sử dụng phương pháp tách biến fourier để giải bài tập phương trình truyền nhiệt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC



HOÀNG THỊ NHANH



SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ
GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT




KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC






SƠN LA - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC



HOÀNG THỊ NHANH

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ
GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT


CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: TS. Khổng Cát Cương




SƠN LA - 2013
LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu, với sự hướng dẫn của các thầy giáo cô
giáo trong tổ Vật lý, Trường Đại học Tây Bắc em đã hoàn thành khóa luận
này.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Khổng Cát Cương - Giảng viên
Vật lý, Trường Đại học Tây Bắc đã tận tình giúp đỡ, động viên và hướng dẫn
em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.
Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong tổ Vật lý, Ban
Chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, phòng KHCN&HTQT, Thư viện trường Đại
học Tây Bắc đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các bạn sinh viên lớp K50 ĐHSP Vật Lý, gia
đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và đóng góp ý kiến để tôi hoàn thành khoá

luận này.

Sơn La, Tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Hoàng Thị Nhanh

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Nhiệm vụ 2
4. Đối tượng nghiên cứu 3
5. Phương pháp nghiên cứu 3
6. Giả thiết khoa học 3
7. Phạm vi nghiên cứu 3
8. Đóng góp của khóa luận 3
9. Bố cục của khóa luận 3
10. Kế hoạch thực hiện đề tài 4
PHẦN NỘI DUNG 5
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC 5
1.1. Phương trình vi phân tuyến tính. 5
1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. 5
1.1.2. Phương trình vi phân cấp 2 6
1.1.2.1 Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuấn nhất có hệ số là hằng số 7
1.1.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính bậc hai không thuần nhất với các hệ
số là hằng số 8
1.2. Chuỗi Fourier 9
1.2.1. Tổng quan về phương pháp tách biến Fourier 9
1.2.1.1. Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier 10

1.2.1.2 Tính chẵn lẻ của chuỗi Fourier 11

1.2.2. Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier. 12
1.2.3. Tóm tắt các tính chất của phép biến đổi Fourier 16
1.3. Đại cương về các phương trình vật lý toán 17
1.3.1. Đại cương về phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình toán lý
17
1.3.2. Phân loại phương trình toán lý 18
1.3.2.1. Phương trình Hyperbolic 18
1.3.2.2. Phương trình Parabolic 19
1.3.2.3. Phương trình Eliptic 20
CHƯƠNG 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER GIẢI BÀI
TOÁN CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 21
2.1. Thiết lập phương trình truyền nhiệt 21
2.2.Các điều kiện ban đầu và điều kiện cho phương trình truyền nhiệt. 24
2.3. Khái quát chung về phương pháp tách biến Fourier 25
2.3.1. Ý tưởng chính: 25
2.3.2. Tóm tắt bước giải: 25
2.3.3. Nhận xét chung : 26
2.4. Phương trình truyền nhiệt một chiều. 27
2.4.1. Bài toán Cauchy một chiều. 27
2.4.1.1. Bài toán Cauchy một chiều thuần nhất. 27
2.4.1.2. Bài toán Cauchy không thuần nhất 31
2.4.2. Bài toán hỗn hợp một chiều 34
2.4.3. Phân loại bài toán hỗn hợp một chiều. 35
2.4.4. Một số lưu ý 35
2.5. Phương trình truyền nhiệt hai chiều 35
2.5.1. Bài toán Cauchy hai chiều và ba chiều 35
2.5.2. Bài toán hỗn hợp hai chiều 36
2.5.3. Một số lưu ý 39

