nội xạ cực tiểu phải.
Chiều ngược lại của các kết quả trên nói chung không đúng.
Trong dãy kết quả trên, vành 2-nội xạ và vành nội xạ đơn cũng như các mối quan
hệ của chúng với vành QF được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả. Năm
2010, trên tạp chí toán học International Journal of Algebra, số 4, hai nhà toán học
Zhu Zhanmin và Chen Jianlong đã đưa ra khái niệm “Vành nội xạ 2-đơn”, được kết
hợp từ hai vành nói trên. Lớp vành này rộng hơn lớp các vành nội xạ đơn và 2-nội
xạ. Trong bài báo đó, các tác giả đã đưa ra một số đặc điểm, tính chất, điều kiện và
mối liên hệ giữa vành này với vành QF.
Vì quan tâm đến vành này nên chúng tôi chọn đề tài “Về vành nội xạ 2-đơn
và một số vành liên quan” để tiến hành nghiên cứu với hi vọng có thể tìm hiểu

sâu hơn về các tính chất của chúng.
Mục tiêu của luận văn là hệ thống, tổng hợp, làm rõ một số kết quả liên quan
đến vành nội xạ 2-đơn và các vành có liên quan. Đặc biệt, đưa ra thêm những ví dụ
để làm rõ hơn một số tính chất.
Với nội dung này và mục tiêu như vậy, luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về môđun và vành QF cũng như
một số vành có liên quan: vành nửa địa phương, vành nửa hoàn chỉnh, vành hoàn
chỉnh, vành QF , vành Kasch, vành nội xạ cực tiểu, vành nội xạ chính, vành nội xạ
đơn. . .
Chương 2: Trình bày định nghĩa và một số đặc điểm, tính chất, ví dụ của vành
nội xạ 2-đơn cũng như một số vành có liên quan. Mối liên hệ giữa vành nội xạ 2-đơn,
tựa nội xạ 2-đơn với căn và đế của môđun, với linh hóa tử, vành Kasch, vành có chiều
hữu hạn, .
iv
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trình bày khó
tránh khỏi các sai sót, mong quý độc giả góp ý thêm để luận văn được hoàn thiện hơn.
Huế, Ngày 15 tháng 9 năm 2013
Học viên thực hiện
Trần Quang Thạnh.
v
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
VỀ VÀNH VÀ MÔĐUN
Trong suốt luận văn này, vành được nhắc đến luôn và vành kết hợp có đơn vị và các
R-môđun đều unita.
1.1. Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu
- Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh
1.1.1. Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu
Định nghĩa 1.1 (Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu). 1) Một môđun
con K của môđun M được gọi là cốt yếu (lớn) trong M, kí hiệu K ≤

e
M, nếu
K ∩ X = 0 với mỗi môđun con X = 0 của M.
2) Một môđun con K của môđun M được gọi là đối cốt yếu (nhỏ) trong M, kí
hiệu K  M, nếu K + X = M với X là môđun con của M thì X = M.
Bổ đề 1.1.1 ([6], Lemma 1.1). Cho M là một môđun.
1) Nếu K ≤ N ≤ M thì K ≤
e
M khi và chỉ khi K ≤
e
N và N ≤
e
M.
2) Nếu K ≤
e
N ≤ M và K

≤
e
N

≤ M thì K ∩ K

≤
e
N ∩ N

.
3) Nếu α : M → N là R-đồng cấu và K ≤
e

N thì α
−1
(K) ≤
e
M, trong đó
α
−1
(K) = {m ∈ M : α(m) ∈ K}.
4) Gọi M ⊕
i∈I
M
i
là tổng trực tiếp các môđun con M
i
của M và với mỗi i, xét
K
i
≤ M
i
. Lúc đó ⊕
i∈I
K
i
≤
e
M khi và chỉ khi K
i
≤
e
M

i
với mọi i.
1.1.2. Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh
Định nghĩa 1.2 (Môđun nội xạ). Một môđun E
R
được gọi là nội xạ nếu với mỗi
R-đơn cấu α : N → M, với mỗi R-đồng cấu β : N → E đều tồn tại R-đồng cấu
1
γ : M → E sao cho β = γ ◦ α. Tức là, ta có biểu đồ sau giao hoán:
0
//
N
α
//
β

M
γ
}}
E
Bổ đề 1.1.2 ([6], Lemma 1.2). Môđun E là nội xạ khi và chỉ khi với mọi R-đồng cấu
β : K → R đều mở rộng được thành R-đồng cấu γ : M → E, trong đó K ≤ M.
Chứng minh. (⇒) Hiển nhiên.
(⇒) Giả sử α : N → M là R-đơn cấu. Xét đồng cấu α

: α(N) → N xác định bởi
α

(α(N)) = n với n ∈ N. Lúc đó, theo giả thiết, nếu β : N → E thì đồng cấu
β ◦ α


: α(N) → E có thể mở rộng thành γ : M → E và tất nhiên ta có α ◦ α = β.
Bổ đề 1.1.3 (Tiêu chuẩn Baer). Một R-môđun phải E là nội xạ khi và chỉ khi với
mọi I ⊂ R là iđêan phải, với mọi đồng cấu γ : I → E đều có thể mở rộng thành đồng
cấu từ R
R
→ E, nghĩa là γ = c· là phép nhân bởi phần tử c ∈ E.
Chứng minh. “Điều kiện cần” là hiển nhiên. Để chứng minh “điều kiện đủ”, ta xét
K là môđun con của M và β : K → E. Đặt F là tập gồm tất cả các cặp (K

, β

) sao
cho K ≤ K

≤ M và β

: K

→ E là mở rộng của β. Theo Bổ đề Zorn, ta có thể chọn
(K

, β”) là phần tử cực đại của F. Ta sẽ chứng tỏ rằng K

= M, bằng phản chứng.
Thật vậy, giả sử K

= M, lúc đó tồn tại m ∈ M\K

. Đặt T = {r ∈ R|mr ∈ K


} là
một iđêan phải và xét γ : T → E xác định bởi γ(r) = β

(mr). Theo giả thiết, tồn
tại ˆγ : R → E là mở rộng của γ và ta xác định được
ˆ
β : K

