Bài giảng toán cao cấp trường đại học tài chính marketing

BỘ TÀI CHÍNH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING


BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KE
Â
o0o



BÀI GIẢNG

TOÁN CAO CẤP

(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO
CHẤT LƯNG CAO BẬC ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY)


Mã học phần: 20029
Số tín chỉ: 04
Lý thuyết: 42
Bài tập, thảo luận: 18


TP. HCM, 2014
BỘ TÀI CHÍNH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING


BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ

BÀI GIẢNG

TOÁN CAO CẤP

(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO
CHẤT LƯNG CAO BẬC ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY)

2

LỜI NÓI ĐẦU

Những kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính và Giải tích toán học được trình bày
trong Bài giảng Toán cao cấp này thực sự cần thiết cho việc tiếp cận với các mô hình
phân tích quá trình ra quyết đònh trong các vấn đề kinh tế. Các kiến thức cơ bản đó bao
gồm: lý thuyết tập hợp và logic hình thức; không gian véc tơ, ma trận và hệ phương
trình tuyến tính; hàm số và giới hạn; phép toán vi tích phân hàm một biến; phép tính
vi phân hàm nhiều biến; các bài toán cực trò; phương trình vi phân.
Các kiến thức được lựa chọn nói trên căn cứ trên nhu cầu sử dụng toán học như
một công cụ và kỹ năng được các nhà kinh tế sử dụng nhiều trong các tài liệu kinh tế
học hiện đại. Hơn nữa, cùng với việc trang bò kiến thức toán học, học phần Toán cao cấp
này còn giúp sinh viên bước đầu làm quen với việc tư duy toán và sử dụng công cụ toán
học trong phân tích kinh tế thông qua các mô hình kinh tế đơn giản.
Hiện nay Toán cao cấp là môn học mà sinh viên không mấy hào hứng tiếp cận, bởi
vì một số kiến thức trong môn học đã được trình bày (mặc dù rất sơ sài) ở chương trình
phổ thông và một số kiến thức lại được sinh viên sử dụng “rất thành thạo” bởi họ đã
được luyện quá kỹ trong giai đoạn ôn thi vào đại học. Tuy nhiên, những điều mà sinh
viên nhầm tưởng là đã biết và thông thạo thì lại không được đánh giá cao trong khi họ

học môn Toán cao cấp ở chương trình đại học. Cũng chính vì vậy, đối với sinh viên các
khối ngành kinh tế nói chung và sinh viên trường Đại học Tài chính – Marketing nói
riêng, việc học Toán cao cấp ở những học kỳ đầu tiên trong chương trình đại học thường
gặp nhiều khó khăn, hoặc nhàm chán hoặc nặng nề. Nhằm giúp các sinh viên giảm bớt
các khó khăn đó khi học môn Toán Cao cấp, đồng thời muốn nêu bật được tính lãng
mạn, không khô khan của Toán học như nhiều người nhầm tưởng, chúng tôi mạnh dạn
biên soạn và đưa vào sử dụng tài liệu nhỏ này sinh viên của chương trình Chất lượng
cao trường Đại học Tài chính-Marketing từ năm học 2012-2013. Bài giảng Toán cao cấp
này tới tay bạn đọc sau khi đã được các giảng viên của Bộ môn Toán_Thống kê, Khoa
Cơ Bản, Trường Đại học Tài chính - Marketing sử dụng trong giảng dạy các lớp chất
lượng cao năm học vừa qua (2012-2013) và chỉnh sửa trong học kỳ 1 năm học 2013-2014.
Bài giảng Toán Cao cấp này gồm 8 chương, bao gồm các kiến thức cơ bản cần thiết
về Lý thuyết tập hợp, Logic hình thức, Đại số tuyến tính và Giải tích toán. Trong mỗi
chương, các khái niệm toán học được trình bày một cách ngắn gọn cùng với các ví dụ
minh họa cụ thể. Các phương pháp tính toán cũng được giới thiệu rõ ràng, súc tích giúp
sinh viên dễ dàng nắm được các thuật toán. Ngoài ra, các ứng dụng của Toán cao cấp
trong kinh tế học cùng với các bài toán cụ thể được giới thiệu với sự phân tích chi tiết.
Bài tập liên quan tới lý thuyết được tuyển chọn từ nhiều nguồn, có sự điều chỉnh cho
phù hợp với đối tượng là sinh viên khối ngành kinh tế. Nội dung cụ thể từng chương
như sau:
 Chương 1 có tên gọi Cơ sở toán học do ThS. Nguyễn Văn Phong và ThS. Vũ
Anh Linh Duy biên soạn. Chương này trình bày các kiến thức cơ sở của
Toán học hiện đại, bao gồm: khái niệm mệnh đề, tập hợp, các phép suy luận
logic và ánh xạ.
3

 Chương 2, 3, 4 Đại số tuyến tính do ThS. Nguyễn Tuấn Duy, ThS. Phạm
Thò Thu Hiền và ThS. Nguyễn Trung Đông biên soạn. Nội dung chính của
chương này là các kiến thức về ma trận, đònh thức của ma trận vuông, hạng
của ma trận, hệ phương trình tuyến tính và cách giải, không gian vectơ.

 Chương 5 với tên gọi Phép tính vi phân hàm một biến, do ThS. Trần Mạnh
Tường biên soạn. Mục đích chính của chương này trình bày các kiến thức cơ
sở của phép tính vi phân hàm một biến số, bao gồm giới hạn của dãy số,
giới hạn của hàm số, sự liên tục và sự khả vi của hàm một biến.
 Chương 6 có tên gọi Phép tính tích phân hàm một biến, do ThS. Dương
Phương Liên biên soạn. Trong chương này, các kiến thức về tích phân của
hàm một biến số, bao gồm tích phân bất đònh, tích phân xác đònh và tích
phân suy rộng được trình bày chi tiết.
 Chương 7 liên quan tới Phép tính vi phân hàm nhiều biến, do ThS. Nguyễn
Văn Phong và ThS. Võ Thò Bích Khuê biên soạn. Các kiến thức cơ bản về
giải tích hàm nhiều biến số, bao gồm: giới hạn, sự liên tục, các đạo hàm
riêng, vi phân, cực trò tự do và cực trò có điều kiện của hàm nhiều biến được
trình bày trong chương này.
 Chương 8 với tên gọi Phương trình vi phân, do ThS. Nguyễn Đức Bằng biên
soạn. Trong chương này, các dạng phương trình vi phân cấp một và cấp hai,
như phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp, phương trình tuyến
tính cấp một và phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng được trình bày
với các ví dụ minh họa chi tiết.
Với đối tượng người đọc là các sinh viên chuyên ngành kinh tế nên Bài giảng Toán
cao cấp này đã tránh dùng các ký hiệu, các đònh nghóa hình thức hay các phát biểu quá
chặt chẽ về mặt toán học. Vì vậy các đònh lý, mệnh đề, công thức toán học trong Bài
giảng Toán cao cấp đã được diễn đạt bằng ngôn ngữ ”không toán”, nhưng vẫn giữ được
bản chất vấn đề.
Do khối lượng kiến thức lớn và cấu trúc của chương trình nặng, thực chất là ghép
của hai học phần Đại số tuyến tính và Giải tích toán, thời lượng chỉ có bốn tín chỉ, lại là
lần đầu tiên biên soạn nên Bài giảng Toán Cao cấp này chắc không tránh khỏi sai sót.
Rất mong nhận được sự góp ý của bạn đọc.
Mục tiêu của giáo trình hướng đến sinh viên những nội dung sau: Với kiến thức về
đại số tuyến tính như
ma trận, tính toán trên ma trận, hệ phương trình, các khái

