TIỂU LUẬN MÔN TÔPÔ ĐẠI SỐ ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ VỚI MINH HỌA CỤ THỂ

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN NGỌC THẮNG
CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ
KHÓA 20
ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ
VỚI MINH HỌA CỤ THỂ
TIỂU LUẬN
BỘ MÔN
TÔPÔ ĐẠI SỐ
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
PGS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TUYẾN
HUẾ, THÁNG 11-2012
LỜI CẢM ƠN
Tôpô đại số là một trong những ngành học cơ bản của
toán học hiện đại. Nó ra đời vào những năm đầu thế kỉ XX
và được nhiều nhà toán học lỗi lạc nghiên cứu và phát triển.
Ngày nay, tôpô đại số đã đạt được nhiều thành tựu vô cùng
rực rỡ và là một trong những lĩnh vực hàng đầu được sự quan
tâm, nghiên cứu của nhiều nhà Toán học.
Tiểu luận này dành cho việc xây dựng một cách sơ khai
nhất về lý thuyết đồng điều kì dị của một không gian tôpô và
một số minh họa cụ thể của nó.
Nhằm cho người đọc có một cái nhìn rõ ràng về nhóm đồng
điều kì dị, tác giả đã cố gắng trình bày một cách chi tiết các ví
dụ và các chứng minh. Tuy vậy, do kiến thức, sức lực và quỹ
thời gian của bản thân là hữu hạn nên không tránh những
sai sót trong tiểu luận này, rất mong sự quan tâm đóng góp
của bạn đọc.
Cuối cùng, tôi xin gửi sự kính trọng và lòng biết ơn sâu
sắc đến thầy giáo, PGS.TSKH. Nguyễn Xuân Tuyến, Thầy

đã tận tình truyền đạt những kiến thức trong học phần "Tôpô
đại số" và đã cho học viên cơ hội tiếp cận đề tài này.
Ngày 19 tháng 11 năm 2012
Học viên thực hiện
Nguyễn Ngọc Thắng
i
Tóm tắt
Tôpô đại số là ngành học dùng công cụ đại số để nghiên cứu tôpô. Tiểu luận
này đề cập đến nhóm đồng điều kì dị, được xây dựng dựa trên các kiến thức về
Đại số đồng điều nhằm khảo sát các tính chất của không gian tôpô. Nhằm cho
việc tiếp cận vấn đề một cách dễ dàng, tác giả chia tiểu luận này làm 3 phần
nhỏ mắt xích chặt chẽ với nhau: Đơn hình chuẩn và ánh xạ tuyến tính, Đơn
hình kì dị và phức xích kì dị, Đồng điều kì dị với minh họa cụ thể.
1 Đơn hình chuẩn và ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 1. Một tập con ∆
n
của không gian Euclidean R
n+1
cho bởi
∆
n
:=

(x
0
, x
1
, . . . , x
n
) ∈ R

n+1
: 0 ≤ x
i
≤ 1, i = 0, 1, . . . , n và
n

i=0
x
i
= 1

được gọi là một n-đơn hình chuẩn (hay đơn hình chuẩn n-chiều).
Nhận xét 2. n-đơn hình chuẩn ∆
n
là một tập con đóng, bị chặn của không
gian Euclidean R
n+1
, do đó là một tập compact.
Dễ thấy ∆
n
là bao lồi của n + 1 điểm e
j
trong R
n+1
với
e
j
= (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), j = 0, 1, . . . , n
(số 1 ở vị trí thứ j + 1). Ta gọi e
j

là đỉnh thứ j của n-đơn hình chuẩn ∆
n
.
Ví dụ 3.
• 0-đơn hình chuẩn ∆
0
chỉ gồm một đỉnh e
0
= 1 trong R.
• 1-đơn hình chuẩn ∆
1
là đoạn thẳng nối hai đỉnh e
0
= (1, 0), e
1
= (0, 1)
trong R
2
.
• 2-đơn hình chuẩn ∆
2
là hình tam giác đều (kể cả phần trong) với ba đỉnh
e
0
= (1, 0, 0), e
1
= (0, 1, 0), e
2
= (0, 0, 1) trong không gian R
3

