phương pháp giải bài toán thời gian và quãng đường trong dao động điều hòa

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ




NGUYỄN VĂN SƠN





BÀI TOÁN THỜI GIAN VÀ QUÃNG ĐƢỜNG TRONG
DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Chuyên ngành: Vật lý đại cƣơng


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC


Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TS. ĐÀO CÔNG NGHINH




HÀ NỘI – 2014

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Bài toán thời gian và quãng đường
trong dao động điều hòa” đã hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự
giúp đỡ tận tình, chu đáo của thầy giáo TS. Đào Công Nghinh, cùng các thầy
cô trong Khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó, đồng thời em xin
chân thành cảm ơn thư viện nhà trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo
điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành đề tài này.
Trong quá trình nghiên cứu, bản thân em là một sinh viên bước đầu làm
quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi
những hạn chế và thiếu sót.
Vì vậy, em rất mong được ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn
sinh viên để đề tài này hoàn thiện hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên


Nguyễn Văn Sơn



LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những nội dung tôi đã trình bày trong khóa luận này
là kết quả của quá trình nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của
thầy cô giáo, đặc biệt là thầy giáo TS. Đào Công Nghinh. Những nội dung
này không trùng lặp với kết quả nghiên cứu của tác giả khác.

Hà Nội, tháng 5năm 2014
Sinh viên


Nguyễn Văn Sơn



MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 1
1. Lí do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1
4. Đối tượng nghiên cứu 2
5. Phương pháp nghiên cứu 2
NỘI DUNG
Chƣơng 1: ĐẠI CƢƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
MỐI LIÊN HỆ GIỮA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA VÀ CHUYỂN
ĐỘNG TRÒN ĐỀU 3
1.1. Đại cương về dao động điều hòa 3
1.1.1. Khái niệm 3
1.1.2. Phương trình dao động điều hòa 3
1.1.3. Các đại lượng trong dao động điều hòa 4
1.1.4. Năng lượng 5

1.2. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều 6
1.2.1. Chuyển động tròn đều 6
1.2.2. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều 6
Chƣơng 2: BÀI TOÁN THỜI GIAN VÀ QUÃNG ĐƢỜNG
TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 8
2.1. Bài toán thời gian 8
2.1.1. Cho phương trình dao động của vật:
x A.cos( t )


. Tìm
khoảng thời gian để vật chuyển động từ li độ x
1
đến x
2
theomột tính
chất nào đó 8
2.1.2. Cho phương trình dao động của vật: x = A.cos(

t +α). Tìm
thời điểm t vật qua li độ x nào đó lần thứ n 13


2.1.3. Cho phương trình dao động của vật:
x A.cos( t )


. Biết
tại thời điểm t vật qua li độ x, theo 1 chiều nào đó. Tìm li độ dao
động, vận tốc, gia tốc, lực phục hồi tại thời điểm trước hoặc sau thời

điểm t một khoảng ∆t 19
2.1.4. Cho phương trình dao động của vật:
x A.cos( t )


. Tìm
thời điểm để vật cách VTCB một khoảng l lần thứ n nào đó. 23
2.1.5. Cho phương trình dao động của vật:
x A.cos( t )


. Tính
số lần vật qua li độ x
*
trong thời gian từ t
1
đến t
2
25

2.1.6. Cho phương trình dao động của vật:
  x A.cos t ()
. Tính
thời gian nhỏ nhất, lớn nhất để đi được cùng quãng đường S 30
2.2. Bài toán quãng đường 33
2.2.1. Cho phương trình dao động của vật: x = A.cos(