niệm về không gian vec tơ. Với kiến thức về giải tích như giới hạn, liên tục, đạo
hàm, tích phân của hàm số, và các ứng dụng trong kinh tế. Kiến thức cơ bản về
hàm nhiều biến, cực trò hàm nhiều biến. Kiến thức về phương trình vi phân. Từ
đó sinh viên có thể hiểu và ứng dụng trong các mô hình kinh tế. Về kỹ năng,
vận dụng kiến thức môn học để nghiên cứu các mô hình toán trong kinh tế. Về
thái độ, dự các buổi học đầy đủ, nghiên cứu các nội dung trước khi đến lớp, kiên
trì, sáng tạo, có thái độ học tập chăm chỉ.

BỘ MÔN TOÁN - THỐNG KÊ.
P.504 Lầu 5, 306 Nguyễn Trọng Tuyển, Q. Tân Bình, Tp. Hồ Chí Minh.

4

MỤC LỤC
Lời nói đầu 2
Chương 1. Cơ sở toán 9
1. Logic 9
1.1. Các phép toán mệnh đề. 9
1.2. Tương đương logic 13
1.3. Hệ quả logic 17
1.4. Hàm mệnh đề và lượng từ 21
2. Lý thuyết tập hợp 29
2.1. Quan hệ giữa các tập hợp 30
2.2. Các phép toán giữa các tập hợp 31
3. Ánh xạ 34
3.1. Đònh nghóa 35
3.2. Phân loại ánh xạ 35
3.3. Ánh xạ ngược 36
3.4. Ánh xạ hợp 37
Bài tập 38

Chương 2. Đại số tuyến tính 44
1. Ma trận 44
1.1. Đònh nghóa 44
1.2. Các dạng ma trận đặc biệt 44
1.3. Các phép toán trên ma trận 45
1.4. Các phép biến đổi sơ cấp 47
2. Đònh thức của ma trận vuông 47
2.1. Đònh nghóa 47
2.2. Các tính chất của đònh thức 47
3. Ma trận nghòch đảo 49
3.1. Đònh nghóa 49
3.2. Tính chất 49
3.3. Phương pháp tìm ma trận nghòch đảo 49
3.4. Đònh lý 50
3.5. Tính chất 50
5

4. Hạng của ma trận 50
4.1. Đònh nghóa 50
4.2. Tính chất 50
4.3. Phương pháp tìm hạng của ma trận 50
Bài tập 51
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính 54
1. Khái niệm chung về hệ phương trình tuyến tính 54
1.1. Đònh nghóa 54
1.2. Đònh nghóa 54
2. Hệ Cramer 54
2.1. Đònh nghóa 54
2.2. Các phương pháp giải hệ Cramer 54
3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 55

3.1. Nhận xét 55
3.2. Đònh lý Kronecker – Capelli 55
4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 55
4.1. Đònh nghóa 55
4.2. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 55
Bài tập 56
Chương 4. Không gian Vectơ 62
1. Các khái niệm cơ bản 62
1.1. Đònh nghóa 62
1.2. Tổ hợp tuyến tính 62
1.3. Không gian vectơ con 62
1.4. Đònh lý 62
1.5. Sự độc lập tuyến tính – phụ thuộc thuyến tính 62
2. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 63
2.1. Đònh nghóa 63
2.2. Tính chất 63
2.3. Đònh lý 63
2.4. Tính chất 63
2.5. Mệnh đề 63
6

3. Hạng của hệ vectơ 64
3.1. Đònh nghóa 64
3.2. Phương pháp tìm hạng của một hệ vectơ 64
3.3. Cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất 64
Bài tập 64
Chương 5. Phép tính vi phân hàm một biến 75
1. Giới hạn của dãy số thực 75
1.1. Đònh nghóa dãy số thực 75

1.2. Tính chất và giới hạn của dãy sốï 76
1.2.1. Tính chất 76
1.2.2. Giới hạn của dãy số 77
2. Khái niệm hàm số một biến số 79
2.1. Hàm số 79
2.2. Một số tính chất của hàm số 79
2.3. Các hàm số sơ cấp cơ bản 82
3. Giới hạn hàm số 82
3.1. Đònh nghóa 83
3.2. Tính chất – Các dạng vô đònh của giới hạn 83
3.3. Các giới hạn cơ bản 84
4. Vô cùng bé 85
4.1. Đònh nghóa 85
4.2. Tính chất 85
4.3. So sánh các vô cùng bé 85
4.4. Áp dụng vô cùng bé để tính giới hạn 85
5. Hàm số liên tục 86
5.1. Các đònh nghóa 86
5.2. Tính chất hàm liên tục 86
6. Đạo hàm 86
6.1. Đònh nghóa 86
6.2. Một số quy tắc tính đạo hàm 87
6.3. Đạo hàm hàm ngược 87
6.4. Đạo hàm cấp cao 88
7

6.5. Phương pháp logarit hóa để tính đạo hàm 88
7. Vi phân 88
7.1. Đònh nghóa vi phân và sự khả vi 88
7.2. Sự liên hệ giữa vi phân và đạo hàm 89

7.3. Các quy tắc tính vi phân 89
7.4. Các đònh lý về giá trò trung bình 89
8. Một số ứng dụng của đạo hàm và vi phân 90
8.1. Tính giá trò gần đúng 90
8.2. Khử các dạng vô đònh 90
8.3.Khai triển Taylor – Maclaurent 91
Bài tập 92
Chương 6: Phép tính tích phân hàm một biến 96
1. Tích phân bất đònh 96
1.1. Nguyên hàm- Tích phân bất đònh 96
1.2. Các phương pháp tính tích phân bất đònh 97
2. Tích phân xác đònh 98
2.1. Đònh nghóa 98
2.2. Tính chất 99
2.3. Đònh lý căn bản của phép tính vi tích phân 99
2.4. Phương pháp tính tích phân xác đònh 99
3. Tích phân suy rộng 100
3.1. Đònh nghóa 100
3.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 103
Bài tập 103
Chương 7: Phép tính vi phân hàm nhiều biến 108
1. Các khái niệm 108
1.1. Khoảng cách 108
1.2. Hàm hai biến, hàm nhiều biến 108
1.3. Đồ thò hàm nhiều biến 109
2. Giới hạn và sự liên tục của hàm hai biến 110
2.1. Giới hạn hàm nhiều biến 110
2.2. Giới hạn lặp 111
8