.
• 3-đơn hình chuẩn ∆
3
là khối tứ diện đều với bốn đỉnh e
0
= (1, 0, 0, 0),
e
1
= (0, 1, 0, 0), e
2
= (0, 0, 1, 0), e
3
= (0, 0, 0, 1) trong không gian R
4
.
1
Định nghĩa 4. Ánh xạ f : ∆
n
−→ R
m
được gọi là tuyến tính nếu nó là hạn
chế của một ánh xạ tuyến tính theo nghĩa thông thường F : R
n+1
−→ R
m
lên
∆
n
, tức là
F |

∆
n
= f.
Nhận xét 5. Với n + 1 điểm tùy ý P
0
, P
1
, . . . , P
n
của R
m
, luôn tồn tại duy
nhất một ánh xạ tuyến tính f : ∆
n
−→ R
m
sao cho f(e
j
) = P
j
, j = 0, 1, . . . , n.
Cụ thể, f được xác định bởi công thức
f(x) =
n

i=0
x
i
P
i

, với x = (x
0
, x
1
, . . . , x
n
) ∈ ∆
n
.
Ảnh f(∆
n
) gồm các điểm P ∈ R
m
có dạng
P =
n

i=0
x
i
P
i
, với 0 ≤ x
i
≤ 1, i = 0, 1, . . . , n và
n

i=0
x
i

= 1.
Như vậy, để làm việc với các ánh xạ tuyến tính f : ∆
n
−→ R
m
ta chỉ cần
biết các giá trị của nó tại các đỉnh e
j
của n-đơn hình chuẩn ∆
n
và các giá trị
đó có thể được chọn tùy ý.
Ta sẽ làm việc các ánh xạ tuyến tính đặc biệt sau đây.
Định nghĩa 6. Với j = 0, 1, . . . , n các ánh xạ tuyến tính

j
n
: ∆
n−1
−→ ∆
n
thỏa mãn
e
i
−→ e
i
nếu i < j
e
i
−→ e

i+1
nếu i ≥ j
được gọi là các ánh xạ mặt thứ j của n-đơn hình chuẩn ∆
n
.
Để có hình dung rõ về ánh xạ mặt, ta xét hai minh họa sau đây.
Ví dụ 7. Có 2 ánh xạ mặt của 1-đơn hình chuẩn ∆
1
.
• Ánh xạ mặt thứ 0

0
1
: ∆
0
−→ ∆
1
thỏa mãn
e
0
−→ e
1
.
2
• Ánh xạ mặt thứ 1

1
1
: ∆
0

−→ ∆
1
thỏa mãn
e
0
−→ e
0
.
Dễ thấy 
0
1
(∆
0
) = [e
1
], 
1
2
(∆
0
) = [e
0
] với [e
i
] là ký hiệu của bao lồi sinh bởi
phần tử e
i
.
Ví dụ 8. Có 3 ánh xạ mặt của 2-đơn hình chuẩn ∆
2

.
• Ánh xạ mặt thứ 0

0
2
: ∆
1
−→ ∆
2
thỏa mãn
e
0
−→ e
1
e
1
−→ e
2
.
• Ánh xạ mặt thứ 1

1
2
: ∆
1
−→ ∆
2
thỏa mãn
e
0

−→ e
0
e
1
−→ e
2
.
• Ánh xạ mặt thứ 2

2
2
: ∆
1
−→ ∆
2
thỏa mãn
e
0
−→ e
0
e
1
−→ e
1
.
Dễ thấy 
0
2
(∆
1

) = [e
1
, e
2
], 
1
2
(∆
1
) = [e
0
, e
2
], 
2
2
(∆
1
) = [e
0
, e
1
] với [e
i
, e
j
] là ký
hiệu của bao lồi sinh bởi hai phần tử e
i
và e

j
.
Nhận xét 9. Ảnh của ánh xạ mặt 
j
n
: ∆
n−1
−→ ∆
n
là tập

j
n
(∆
n−1
) = {(x
0
, x
1
, . . . , x
n
) ∈ ∆
n
: x
j
= 0}.
Ta gọi nó là mặt thứ j của n-đơn hình chuẩn ∆
n
.
Như vậy, n-đơn hình chuẩn ∆