CHƯƠNG 3: VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP FOURIER GIẢI BÀI TẬP
PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 40
3.1. Bài toán phương trình truyền nhiệt thuần nhất 40
3.2 Bài toán phương trình truyền nhiệt không thuần nhất. 59
3.3 Một số bài tập tự giải. 68
PHẦN KẾT LUẬN 71
1. Kết quả thu được 71
2. Các vấn đề còn tồn tại và hướng nghiên cứu tiếp theo. 71
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1
PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một ngành khoa học không những phục vụ cho sự phát triển của chính
nó mà trở thành công cụ cho việc phát triển các ngành khoa học khác trong đó có Vật lý.
Bộ môn Phương trình Vật lý - Toán là một môn khá khó đặc biệt về phần Phương trình
Toán lý đối với các bạn sinh viên các khoa Vật lý và các ngành kỹ thuật có liên quan của
các trường Đại học Khoa họcTự nhiên và các trường Đại học Kĩ thuật trong cả nước.
Mối liên hệ giữa các đại lượng vật lý trong tự nhiên là phức tạp nhưng có quy luật. Do
vậy, mục đích của chúng ta là tìm ra được các mối liên hệ có quy luật đó.
Thực tế, khi nghiên cứu các môn học trong các học phần Vật lý lý thuyết của
sinh viên gặp rất nhiều khó khăn. Với kiến thức về toán cao cấp và kiến thức phổ
thông đã học không đủ đáp ứng nhu cầu học tập và nghiên cứu các môn học trong các
học phần vật lý lý thuyết như: Cơ học lượng tử, điện động lực học, nhiệt đông lực học,
vật lý thống kê…. Khi học các môn này, sinh viên thường xuyên phải thành lập và giải
các phương trình vi phân đạo hàm riêng . Vì vậy, yêu cầu đặt ra cho mỗi sinh viên phải
nắm vững kiến thức đại số và giải tích toán học cùng với kiến thức cần thiết của
phương pháp toán cho Vật lý, mới có thể nghiên cứu sâu hơn các môn học này. Do
vậy, phương trình Vật lý - Toán có vị trí và vai trò quan trọng đối với việc học tập và

nghiên cứu vật lý.
Để tìm hiểu được lý thuyết chúng ta cần có sự hỗ trợ rất lớn của một hệ
thống bài tập. Ngoài các bài tập có tính chất áp dụng trực tiếp lý thuyết vào các
đối tượng cụ thể, còn có các bài tập là sự tìm hiểu sâu nội dung môn học, đòi hỏi
chúng ta không chỉ có kĩ năng mà còn phải có phương pháp, thói quen tư duy mới,
có sáng tạo.
Trong các tài liệu tham khảo hiện nay đã có trình bày lời giải của một số bài
toán về Phương trình Toán lý. Tuy nhiên, số lượng ví dụ mẫu còn hạn chế, những chỉ
dẫn về phương pháp giải còn nặng tính khái quát, thiếu cụ thể. Trong khi đó bài tập
về Phương trình Toán lý rất phong phú và đa dạng. Vì thế, sinh viên vẫn còn gặp

2
nhiều khó khăn trong việc giải các Phương trình Toán lý. Mặt khác do trình độ kiến
thức còn hạn chế, chưa biết cách vận dụng kiến thức vào bài tập, trình độ tư duy chưa
cao… từ đó làm giảm khả năng tiếp nhận kiến thức vật lý của sinh viên .
Trong khi đó, đối với môn Phương trình Toán lý nói riêng và môn Vật lý nói
chung ngoài việc nắm vững kiến thức lý thuyết, bài tập cũng đóng vai trò hết sức
quan trọng. Mà học phần này có nhiều dạng bài tập, lại có nhiều phương pháp giải,
đòi hỏi sinh viên phải lựa chọn phương pháp giải phù hợp với mỗi dạng. Ví dụ như
bài tập phương trình truyền nhiệt có phương pháp như sau: phương pháp tách biến
Fourire, phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp hàm Green, phương pháp hàm
Bessel. Mỗi phương pháp đều có ưu điểm và hạn chế riêng.
Quá trình học tập ở trường Đại học Tây Bắc, sinh viên Sư phạm Vật lý đã được
học môn Phương trình Vật lý – Toán là môn tương đối khó đối với sinh viên Sư
Phạm Vật lý, trong đó có các bài toán về phương trình truyền nhiệt. Vì vậy, không
chỉ để giải các bài toán này mà còn giúp cho sinh viên ôn tập và mở rộng thêm kiến
thức và là điểm khởi đầu để dẫn dắt sinh viên đến với kiến thức mới, giúp rèn luyện
kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tiễn và giúp cho sinh viên tư duy sáng
tạo, giáo viên có thể kiểm tra được mức độ nắm vững kiến thức của sinh viên. Chính
vì vậy , tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài “Sử dụng phương pháp tách biến Fourier để

giải bài tập phương trình truyền nhiệt”
2. Mục đích nghiên cứu
- Mong muốn cho sinh viên hiểu sâu về các Phương trình Vật lý - Toán và đặc
biệt tìm lời giải cho các bài toán về phương trình truyền nhiệt nhằm phục vụ tốt cho
học tập ở phần phương trình truyền nhiệt ở bậc Đại học.
- Làm cơ sở cho các môn học Vật lý lý thuyết khác như: vật lý thống kê, cơ
lượng tử, điện từ …
3. Nhiệm vụ
- Nhắc lại một số kiến thức quan trọng của phép biến đổi Fourier trong toán cho
Vật lý và một số kiến thức cơ bản biến đổi phương trình truyền nhiệt.
- Ứng dụng phép biến đổi Fourier để giải bài tập phương trình truyền nhiệt.