+ mR → E cho bởi
ˆ
β(y + mr) = β

(y)+ ˆγ(r), trong đó y ∈ K

và r ∈ R. Ánh xạ này hoàn toàn có nghĩa,
bởi vì nếu y + mr = 0 thì mr ∈ K

và ˆγ(r) = λ(r) = β

(mr) = β

(−y) = −β

(y).
Vì
ˆ
β là R-đồng cấu và từ cách xây dựng, ta có
ˆ
β là mở rộng của β


, điều này mâu
thuẫn với tính cực đại của (K

, β

) trong F. Do đó K

= M. 
Bổ đề 1.1.4 ([6], Lemma 1.5). Cho vành R. Lúc đó:
1) Nếu Q là nhóm chia được thì E
R
= Hom
Z
(R, Q) là R-môđun nội xạ phải.
2) Mọi môđun M
R
đều có thể nhúng vào một môđun nội xạ phải.
Định nghĩa 1.3 (Môđun tự do). Một môđun F
R
được gọi là tự do nếu nó đẳng cấu
với tổng trực tiếp R
(I)
của |I| bản sao của R; một cách tương đương, F có một cơ
2
sở {x
i
|i ∈ I}; nghĩa là F =

i∈I

x
i
R và

n
i=1
x
i
r
i
= 0, r
i
∈ R cho ta r
i
= 0, với mọi
i = 1, . . . , n.
Định nghĩa 1.4 (Môđun xạ ảnh). Một môđun P
R
được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi
R-toàn cấu α : M → N, với mỗi R-đồng cấu β : P → N đều tồn tại R-đồng cấu
γ : P → M sao cho β = α ◦ γ.
1.1.3. Bao nội xạ và phủ xạ ảnh
Định nghĩa 1.5 (Bao nội xạ - Phủ xạ ảnh). 1) Một R-đơn cấu 0 −→ M
σ
−→ E
được gọi là bao nội xạ của môđun M nếu E nội xạ và Im(σ) ≤
e
E.
2) Một toàn cấu P
π

−→ M −→ 0 được gọi là phủ xạ ảnh của môđun M nếu P là
xạ ảnh và Ker(π)  P .
Bổ đề 1.1.5 (Bổ đề Bass, [6], Lemma B.15). Các điều kiện sau là tương đương đối
với các môđun K ≤ P với P xạ ảnh:
1) P/K có một phủ xạ ảnh.
2) P = Q ⊕ P
0
, trong đó Q ≤ K và P
0
∩ K  P
0
.
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Xét P

π
→ P/K là một phủ xạ ảnh và đặt P
φ
−→ P/K
là toàn cấu chính tắc. Vì P là xạ ảnh nên tồn tại P
α
→ P

sao cho π ◦ α = φ. Với
φ là toàn cấu thì P

= α(P ) + Ker(π), do đó P

= α(P ) bởi vì Ker(π)  P

. Mà

P
α
−→ P

là chẻ ra vì P

xạ ảnh, do đó tồn tại β : P

→ P sao cho α ◦ β = 1
P

. Suy ra
P = Ker(α)⊕β(P

). Hơn nữa, vì π◦α = φ nên Ker(α) ≤ Ker(φ) = K, do đó β(P

)∩K
là bé trong β(P

). Vì β : P

→ β(P

) là một đẳng cấu nên ta có β(Ker(π))  β(P

).
Mặt khác, φ◦β = π◦α◦β = π◦1
P

= π nên β(Ker(π)) = β(P


)∩Ker(φ) = β(P

)∩K.
Để kết thúc chứng minh, ta đặt Q = Ker(α) và P
0
= β(P

).
(2) ⇒ (1). Vì P = K + P
0
nên ánh xạ hạn chế của φ từ P
0
→ P/K là toàn ánh
và có hạt nhân là P
0
∩ Ker(φ) = P
0
∩ K, là bé trong P
0
. Do đó P/K có một phủ xạ
ảnh. 
Hệ quả 1.1.6 ([6], Corollary B.18). Nếu K ≤ P là các môđun với P xạ ảnh thì P/K
có phủ xạ ảnh khi và chỉ khi K = Q + X, trong đó Q ≤
⊕
P và X  P .
3
Chứng minh. Nếu P/K có một phủ xạ ảnh thì đặt X = K ∩ P
0
như trong Bổ đề

Bass, ta có ngay kết quả. Ngược lại, nếu K = Q + X với Q ≤
⊕
P và X  P thì đặt
P = Q ⊕ P
1
và xác định φ : P
1
→ P/K xác định bởi φ(p
1
) = p
1
+ K, lúc đó φ là toàn
ánh bởi vì P = K + P
1
, và Ker(φ) = P
1
∩ K. Ta chứng minh rằng P
1
∩ K  P
1
. Thật
vậy, nếu (P
1
∩ K) + Y = P
1
thì P = Q + [(P
1
∩ K) + Y ] ≤ K + Y = Q + X + Y ≤ P .
Mà X  P nên P = Q ⊕ Y với Y ≤ P
1

; do vậy Y = P
1
. 
Trong Hệ quả 1.1.6, lấy P = R, ta có kết quả thường được sử dụng sau đây.
Hệ quả 1.1.7 ([6], Corollary B.19). Cho T là iđêan phải của vành R. Lúc đó, R/T
có phủ xạ ảnh khi và chỉ khi T = eR + X, trong đó e
2
= e ∈ R và X là iđêan phải
chứa trong J.
1.2. Môđun đối ngẫu - Môđun Artin và một số
môđun khác
1.2.1. Môđun đối ngẫu
Định nghĩa 1.6. Cho hai R-môđun M, N. Một đồng cấu R-môđun từ M vào N là
một ánh xạ φ thỏa mãn các điều kiện
φ(x + y) = φ(x) + φ(y)
φ(rx) = rφ(x)
với mọi x, y ∈ M, r ∈ R.
Một đồng cấu R-môđun được gọi đơn giản là một đồng cấu nếu không cần thiết phải
chỉ rõ vành cơ sở.
Định nghĩa 1.7. Đối với một đồng cấu môđun φ : M −→ N, ta kí hiệu
Imφ = φ(M),
Kerφ = {x ∈ M|φ(x) = 0} = φ
−1
(0)
và gọi Imφ, Kerφ lần lượt là ảnh và hạt nhân của φ.
Cho M
R
và kí hiệu Hom
R
(M

R
, R) là tập gồm tất cả các đồng cấu R-môđun từ
M
R
→ R
R
.
4
Mệnh đề 1.2.1. Hom
R
(M
R
, R) cùng với hai phép toán cộng và nhân môđun xác định
như sau trở thành R-môđun trái
(α + β)(m) := α(m) + β(m),
(rα)(m) := rα(m),
với mọi m ∈ M, r ∈ R và α, β ∈ Hom
R
(M
R
, R).
Định nghĩa 1.8. R-môđun trái Hom
R
(M
R
, R) và gọi là môđun đối ngẫu của môđun
M
R
, kí hiệu là M
∗