n
có n + 1 mặt tương ứng với n + 1 đỉnh.
3
Bổ đề sau đây sẽ được dùng cho mục sau.
Bổ đề 10. Với các số nguyên không âm k < j, các ánh xạ mặt thỏa

j
n+1
◦ 
k
n
= 
k
n+1
◦ 
j−1
n
.
Chứng minh.
• Xét hợp thành 
j
n+1
◦ 
k
n
.
∆
n−1

k

n
−→ ∆
n

j
n+1
−→ ∆
n+1
e
i
−→ e
i
−→ e
i
nếu i < k vì i < k < j
e
i
−→ e
i+1
−→ e
i+1
nếu i ≥ k nếu i + 1 < j
e
i
−→ e
i+1
−→ e
i+2
nếu i ≥ k nếu i + 1 ≥ j
Tóm lại

∆
n−1

j
n+1
◦
k
n
−→ ∆
n+1
e
i
−→ e
i
nếu i < k
e
i
−→ e
i+1
nếu k ≤ i < j − 1
e
i
−→ e
i+2
nếu i ≥ j − 1
• Xét hợp thành 
k
n+1
◦ 
j−1

n
.
∆
n−1

j−1
n
−→ ∆
n

k
n+1
−→ ∆
n+1
Với i < k : e
i
−→ e
i
−→ e
i
vì i < k < j vì i < k
hay i < j − 1
Với k ≤ i < j − 1 : e
i
−→ e
i
−→ e
i+1
vì i < j − 1 vì i ≥ k
Với i ≥ j − 1 : e

i
−→ e
i+1
−→ e
i+2
vì i ≥ j − 1 vì i + 1 ≥ j > k
Như vậy, cả hai hợp thành đều cho cùng một ảnh.
4
2 Đơn hình kì dị và phức xích kì dị
Trong mục này và mục sau, chúng tôi áp dụng những kiến thức Đại số đồng
điều để khảo sát một không gian tôpô. Chúng ta sẽ làm việc với nhóm Abel tự
do được giới thiệu ngay sau đây.
Định nghĩa 11. Cho X là một không gian tôpô và ∆
n
là n-đơn hình chuẩn
trong không gian R
n+1
. Một ánh xạ liên tục
σ = σ
n
: ∆
n
−→ X, n ≥ 0
được gọi là một n-đơn hình kì dị của không gian tôpô X.
Ký hiệu S
n
X là nhóm Abel tự do sinh bởi tập hợp tất cả các n-đơn hình kì
dị của không gian tôpô X. Các phần tử c : ∆
n
−→ X của S

n
X được gọi là các
n-xích kì dị của không gian tôpô X. Khi đó
c =

n
i
∈I
n
i
σ
n
,
với I là tập con hữu hạn của Z.
Với n < 0, ta qui ước S
n
X = 0, là nhóm Abel tự do với cơ sở rỗng.
Định nghĩa 12. Đồng cấu
∂
n
: S
n
X −→ S
n−1
X
σ −→

n
j=0
(−1)

j
σ ◦ 
j
n
nếu n ≥ 1
σ −→ 0 nếu n < 1
được gọi là đồng cấu biên thứ n của không gian tôpô X, trong đó 
j
n
là ánh xạ
mặt thứ j của n-đơn hình chuẩn ∆
n
.
Ta thấy rằng ảnh của đồng cấu biên thu được bằng cách hạn chế các n-đơn
hình kì dị σ lên một mặt của n-đơn hình chuẩn ∆
n
, sau đó lấy tổng đan dấu
của chúng.
Mệnh đề sau cho thấy một tính chất đặc biệt của các đồng cấu biên.
5
Mệnh đề 13. Cho dãy các đồng cấu
· · · −→ S
n+1
X
∂
n+1
−→ S
n
X
∂

n
−→ S
n−1
X −→ · · ·
Khi đó, hợp thành của hai đồng cấu biên liên tiếp là đồng cấu không. Tức là
∂
n
◦ ∂
n+1
= 0, ∀n ∈ Z.
Chứng minh. Với mọi (n + 1)-đơn hình kì dị σ : ∆
n+1
−→ X trong nhóm
S
n+1
X, ta có
(∂
n
◦ ∂
n+1
)(σ)
= ∂
n
(∂
n+1
(σ))
= ∂
n