3
4. Đối tượng nghiên cứu
- Cơ sở toán học cho phương pháp Fourier.
- Cơ sở lí luận về bài tập Vật lý.
- Các bài tập về phương trình truyền nhiệt.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Do đặc thù môn học chúng tôi đã chọn cho mình phương pháp nghiên cứu lý
thuyết và bài tập ứng dụng.
- Sưu tầm, đọc tài liệu sách báo, internet, tập hợp các tài liệu liên quan đến khóa
luận và sử dụng các công cụ toán học để tính toán và hệ thống hóa các bài tập một
cách lôgic nhằm đạt mục đích đề ra.
- Phương pháp phân tích.
- Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên.
6. Giả thiết khoa học
Từ những kiến thức và phương pháp giải toán cho bộ môn Toán lý nói chung và
kiến thức, phương pháp giải toán cho phần bài toán của phương trình truyền nhiệt,
chúng ta sẽ có một phương pháp đầy đủ và thông dụng, dễ nhớ mặc dù nó không phải
là một phương pháp mới.

7. Phạm vi nghiên cứu
- Giáo trình Phương trình Toán lý.
- Sử dụng phép biến đổi Fourier để giải bài tập phương trình truyền nhiệt.
8. Đóng góp của khóa luận
- Làm tài liệu tham thảo cho sinh viên.
- Góp phần nghiên cứu kết quả học tập học phần Phương pháp Toán lý cho sinh viên.
- Có triển vọng ứng dụng trong học tập môn Vật lý ở bậc đại học sẽ áp dụng phương
pháp Fourier để giải một số bài toán về Phương trình truyền nhiệt.
9. Bố cục của khóa luận
Khóa luận gồm ba phần :
Phần mở đầu.
Phần nội dung.

4
Chương 1: Cở sở toán học .
Chương 2: Sử dụng phương pháp tách biến Fourier giải bài toán cơ bản của
phương trình truyền nhiệt
Chương 3: Vận dụng phương pháp Fourier giải bài tập phương trình truyền nhiệt.
Phần kết luận.
10. Kế hoạch thực hiện đề tài
+ Từ 09/2012 → 11/2012: Đọc, sưu tầm tài liệu và viết đề cương.
+ Từ 11/2012 → 12/2012: Nghiên cứu tài liệu, xây dựng cơ sở toán học.
+ Từ 12/2012 → 02/2013: Phân loại theo từng chương và chia ra phương pháp
giải cụ thể cho một số dạng bài tập.
+ Từ 02/2013 → 04/2013: Viết khóa luận, xin ý kiến tham khảo.
+ Từ 04/2013 → 05/2013: Chỉnh sửa và hoàn thiện khóa luận.
+ Từ 05/2013 → 06/2013: Chấm khóa luận.

5
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC
Toán học có vai trò quan trọng, nó là công cụ không thể thiếu trong quá trình
nghiên cứu Vật lý. Như vậy, để cung cấp những kiến thức toán học cần thiết, phục vụ
cho nghiên cứu ở hai chương sau, trong chương này phương trình vi phân tuyến tính,
chuỗi Fourier, đại cương về các phương trình truyền nhiệt đã được chúng tôi trình
bày chi tiết dưới đây.
1.1. Phương trình vi phân tuyến tính.
1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
 Phương trình tuyến tính cấp 1 có dạng:

'
y + p(x)y = q(x)
(1.1)
Ta giả thiết p(x), q(x) là những hàm liên tục.

+ Nếu q(x)
0
thì (1.1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
+ Nếu q(x)
0
thì (1.1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp1 không
thuần nhất.
* Cách giải:
- Để tìm được nghiệm tổng quát của phương trình (1.1) ta xét q(x) = 0.