, các phần tử của M
∗
gọi là các dạng tuyến tính trên M. Môđun
đối ngẫu của M
∗
, kí hiệu: M
∗∗
= Hom
R
(M
∗
, R), là một R-môđun phải và được gọi
là môđun song đối ngẫu của M.
Bổ đề 1.2.2 ([6], Lemma 2.28). Nếu M = mR là một R-môđun phải xyclic và
T = r(m) thì M
∗
∼
=
l(T ) = lr(m) như một R-môđun trái.
Chứng minh. Nếu b ∈ l(T ) thì ánh xạ λ
b
: M → R cho bởi λ
b
(mr) = br luôn xác
định. Lúc đó b → λ
b
là một đơn cấu lT → M
∗
giữa các R-môđun trái và nó là toàn
ánh, vì nếu λ ∈ M

∗
thì λ = λ
b
, trong đó b = λ(m) ∈ l(T ). 
1.2.2. Môđun có chiều hữu hạn - Môđun Artin - Môđun suy
biến - Một số vành liên quan
Định nghĩa 1.9 (Môđun có chiều hữu hạn). Môđun M
R
được gọi là có chiều (Goldie)
hữu hạn (has finite (Goldie) dimension) nếu M không chứa một tổng trực tiếp vô
hạn các môđun con. Vành R được gọi là có chiều (Goldie) hữu hạn nếu R
R
là môđun
có chiều Goldie hữu hạn. Vành R được gọi là Goldie phải (right Goldie) nếu R
R
có
chiều hữu hạn và thỏa ACC trên các linh hóa tử phải.
Định nghĩa 1.10 (Môđun Artin). Môđun M
R
được gọi là môđun Artin nếu mỗi tập
khác rỗng các môđun con của nó đều có phần tử cực tiểu. Điều này tương đương với
M
R
thỏa DCC đối với tập các môđun con. Vành R được gọi là vành Artin phải nếu
R
R
là môđun Artin.
Định lý 1.2.3 (Jordan - H¨older - Schreier). Bất kỳ hai dãy hợp thành của một môđun
có độ dài hữu hạn đã cho đều đẳng cấu với nhau.
5

Chứng minh. Xem [[1]], Theorem 11.3. 
Định nghĩa 1.11 (Môđun suy biến - Vành suy biến). Cho M
R
.
1) Một phần tử m ∈ M được gọi là phần tử suy biến phải (right singular element)
của M nếu iđêan phải r(m) ≤
e
R
R
.
2) Z(M
R
) = {m ∈ M|r(m) ≤
e
R
R
} ≤ M là tập tất cả các phần tử suy biến phải
của M và được gọi là môđun con suy biến phải của M.
3) Môđun M
R
được gọi là suy biến (singular) nếu Z(M
R
) = M
R
và được gọi là
không suy biến (nonsingular) nếu Z(M
R
) = 0.
4) Vành R được gọi là vành suy biến (không suy biến) phải nếu R
R

là môđun suy
biến (không suy biến). Kí hiệu: Z
r
= Z(R
R
), Z
l
= Z(
R
R).
Định nghĩa 1.12. 1) Một môđun khác không M
R
được gọi là đơn nếu nó không
có môđun con không tầm thường nào.
2) Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu nó có một phân tích nửa đơn; tức là
M =

i∈I
M
i
, trong đó (M
i
)
i∈I
là một họ các môđun con đơn của M.
3) Vành R được gọi là nửa đơn phải (trái) (right (left) semisimple) nếu R
R
(
R
R)

nửa đơn.
4) Vành R được gọi là địa phương (local) nếu nó chỉ có một iđêan phải (trái) cực
đại duy nhất.
5) Vành R được gọi là nửa địa phương (semilocal) nếu R/J là (Artin) nửa đơn.
1.3. Căn và đế của vành và môđun - Phần tử lũy
linh và phần tử lũy đẳng
1.3.1. Căn và đế của vành và môđun
Định lý 1.3.1 ([3], Theorem 9.1.1). Cho M = M
R
. Khi đó

AM
A =

B≤
max
B =

ϕ∈Hom
R
(M,N)
ker(ϕ) (1.3.1)
6
trong đó B là môđun con cực đại của M và N
R
là môđun nửa đơn tùy ý.

A≤
e
M

A =

B≤M
B =

ϕ∈Hom
R
(N,M)
Im(ϕ) (1.3.2)
trong đó B là môđun con đơn của M và N
R
là môđun nửa đơn tùy ý.
Định nghĩa 1.13 (Căn và đế của vành). 1) Môđun con của M thỏa mãn (1.3.1)
được gọi là căn của M, kí hiệu rad(M).
2) Môđun con của M thỏa mãn (1.3.2) được gọi là đế của M, kí hiệu soc(M).
Định lý 1.3.2 ([3], Theorem 9.3.2). Đối với một vành R bất kì, rad(R
R
) = rad(
R
R)
và thường kí hiệu chung là J(R) hoặc J.
Định nghĩa 1.14. Căn của vành R là rad(R) := rad(R
R
) = rad(
R
R). Để đơn giản,
đôi khi ta kí hiệu rad(R) là J(R) hoặc J, một cách không nhầm lẫn.
Ví dụ 1. rad(Z
Z
) = 0 do 0 là iđêan cốt yếu duy nhất của Z và soc(Z