t +α). Tính
quãng đường mà vật đi được trong thời gian từ t
1

đến t
2
33
2.2.2. Cho phương trình dao động của vật: x = A.cos(

t +α). Tính
quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất mà vật đi được trong thời gian ∆t 38
KẾT LUẬN 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO 43
1
MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài
Dao động là một trong các phần quan trọng của chương trình Vật lý lớp
12. Nó đóng góp một lượng lớn bài tập trong hệ thống kiến thức thi tốt
nghiệp, đại học. Mặt khác, hiện nay thi đại học môn Vật lý lại sử dụng hình
thức thi trắc nghiệm, điều đó đòi hỏi mỗi học sinh không chỉ nắm vững kiến
thức, làm thành thạo các dạng bài tập mà còn phải có phương pháp giải
nhanh, chính xác.
Các bài toán về thời gian và quãng đường chiếm một số lượng lớn trong
các dạng bài tập về dao động điều hòa.
Những kiến thức phần này chỉ được trình bày một cách sơ bộ trong
chương trình phổ thông. Do đó, học sinh chưa hiểu rõ và nắm bắt đầy đủ các
dạng bài tập về thời gian và quãng đường trong dao đông điều hòa. Từ đó khó
giải quyết các bài toán về thời gian và quãng đường trong dao động điều
hòa.Để giải tốt các bài tập đó học sinh phải nắm chắc kiến thức về dao động
điều hòa, có phương pháp giải phù hợp với từng dạng toán.
Chính vì lí do trên mà tôi chọn và nghiên cứu đề tài: “Bài toán thời gian
và quãng đường trong dao động điều hòa” để làm khóa luận xét tốt nghiệp
của mình.

2.Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các bài toán về thời gian và quãng đường trong dao động
điều hòa nhằm phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải nhanh
cho từng dạng bài tập.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu
Khái quát lý thuyết chương phần “Dao động điều hòa”. Sử dụng mối liên
hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa cùng các phương pháp
2
giải bài tập để giải các bài toán về thời gian và quãng đường trong dao động
điều hòa.
4.Đối tƣợng nghiên cứu
Lý thuyết chương phần dao động điều hòa, lý thuyết của chuyển động
tròn đều.
Bài tập về thời gian và quãng đường trong dao động điều hòa.
5.Phƣơng pháp nghiên cứu
Đọc và tra cứu tài liệu liên quan.
Giải các bài tập về dao động.



3
NỘI DUNG

CHƢƠNG I
ĐẠI CƢƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
MỐI LIÊN HỆ GIỮA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
VÀ CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU

1.1. Đại cƣơng về dao động điều hòa
1.1.1. Khái niệm

Dao động cơ học là sự chuyển động của một vật quanh một vị trí xác
định gọi là vị trí cân bằng.
Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái chuyển động của vật được
lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian xác định.
Dao động điều hòa là dao động mà li độ của vật được biểu thị bằng hàm
cos hoặc hàm sin theo thời gian.
1.1.2. Phƣơng trình dao động điều hòa
1.1.2.1. Phƣơng trình li độ
Phương trình dao động x = A.cos(

t + α)(cm, m).
Các đại lượng đặc trưng cho dao động điều hòa:
x: Li độ dao động hay độ lệch khỏi VTCB (cm, m).
A: Biên độ dao động hay li độ cực đại (cm, m).

: Là tần số góc của dao động, đại lượng đặc trưng trung gian cho phép
xác định chu kỳ, tần số dao động (rad/s).
α: Pha ban đầu của dao động (t = 0) giúp xác định trạng thái dao động
của vật ở thời điểm ban đầu (rad).
(

t + α): Pha dao động tại thời điểm t giúp xác định trạng thái dao động
của vật ở thời điểm t bất kỳ (rad).
4
1.1.2.2. Phƣơng trình vận tốc
v = x
’
= -

.A.sin (


t + α) =

.A.cos (

t + α + π/2)(cm, m).
* Nhận xét
Vận tốc nhanh pha hơn li độ góc π/2.
v

luôn cùng chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì
v > 0, chuyển động theo chiều âm v < 0).
1.1.2.3. Phƣơng trình gia tốc
a = v
’
= x
’’
= -

2
.A.cos(

t +α) =

2
.A.cos(

t + α + π) (cm/s
2
, m/s

2
).
* Nhận xét
Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc góc π/2, nhanh pha hơn li độ góc π.
Gia tốc luôn hướng về VTCB.
Phương trình liên hệ giữa x, A, v và

độc lập với thời gian:
x = A.cos(

t + α)
v = -

.A.sin(

t + α)

2
22
2
v
Ax



* Chú ý
Ở VTCB: x = 0,
max
.vA


,
min
a
= 0
Ở biên: x =

A,
min
0v
,
2
max
.aA


1.1.3. Các đại lƣợng trong dao động điều hòa
1.1.3.1. Chu kỳ dao động
Là khoảng thời gian ngắn nhất để vật thực hiện được một dao động toàn
phần, hay là khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái dao động được lặp lại
như cũ.
*Chú ý: Nếu trong khoảng thời gian ∆t vật thực hiện được N dao động
thì ta có: ∆t = N.T
5

1.1.3.2. Tần số dao động
Là số dao động trong một đơn vị thời gian, nó là đại lượng nghịch đảo
của chu kỳ dao động.
1 N
f
Tt




Mối liên hệ giữa T, f,

:
2
2 .f
T




1.1.4. Năng lƣợng
Cơ năng = Động năng + Thế năng
Thế năng: W
t
=
1
2
m.

2
.x
2
=
1
2
m.