Phương trình vi phân cấp 1 thuần nhất có dạng:
y
'
+ p(x)y = 0 (1.2)
dy + p (x) dx y = 0
Giả sử
y0
, chia 2 vế phương trình cho y:

dy
y
+ p(x) dx = 0 (1.3)
Tích phân 2 vế phương trình (1.3) ta được:
dy
= - p(x).dx + ln C
y


với C


0
ln y - ln C = - p(x).dx



6
y
ln = - p(x).dx
c



- p(x).dx
y = C.e


, với C

0
Nhận thấy y = 0 là nghiệm của phương trình (1.2).
Nghiệm tổng quát của (1.2) có dạng:
- p(x).dx
y = C.e

, với C

R
- Để tìm nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất
'

y + p(x).y = q(x)
ta áp dụng phương pháp biến thiên hằng số.
Đặt C = C(x) và tìm cách chọn C(x) sao cho biểu thức:
y = C (x) .
- p(x).dx
e

(1.4)
Thay (1.4)vào phương trình (1.1) ta có:
- p(x).dx - p(x).dx - p(x).dx
'
C (x) .e - C(x).p(x).e + p(x).C(x).e = q(x)
  

- p(x).dx
'
C (x).e = q(x)


hay
- p(x).dx
'
C (x) = q(x).e


- p(x).dx
dC(x) = q(x).e .dx + C





C(x) =
- p(x).dx
q(x).e


.dx + C
Thay C(x) vào biểu thức y = C(x).
- p(x).dx
e

ta được:
y(x) =
- p(x).dx - p(x).dx
e C+ q(x).e .dx









1.1.2. Phương trình vi phân cấp 2
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng:

'' '
y + p(x)y + q(x)y = f(x)

(
a x b
) (1.5)
trong đó p(x), q(x), f(x) xác định trên [a, b]
+ Nếu f (x) = 0 thì phương trình (1.5) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 2.
+ Nếu f (x)

0 thì phương trình (1.5) được gọi là phương trình tuyến tính không
thuần nhất cấp 2.

7
1.1.2.1 Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuấn nhất có hệ số là hằng số
Phương trình có dạng :

'' ' '' '
y + p(x)y + q(x)y = 0 hay y + py + qy = 0
(1.6)
Bước 1:
Giải phương trình đặc trưng:
2
k + pk + q = 0
(*)
Phương trình (*) có
2
Δ = p - 4q

Bước 2:
Xác định nghiệm tổng quát
Có các trường hợp sau:
- Trường hợp 1:

+ Nếu
Δ > 0
: phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
1;2
-p ± Δ
k =
2

Khi đó phương trình (1.6) có 2 nghiệm riêng của phương trình là:
12
k x k x
12
y = e , y = e

Do đó
12
k x k x
1 2 1 2
y = C .e + C .e ; C ,C
là các hằng số tùy ý.
+ Nếu
0
phương trình có nghiệm kép
12
k = k
, khi đó 2 nghiệm riêng của
phương trình độc lập tuyến tính với nhau có dạng:

2
kx

1 2 1
y = e , y = u(x).y

Thay
21
y = u(x).y
vào (1.6) ta được u(x) = x.
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.6) có dạng:

 
1
kx
12
y = e C x + C
,
12
C , C
là các hằng số.
- Trường hợp 2:
+ Nếu
Δ < 0
thì phương trình (*) có 2 nghiệm phức.
1;2
- p ± Δ i Δ
- p
k = = ± i
2 2 2


8

với
-p
α = ,
2

Δ
β =
2

1
k = α + iβ
,
2
k = α - iβ

Khi đó có 2 nghiệm riêng của (1.6) là
(α+iβ)x
1
y = e ,

(α - iβ)x
2
y = e
,
Sử dụng công thức Euler, ta có:

αx αx
1
2
y = (cosβx + isinβx).e , y = (cosβx - isinβx).e .

Do
1
y
,
2
y
là nghiệm riệng của (1.6) nên:

αx
12
y + y
y = = e cosβx,
2

αx
12
y - y
y = = e sinβx.
2i

cũng là 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình. Thay vào (1.6) ta có
nghiệm tổng quát của (1.6) có dạng:

αx
12
y = (C cosβx + C sinβx).e

1.1.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính bậc hai không thuần nhất với các hệ số
là hằng số

Phương trình có dạng:
'' '
y + p(x)y + q(x)y = f(x)

Hay
y" + py' + qy = f(x)
(1.7)
- Trường hợp 1:
αx
n
f(x) = e .P (x),
(1.8)
với
n
α R, P (x)
là đa thức bậc n.
+ Nếu
α
là nghiệm kép của phương trình (1.6), khi đó ta tìm nghiệm của phương
trình có dạng:
2 αx
n
y = x e .Q (x)
(1.9)
+ Nếu
α
là nghiệm đơn của phương trình (1.6), khi đó chúng ta tìm nghiệm của
phương trình có dạng:
αx
n

y = x.e .Q (x)
(1.10)
+ Nếu
α
không là nghiệm của phương trình (1.6), khi đó khi đó chúng ta tìm
nghiệm của phương trình có dạng:

9

αx
n
y = e .Q (x)
(1.11)
trong đó
n
Q (x)
là đa thức cùng bậc đa
n
P (x)

- Trường hợp 2.
f(x) = e
αx
 
mn
P (x)cosβx + P (x)sinβx
(1.12)
trong đó
m
P (x)

,
n
P (x)
là các đa thức bậc n, m;
α,
β
là các hằng số thực.
+ Nếu
α ± iβ
không là nghiệm phương trình (1.6) khi đó nghiệm của phương trình
đã cho có dạng:
y = e
αx

 
ll
Q (x)cosβx + R (x)sinβx
(1.13)
+ Nếu
α ± iβ
là nghiệm phương trình (1.6) khi đó nghiệm của phương trình đã cho
có dạng:
y = x e
αx

 
ll
Q (x)cosβx + R (x)sinβx
(1.14)
trong đó Q

l
, P
l
là các đa thức bậc l = max(m,n)
1.2. Chuỗi Fourier
1.2.1. Tổng quan về phương pháp tách biến Fourier
Tập các hàm {l, sin
nπx
L
, cos
nπx
L
} là các hàm riêng trực giao nhau trong
khoảng (-L, L). Hàm f(x) được gọi là trơn từng khúc trong một khoảng nào đó, có
nghĩa là khoảng này có thể chia ra nhiều khoảng nhỏ, mà trong mỗi khoảng nhỏ đó,
hàm f(x) và đạo hàm
'
f (x)
liên tục.
Tập các hàm trực giao ở trên có thể dùng để biểu diễn hàm trơn từng khúc f(x)
dưới dạng chuỗi:
f(x) =
0
a
+
n=1
(


a

n
cos
nπx
L
+ b
n
sin
nπx
L
)
được gọi là chuỗi lượng giác Fourier biểu diễn hàm f(x) trong khoảng (-L, L),
trong đó
0 n n
a , a , b
gọi là các hệ số Fourier của chuỗi.

10
Từ tính trực giao của tập
nπx nπx
1, sin , cos
LL



có thể tìm được các hệ số
Fourier trong đó
0 n n
a , a , b
như sau:
a

0
=
1
2L
L
-L
f(x)dx

.
a
n
=
1
L
L
-L
f(x)

cos
nπx
L
dx.
b
n
=
1
L
L
-L
f(x)


sin
nπx
L
dx.
1.2.1.1. Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier
* Điều kiện Dirichlet để tồn tại một chuỗi Fourier là:
- Hàm f(x) phải đơn trị và tuần hoàn với chu kỳ 2L.
- Hàm f(x) có một hữu hạn các cực đại và cực tiểu, một số hữu hạn các điểm
gián đoạn trong khoảng (-L, L).
* Giả sử khoảng (-L, L) là khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x). Chuỗi Fourier xác
định ở điểm x ngoài khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x), khi đó cho phép khai triển
tuần hoàn hàm f(x) xác định ngoài khoảng Fourier đầy đủ.
* Người ta có thể xác định hàm f(x) là hàm mở rộng của hàm f(x) bên ngoài
khoảng Fourier đầy đủ. Như vậy,
f(x)
là mở rộng tuần hoàn của f(x), -L

x

L có
tính chất
f(x)
(x + 2L) =
f(x)
.
* Hàm f(x) gọi là có một biểu diễn chuỗi Fourier khi hệ số a
0
, a
n

,
n
b
được tính cụ thể.
* Hàm f(x) được gọi là bước nhảy gián đoạn tại điểm
0
x
nếu
f(
-
0
x
) = lim f(
0
x
-
ε
)

f(
+
0
x
) = lim f(
0
x
+
ε
).
Nếu hàm f(x) và f’(x) là liên tục từng khúc trong khoảng (-L, L) thì biểu diễn chuỗi

Fourier của hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện:
- Hội tụ về hàm f(x) tại điểm mà hàm f(x) là liên tục;
- Hội tụ về đoạn mở rộng tuần hoàn của hàm f(x) nếu x ở ngoài khoảng Fourier đầy đủ;