2.3. Liên tục của hàm nhiều biến 112
3. Đạo hàm riêng, vi phân toàn phần 112
3.1. Đạo hàm riêng cấp một 112
3.2. Đạo hàm riêng cấp cao 113
3.3. Vi phân toàn phần 114
4. Cực trò của hàm nhiều biến 114
4.1. Cực trò đòa phương 114
4.2. Cực trò có điều kiện – Giá trò lớn nhất và nhỏ nhất 117
Bài tập 120
Chương 8. Phương trình vi phân 122
1. Các khái niệm cơ bản 122
1.1. Đònh nghóa phương trình vi phân 122
1.2. Nghiệm của phương trình vi phân 122
2. Phương trình vi phân cấp 1 122
2.1. Đònh nghóa 122
2.2. Phương trình tách biến 123
2.3. Phương trình đẳng cấp 124
2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 125
3. Phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng 126
3.3. Phương trình thuần nhất 126
3.4. Phương trình không thuần nhất 127
Bài tập 129
9

Chương 1
CƠ SỞ TOÁN HỌC
1. Logic
Lôgic được biết đến từ thời cổ đại xuất phát từ tác phẩm nổi tiếng của triết học gia
Hy Lạp Aristotle. Tác phẩm này khảo sát những suy luận hợp lý nhằm mục đích tạo cơ
sở cho việc nghiên cứu các ngành tri thức. Đến thế kỷ XVII, nhà triết học kiêm toán học

Đức Gottfried Leibnitz đề xuất ý tưởng sử dụng ký hiệu để biểu diễn các suy luận, tương
tự như việc dùng các ký hiệu đại số trong việc khảo sát số học, đại số. Ý tưởng của
Leibnitz được phát triển tương đối hoàn chỉnh vào thế kỷ XIX bởi các nhà toán học
George Boole và Augustus De Morgan và khai sinh ra phép lôgic hình thức mà ta gọi tắt
là lôgic. Lôgic được tiếp tục phát triển trong thế kỷ XX, đặc biệt trong việc tạo cơ sở lý
thuyết cho ngành khoa học máy tính.
Đối tượng khảo sát của lôgic là mệnh đề, các phát biểu hoặc đúng, hoặc sai nhưng
không thể vừa đúng vừa sai. Các mệnh đề đúng được gọi là có chân trò đúng và các
mệnh đề sai có chân trò sai.
Các mệnh đề thường được ký hiệu bằng các ký tự thường p, q, r, Chân trò đúng
được ký hiệu là 1 và chân trò sai ký hiệu là 0.
Ví dụ. Các phát biểu
p : “4 là một số nguyên tố”,
q : “
1 1 3 
”,
r : “Trường Đại Học Tài Chính - Marketing nằm ở miền nam Việt Nam”,
s : “Tin học đại cương là môn học bắt buộc trong Trường Đại Học Tài Chính -
Marketing”,
là các mệnh đề, trong đó p và q có chân trò 0 (sai), r và s có chân trò 1 (đúng).
1.1 Các phép toán mệnh đề
Từ những mệnh đề có sẵn, người ta có thể thành lập các mệnh đề khác bằng cách
liên kết với trạng từ “không” hay các liên từ “và”, “hay”, “nếu thì ”. Chẳng hạn từ các
mệnh đề trong ví dụ 1, ta có thể thành lập một số mệnh đề sau :
t : “4 không là một số nguyên tố”,
u : “Đại Học Tài Chính - Marketing nằm ở miền nam Việt Nam và Tin học đại
cương là môn học bắt buộc trong trường”,
v : “Nếu 4 là một số nguyên tố thì
1 1 3 
”.

Với ngữ nghóa thông thường, ta dễ thấy rằng t có chân trò 1 (đúng) vì p có chân trò
0 (sai); u có chân trò 1 (đúng) và cả r lần s đều có chân trò 1 (đúng). Đối với v, bằng cách
khảo sát tỉ mỉ hơn, ta sẽ thấy rằng v có chân trò 1 (đúng) vì p có chân trò 0 (sai).
Mục đích chính của phép toán mệnh đề là khảo sát chân trò của một mệnh đề
(phức hợp) từ chân trò của các mệnh đề tạo thành nó. Cụ thể, ta có
1.1.1 Phép phủ đònh. Phủ đònh của mệnh đề p, ký hiệu
p
(hay
p
) và đọc là “không
p”, có chân trò 1 (đúng) khi p có chân trò 0 (sai) và ngược lại, nghóa là ta có bảng chân
10

trò (bảng các trạng thái chân trò của một mệnh đề phức hợp tương ứng với chân trò của
các mệnh đề tạo thành nó) như sau
p
p

0 1
1
0
1.1.2 Phép nối liền (phép hội). Mệnh đề phức hợp tạo bởi hai mệnh đề p, q nối với
nhau bằng liên từ “và” được ký hiệu là
p q
và đọc là “p và q”. Mệnh đề
p q
chỉ đúng
khi cả p lẫn q cùng đúng, nghóa là
p q
chỉ có chân trò 1 khi p và q cùng có chân trò 1.

Ta có bảng chân trò cho phép nối liền như sau
p q
p q

0 0 0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1.1.3 Phép nối rời (phép tuyển). Mệnh đề phức hợp tạo bởi hai mệnh đề p, q nối với
nhau bằng liên từ “hay” được ký hiệu là
p q
và đọc là “p hay q”. Mệnh đề
p q
chỉ sai
khi cả p lẫn q cùng sai, nghóa là
p q
chỉ có chân trò 0 khi p và q cùng có chân trò 0. Ta
có bảng chân trò cho phép nối rời như sau
p q
p q

0 0 0
0
1

1
1
0
1
1
1
1
1.1.4 Phép kéo theo. Mệnh đề phức hợp tạo bởi hai mệnh đề p, q nối với nhau bằng
liên từ “nếu thì ”, theo thứ tự, được ký hiệu là
p q
và đọc là “nếu p thì q”. Mệnh
đề
p q
chỉ sai khi p đúng nhưng q sai, nghóa là
p q
chỉ có chân trò 0 khi p có chân
trò 1 và q có chân trò 0. Ta có bảng chân trò cho phép kéo theo
p q
p q

0 0 1
0
1
1
1
0
0
1
1
1

Nhận xét : i) Chân trò của mệnh đề cho bởi phép phủ đònh, phép nối liền và phép nối
rời tương đối tự nhiên và dễ hiểu. Chẳng hạn mệnh đề
“Tp. Hồ Chí Minh không là thủ đô của Việt Nam”
là đúng vì nó là phủ đònh của
“Tp. Hồ Chí Minh là thủ đô của Việt Nam”
vốn là một mệnh đề sai.
11