2
.A
2
.cos
2
(

t + α).
Động năng: W
đ
=
1
2
m.v
2
=
1
2
m.

2
.A
2
.sin
2
(

t + α).
Định luật bảo toàn cơ năng:
W = W

t
+ W
đ
=
1
2
m.

2
.A
2
= W
t max
= W
đ max
* Nhận xét
Trong quá trình dao động động năng và thế năng có sự biến đổi qua lại
nhưng tổng của chúng là cơ năng luôn được bảo toàn.
Dao động điều hòa có tần số góc

, tần số f, chu kỳ T thì động năng và
thế năng biến thiên với tần số góc 2

, tần số 2f, chu kỳ T/2.
Động năng và thế năng trung bình trong thời gian
nT
2
:
22
W1

24
mA




6

1.2. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
1.2.1. Chuyển động tròn đều
Chuyển động tròn là chuyển động có quỹ đạo là một đường tròn.
VD: Chuyển động của các điểm trên ghế đu quay.
Chuyển động tròn đều là chuyển động có quỹ đạo tròn và có tốc độ trung
bình trên mọi cung tròn là như nhau.
Vận tốc góc: Là góc quay của bán kính trong 1 đơn vị thời gian.
t





(rad/s)
Trong đó


là góc mà bán kính nối từ tâm đến vật quét được trong
những khoảng thời gian ∆t.
Chu kỳ của chuyển động tròn đều là thời gian cần thiết để vật đi được 1
vòng.

Tần số của chuyển động tròn đều là số vòng đi được trong 1 s.
Công thức liên hệ giữa

, T, f:
2
2


f
T

1.2.2. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
Độ dài đại số của hình chiếu trên
trục x của véctơ quay
OM
biểu diễn
dao động điều hòa chính là li độ của
dao động.
Nói cách khác: Khi véctơ
OM

quay đều với tốc độ góc

quanh điểm
O thì hình chiếu P của điểm M dao
động điều hòa trên trục x’Ox thuộc mặt
x
α
x
0

P
M
A
-A
Hình 1.1
7
phẳng quỹ đạo của điểm M, biên độ dài bằng OM, tần số góc bằng tốc độ góc

và pha ban đầu α bằng góc
xOM
ở thời điểm t = 0.
x = A. cos(

t +α)
A =
OM
, α =
xOM

* Chú ý:
Tại t = 0, v
0
< 0 thì
OM
ở trên trục Ox, khi đó α > 0. Ngược lại, v
0
> 0 thì
OM
ở dưới trục Ox, khi đó α < 0.
Thời gian vật dao động từ vị trí x

1
đến x
2
bằng thời gian
OM
quay đều
được góc
12
M OM
với tốc độ góc

: ∆α =

.∆t.
Phương pháp biểu diễn dao động có thể áp dụng đối với sóng cơ học,
sóng điện từ…

8
CHƢƠNG II
BÀI TOÁN THỜI GIAN VÀ QUÃNG ĐƢỜNG
TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

2.1. Bài toán thời gian
2.1.1. Cho phƣơng trình dao động của vật: x = A.cos(

t +α).Tìm khoảng
thời gian để vật chuyển động từ li độ x
1
đến x
2

theo một tính chất nào đó
2.1.1.1. Phƣơng pháp giải
Cách 1: Sử dụng mối liên hệ giữa
chuyển động tròn đều và dao động điều
hòa.
Vẽ đường tròn tâm O bán kính
RA
, kẻ trục Ox nằm ngang và đánh
dấu vị trí các điểm x
1
và x
2
. Xác định
cung
12
MM
tương ứng như hình 2.1.
Ta cần tìm góc α do cung
12
MM
chắn. Khi đó
t




Cách 2: Sử dụng toán học thuần túy
Thay x
1
và x

2
vào phương trình li độ ta được:
 
 
11
11


x Acos t
v Asin t

  

  



và
 
 
22
22


x Acos t
v Asin t

  

  





Từ các phương trình trên ta tìm được các họ t
1
và t
2
.
Khi đó thời gian để vật chuyển động từ x
1
đến x
2
là ∆t = t
2
– t
1
.