Z
) = 0 do Z
không có iđêan cực tiểu nào.
1.3.2. Phần tử lũy linh và lũy đẳng
Định nghĩa 1.15. 1) Iđêan A của vành R được gọi là nil nếu với mọi a thuộc A,
tồn tại số nguyên dương n sao cho a
n
= 0.
2) Iđêan A của vành R được gọi là lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho
A
n
= 0.
3) Phần tử a thuộc iđêan A của vành R được gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại
số nguyên dương n sao cho a
n
= 0.
4) Vành R được gọi là nửa nguyên sơ nếu R/J là nửa đơn và J là lũy linh.
5) Phần tử e của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu e
2
= e.
6) Hai phần tử lũy đẳng e và f của vành R được gọi là trực giao nếu ef = fe = 0.
7) Phần tử lũy đẳng e được gọi là địa phương nếu eRe là vành địa phương.
7
8) Cho I là iđêan của vành R và g + I là một lũy đẳng của R/I. Ta nói lũy đẳng
này có thể nâng được (đến e) môđulô J nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho
g + I = e + I. Ta nói rằng các lũy đẳng nâng được môđulô I trong trường hợp
mọi lũy đẳng trong R/I có thể nâng được đến một lũy đẳng trong R.
9) Phần tử a ∈ R được gọi là chính quy nếu tồn tại phần tử b ∈ R sao cho a = aba.
Vành R được gọi là chính quy nếu mọi phần tử của nó đều chính quy.
Bổ đề 1.3.3 ([7], McCoy’s Lemma). Cho R là một vành và a, c ∈ R. Nếu b = a−aca

là phần tử chính quy thì a cũng vậy.
Mệnh đề sau đây cho chúng ta một số kết quả thường dùng liên quan đến phần
tử lũy đẳng.
Mệnh đề 1.3.4 ([6], Proposition B.2). Các mệnh đề sau đây là tương đương với
e
2
= e ∈ R:
1) e là lũy đẳng địa phương.
2) eR có duy nhất một môđun con cực đại.
3) eJ là môđun con cực đại duy nhất của eR.
4) eR/eJ là đơn.
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Giả sử M ≤
max
eR và T ≤
max
eR. Nếu M = T thì M +T =
eR, do đó ta có thể biểu diễn e = m +t, m ∈ M, t ∈ T . Lúc đó e = me +te ∈ eRe; mà
eRe là vành địa phương nên một trong hai phần tử me và te phải khả nghịch trong
eRe. Suy ra e ∈ M hoặc e ∈ T , điều này mâu thuẫn. Vậy M = T .
(2) ⇒ (3). Nếu K là môđun con cực đại duy nhất của eR thì K  eR; suy ra
K  R
R
. Điều này có nghĩa là K ≤ J, do vậy K ≤ eJ. Mà (eR)/K là đơn nên
eJ ≤ K. Vậy K = eJ.
(3) ⇒ (4). Rõ ràng.
(4) ⇒ (1). Xét a ∈ eRe\eJe. Lúc đó a /∈ eJ nên theo (4), ta có eJ + aR = eR.
Nếu e = ex + ab, x ∈ J, b ∈ R thì a(ebe) = e − exe là khả nghịch trong vành eRe, suy
ra tồn tại c ∈ eRe sao cho ac = e. Ta lại có c /∈ eJe nên chứng minh tương tự, ta có
d ∈ eRe sao cho cd = e, suy ra e là lũy đẳng địa phương. 
8

Mệnh đề 1.3.5 ([1], Proposition 7.1). Iđêan phải I của vành R là một hạng tử trực
tiếp của R
R
khi và chỉ khi tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho I = eR. Hơn nữa, nếu
e là một phần tử lũy đẳng của R thì 1 − e cũng là một phần tử lũy đẳng của R và
(1 − e)R là phần phụ của eR, tức là R
R
= eR ⊕ (1 − e)R.
1.4. Vấn đề linh hóa tử - Vành nửa địa phương -
Vành nửa hoàn chỉnh và vành hoàn chỉnh
1.4.1. Vấn đề về linh hóa tử
Ngay từ khi định nghĩa môđun, chúng ta đã gặp đồng cấu vành unita
λ : R −→ End
τ
(M),
trong đó M là nhóm aben, xác định cho ta một cấu trúc R-môđun phải trên M, kí
hiệu là M
R
. Lúc đó, đặt K = Kerλ = {r ∈ R | xr = 0, ∀x ∈ M} là một iđêan hai
phía và nó chính là linh hóa tử của M trong R.
Định nghĩa 1.16. Cho một môđun phải M
R
.
1) Giả sử X ≤ M. Linh hóa tử phải (right annihilator) của X trong R là
r
R
(X) = {r ∈ R | xr = 0, ∀x ∈ X}.
2) Giả sử A ≤ R. Linh hóa tử trái (left annihilator) của A trong M là
l
M

(A) = {x ∈ M | xa = 0, ∀a ∈ A}.
Khi X = {x} hay A = {a}, ta viết r
R
(x), l
M
(a). Với những linh hóa tử trên R,
nếu không có gì nhầm lẫn ta có thể kí hiệu gọn là l, r.
Mệnh đề 1.4.1 ([1], Proposition 2.15). Cho
R
M là R-môđun trái, X, Y là các tập
con của M và A, B là các tập con của R. Khi đó,
1) Nếu X ≤ Y thì l
R
(Y ) ≤ l
R
(X) và nếu A ≤ B thì r
M
(B) ≤ r
M
(A);
2) X ≤ r
M
l
R
(X) và A ≤ l
R
r
M
(A);
9

3) l
R
(X) = l
R
r
M
l
R
(X), r
M
(A) = r
M
l
R
r
M
(A).
Sau đây là một số bổ đề về vành R có ACC trên các linh hóa tử phải (t.ứ trái).
Bổ đề 1.4.2 (Mewborn - Winton). Nếu R có ACC trên các linh hóa tử phải thì Z
r
là lũy linh.
Chứng minh. Để thuận tiện cho chứng minh, ta viết Z = Z
r
. Xét dãy Z ⊇ Z
2
⊇ . . .,
ta có dãy linh hóa tử phải tương ứng r(Z) ≤ r(Z
2
) ≤ . . Theo giả thiết, tồn tại n
sao cho r(Z

n
) = r(Z
n+1
); chúng ta sẽ chứng tỏ rằng Z
n
= 0. Ngược lại, giả sử tồn
tại a ∈ R\r(Z
n
), lúc đó, chọn r(b) là phần tử cực đại từ tập {r(b) : Z
n
b = 0}. Nếu
z ∈ Z thì r(z) ≤
e
R
R
, do đó r(z) ∩ bR = 0, suy ra tồn tại r ∈ R sao cho zbr = 0 khi
br = 0. Như vậy r(b) < r(zb). Do tính cực đại của r(b), ta có Z
n
zb = 0. Mà z ∈ Z là
tùy ý, nên Z
n+1
b = 0, suy ra b ∈ r(Z
n+1
) = r(Z
n
). 
Bổ đề tiếp theo thường được sử dụng trong chứng minh một vành nửa nguyên sơ
là Artin trái.
Bổ đề 1.4.3 ([6], Lemma 3.30). Cho R là vành nửa nguyên sơ có ACC trên các linh
hóa tử phải sao cho S

r
= S
l
là các R-môđun trái có chiều hữu hạn. Lúc đó R là Artin
trái.
Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo chỉ số lũy linh n của J, tức là số nguyên
nhỏ nhất n sao cho J
n
= 0. Nếu n = 1 thì J = 0 và R là nửa đơn và Artin. Giả
sử n ≥ 2. Ta có S
r
= l(J) và S
l
= r(J) (vì R là nửa địa phương). Đặt R = R/A,
trong đó A = l(J) = S
r
= S
l
= r(J). Vì
R
A là Artin nên ta chỉ cần chứng minh rằng
R
R =
R
R là Artin.
Vì A = l(J) là linh hóa tử trái nên vành R cũng có ACC trên các linh hóa tử
phải. Hơn nữa, J(R) = (J + A)/A = J, do vậy R/J
∼
=
R/(J + A) là nửa đơn và