n+1

j=0
(−1)
j
σ ◦ 
j
n+1


=
n+1

j=0
(−1)
j
∂
n
(σ ◦ 
j
n+1
)
=
n+1

j=0
(−1)
j

n


k=0
(−1)
k
σ ◦ 
j
n+1
◦ 
k
n

=

j, k
(−1)
j+k
σ ◦ 
j
n+1
◦ 
k
n
=

j≤k
(−1)
j+k
σ ◦ 
j
n+1

◦ 
k
n
+

j>k
(−1)
j+k
σ ◦ 
j
n+1
◦ 
k
n
=

j≤k
(−1)
j+k
σ ◦ 
j
n+1
◦ 
k
n
+

j>k
(−1)
j+k

σ ◦ 
k
n+1
◦ 
j−1
n
. (2.1)
Dấu bằng cuối cùng ở trên được rút ra từ Bổ đề 10.
Đặt m := j − 1 và l := k. Từ j > k, ta có j − 1 > k − 1 hay m ≥ l. Khi đó

j>k
(−1)
j+k
σ ◦ 
k
n+1
◦ 
j−1
n
=

m≥l
(−1)
m+k+1
σ ◦ 
l
n+1
◦ 
m
n

=

j≤k
(−1)
j+k+1
σ ◦ 
j
n+1
◦ 
k
n
(2.2)
Từ (2.1) và (2.2), ta có
(∂
n
◦ ∂
n+1
)(σ) =

j≤k

(−1)
j+k
+ (−1)
j+k+1

σ ◦ 
j
n+1
◦ 

k
n
= 0.
6
Định nghĩa 14. Dãy sau, kí hiệu là (SX, ∂),
(SX, ∂) : · · · −→ S
n+1
X
∂
n+1
−→ S
n
X
∂
n
−→ S
n−1
X −→ · · ·
được gọi là một phức xích kì dị của không gian tôpô X.
Chú ý rằng theo Mệnh đề 13, các đồng cấu biên của một phức xích kì dị thỏa
∂
n
◦ ∂
n+1
= 0, ∀n ∈ Z.
Nhận xét 15. Cho X, X

là hai không gian tôpô, f : X −→ X

là một ánh xạ

liên tục và σ : ∆
n
−→ X là một n-đơn hình kì dị của không gian tôpô X. Khi
đó, hợp thành
f ◦ σ : ∆
n
−→ X

là liên tục nên nó là một n-đơn hình kì dị của không gian tôpô X

. Từ đó, ta có
đồng cấu
f
n
: S
n
X −→ S
n
X

σ −→ f ◦ σ
.
Mệnh đề 16. Cho (SX, ∂), (SX

, ∂

) là hai phức xích kì dị của hai không gian
tôpô X và X

, f : X −→ X


là một ánh xạ liên tục. Khi đó, sơ đồ sau giao hoán
(SX, ∂) :
f


· · ·
//
S
n+1
X
f
n+1

∂
n+1
//
S
n
X
f
n

∂
n
//
S
n−1
X
f

n−1

//
· · ·
(SX

, ∂

) :
· · ·
//
S
n+1
X

∂

n+1
//
S
n
X

∂

n
//
S
n−1
X


//
· · ·
với các đồng cấu f
n
xác định trong Nhận xét 15.
Chứng minh. Ta chứng minh
f
n−1
◦ ∂
n
= ∂

n
◦ f
n
, ∀n ∈ Z.
7
Thật vậy, với mọi n-đơn hình kì dị σ : ∆
n
−→ X trong S
n
X, ta có
(f
n−1
◦ ∂
n
)(σ)
= f
n−1