11
- Tại điểm
0
x
có bước nhảy gián đoạn hữu hạn thì biểu diễn chuỗi Fourier của
hàm f(x) hội tụ về
1
2
[ f(
+
0
x
) + f(
-
0
x
) ] là giá trị trung bình của giới hạn trái và phải
của bước nhảy gián đoạn.
* Hàm
N
S
(x) =
0
a
+
N

n=1
(

n
a
cos
nπx
L
+
n
b
sin
nπx
L
) được gọi là tổng riêng thứ N.
* Chuỗi có dạng:
0
a
+
n=1
(



n
a
cos
nπx
L
+

n
b
sin
nπx
L
).
có thể viết dưới dạng:
0
a
+
n
n = 1
C


sin (
nπx
L
+
n
φ
).
trong đó:
n
C
=
22
nn
a +b
được gọi là biên độ.

n
φ
= arctg(
n
n
a
b
) được gọi là pha.
Số hạng thứ n:
n
C
sin (
nπx
L
+
n
φ
) được gọi là dao động điều hòa thứ n.
1.2.1.2 Tính chẵn lẻ của chuỗi Fourier
Hàm f(x) được gọi là hàm chẵn của x nếu
f(-x) = f(x)
với mọi giá trị của x,
hàm chẵn đối xứng dọc theo trục y. Hàm f(x) được gọi là hàm lẻ của x nếu
f(-x) = -f(x) với mọi giá trị của x. Các tính chất sau của hàm chẵn và hàm lẻ cho
phép đơn giản biểu diễn Fourier.

Nếu f(x) là một hàm chẵn của x thì
   
LL

-L 0
f x dx = 2 f x dx


Thật vậy, vì f(x) là hàm chẵn nên f(-x) = f(x), do đó:
           
L 0 L L L L
-L -L 0 0 0 0
f ξ dξ = f ξ dξ + f ξ dξ = f -ξ dξ + f ξ dξ = 2 f ξ dξ
     


Nếu f(x) là hàm lẻ của x, tức là f(-x) =-f(x)thì
 
L
-L
f x dx = 0



12
Vậy:
         
L 0 L L L
-L -L 0 0 0
f ξ dξ = f ξ dξ + f ξ dξ = f -ξ dξ + f ξ dξ = 0
    


Tích của hai hàm chẵn là một hàm chẵn, tích của hai hàm lẻ là một hàm chẵn, tích

của một hàm chẵn với một hàm lẻ là một hàm lẻ.
- Nếu f(x) là một hàm lẻ, biểu diễn Fourier có dạng:

n
n=1
nπx
f(x) = b sin
L


, 0 < x < L
trong đó:
n
a = 0
với mọi n

 
L
n
0
2nπx
b = f x sin dx
LL


- Nếu f(x) là một hàm chẵn, biểu diễn Fourier của nó là:
 
0n
n=1
nπx

f x = a + a cos
L


, 0 < x < L
trong đó: a
0
và a
n
được xác định theo công thức:

0
a
=
1
L
L
0
f(x)

dx

n
a
=
1
2L

L
0

f(x)

cos
nπx
L
dx
1.2.2. Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier.
a. Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác có dạng:
f(x) =
0
a
+
n=1
(



n
a
cos
nπx
L
+
n
b
sin
nπx
L
), với –L<x<L .
và các hệ số:

0
a
=
1
2L
L
-L
f(x)dx

.

n
a
=
1
L
L
-L
f(x)

cos
nπx
L
dx.

n
b
=
1
L

L
-L
f(x)

sin
nπx
L
dx.

13
Đôi khi người ta còn biểu diễn dưới dạng đối xứng sau:
 
0
nn
n=1
A
nπx nπx
f x = + A cos + B sin
2 L L





, -L < x < L.
trong đó:
 
L
n
-L

1nπx
A = f x cos dx
LL

,
 
L
n
-L
1nπx
B = f x sin dx
LL

.
Ta có một số trường hợp xác định của f(x) sau:
 Trường hợp 1: Hàm f(x) xác định trong khoảng



x



2L
Với
   
f x+2L = f x
có biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác Fourier như sau:

0 n n

n =1
nπx nπx
f(x) = a + a cos + b sin
LL





.
Với các hệ số được xác định theo công thức:
α+2L
0
α
1
a = f(x)dx
2L

.
α + 2L
n
α
1nπx
a = f(x)cos dx
LL

.
α + 2L
n
α

1nπx
b = f(x)sin dx
LL

.
 Trường hợp 2: f(x) xác định trong khoảng
 
,



Hàm f(x) có biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác Fourier như sau :
0 n n
n = 1
f(x) = a + (a cosnx + b sinnx)


.
Các hệ số được xác định như sau :
π
0
-π
1
a = f(x)dx
2π

.
π
n
-π

1
a = f(x)cosnxdx
π

.