Tương tự, mệnh đề “An giàu và đẹp trai” chỉ đúng khi “An giàu” và “An đẹp trai” là
các mệnh đề đúng. Trong khi đó, mệnh đề “An giàu hay đẹp trai” chỉ sai khi “An giàu”
và “An đẹp trai” là các mệnh đề sai, nghóa là khi An vừa không giàu vừa không đẹp trai.
ii) Với phép kéo theo, ta xét mệnh đề
v : “Nếu trời mưa thì đất ướt”.
Phát biểu này chỉ sai khi “trời mưa” là đúng nhưng “đất ướt” là sai, nghóa là khi
trời thì mưa nhưng đất lại không ướt. Khi trời không mưa thì dù đất có ướt hay không
ta vẫn không thể nói w là sai và do đó nó đúng.
Một ví dụ khác. Xét lời hứa của người cha với con mình :
w : “Nếu con được điểm 10 thì ba thưởng”.
Người con chỉ có thể trách ba mình khi nó được điểm 10 nhưng ba nó lại không
thưởng. Khi người con chưa được điểm 10, dù ba nó có thưởng hay không thưởng, người
con không thể nói là ba mình không giữ lời (lời hứa sai).
Chú ý rằng, mệnh đề
p q
đúng không có ý khẳng đònh p và/hay q đúng hay sai.
Chẳng hạn v đúng không có ý khẳng đònh trời mưa hay không cũng như đất ướt hay
không; w đúng không có nghóa là người con được điểm 10 hay không cũng như người cha
có thưởng hay không thưởng.
Mệnh đề dạng
p q
rất thường gặp ở phát biểu các kết quả trong khoa học. Khi

ấy, người ta gọi p là “giả thuyết” và q là “kết luận” của kết quả tương ứng và do đònh
nghóa của phép kéo theo, để chứng minh kết quả
p q
là đúng, ta chỉ cần xét trường
hợp p đúng và cố gắng chứng tỏ rằng khi đó q cũng đúng mà không quan tâm tới trường
hợp p sai.
1.1.5 Phép kéo theo hai chiều. Với hai mệnh đề p, q, mệnh đề
   
p q q p
  
được
ký hiệu là
p q
, đọc là “p nếu và chỉ nếu q”. Ta có bảng chân trò
p q
p q

q p

p q

0 0 1 1 1
0
1
1
0
0
1
0
0

1
0
1
1
1
1
1
và ta thấy
p q
chỉ đúng khi p, q cùng đúng hay cùng sai.
Trong các đònh nghóa trên, ta lần lượt xét các biểu thức lôgic dạng
p
,
p q
,
p q
,
p q
,
p q
và khi ta thay p, q bằng các mệnh đề đã biết, ta sẽ nhận được thêm một
số mệnh đề mới. Các phát biểu như vậy được gọi là các dạng mệnh đề (hay biểu thức
mệnh đề), trong đó p, q gọi là các biến mệnh đề.
Tổng quát, từ các biến mệnh đề (kể cả các mệnh đề mà ta gọi là hằng mệnh đề để
phân biệt với biến mệnh đề) và thông qua một số hữu hạn các phép toán mệnh đề, ta
nhận được các dạng mệnh đề và thường được ký hiệu bởi các ký tự hoa A, B, C, Chân
trò của một dạng mệnh đề được hoàn toàn xác đònh và chỉ phụ thuộc vào chân trò của
các biến mệnh đề (chứ không phụ thuộc vào mệnh đề cụ thể gán cho từng biến mệnh
đề). Chẳng hạn, dạng mệnh đề
   

, ,
A p q r p r q
  
có bảng chân trò
12

p q r
r

r q

 
, ,A p q r

0 0 0 1 0 0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1

0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
Khi đó, nếu ta thay các biến mệnh đề p, q, r lần lượt bằng các mệnh đề đúng, sai,
đúng (tương ứng với hàng in nghiêng trong bảng chân trò), thì ta nhận được một mệnh
đề đúng.

Ngoài ra, xét bảng chân trò của các dạng mệnh đề
 
A p q r  
và
 
B p q r  
,
ta có
p q r
q r

A
p q

B
0 0 0 0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1

0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
Ta thấy bảng chân trò của hai dạng mệnh đề A, B là khác nhau. Điều này cho thấy
rằng khi ta thay các biến mệnh đề p, q, r bằng các mệnh đề cụ thể, ta có thể nhận được
các mệnh đề với chân trò khác nhau. Chẳng hạn, khi thay p, q, r lần lượt bằng các mệnh
đề sai, đúng, đúng, ta nhận được mệnh đề A sai nhưng mệnh đề B thì đúng.
Ngoài ra, nhận xét trên còn cho thấy thứ tự các phép nối là quan trọng và do đó
các dấu ngoặc “(” và “)” là cần thiết. Tuy nhiên, ta cũng quy ước rằng, khi không có các
dấu ngoặc, phép lấy phủ đònh sẽ được ưu tiên thực hiện hơn các phép toán khác. Chẳng
hạn,
p q
có nghóa là lấy phủ đònh của p trước rồi mới nối liền với q; ngược lại, nếu
muốn nối liền p, q với nhau trước rồi mới lấy phủ đònh, ta phải viết là
 
p q
.
1.1.6 Đònh nghóa. i) Một dạng mệnh đề được gọi là hằng đúng (còn gọi là chân lý), ký
hiệu là 1, nếu nó có chân trò 1 (luôn luôn đúng) bất chấp chân trò của các biến mệnh đề
tạo thành nó.
i) Một dạng mệnh đề được gọi là hằng sai (còn gọi là mâu thuẫn), ký hiệu là 0, nếu
nó có chân trò 0 (luôn luôn sai) bất chấp chân trò của các biến mệnh đề tạo thành nó.
Ví dụ. i) Với bảng chân trò của dạng mệnh đề
   
,

B p q p p q  
,
p q
p q

 
,B p q

0 0 0 1
13

0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
ta thấy
   
,
B p q p p q  
là một hằng đúng.
ii) Với bảng chân trò của dạng mệnh đề
   

,
C p q p q p
  
,
p q
q p

 
q p


 
,C p q

0 0 1 0 0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0

ta thấy
   
,
C p q p q p
  
là một hằng sai.
1.2 Tương đương lôgic
1.2.1 Đònh nghóa. Hai dạng mệnh đề A và B được gọi là tương đương lôgic, ký hiệu
A B
, nếu dạng mệnh đề
A B
là hằng đúng.
Ví dụ. Với các dạng mệnh đề
 