Hình 2.1
0
α
x
2
x
1
x
A
-A
M

2
M
1
9
2.1.1.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5.cos(4πt –
π/3) cm. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x
1
= - 2.5 cm đến li
độ x
2
=
2.5 3
cm?
Giải
Thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x
1
= - 2.5 cm đến li độ x
2
=
2,5 3
cm chỉ có thể là thời gian để vật đi theo 1 chiều trực tiếp từ M
1
đến M
2
.
Cách 1
Ta có:
sinα
1

=
2.5
5

1
6




và sinα
2
=
2.5 3
5

2
3




Do đó α = α
1
+ α
2
=
2


Vậy
/2
0,125 s
4
  t



Cách 2
Thay x
1
vào phương trình li độ ta có:
1
1
π
5. 4π 2,5
3
π
20 . 4π0
3
x cos t
v sin t


   






  









1
1
π
4π 0.5
3
π
4π  0
3
cos t
sin t

  


















4πt
1
– π/3 = - 2π/3 + k2π

1
1
12 2
k
t



Để t > 0 thì k = 1, 2, 3… Hay t
1
= 5/12, 11/12, 17/12….
Thay x
2
vào phương trình li độ ta được:
α1
α2
x

M
2
M
1
α
-2.5
2.5
3

-5
5
0
Hình 2.2
10
2
1
π
5. 4π 2,5 3
3
π
20 . 4π0
3


  









  






x cos t
v sin t


2
2
π
4π  3 / 2
3
π
4π  0
3
cos t
sin t

  

















4πt
1
– π/3 = π/6 + k2π


2
1
24 2
k
t 

Để t > 0 thì k = 0, 1, 2, 3… Hay t
2
= 1/24, 13/24
Như vậy ∆t = 13/24 – 5/12 = 0,125 s.
Ví dụ 2: Một vật dao động với phương trình x = 4.cos(2t – π/6) cm. Tìm
khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x
1

= 2 cm đến li độ có gia tốc
a = - 8
2
cm/s
2
.
Giải
Theo biểu thức a = -

2
.x thì khi vật có gia tốc a = - 8
2
cm/s
2
vật sẽ
qua li độ
2
22
a
x



cm


Lúc này bài toán chuyển thành bài toán là tìm thời gian ngắn nhất từ
x
1
đến x

2
.
Cách 1
Ta vẽ đường tròn có bán kính 4cm.
Xác định các vị trí x
1
và x
2
như hình 2.3.
Dễ thấy α =
12


Vậy
/12
2 24
t
  

  


Cách 2: Thay x
1
vào phương trình li độ ta được:
Hình 2.3
x
0
4

α
2
22
- 4

11
1
1
π
4. 2 2
6
π
8. 2 0
6
x cos t
v sin t

  

















1
1
π
2 0.5
6
π
2 0
6
cos t
sin t


















2t
1
– π/6 = - π/3 + k2π



t
1
=
12


+ kπ
Để t > 0 thì k =1, 2, 3… Hay t
1
= 11π/12, 23π/12…
Thay x
2
vào phương trình li độ ta được:
2
2
π
4. 2 2 2
6
π
8. 2 0

6
x cos t
v sin t

  





  









2
2
π
2 2 / 2
6
π
4π  0
6
cos t
sin t




















2t
2
– π/6 = - π/4 + k2π



t
2
=
24



+ kπ
Để t > 0 thì k = 1, 2, 3… Hay t
2
=23π/24…
Như vậy ∆t = 23π/24 – 11π/12 =
24

s
Ví dụ 3: Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm vật nhỏ có m = 250 g treo
phía dưới một lò xo nhẹ có K = 100 N/m. Từ VTCB kéo vật xuống dưới một
đoạn sao cho lò xo giãn 7.5 cm và thả cho vật dao động điều hòa. Tìm tỉ số
giữa thời gian lò xo nén và thời gian lò xo giãn trong 1 chu kỳ.
Giải
Ở VTCB, lò xo bị giãn một đoạn:
0
0,25.10
100
0.025 2.5 m
m
l
K
m
g
c    

12
Ở vị trí kích thích, lò xo giãn 7.5 cm nên vị trí đó cách VTCB 5 cm. Vì ở
đây vận tốc bằng 0 nên điểm kích thích chính là biên của quỹ đạo chuyển
động.