14
π
n
-π
1
b = f(x)sinnxdx
π

.
 Trường hợp 3: f(x) liên tục, khả vi, đơn trị trên khoảng
 
-π,π

Hàm f(x) có thể phân tích thành tích phân Fourier như sau:
 
-
f(x) = A(α)cosαx + B(β)sinβx dx



.
-
1
A(α) = f(x)cosαxdx

2π



.
-
1
B(β) = f(x)sinαxdx
2π



.
- - - -
11
f(x) = f(ξ)(cosαξcosαx + sinαξsinαx)dξ dx = f(ξ)cosα(x - ξ)dξ dx
2π 2π
   
   
   
   
   
   

Dạng phức của chuỗi Fourier được xác định bằng đồng nhất thức Euller
inπx
L
nπx nπx
e = cos + isin
LL

;
2
i = -1

inπx -inπx
LL
nπx e + e
cos =
L2

;
inπx inπx
-
LL
nπx e - e
sin =
L 2i
(

)
b. Biểu diễn Fourier dưới dạng mũ có dạng:
Từ (*) ta có khai triển chuỗi Fourier dạng mũ.
inπx inπx inπx inπx

0
nn
L L L L
n=1
A
A - iB

f(x) = + e + e + e - e
2 2 2


inπx inπx
-
0
LL
n n n n
n=1 n=1
A
11
= + A - iB e + (A + iB ) e
2 2 2

các hằng số được xác định như sau:

L
0
0
-L
A
1
C = = f(x) dx.
2 2L


15

L

n n n
-L
1 1 nπx nπx
C = (A - iB ) = f(x)cos - if(x)sin dx
2 2L L L
.

L
- inπx
L
-L
1
= f(x)e dx
2L
.
L
- n n n
-L
1 1 nπx nπx
C = (A + iB ) = f(x)cos + if(x)sin dx
2 2L L L
.

L
inπx
L
-L
1
= f(x)e dx
2L

.
Như vậy:

inπx - inπx
LL
0 n - n
n = 1 n = 1
f(x)=C + C e + C e
.
Thay tổng cuối cùng n bằng – n ta có:
inπx inπx
-
LL
0 n - n
n = 1 n = -1
f(x) = C + C e + C e
.
Biểu thức này là dạng phức của chuỗi Fourier:

inπx
L
n
n=1
f(x)= C e
.
trong đó:
L
inπx
L
-L

1
C = f(x)e dx
2L
n
.










16
1.2.3. Tóm tắt các tính chất của phép biến đổi Fourier

Hàm gốc
Hàm ảnh
Gauss
f(x) =
0
f( )




e
iλx

d
λ

f(λ)

=
1
2π
-
f(ξ)




d
ξ
e
-iλξ
d
ξ

e
2
-iαx

-λ
4α
1
e
4πα

Đạo hàm

2
-x
4β
π
e
β

e
2
-βλ

f
t



f
t




f
x



-iλf (λ)



2
2
f
x



2
(-iλ)
f(λ)


Hàm Delta Dirac
1
2π
-
f(x')g(x-x')dx'




f(λ)

g(λ)

Định lý dịch chuyển

0
δ(x-x )

0
iλx
1
e
2π

Nhân với x
f(x-
β
)
e
iλβ
f(λ)



xf(x)
-i
df
dλ



22
2α
x+α

- λα
e


f(x) =
0, x >a
f(x)=
1, x <a






1 sinaλ
πλ



17
1.3. Đại cương về các phương trình vật lý toán
1.3.1. Đại cương về phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình toán lý
Phương trình đạo hàm riêng cấp m là phương trình có dạng:
1n
2 2 m
kk
2
1 n 1 1 2 1 n
u u u u u
F x,u, , , , , , , 0

x x x x x x x

    


      

.
trong đó:
 F là hàm nhiều biến.

1 2 n
x = (x , x , , x )
là vectơ trong không gian Euclide n chiều R
n
.
+
 
ux
là hàm chưa biết
1 2 n
k + k + + k = m
.
Cấp của phương trình là cấp của đạo hàm cao cấp nhất trong phương trình.
Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu nó là bậc nhất đối với
hàm chưa biết và các đạo hàm riêng của chúng.
Phương trình Vật lý - Toán là các phương trình mô tả sự biến thiên của trường
theo thời gian có dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng. Các Phương trình
Vật lý - Toán cơ bản thường gặp đó là các phương trình dao động sóng, phương
trình truyền nhiệt, phương trình Laplace.