J
n−1
≤ (J
n−1
+ A)/A = 0 bởi vì J
n−1
≤ r(J) = A. Suy ra R là nửa nguyên sơ và J
có chỉ số lũy linh là n − 1, do đó theo giả thiết quy nạp ta chỉ cần chứng minh rằng
soc(
R
R) = soc(R
R
) có chiều hữu hạn như một R-môđun trái.
Thật vây, nếu x ∈ soc(
R
R) = r
R
(J), chúng ta có Jx = 0, do đó Jx ≤ A = l(J),
suy ra JxJ = 0. Như vậy xJ ≤ r(J) = A, do vậy xJ = 0 và x ∈ l
R
(J) = soc(R
R
),
hay soc(
R
R) ≤ soc(R
R
). Chứng minh tương tự, ta cũng có soc(R
R
) ≤ soc(

R
R).
Cuối cùng, bởi vì R có DCC trên các linh hóa tử trái nên l(J) = l{b
1
, . . . , b
m
} với
10
{b
1
, . . . , b
m
} ≤ J. Lúc đó θ : R → R
m
cho bởi θ(r+A) = (rb
1
, . . . , rb
m
) là xác định một
đơn cấu giữa các R-môđun trái. Hơn nữa, θ(soc(
R
R)) = θ(soc
R
R) ≤ soc(
R
R
m
) = S
m
l

,
do vậy soc(
R
R) là có chiều trái hữu hạn. Vậy R là Artin trái hay R là Artin trái. 
Bổ đề 1.4.4 ([2], Lemma 3). Nếu R có ACC trên các linh hóa tử phải và l(X) là
iđêan hai phía của R thì R/l(X) có ACC trên các linh hóa tử phải.
1.4.2. Vành nửa địa phương - Vành nửa hoàn chỉnh và vành
hoàn chỉnh
Định nghĩa 1.17. 1) Iđêan một phía A của vành R được gọi là T-lũy linh phải
(right T -nilpotent) nếu với mọi dãy a
1
, a
2
. . . . từ A, ta có a
n
a
n−1
. . . a
2
a
1
= 0
với n ≥ 1 và A được gọi là T -lũy linh trái (left T -nilpotent) nếu chúng ta có
a
1
a
2
. . . a
n−1
a

n
= 0 với n ≥ 1.
2) Một môđun được gọi là nửa Artin (semiartinian) nếu mọi môđun thương khác
không của nó đều có đế khác không.
3) Vành R được gọi là nửa Artin phải (right semiartinian) nếu R
R
là nửa Artin.
Nhận xét 1. 1) Rõ ràng, mỗi iđêan lũy linh là T -lũy linh trái và phải; và mỗi
iđêan T -lũy linh trái hoặc phải là nil.
2) Nếu R là nửa Artin phải thì mọi R-môđun phải khác không đều có đế cốt yếu.
Định nghĩa 1.18. 1) Một vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh (semiperfect) nếu
R/J là nửa đơn và các lũy đẳng nâng được môđulô J.
2) Một vành R được gọi là hoàn chỉnh phải (right perfect) nếu R là nửa hoàn
chỉnh và J là T -lũy linh phải.
Vành hoàn chỉnh có một số đặc trưng rất đẹp đã được nghiên cứu bởi các nhà
toán học Bass, Bj¨ork, nhưng vì phép chứng minh khá phức tạp nên sau đây, chúng
tôi chỉ nêu ra định lý mà không chứng minh.
Định lý 1.4.5 ([6], Theorem B.39). Các điều kiện sau là tương đương đối với một
vành R:
11
1) R là hoàn chỉnh phải.
2) (Bass) R có DCC trên các iđêan trái xyclic.
3) (Bj¨ork) R có DCC trên các iđêan trái hữu hạn sinh.
Trong phần tiếp theo, chúng tôi nêu lên một định lý quan trọng, cho chúng ta các
đặc trưng vành nửa địa phương, đó là Định lý Camps-Dicks. Chứng minh của định
lý này có thể tìm thấy ở tài liệu [6].
Định lý 1.4.6 ([6], Camps-Dicks Theorem). Các điều kiện sau tương đương đối với
một vành R:
1) R là nửa địa phương.
2) Tồn tại một đồng cấu vành ϕ : R → S, trong đó S là nửa đơn Artin và a là khả

nghịch trong R sao cho ϕ(a) khả nghịch trong S.
3) Tồn tại một song môđun
S
M
R
sao cho dim(
S
M) là hữu hạn và l
M
(a) = 0, a ∈
R, suy ra a là khả nghịch trong R.
4) Tồn tại một song môđun
S
M
R
sao cho
(a) {l
M
(a)|a ∈ R} có ACC trên các hạng tử.
(b) l
M
(a) = 0 suy ra a là khả nghịch trong R.
5) Tồn tại số nguyên n ≥ 0 và hàm d : R → {0, 1, 2, . . . , n} sao cho
(a) d(a − aba) = d(a) + d(1 − ab) với a, b ∈ R.
(b) d(a) = 0 và từ đó suy ra a khả nghịch trong R.
6) Tồn tại một quan hệ thứ tự trên R sao cho
(a) (R, ≤) có DCC.
(b) Nếu 1 − ab không khả nghịch thì a > a − aba.
Hệ quả 1.4.7 ([6], Corollary C.3). Nếu môđun
S

M là có chiều hữu hạn và các đồng
cấu trong End
S
M là toàn cấu thì End
S
M là nửa địa phương.
Chứng minh. Đặt R = End(
S
M) thì song môđun
S
M
R
thỏa mãn điều kiện (3) trong
Định lý 1.4.6 nên R là nửa địa phương. 
12
1.5. Môđun liên tục - Vành QF - Vành Kasch
1.5.1. Môđun liên tục
Định nghĩa 1.19 (Môđun liên tục). Cho M là một R-môđun.
1) M được gọi là thỏa mãn điều kiện C
1
(điều kiện CS) nếu mọi môđun con của
M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.
2) M được gọi là thỏa mãn điều kiện C
2
nếu mọi môđun con mà đẳng cấu với một
hạng tử trực tiếp của M là hạng tử trực tiếp của M.
3) M được gọi là thỏa mãn điều kiện C
3
nếu với N, K là hai hạng tử trực tiếp bất
kỳ của M thì N ⊕ K cũng vậy.