A p q 
,
B p q 
và
A B
, ta có
p q
p q

A
p

q

B
A B

0 0 0
1
1 1
1 1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
Vì

A B
là hằng đúng, ta suy ra A và B tương đương lôgic với nhau, ký hiệu
A B
, hay cụ thể hơn,
 
p q p q  
.
Nhận xét: Do đònh nghóa, dạng mệnh đề
A B
chỉ đúng khi A, B cùng đúng hoặc cùng
sai. Do đó, A, B tương đương lôgic với nhau nếu và chỉ nếu A, B luôn luôn cùng đúng
hoặc cùng sai (bất chấp chân trò của các biến mệnh đề tạo thành nó) hay nói khác đi,
khi A, B có cùng bảng chân trò.
Ta được một số tương đương lôgic căn bản sau
1.2.2 Đònh lý. Với các biến mệnh đề p, q, r bất kỳ, ta có
i)
 
p p
(luật phủ đònh đôi),
ii)
 
p q p q  
(luật De Morgan),

 
p q p q  
,
iii)
p q q p  
(luật giao hoán),

p q q p  
,
iv)
   
p q r p q r    
(luật kết hợp),
14


   
p q r p q r    
,
v)
     
p q r p q p r     
(luật phân bố),

     
p q r p q p r     
,
vi)
p p p 
(luật lũy đẳng),

p p p 
,
vii)
p p 0
(luật trung hòa),

p p 1
,
viii)
p p
  1
(luật về phần tử bù),

p p
  0
,
ix)
p
 1 1
(luật thống trò),

p
 0 0
,
x)
 
p p q p  
(luật hấp thụ),

 
p p q p
  
.
Từ đònh nghóa của tương đương lôgic và với nhận xét nêu trên, phần chứng minh
đònh lý 2.2 được thực hiện bằng cách lập bảng chân trò hai vế của từng tương đương

lôgic và so sánh kết quả. Với cùng phép chứng minh, ta được các tương đương lôgic quan
trọng liên quan đến phép kéo theo sau
1.2.3 Đònh lý. Với các biến mệnh đề p, q bất kỳ, ta có
i)
   
p q q p
  
,
ii)
 
p q p q  
,
iii)
 
p p 
0
.
Xuất phát từ tính chất của tương đương lôgic
A B
, ta có A và B luôn luôn cùng
đúng hoặc cùng sai. Do đó, để chứng tỏ một trong hai dạng mệnh đề A, B là đúng, ta chỉ
cần chứng tỏ dạng mệnh đề còn lại là đúng. Chẳng hạn, từ các tương đương lôgic của
đònh lý 2.3, ta có
1.2.4 Phép chứng minh đảo đề. Từ tương đương lôgic
   
p q q p
  
,
để chứng tỏ
p q

là đúng (hay sai), ta chỉ cần chứng tỏ
q p
là đúng (hay sai). Dạng
mệnh đề
q p
còn được gọi là đảo đề của dạng mệnh đề
p q
.
Ví dụ. i) Để chứng tỏ phát biểu : “nếu bình phương một số nguyên tự nhiên n là một số
chẵn thì n cũng là một số chẵn” là đúng, ta viết phát biểu này dưới dạng ký hiệu
p q
,
với
p 
“
2
n
là một số chẵn”,
15

q 
“n là một số chẵn”.
Đảo đề của nó,
q p
, là “nếu n không là một số chẵn thì
2
n
không là một số
chẵn” và ta có thể chứng minh phát biểu này đúng như sau :
Nếu n không là một số chẵn, nghóa là n không chia hết cho 2, thì tồn tại số

nguyên k sao cho
2 1n k 
.
Bấy giờ, do
 
2 2
2 2 2 1
n k k
  
, ta suy ra
2
n
cũng không chia hết cho 2 và do đó
2
n
không là số chẵn.
Vì
q p
đúng nên do phép chứng minh đảo đề, ta suy ra
p q
cũng đúng.
ii) Xét tình huống sau một vụ trộm, chủ nhà phát hiện tiền trong tủ bò mất nhưng
trong mỗi xấp tiền chỉ bò mất vài tờ. Người ta lập luận như sau :
“Nếu ăn trộm là người ngoài thì tiền bò lấy mất hết. Mà tiền không bò lấy hết nên
ăn trộm không là người ngoài.”
Trong lập luận này, với các mệnh đề :
p 
“ăn trộm là người ngoài”,
q 
“tiền bò lấy mất hết”,

nên khi ta coi mệnh đề “nếu ăn trộm là người ngoài thì tiền bò lấy mất hết”, nghóa là
mệnh đề
p q
, là đúng thì ta phải chấp nhận đảo đề
q p
của nó, “nếu tiền không bò
lấy mất hết thì ăn trộm không là người ngoài” là đúng.
1.2.5 Phép chứng minh phản ví dụ. Từ tương đương lôgic
 
p q p q  
,
để chứng tỏ
p q
là sai, ta chỉ cần chỉ ra trường hợp
p q
là đúng, nghóa là p đúng, q
sai.
Ví dụ. i) Để phản bác lại lập luận “nếu có tiền thì có hạnh phúc”, nghóa là để chứng tỏ
rằng nó sai, ta chỉ cần đưa ra một ví dụ “có tiền và không có hạnh phúc”.
ii) Để chứng tỏ phát biểu “nếu
2
n
chia hết cho 4 thì n chia hết cho 4” là sai, ta chỉ
cần đưa ra ví dụ về một số nguyên n sao cho “
2
n
chia hết cho 4” nhưng “n không chia
hết cho 4”. Chẳng hạn lấy
6
n


.
1.2.6 Phép chứng minh phản chứng. Xuất phát từ tương đương lôgic
 
p p 
0
,
để chứng tỏ p là đúng, ta chỉ cần chứng tỏ
p
 0
là đúng, nghóa là chứng tỏ rằng nếu p
sai (
p
đúng) thì bằng các phép suy luận đúng, ta nhận được một mệnh đề sai. Trong
thực tế, phép phản chứng thường được dùng dưới dạng
“Nếu p sai thì vô lý. Vậy p đúng.”
16

Ví dụ. i) Luật ngoại phạm trong các bộ luật hình sự là một trường hợp điển hình cho
phép chứng minh phản chứng : Nếu vào thời điểm xảy ra vụ án, ta có chứng cứ cho thấy
mình đang ở một nơi khác (chứng cứ ngoại phạm) thì ta vô can trong vụ án này. Lập
luận có thể lý giải là
“Nếu ta liên quan đến vụ án thì vô lý (vào cùng một thời điểm ta có thể ở hai nơi
khác nhau). Do đó, ta vô can.”
ii) Phép chứng minh phản chứng thường xuất hiện với các khái niệm được đònh
nghóa bằng phủ đònh. Chẳng hạn, do đònh nghóa, một số thực được gọi là vô tỷ khi nó
không là số hữu tỷ. Do đó, để chứng minh một số là vô tỷ, ta thường chứng tỏ rằng nếu
số đó là số hữu tỷ thì ta nhận được điều vô lý. Ví dụ, để chứng minh
2
(số thực dương

mà bình phương của nó bằng 2) là một số vô tỷ, ta dùng phép chứng minh phản chứng
sau :
Nếu
2
không là số vô tỷ, nghóa là tồn tại các số nguyên m, n sao cho
 