(∂
n
(σ))
= f
n−1


n

j=0
(−1)
j
σ ◦ 
j
n


=
n

j=0
(−1)
j
f
n−1
(σ ◦ 
j
n
)
=

n

j=0
(−1)
j
f ◦ (σ ◦ 
j
n
)
=
n

j=0
(−1)
j
(f ◦ σ) ◦ 
j
n
=
n

j=0
(−1)
j
f
n
(σ) ◦ 
j
n
= ∂


n
(f
n
(σ))
= (∂

n
◦ f
n
)(σ).
Định nghĩa 17. Dãy các đồng cấu f

: (SX, ∂) −→ (SX

, ∂

) trong Mệnh đề
16 được gọi là một phép biến đổi xích kì dị.
8
3 Đồng điều kì dị với minh họa cụ thể
Xét phức xích kì dị của không gian tôpô X
(SX, ∂) : · · · −→ S
n+1
X
∂
n+1
−→ S
n
X

∂
n
−→ S
n−1
X −→ · · ·
Ta đã có ∂
n
◦ ∂
n+1
= 0, suy ra
Im ∂
n+1
⊂ Ker ∂
n
, ∀n ∈ Z.
Từ đó, ta có nhóm thương Ker ∂
n
/Im ∂
n+1
.
Định nghĩa 18. Cho phức xích kì dị (SX, ∂) của không gian tôpô X. Nhóm
thương
H
n
X := Ker ∂
n
/Im ∂
n+1
được gọi là nhóm đồng điều kì dị thứ n của không gian tôpô X.
Mỗi phần tử của Z

n
X := Ker ∂
n
được gọi là một n-chu trình. Mỗi phần tử
của B
n
X := Im ∂
n+1
được gọi là một n-biên của phức xích kì dị (SX, ∂).
Nhận xét 19. Ta đã quy ước S
n
X = 0 nếu n < 0, do đó
H
n
X = 0 nếu n < 0.
Sau đây là một số minh họa cụ thể của nhóm đồng điều kì dị trong trường
hợp không gian tôpô X chỉ gồm một phần tử hay X là không gian liên thông
đường.
Mệnh đề 20. Nếu không gian tôpô X được phân tích thành hợp rời rạc của các
thành phần liên thông đường X
α
của X thì với mỗi n ≥ 0, ta có
H
n
X = ⊕
α
H
n
X
α

.
Chứng minh. Một n-đơn hình kì dị σ
n
: ∆
n
−→ X là liên tục nên ảnh của nó
chứa trong một thành phần liên thông X
α
nào đó của X.
S
n
X là nhóm Abel tự do có cơ sở là tập các n-đơn hình kì dị nên ta có thể
đồng nhất
S
n
X = ⊕
α
S
n
X
α
.
9
Các đồng cấu biên ∂
n
: S
n
X −→ S
n−1
X bảo toàn tổng trực tiếp nên ta có

Ker ∂
n
= Z
n
X = ⊕
α
Z
n
X
α
Im ∂
n+1
= B
n
X = ⊕
α
B
n
X
α
và
H
n
X = ⊕
α
H
n
X
α
.

Định lí 21. (The Dimension Axiom) Cho X là một không gian tôpô chỉ gồm
một phần tử. Khi đó
H
0
X
∼
=
Z,
H
n
X = 0 nếu n > 0.
Chứng minh. Với mỗi n = 0, nhóm S
n
X có duy nhất một n-đơn hình kì dị
σ
n
: ∆
n
−→ X. Suy ra S
n
X = Zσ
n
.
Ta có
∂
n
(σ
n
) =
n


j=0
(−1)
j
σ
n
◦ 
j
n
=



0 nếu n lẻ
σ
n−1
nếu n chẵn
.
Do đó, ta có phức xích
(SX, ∂) : · · ·
∂
3
=0
−→ S
2
X
∂
2
−→ S
1

X
∂
1
=0
−→ S
0
X
∂
0
=0
−→ 0 −→ · · ·
hay
(SX, ∂) : · · ·
0
−→ S
2
X
∼
=
−→ S
1
X
0
−→ S
0
X
0
−→ 0 −→ · · ·
• Ta có Ker ∂
0

= Zσ
0
và Im ∂
1
= 0. Suy ra
H
0
X := Ker ∂
0
/Im ∂
1
= Zσ
0
∼
=
Z.
10
• Với n > 0, ta có
Ker ∂
n
=



Zσ
n
nếu n lẻ
0 nếu n chẵn (vì ∂
n
là một đẳng cấu)