A = 5 cm
Thời gian lò xo nén trong 1chu kỳ là khoảng thời gian từ - 2.5 cm đến
– 5 cm rồi quay lại - 2.5 cm.
Do bài toán này chưa cho phương
trình dao động, nên khi thực hiện giải
theo cách 2 thì cần phải viết phương
trình dao động, do đó tôi chỉ trình bày
giải bài này theo cách 1.
Ta có
cosα =
0
l
A

= 0.5

α =
3


Vậy thời gian nén là
2. / 3
3
n
T
t


 

Do đó thời gian lò xo giãn là:t
g
= T – t
n
=
2
3
T

Như vậy tỉ số giữa thời gian lò xo nén và thời gian lò xo giãn là 2.
Kết luận: Như vậy, bài toán tìm thời gian để vật chuyển động từ x
1
đến
x
2
có thể giải theo nhiều cách. Tuy nhiên việc sử dụng mối liên hệ giữa
chuyển động tròn đều và dao động điều hòa sẽ giúp ta giải quyết bài toán một
cách nhanh nhất.
2.1.1.3. Các bài tập tƣơng tự
1.Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với phương
trình x = A.cos(

t – α). Biết khi vật ở VTCB lò xo bị giãn ∆l và thời gian lò
xo giãn gấp 5 lần thời gian lò xo nén. Tìm liên hệ giữa ∆l và A.
2. Một mạch dao động lí tưởng có chu kỳ dao động là T. Tại một thời
điểm điện tích trên tụ là 8.10
-7
C và đang có xu hướng giảm. Sau đó một
0

x
M
2
M
1
α
-2.5
-5
5
Hình 2.4
13
khoảng thời gian ∆t = 3T/4 thì cường độ dòng điện tức thời trong mạch là
1,6π.10
-3
A. Tìm chu kỳ của mạch dao động.
3. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ 5cm.
Biết trong 1 chu kỳ khoảng thời gian để nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc
không vượt quá 100cm/s
2
là T/3. Tìm tần số của dao động.
4. Cho mạch LC, thời điểm ban đầu tụ có điện tích Q
0
. Sau khoảng thời
gian ngắn nhất 2π.10
-4
s điện tích giảm từ giá trị cực đại đến nửa giá trị cực
đại. Hỏi sau khoảng thời gian nhỏ nhất bằng bao nhiêu năng lượng điện
trường giảm từ giá trị cực đại đến nửa giá trị cực đại.
5. Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T. Trong khoảng thời gian ngắn
nhất từ biên đến li độ A/2 vật có tốc độ trung bình bằng bao nhiêu.

2.1.2. Cho phƣơng trình dao động của vật: x = A.cos(

t + α). Tìm thời
điểm t vật qua li độ x nào đó lần thứ n.
2.1.2.1. Tìm thời điểm t vật qua li độ x nào đó lần thứ n khi kể đến chiều
dao động.
2.1.2.1.1. Phƣơng pháp giải
Cách 1: Sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động
điều hòa.
Ta xác định vị trí ban đầu của vật
tại thời điểm ban đầu t = 0:
x
0
= Acosα và dấu của v = -

.sinα
Xác định vị trí tương ứng của li độ
trong dao động điều hòa với vật chuyển
động tròn đều. Khi kể đến chiều chuyển
động, mỗi vị trí của x tương ứng với 1 vị
trí của vật chuyển động tròn đều.
Xác định góc α rồi tính thời điểm theo công thức t = α/

.
x
M
0
M
1
α

x
-A
A
0
Hình 2.5
14
Cách 2: Thay tọa độ x vào phương trình dao động và phương trình vận
tốc để thu được họ nghiệm thời điểm t theo các số nguyên k:
x = A.cos(

t +α) và dấu của v = -

.A.sin(

t + α)
Theo thứ tự của lần thứ n sẽ ứng với giá trị của k. Biết được k thay
ngược trở lại ta được thời điểm t cần tìm.
2.1.2.1.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ: Vật dao động điều hòa với phương trình x = 4.cos(4πt + π/6) cm.
Tìm thời điểm vật qua vị trí x = 2 cm theo chiều dương lần thứ 3?
Giải
Cách 1: Vì α = π/6 nên vị trí ban
đầu của vật ứng với chuyển động tròn
đều là M
0
.
Vật đi qua li độ x = 2 cm theo chiều
dương tương ứng là điểm M.
Lần thứ nhất bán kính quay một góc
ỏ tâm là 3π/2. Muốn qua thêm lần 3 thì

phải quay thêm 2 vòng nữa, tức là thêm góc 2.2π. Vậy tổng góc quét là 11π/2.
Do đó thời điểm vật đi qua li độ x = 2 cm theo chiều dương lần thứ 3 là:
11 / 2 11