2
2
m
n

,
thì trước hết, ta có thể giả sử
,m n
 
và
 
1
gcd ,m n

(ước số chung lớn nhất của m và
n là 1, hay nói khác đi, phân số
m
n
là tối giản) và khi đó do
2 2
2m n

,
ta suy ra

2
m
là một số chẵn. Do ví dụ 4, i) n phải là số chẵn, nghóa là tồn tại số nguyên
k sao cho
2m k
. Bấy giờ, do
2 2
2n k

,
ta lại được
2
n
là số chẵn và cũng do ví dụ 4, i), n cũng là số chẵn.
Điều này cho thấy cả m lẫn n đều là số chẵn. Mâu thuẫn với giả đònh rằng
 
1
gcd ,m n

.
Vậy, do phép chứng minh phản chứng,
2
là một số vô tỷ.
Hơn nữa, cần chú ý rằng mỗi một tương đương lôgic đều cho ta một phép chứng
minh. Chẳng hạn, với các số thực x, y, để chứng minh rằng
“nếu
0
xy

thì

0
x

hay
0
y

”,
người ta chứng minh rằng
“nếu
0
xy

và
0
x

thì
0
y

”,
bằng cách dùng tương đương lôgic
   
p q r p q r
   
    
   
.
Ngược lại, với tương đương lôgic

     
p r q r p q r
   
     
   
,
17

người ta có phép chứng minh theo trường hợp theo nghóa thường dùng là nếu
p r
và
q r
cùng đúng thì
 
p q r 
cũng đúng. Chẳng hạn, vì
“nếu dãy
 
n
a
phân kỳ thì chuỗi
n
a

phân kỳ”
và
“nếu dãy
 
n
a

hội tụ về một giới hạn
0
thì chuỗi
n
a

phân kỳ”
nên
“nếu dãy
 
n
a
phân kỳ hay hội tụ về một giới hạn
0
thì chuỗi
n
a

phân kỳ”
1.3 Hệ qủa logic
1.3.1 Đònh nghóa. Dạng mệnh đề B được gọi là một hệ quả lôgic của dạng mệnh đề A,
ký hiệu
A B
, khi dạng mệnh đề
A B
là hằng đúng.
Ví dụ. Xét các dạng mệnh đề
A p q 
và
B p q 

. Ta có bảng chân trò
p
q
A
B
A B

0 0 0 0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
Vì dạng mệnh đề
A B
là hằng đúng nên B là hệ quả lôgic của A, nghóa là
A B
hay
   

p q p q  
.
Nhận xét. Khi B là hệ quả lôgic của A, nghóa là
A B
không bao giờ sai, thì nếu A
đúng, B cũng bắt buộc phải đúng. Đó chính là ý nghóa cho rằng B là “hệ quả” của A.
Ta có một số hệ quả lôgic quan trọng sau :
1.3.2 Đònh lý. Với các biến mệnh đề
, ,p q r
bất kỳ, ta có
i)
 
p q p q
 
  
 
,
ii)
 
p q q p
 
  
 
,
iii)
     
p q q r p r
 
    
 

,
iv)
 
p q p q
 
  
 
.
Phần chứng minh thực hiện trực tiếp từ đònh nghóa bằng cách đặt A là dạng mệnh
đề vế trái, B là dạng mệnh đề vế phải và lập bảng chân trò cho dạng mệnh đề
A B
,
ta sẽ nhận được một hằng đúng.
Chú ý rằng trong các hệ quả lôgic của đònh lý 3.2, vế trái được tạo bởi hai dạng
mệnh đề liên kết với phép nối liền “

”. Do đó, khi hai dạng mệnh đề này đúng thì vế
trái đúng và do nhận xét nêu trên, ta suy ra rằng vế phải cũng đúng. Từ đó, ta xây dựng
được một số phép suy luận cơ bản sau :


18

1.3.3 Phép khẳng đònh
Từ hệ quả lôgic
 
p q p q
 
  
 

,
ta suy ra rằng nếu
p q
và p cùng đúng thì q buộc phải đúng, ký hiệu

p q


p


q
Ví dụ. Ta có một số suy luận khẳng đònh sau
i)

(nếu) là người thì phải chết

(mà) Socrate là người

(vậy)
Socrate phải chết
ii)

(nếu) trời mưa thì đất ướt

(mà) trời mưa

(vậy)
đất ướt
iii)

(nếu) cá không ăn muối thì cá ươn

(mà) cá (này) không ăn muối

(vậy)
cá (này phải) ươn
1.3.4 Phép phủ đònh
Từ hệ quả lôgic
 
p q q p
 
  
 
,
ta suy ra rằng nếu
p q
đúng và q sai (
q
đúng) thì p buộc phải sai (
p
đúng),

p q


q



p

Ví dụ. Ta có một số suy luận phủ đònh cho ví dụ 8 sau
i)

(nếu) là người thì phải chết

(mà) Zeus không chết

(vậy)
Zeus không là người
ii)

(nếu) trời mưa thì đất ướt

(mà) đất không ướt

(vậy)
trời không mưa
iii)

(nếu) cá không ăn muối thì cá ươn

(mà) cá (này) không ươn

(vậy)
cá (này phải) có ăn muối
19

Chú ý. Phép suy luận phủ đònh có thể coi như phép đảo đề kết hợp với phép

khẳng đònh :
Nếu
p q
đúng thì
q p
cũng đúng (phép đảo đề).
Nếu
q p
và
q
cùng đúng thì
p
cũng đúng (phép khẳng đònh).
1.3.5 Tam đoạn luận
Từ hệ quả lôgic
     
p q q r p r
 
    
 
,
ta suy ra rằng nếu
p q
và
q r
cùng đúng thì
p r
đúng,

p q

q r



p r

Ví dụ. Các dạng thường dùng của tam đoạn luận như sau
i)

(nếu) hai tam giác có các cạnh đôi một bằng nhau thì bằng nhau

(nếu) hai tam giác bằng nhau thì có các góc đôi một bằng nhau

(vậy)
(nếu) hai tam giác có các cạnh đôi một bằng nhau thì có các góc đôi một
bằng nhau
ii)