4) Vành R được gọi là C
1
(tương ứng C
2
, C
3
) nếu R
R
có tính chất tương ứng. Các
môđun C
1
còn được gọi là các môđun CS và vành R được gọi là vành CS phải
nếu R
R
là môđun CS.
5) M được gọi là liên tục nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện C
1
, C
2
. Vành
R được gọi là liên tục phải nếu môđun R
R
là liên tục.
6) M được gọi là môđun min-CS nếu mọi môđun con đơn của M đều cốt yếu
trong một hạng tử trực tiếp của M. Vành R được gọi là min-CS phải nếu R
R
là min-CS.
7) Vành R được gọi là P-CS nếu mọi iđêan phải xyclic của R đều cốt yếu trong
một hạng tử trực tiếp của R
R

.
1.5.2. Vành QF
Định nghĩa 1.20 (Vành QF ). Vành R được gọi là vành tựa Frobenius (quasi-
Frobenius), viết tắt là vành QF , nếu R là vành Artin trái và phải, tự nội xạ trái
và phải.
Ví dụ 2. 1) Mọi vành nửa đơn đều là vành QF .
2) Vành thương Z/nZ là vành QF , với n > 1.
13
Để thuận tiện, chúng ta gọi một iđêan phải T của một vành R là mở rộng được
nếu mỗi R-đồng cấu α : T → R đều có thể mở rộng từ R → R, nghĩa là, α = a· là
phép nhân trái bởi một phần tử a ∈ R.
Bổ đề 1.5.1 ([6], Lemma 1.36). Cho T và T

là các iđêan phải của vành R.
1) Nếu T + T

là mở rộng được thì l(T ∩ T

) = l(T ) + l(T

).
2) Ngược lại, nếu l(T ∩ T

) = l(T ) + l(T

) và α : T + T

→ R là một R-đồng cấu
sao cho α
|T

và α
|T

được cho bởi các phép nhân trái thì α cũng vậy.
Chứng minh. (1). Nếu b ∈ l(T ∩T

) thì ta hoàn toàn xác định được α : T +T

→ R
R
cho bởi α(t + t

) = bt, lúc đó α = a· với a ∈ R. Suy ra b − a ∈ l(T ) và a ∈ l(T

). Do
đó b = (b − a) + a ∈ l(T ) + l(T

). Từ đó ta được l(T ∩ T

) ≤ l(T ) + l(T

).
(2). Xét α = b· trên T và α = c· trên T

. Lúc đó b − c ∈ l(T ∩ T

) = l(T ) + l(T

),
suy ra b − c = d − d


, trong đó dT = 0 = d

T

. Đặt a = b − d = c − d

thì
at = (b − d)t = bt = α(t), với mọi t ∈ T và at

= (c − d

)t

= ct

= α(t

) với mọi
t

∈ T

. Từ đây ta được α = a·. 
1.5.3. Vành Kasch
Định nghĩa 1.21 (Sinh và đối sinh). 1) Môđun C
R
được gọi là sinh ra (generate)
M hay (M được sinh bởi C) nếu tồn tại toàn cấu C
(I)

−→ M −→ 0 với I là
tập chỉ số nào đó. Nếu I là tập hữu hạn thì M gọi là được sinh hữu hạn bởi C.
2) Môđun C
R
được gọi là đối sinh ra (cogenerate) M (hay M được đối sinh bởi
C) nếu tồn tại đơn cấu 0 −→ M −→ C
(I)
với I là tập chỉ số nào đó. Nếu I là
tập hữu hạn thì M gọi là được đối sinh hữu hạn bởi C.
Định nghĩa 1.22 (Vật sinh - Vật đối sinh). 1) Môđun C
R
được gọi là vật sinh
(generator) của phạm trù các R-môđun phải nếu nó sinh ra mọi môđun phải;
hay nói cách khác, với mọi môđun phải M
R
, luôn tồn tại toàn cấu C
(I)
−→ M.
2) Môđun C
R
được gọi là vật đối sinh (cogenerator) của phạm trù các R- môđun
phải nếu nó đối sinh ra mọi môđun phải; hay nói cách khác, với mọi môđun
phải M
R
, luôn tồn tại đơn cấu M −→ C
(I)
.
14
Bổ đề 1.5.2 ([6], Lemma 1.42). Cho E
R

là môđun nội xạ. Khi đó, E là vật đối sinh
khi và chỉ khi mọi môđun phải đơn đều có thể nhúng được vào trong E.
Định nghĩa 1.23 (Vành Kasch phải). Một vành R được gọi là Kasch phải (right
Kasch) nếu mọi R-môđun phải đơn K đều nhúng được vào R
R
, điều này tương đương
với R
R
đối sinh ra K.
Ví dụ 3. Mọi vành nửa đơn đều là vành Kasch (phải, trái).
Mệnh đề 1.5.3 ([6], Proposition 1.44). Các điều sau đây là tương đương cho một
vành R:
1) R là Kasch phải.
2) Hom(M
R
, R) = 0 với mọi R- môđun phải M hữu hạn sinh.
3) l(T ) = 0 với mỗi iđêan phải thực sự T của R.
4) rl(T ) = T với mỗi iđêan phải cực đại T của R.
5) E(R
R
) là một đối sinh.
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Giả sử M
R
là một môđun phải hữu hạn sinh bất kỳ của R.
Khi đó M
R
có môđun con cực đại N. Do đó M/N là đơn và α : M −→ M/N là một
phép chiếu hay α(M) là môđun đơn. Theo giả thiết R là vành Kasch phải nên tồn
tại đơn cấu 0 = β : α(M) −→ R
R