Trong các bài toán Vật lý, phương trình thường gặp là các phương trình vi phân
đạo hàm riêng cấp hai (m = 2). Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai với hai
biến số độc lập x, y là hệ thức liên hệ giữa đạo hàm chưa biết u(x, y) và đạo hàm
riêng của nó đến cấp hai:
x y xx xy yy
F (x, y, u, u , u , u , u , u ) = 0

Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai được gọi là tuyến tính nếu nó có dạng:
2 2 2
22
u u u u u
A + 2B + C + D + E + Fu = G(x, y)
x x y y x y
    
     
(1.15)
trong đó A, B, C, D, E, F, G là các hàm chỉ phụ thuộc vào x, y.
Nếu các hệ số của phương trình không phụ thuộc vào x, y thì nó là phương trình
tuyến tính với hệ số hằng. Phương trình gọi là tuyến tính thuần nhất khi: G(x,y) = 0.


18
1.3.2. Phân loại phương trình toán lý
Nhờ phép biến đổi thích hợp ta có thể đưa phương trình (1.15) về một trong ba
dạng sau.
1.3.2.1. Phương trình Hyperbolic
Nếu
2
AC - B < 0
trong một miền nào đó thì phương trình (1.15) có thể viết

được dưới dạng:
22
1 1 1 1
22
u u u u
- + D + E + Fu = G (ξ,η)
ξ η ξ η
   
   
(1.16)
Phương trình Hyperbolic còn gọi là phương trình sóng, nó đóng vai trò quan
trọng trong Vật lý cũng như trong các ngành kĩ thuật, được thiết lập trên cơ sở
nghiên cứu dao động của dây, màng mỏng, sóng âm, sóng đàn hồi, sóng điện từ, …
Phương trình (1.16) là dạng chính tắc thứ hai của phương trình loại Hyperbolic.
Dạng đơn giản nhất của phương trình Hyperbolic là phương trình dao động của dây:

22
2
22
uu
- a = g(x,t)
tx


(1.17)
nghĩa là
1 1 1
D = E = F 0
.
trong đó: a là hằng số tốc độ.

- Nếu
 
g x, t = 0
dao động là dao động tự do.
- Nếu
 
g x, t 0
dao động là dao động cưỡng bức.
Để tìm nghiệm dưới dạng tường minh, cần phải có các điều kiện biên cho
phương trình dao động. Các dạng điều kiện biên cho phương trình dao động của dây
thường có dạng sau:
a. Điều kiện Dirichlet: Sự di chuyển của các đầu dây có dạng

x = 0 1
x = l 2
B(u) = u(0,t) = g (t)
B(u) = u(l,t) = g (t)

b. Điều kiện biên Neumann: Đạo hàm của các đầu dây có dạng
x = 0 3
x = l 4
u(0,t)
B(u) = = g (t)
x
u(l,t)
B(u) = = g (t)
x







19
c. Điều kiện biên Robin: Còn được gọi là điều kiện biên hỗn hợp, là tổ hợp
tuyến tính của hai điều kiện biên trên, tức là độ dịch chuyển và độ dốc trên các đầu
dây có dạng:
   
 
5
x = 0
x = 0
x = l 6
x = l
u
B u = + hu = g t
n
u
B(u) = + hu = g t
n











trong đó:
 
u
= gradu.n
n


;
n
là vectơ pháp tuyến đơn vị.
Điều kiện ban đầu cho bài toán dao động của dây là hình dạng ban đầu và vận
tốc ban đầu:
u(x, 0) = f(x)
,
 
 
u x, 0
= F x
t



1.3.2.2. Phương trình Parabolic
Nếu
2
AC - B = 0
trong một miền nào đó thì phương trình (1.15) có thể viết
được dưới dạng

2
2 2 2 2
2
u u u
+ D + E + F u = G (ξ,η)
ξ ξ η
  
  
(1.18)
Phương trình Parabolic còn được gọi là phương trình truyền nhiệt. Ta đã biết
nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp theo ba cách: Quá trình
dẫn nhiệt, quá trình bức xạ nhiệt và quá trình đối lưu. Tất cả các quá trình truyền
nhiệt này được nghiên cứu trong các môn học đại cương ở các chuyên đề về nhiệt.
Phương trình (1.18) gọi là phương trình Parabolic. Dạng giản đơn nhất là
phương trình truyền nhiệt:

2
2
2
u u 1
- a = g(x, t)
t x cρ


(1.19)
nghĩa là
22
D = F 0
, trong đó
k

a =
cρ
gọi là hệ số khuếch tán.