(nếu) hàm f khả vi trên

thì f liên tục trên



(nếu) hàm f liên tục trên

thì f liên tục trên mọi đoạn
 

,a b


(nếu) hàm f liên tục trên
 
,a b
thì f khả tích trên
 
,a b


(vậy)
(nếu) hàm f khả vi trên

thì f khả tích trên mọi đoạn
 
,a b

Chú ý rằng các suy luận tam đoạn luận rất được thường dùng : Nếu
p q
,
q r
,
r s
và
s t
cùng đúng thì
p t
cũng đúng. Trong thực tế, ta thường viết vắn tắt
suy luận này dưới dạng :

p q
r
s
t





1.3.6 Tam đoạn luận rời
Từ hệ quả lôgic
 
p q p q
 
  
 
,
ta suy ra rằng nếu
p q
đúng và
p
sai (
p
đúng) thì q đúng,

p q


q



q
20

Ví dụ. Với suy luận tam đoạn luận rời sau

(ta có)
0
a

hay
0
b



(mà)
0
a



(vậy)
0
b


ta có thể dùng trong loạt suy luận sau, với số nguyên
n


,

(nếu)
  
2
1 1 1 0
n n n
    
thì
1 0
n
 
hay
1 0
n
 


(mà)
1 0
n
 
hay
1 0
n
 


(và)

1 0
n
 
(do
n

)

(thì)
1 0
n
 


(vậy)
(nếu)
2
1 0
n
 
thì
1
n


Cuối cùng, ta xét ví dụ sau trong đó kết hợp các phép chứng minh và suy luận nêu
trên.
Ví dụ. Truyện kể rằng một ông vua muốn lựa một trong ba người con, gọi là A, B và C
chẳng hạn, để truyền ngôi. Ông cho ba người con vào một phòng tối trong đó có chứa ba
nón trắng và hai nón đen, mỗi người lấy một nón đội lên đầu rồi đi ra ngoài. Nhà vua

quy ước rằng người con nào nói đúng mầu nón trên đầu mình và giải thích một cách hợp
lý thì sẽ được chọn (dó nhiên là từng người không thể nhìn thấy nón trên đầu mình mà
chỉ thấy nón trên đầu hai người còn lại).
Tình huống xảy ra theo thứ tự như sau :
A nói : tôi không biết mầu nón của tôi,
B nói : tôi cũng không biết mầu nón của tôi,
C nói : vậy thì tôi đã biết được mầu nón của tôi.
Câu đố đặt ra là : C đội nón mầu gì và tại sao C biết ?
Đáp án là C đội nón mầu trắng với các suy luận sau :
Suy luận phủ đònh :

(nếu) B và C cùng đội nón đen thì A biết mình đội nón trắng

(mà) A không biết mầu nón của mình

(vậy)
B và C không cùng đội nón đen
Do luật De Morgan “B và C không cùng đội nói đen” có nghóa là “B và C đội ít
nhất một nón trắng” hay nói khác đi ta được phát biểu đúng sau
“B đội nón trắng hay C đội nón trắng”.
Khi đó, ta dùng tam đoạn luận rời :

B đội nón trắng hay C đội nón trắng

(nên nếu) C không đội nón trắng

(thì)
B biết mình đội nón trắng
Lại dùng suy luận phủ đònh :

(nếu) C không đội nón trắng thì B biết mình đội nón trắng

(mà) B không biết mầu nón của mình

(vậy)
C đội nón trắng
21

Ví dụ. Trong một ngôi đền có ba vò thần, thần thật thà (luôn luôn nói thật), thần dối
trá (luôn luôn nói dối) và thần khôn ngoan (lúc nói thật lúc nói dối). Ba vò thần này có
hình dáng bên ngoài giống hệt nhau và ngồi trên ba cái bục đánh dấu là phải, giữa và
trái. Một người vào đền đặt câu hỏi cho ba vò thần như sau :
Đối với thần ngồi hai bên thì hỏi : Người ngồi cạnh ông là ai ?
Đối với thần ngồi giữa thì hỏi : Ông là ai ?
và nhận được các câu trả lời như sau :
Thần bên phải : Hắn là thần thật thà.
Thần ngồi giữa : Ta là thần dối trá.
Thần bên trái : Hắn là thần khôn ngoan.
Từ các câu trả lời này, người đó suy luận ra từng vò thần một như sau :
Suy luận phủ đònh :

nếu
thần ngồi giữa là thần thật thà
thì
ông ta phải trả lời rằng
mình là thần thật thà.

(mà) thần ngồi giữa
không
nói rằng mình là thần thật thà.


(vậy)
thần ngồi giữa
không
là thần thật thà.
Suy luận phủ đònh :

nếu
thần ngồi phải là thần thật thà
thì
ông ta phải trả lời rằng
thần ngồi giữa là thần thật thà.

(mà) thần ngồi phải
không
nói rằng thần ngồi giữa là thần thật
thà.

(vậy)
thần ngồi phải
không
là thần thật thà.
Suy luận tam đoạn luận rời :

Một trong ba vò thần là thần thật thà.

(mà) thần ngồi giữa và ngồi phải
không
là thần thật thà.


(vậy)
thần ngồi trái là thần thật thà.
Ta kết luận được thần ngồi trái là thần thật thà. Từ câu nói của thần thật thà, ta
suy ra được thần ngồi giữa là thần khôn ngoan và như vậy thần ngồi phải là thần dối
trá.
1.4 Hàm mệnh đề và lượng từ
1.4.1 Đònh nghóa. Cho A là một tập hợp không rỗng sao cho ứng với mỗi
x A
, ta liên
kết với một mệnh đề ký hiệu
 
p x
. Ta nói
 
p x
, hay vắn tắt là p, là một hàm mệnh đề
(hay vò từ) theo biến
x A
.
Chú ý rằng khi nói ứng với
x A
, ta có mệnh đề
 
p x
, nghóa là
 
p x
là phát biểu
mà chân trò của nó được xác đònh theo từng giá trò cụ thể của
x A

.
Ví dụ. Với
n

,
 
p n 
“
2
5
n

”,
 
q n 
“
2
5
n

”,
22

 
r n 
“
2
2
n n
 

”
là các hàm mệnh đề theo biến
n

. Chú ý rằng
 
p n
sai với các giá trò
1 2,
n

và đúng với các giá trò
3 4 5, , ,
n

,
 
q n
sai với mọi giá trò của n, và
 
r n
đúng với mọi giá trò của
n

.
Chú ý rằng với các hàm mệnh đề cho trước
 
p x
và
 

q x
theo biến
x A
, ta có
thể kết hợp với các phép toán mệnh đề để nhận được các hàm mệnh đề (phức hợp) :
   
p x p x

,
   
p x q x

,
   
p x q x

,
   
p x q x

và
   
p x q x

theo biến
x A
.
Ví dụ. Với các hàm mệnh đề theo biến
n


 
p n 
“n chia hết cho 2”,
 
q n 
“n chia hết cho 3”,
 
r n 
“n chia hết cho 6”,
ta nhận được các hàm mệnh đề
   
p n q n 
“n chia hết cho 2 và cho 3”,
   
r n p n 
“nếu n chia hết cho 6 thì n chia hết cho 2”
Tổng quát, với các tập không rỗng
1
A
,
2
A
, ,
n
A
sao cho mỗi
1 1
x A
,