. Như vậy βα : M −→ R
R
là một đồng cấu khác 0
hay Hom(M, R
R
) = 0.
(2) ⇒ (3) Giả sử T là một iđêan phải cực đại của R. Khi đó R/T là một iđêan
phải hữu hạn sinh. Từ giả thiết (2) suy ra tồn tại đồng cấu 0 = γ : R/T −→ R
R
. Đặt
γ(1 + T) = a, lúc đó a = 0 và aT = γ(1 + T ).γ(0) = γ(0) = 0. Do đó a ∈ l(T). Vậy
l(T ) = 0.
(3) ⇒ (4) Giả sử T là một iđêan phải cực đại của R. Khi đó ta luôn có T ≤ rl(T ).
Mặt khác, theo giả thiết (3) ta có l(T ) = 0 do đó rl(T ) = R. Vì T là iđêan cực đại
nên ta suy ra T = rl(T ).
(4) ⇒ (5) Giả sử T là một iđêan phải cực đại của R. Theo giả thiết (4) ta có
rl(T ) = T , suy ra l(T) = 0. Do đó tồn tại 0 = a ∈ l(T ) suy ra rl(T ) ≤ r(a) hay T ≤
r(a) = R. Mà T là cực đại nên T = r(a). Xét tương ứng α : R/T −→ R xác
15
định bởi α(r + T ) = ar. Dễ thấy α là một ánh xạ và là một R-đồng cấu. Ta có
Kerα = {r ∈ R|α(r + T ) = 0} = {r ∈ R|ar = 0} = r(a) = T. Do đó α là đơn cấu
hay R/T → R ≤ E(R). Theo Bổ đề 1.5.2, ta có E(R
R
) là vật đối sinh.
(5) ⇒ (1) Giả sử K
R
là một môđun đơn bất kỳ của R. Từ giả thiết (5) ta suy
ra tồn tại đơn cấu α : K −→ E(R). Vì R ≤
e
E(R) và 0 = α(K) ≤ E(R) nên

R ∩ α(K) = 0. Do đó α(K) ≤ R tức là K
R
được nhúng trong R
R
. Vậy R là vành
Kasch phải. 
Mệnh đề 1.5.4 ([6], Proposition 1.46). Cho R là một vành. Lúc đó
R là vành Kasch trái =⇒ R là vành C2 phải =⇒ Z
r
≤ J(R).
Chứng minh. Giả sử R là Kasch trái. Nếu aR đẳng cấu với một hạng tử của R, a ∈ R,
điều này có nghĩa là Ra ≤
⊕
R
R (lúc đó a là phần tử chính quy nên aR ≤
⊕
R
R
). Bởi
vì aR là xạ ảnh, đặt r(a) = (1 − e)R, e
2
= e. Lúc đó a = ae, suy ra Ra ≤ Re và ta
cần chứng tỏ Ra = Re. Nếu Ra = Re thì xét M sao cho Ra ≤ M ≤
max
Re. Vì R là
vành Kasch nên gọi σ : Re/M →
R
R là đơn cấu và viết c = (e + M)σ. Lúc đó ec = c
và (bởi vì ae = a ∈ M) c ∈ r(a) = (1 − e)M. Điều này chứng tỏ rằng c = ec = 0 và
suy ra e ∈ M, bởi vì σ là đơn cấu. Điều này mâu thuẫn, do đó Ra = Re.

Bây giờ, giả sử rằng R là vành C
2
và gọi a ∈ Z
r
. Vì r(a)∩r(1−a) = 0 nên r(1−a) = 0,
khi đó (1 − a)R
∼
=
R. Từ giả thiết (1 − a)R ≤
⊕
R, suy ra R(1 − a) ≤
⊕
R, nghĩa là
R(1 − a) = Rg, g
2
= g. Từ đó suy ra 1 − g ∈ r(1 − a) = 0, do đó R(1 − a) = R. Mặt
khác, a ∈ Z
r
là phần tử tùy ý nên Z
r
≤ J(R). 
1.6. Vành nội xạ cực tiểu
1.6.1. Định nghĩa và một số định lý quan trọng
Định nghĩa 1.24 (Vành nội xạ cực tiểu). Cho R là một vành. Một môđun M
R
được gọi là nội xạ cực tiểu (mininjective) nếu với mọi iđêan phải đơn K của R, mỗi
R-đồng cấu γ : K → M
R
đều mở rộng được thành γ : R → M; nghĩa là, γ = m· là
một phép nhân bởi phần tử m ∈ M. Vành R được gọi là nội xạ cực tiểu phải (right

mininjective) nếu mọi iđêan phải đơn K đều mở rộng được.
Ví dụ 4. Vành đa thức R[x] là nội xạ cực tiểu trái và phải.
16
Bổ đề 1.6.1 ([6], Lemma 2.1). Các điều kiện sau là tương đương:
1) R là nội xạ cực tiểu.
2) Nếu kR là đơn, k ∈ R, thì lr(k) = Rk.
3) Nếu kR là đơn và r(k) ≤ r(a); k, a ∈ R, thì Ra ≤ Rk.
4) Nếu kR là đơn và γ : kR → R là R-đồng cấu, k ∈ R, thì γ(k) ∈ Rk.
Định lý 1.6.2 ([6], Theorem 2.21). Cho R là vành nội xạ cực tiểu phải và k, m ∈ R.
1) Nếu kR là iđêan phải đơn thì Rk là iđêan trái đơn.
2) Nếu kR
∼
=
mR là đơn thì Rk
∼
=
Rm; nghĩa là Rk = (Rm)u, với u là phần tử
nào đó thuộc R.
3) S
r
≤ S
l
.
Chứng minh. (a) và (c). Nếu kR là đơn và 0 = ak ∈ Rk, xác định γ = a· : kR →
akR, thì γ là đẳng cấu và do đó, khi R là vành nội xạ cực tiểu, đặt γ
−1
= c·, c ∈ R.
Như vậy, k = γ
−1
(ak) = cak ∈ Rak, nên Rk là iđêan trái đơn.