,
Im ∂
n+1
=



Zσ
n
nếu n lẻ (vì ∂
n+1
là một đẳng cấu)
0 nếu n chẵn
.
Suy ra
H
n
X := Ker ∂
n
/Im ∂
n+1
= 0, ∀n > 0.
Định lí 22. Cho X là một không gian tôpô liên thông đường. Khi đó
H
0
X
∼
=
Z.
Chứng minh. Nhắc lại phức xích kì dị của không gian tôpô X

(SX, ∂) : · · ·
∂
2
−→ S
1
X
∂
1
−→ S
0
X
∂
0
−→ 0 −→ · · ·
Ta có
H
0
X := Ker ∂
0
/Im ∂
1
= S
0
X/Im ∂
1
. (3.1)
Xét đồng cấu
ε : S
0
X −→ Z


i∈I
n
i
σ
i
−→

i∈I
n
i
,
với n
i
∈ Z, I là tập hữu hạn và các 0-đơn hình kì dị
σ
i
: ∆
0
−→ X
e
0
−→ x
i
.
Rõ ràng, ε là toàn ánh hay Im ε = Z. Vì ε là một đồng cấu nên
S
0
X/Ker ε
∼

=
Im ε = Z. (3.2)
Từ (3.1) và (3.2), ta chỉ cần chứng minh Im ∂
1
= Ker ε.
11
• Ta có Im ∂
1
⊂ Ker ε hay ε ◦ ∂
1
= 0.
Thật vậy, với mọi 1-đơn hình kì dị σ : ∆
1
−→ X trong S
1
X, ta có
ε ◦ ∂
1
(σ) = ε(σ ◦ 
0
1
− σ ◦ 
1
1
)
= ε(σ ◦ 
0
1
) − ε(σ ◦ 
1

1
)
= 1 − 1
= 0.
• Chứng minh Im ∂
1
⊃ Ker ε.
Xét

n
i∈I
n
i
σ
i
∈ Ker ε, khi đó
ε


i∈I
n
i
σ
i

=

i∈I
n
i

= 0.
Vì không gian tôpô X là liên thông đường nên chọn được các 1-đơn hình
kì dị trong S
1
X là
τ
i
: ∆
1
−→ X thỏa mãn
e
0
−→ x
0
e
1
−→ x
i
.
Ở đây, τ
i
là con đường nối hai phần tử x
0
và x
i
của X. Ta có
∂
1
(τ
i

) = τ
i
◦ ε
0
1
− τ
i
◦ ε
1
1
⇒ ∂
1


i∈I
n
i
τ
i

=

i∈I
n
i
τ
i
◦ ε
0
1

−

i∈I
n
i
τ
i
◦ ε
1
1
.
Lấy tác động của ánh xạ trên lên đỉnh duy nhất e
0
của 0-đơn hình chuẩn
∆
0
, ta có
12
∂
1


i∈I
n
i
τ
i

(e
0

) =

i∈I
n
i
τ
i
◦ ε
0
1
(e
0
) −

i∈I
n
i
τ
i
◦ ε
1
1
(e
0
)
=

i∈I
n
i

τ
i
(e
1
) −

i∈I
n
i
τ
i
(e
0
)
=

i∈I
n
i
x
i
−

i∈I
n
i
x
0
=


i∈I
n
i
x
i
− 0. x
0
=

i∈I
n
i
σ
i
(e
0
).
Suy ra ∂
1


i∈I
n
i
τ
i

=

i∈I

n
i
σ
i
hay

i∈I
n
i
σ
i
∈ Im ∂
1
.
13
Tài liệu
[1] J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, Springer, 2
nd
Edition,
2009.
[2] L. Evens, R. Thompson, Algebraic Topology, Northwestern University.
[3] A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.
[4] N.X. Tuyến, Bài giảng Tôpô Đại số, Đại học Sư phạm Huế, 2012.
[5] A. Dold, Lectures on Algebraic Topology, Springer-Verlag, 2
nd
Edition,
1980.
[6] N.V. Đoàn, T. Mân, Nhập môn tôpô đại số, Đại học Sư phạm, 2007.
Email address:
Tel: +841695377526

Typed by T
E
X
14