2 2
x A

, ,
n n
x A

, được liên kết với một mệnh đề
 
1 2
, , ,
n
p x x x
, ta nói
 
1 2
, , ,
n
p x x x
, hay vắn
tắt p, là một hàm mệnh đề theo n biến
1 2
, , ,
n
x x x
.
Chẳng hạn, phát biểu
 
, ,
p i j k 

“
4
i j k
  
”
là một hàm mệnh đề theo ba biến
, ,i j k
 
. Nó đúng với các giá trò
1i 
,
1j 
,
2
k

;
1i 
,
2
j

,
1
k

;
2
i


,
1j 
,
1
k

và sai với mọi giá trò còn lại.
Do chân trò của một hàm mệnh đề thay đổi tùy thuộc vào giá trò cụ thể của các
biến nên để biến hàm mệnh đề thành mệnh đề, người ta kết hợp chúng với các lượng từ
: Lượng từ phổ dụng “

” và lượng từ tồn tại “

” như sau
1.4.2 Đònh nghóa. Xét hàm mệnh đề
 
p x
theo biến
x A
. Ta thành lập các mệnh đề
 
,
x A p x
 
,
đọc là “với mọi
x A
sao cho
 
p x

”, và
 
,
x A p x
 
,
đọc là “tồn tại (hay có ít nhất một)
x A
sao cho
 
p x
”, với chân trò được xác đònh như
sau :
23

i)
 
,
x A p x
 
chỉ đúng khi thay x bằng bất kỳ
a A
, ta đều nhận được mệnh đề
đúng
 
p a
.
ii)
 
,

x A p x
 
chỉ sai khi thay x bằng bất kỳ
a A
, ta đều nhận được mệnh đề sai
 
p a
.
Khi tập A các biến x được ngầm hiểu và không gây nhầm lẫn, người ta có thể viết
các mệnh đề
 
,
x A p x
 
và
 
,
x A p x
 
thành
 
,
x p x

và
 
,
x p x

.

Ví dụ. Với các hàm mệnh đề trong ví dụ 14, ta được các mệnh đề
1)
2
5
,n n
  
,
2)
2
5
,n n
  
,
3)
2
5
,n n
  
,
4)
2
5
,n n
  
,
5)
2
2
,n n n
   

,
6)
2
2
,n n n
   
,
trong đó
Mệnh đề 1) sai, mệnh đề 2) đúng do phát biểu
2
5
n

sai khi
2
n

và đúng khi
10
n

.
Các mệnh đề 3) và 4) sai do phát biểu
2
5
n

sai với tất cả các giá trò của n.
Các mệnh đề 5) và 6) đúng do phát biểu
2

2
n n
 
đúng với tất cả các giá trò của
n.
Nhận xét. Đối với một hàm mệnh đề
 
p x
theo biến
x A
, ta có các khả năng :
Khả năng 1 : Thay x bằng bất kỳ
a A
, ta đều nhận được mệnh đề đúng
 
p a
.
Khi đó các mệnh đề
 
,
x A p x
 
và
 
,
x A p x
 
đều đúng.
Khả năng 2 : Thay x bằng bất kỳ
a A

, ta đều nhận được mệnh đề sai
 
p a
. Khi
đó các mệnh đề
 
,
x A p x
 
và
 
,
x A p x
 
đều sai.
Khả năng 3 : Tồn tại các phần tử
1 2
,
a a A
sao cho
 
1
p a
là mệnh đề đúng nhưng
 
2
p a
là mệnh đề sai. Khi đó mệnh đề
 
,

x A p x
 
thì sai nhưng mệnh đề
 
,
x A p x
 

thì đúng.
Với một số hàm mệnh đề cho trước, bằng cách kết hợp với các lượng từ, ta nhận
được một số mệnh đề và với các mệnh đề này, ta lại có thể kết hợp với nhau thông qua
các phép toán mệnh đề và nhận được các kết quả sau
24

1.4.3 Đònh lý (Luật De Morgan). Cho
 
p x
là hàm mệnh đề theo biến
x A
. Ta có
i)
 
 
 
 
, ,
x A p x x A p x
    
.
ii)

 
 
 
 
, ,
x A p x x A p x
    
.
Chứng minh. i) Vế trái chỉ sai khi
 
,
x A p x
 
là mệnh đề đúng, nghóa là khi
 
p x
đúng với mọi phần tử
x A
. Tương tự, vế phải chỉ sai khi
 
p x
sai, nghóa là
 
p x

đúng, với mọi phần tử
x A
. Vì hai vế chỉ sai trong cùng một trường hợp nên chúng
luôn luôn cùng đúng hay cùng sai và do đó chúng tương đương lôgic với nhau.
ii) Chứng minh tương tự.

Ví dụ. a) Phủ đònh của phát biểu
“Mọi sinh viên đều tốt”
là
“Tồn tại một sinh viên không tốt”.
b) Do đònh nghóa, hàm
:f
 
được gọi là liên tục khi nó liên tục tại mọi
x

.
Vậy, hàm f không là hàm liên tục khi nó không liên tục tại một
x

(nào đó).
1.4.4 Đònh lý. Cho
 
p x
và
 
q x
là hai hàm mệnh đề theo biến
x A
. Ta có
i)
     
 
 
 
, , ,

x A p x q x x A p x x A q x
 
         
 
 
.
ii)
     
 
 
 
, , ,
x A p x q x x A p x x A q x
 
         
 
 
.
iii)
     
 
 
 
, , ,
x A p x q x x A p x x A q x
 
         
 
 
.

iv)
     
 
 
 
, , ,
x A p x q x x A p x x A q x
 
         
 
 
.
Chứng minh. i) Vế trái chỉ đúng khi
   
p x q x

đúng, nghóa là
 
p x
và
 
q x
đúng,
với mọi phần tử
x A
. Vế phải chỉ đúng khi
 
,
x A p x
 

và
 
,
x A q x
 
cùng đúng,
nghóa là khi
 
p x
và
 
q x
cùng đúng với mọi phần tử
x A
. Từ đó suy ra tương đương
lôgic i).
ii) Tương tự, ta có hai vế chỉ sai trong cùng một trường hợp khi
 
p x
và
 
q x
cùng
sai với mọi phần tử
x A
.
iii) Nếu
 
,
x A p x

 
đúng, nghóa là
 
p x
đúng với mọi phần tử
x A
, thì khi đó
   
p x q x

cũng đúng với mọi phần tử
x A
, nghóa là
   
,
x A p x q x
  
đúng. Từ đó
ta nhận được hệ quả lôgic
 
 
   
 
, ,
x A p x x A p x q x
     
.
Tương tự, ta cũng có
 
 

   
 
, ,
x A q x x A p x q x
     