Bây giờ, với x ∈ S
r
, lúc đó x ∈ k
1
R ⊕ . . . ⊕ k
n
R, trong đó mỗi k
i
R là đơn. Suy ra
k
i
∈ S
l
, suy ra S
r
≤ S
l
.
(b). Nếu σ : kR → mR là đẳng cấu xác định bởi σ(k) = mu, u ∈ R, thì rõ ràng
muR = mR là đơn và r(mu) = r[σ(k)] = r(k). Vì R là nội xạ cực tiểu phải nên theo
Bổ đề 1.6.1, ta có Rmu = Rk. 
Mệnh đề 1.6.3 ([6], Lemma 2.3). Nếu R là vành nội xạ cực tiểu phải và có ACC
trên các linh hóa tử phải sao cho S
r
≤
e
R
R
thì R là vành nửa địa phương.
Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh rằng J = l(S

r
) = Z
r
. Vì R nội xạ cực
tiểu nên S
r
≤ S
l
, do đó J ≤ l(S
r
). Mà S
r
≤
e
R
R
nên l(S
r
) ≤ Z
r
. Mà R có ACC
trên các linh hóa tử phải nên theo Bổ đề , Z
r
là lũy linh; suy ra Z
r
≤ J. Như vậy,
J = l(S
r
) = Z
r

là lũy linh.
Tiếp theo, ta chứng tỏ rằng R = R/I là chính quy. Xét a = a + J là phần tử khác
không của R. Vì J = Z
r
nên tồn tại iđêan phải I của R sao cho r(a) ∩ I = 0. Mặt
khác, S
r
≤
e
R
R
nên tồn tại iđêan phải cực tiểu bR ≤ I. Hơn nữa, R là nội xạ cực tiểu
17
và abR là iđêan phải cực tiểu nên Rb = Rab. Như vậy, tồn tại c ∈ R sao cho b = cab.
Do đó, b ∈ r(a − aca)\r(a). Nếu a − aca ∈ J thì a là phần tử chính quy. Ngược lại,
đặt a
1
= a − aca. Lý luận tương tự như đối với a, ta thu được a
k+1
= a
k
− a
k
c
k
a
k
với
c
k

∈ R và r(a
k
) chứa trong r(a
k+1
), với k = 1, 2, . . Vì R có ACC trên các linh hóa
tử phải nên tồn tại m nguyên dương sao cho a
m
∈ J. Theo Bổ đề 1.3.3, a là phần tử
chính quy của R.
Cuối cùng, ta chứng tỏ rằng R là nửa địa phương. Vì J = l(S
r
) là iđêan hai phía
của R và R có ACC trên các linh hóa tử phải nên theo Bổ đề 1.4.4, R có ACC trên
các linh hóa tử phải. Mà R chính quy nên mỗi iđêan phải hữu hạn sinh của R là một
hạng tử trực tiếp của R. Như vậy R là nửa đơn, suy ra R là nửa địa phương. 
Định lý 1.6.4 ([6], Theorem 2.29). Các điều sau là tương đương đối với một vành
R:
1) R là nội xạ cực tiểu phải.
2) M
∗
là đơn hoặc bằng không với mọi R-môđun phải đơn M
R
.
3) l(T ) là đơn hoặc bằng không với mọi iđêan phải cực đại T của R.
4) K
∗
là đơn với mọi iđêan phải đơn K của R.
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Giả sử M
R
là đơn. Nếu M

∗
= 0 thì điều cần chứng minh là
rõ ràng. Ngược lại, gọi 0 = δ ∈ M
∗
; chúng ta sẽ chứng minh rằng M
∗
= Rδ. Trước hết,
nhận thấy rằng δ : M → δ(M) là đẳng cấu. Lấy γ ∈ M
∗
ta có δ(M)
δ
−1
−→ M
γ
−→ R,
do đó γ × δ
−1
= a· với a ∈ R (vì R nội xạ cực tiểu). Điều này chứng tỏ γ = aδ. Vậy
ta chứng minh được (2)
(2) ⇒ (3). Nếu T là một iđêan phải cực đại thì R/T = (1 + T)R là đơn và
r(1 + T ) = T . Lúc đó l(T )
∼
=
(R/T )
∗
, theo Bổ đề 1.2.2, như vậy (3) được chứng
minh.
(3) ⇒ (4). Nếu K = kR là một iđêan phải đơn, ta viết T = r(k), lúc đó T là cực
đại, do vậy K
∗

∼
=
l(T ) và đơn hoặc bằng không, do (3) và Bổ đề 1.2.2. Mà K
∗
= 0
vì nó chứa ánh xạ nhúng từ K → R. Vậy K
∗
là đơn.
(4) ⇒ (1). Xét γ : K → R, trong đó K = kR là iđêan phải đơn, đặt ι : K → R là
phép nhúng tự nhiên. Lúc đó, theo (4), ta có K
∗
= Rι, do vậy γ = cι với c ∈ R. Như
vậy γ = c·. 
18
Mệnh đề 1.6.5 ([6], Example 2.4). Nếu R là vành có S
r
là iđêan trái đơn thì R là
nội xạ cực tiểu phải.
Vào năm 1952, M. Ikeda đã chứng minh được kết quả sau, nói lên mối liên hệ giữa
vành QF với vành nội xạ cực tiểu Artin.
Định lý 1.6.6 (Ikeda, [6], Theorem 2.30). Các điều kiện sau là tương đương đối với
một vành R:
1) R là tựa-Frobenius.
2) R là nội xạ cực tiểu hai phía và Artin hai phía.
1.6.2. Điều kiện Kasch
Trong Định lý 1.6.4, chúng ta đã chứng tỏ rằng một vành nội xạ cực tiểu phải khi
và chỉ khi M
∗
là đơn hoặc bằng không với mọi môđun phải đơn M
R

. Theo Mệnh đề
1.5.3, một vành là Kasch phải khi và chỉ khi linh hóa tử trái của mọi iđêan phải cực
đại là khác không. Kết hợp mệnh đề này với Định lý 1.6.4, chúng ta có kết quả sau
đây đối với vành nội xạ cực tiểu phải và Kasch phải.
Định lý 1.6.7 ([6], Theorem 2.31). Các điều sau là tương đương đối với một vành
R:
1) R là nội xạ cực tiểu phải và Kasch phải.
2) M
∗
là đơn với mọi R-môđun phải đơn M.
3) l(T ) là đơn với mọi iđêan phải cực đại T của R.
Trong trường hợp này, mỗi linh hóa tử trái khác không của R chứa một iđêan trái
đơn.
Chứng minh. Kết quả tương đương giữa (1), (2) và (3) được suy ra từ Mệnh đề
1.5.3 và Định lý 1.6.4.
Bây giờ, giả sử rằng 0 = L = l(X) là một linh hóa tử trái, trong đó X ≤ R. Ta
có thể giả sử thêm rằng X là một iđêan phải, và như vậy, khi X = R, gọi T là iđêan
phải cực đại của R sao cho X ≤ T . Lúc đó l(T ) ≤ l(X) = L và từ (3) suy ra l(T )
là đơn. 
19