48


  ts

Cách 2: Thời điểm vật qua vị trí x=2 cm theo chiều dương thỏa mãn:
π
4. 4πt 2
6
π
16 4πt 0
6


  



  










x cos
v sin

π
4πt 0.5
6
π
4πt 0
6
cos
sin

















(4πt + π/6) = -π/3 + 2kπ


1
82
k
t



Hình 2.6
x
M
0
M

3π/2
2
-4
4
15
Để t > 0 thì k =1, 2, 3… và theo thứ tự của dãy số thì lần thứ 3 sẽ tương
ứng với k = 3. Do đó t =
11
8
s
2.1.2.2. Tìm thời điểm t vật qua li độ x nào đó lần thứ n khi không kể đến
chiều dao động.
2.1.2.2.1. Phƣơng pháp giải

Cách 1: Sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động
điều hòa.
Ta xác định vị trí ban đầu của vật tại thời điểm ban đầu t = 0: x
0
= Acosα
và dấu của v = -

.sinα
Xác định vị trí tương ứng của li độ
x trong dao động điều hòa với vật
chuyển động tròn đều. Khi không kể
đến chiều chuyển động, mỗi vị trí của x
tương ứng với 2 vị trí của vật chuyển
động tròn đều.
Xác định góc α rồi tính thời điểm
theo công thức t = α/

.
Cách 2
Thay tọa độ x vào phương trình dao động và phương trình vận tốc để thu
được họ nghiệm thời điểm t theo các số nguyên k và m:
x = A.cos(

t +α)

cos(

t + α) = x/A = cosβ



. 2
. 2
tk
tm
   
   
  
  




Theo thứ tự của lần thứ n sẽ ứng với giá trị của k và m. Biết được k hoặc
m thay ngược trở lại ta được thời điểm t cần tìm.

Hình 2.7
α
0
M
2
x
M
0
M
1
x
-A
A
16
2.1.2.2.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(4πt + π/6)
cm. Vật qua vị trí x = 2,5 cm lần thứ 2013 vào thời điểm nào?
Giải
Cách 1
Vị trí ban đầu của vật ứng với chuyển động tròn đều là điểm M
0
(hình
2.8). Vì không kể đến chiều chuyển động nên cứ mỗi vòng vật qua vị trí này 2
lần là M
1
và M
2
.
Lần thứ nhất là M
1
, so với OM
0
bán
kính đã quét được góc π/6.
Muốn có lần 2013 vật phải qua thêm
2012 lần nữa. Vậy chuyển động tròn
tương ứng phải quay thêm 1006 vòng
nữa. Như vậy, tổng góc quét là:
π/6 + 1006.2π = 12073π/6

t = 12073/24 s.
Cách 2:Thay x = 2,5 cm vào phương trình dao động ta được:
x = 5.cos (4πt + π/6) = 2,5

cos(4πt + π/6) = 0,5 = cos π/3


4πt π / 6 π / 3 2
4πt π / 6  π / 3 2
k
m


  
  






1
t 0,1 , 2 .
24 2
1
t 1,2,3
82
k
k
m
m
   

   








Lần thứ nhất vật đi qua li độ x = 2,5 cm ứng với k = 0, lần thứ hai ứng
với m = 1… Như vậy lần thứ 2013 ứng với k = 1006.
Do vậy thời điểm vật qua li độ x = 2,5 cm là t =
12073
24
s.
M
1
x
M
0
π/6
2.5
-5
M
2

5
0
Hình 2.8
17
Nhận xét: Việc giải bài toán theo cách biến đổi toán học thông thường
phức tạp hơn việc sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao
động điều hòa. Ngoài ra giải theo cách biến đổi toán học dễ gây cho học sinh

việc nhầm lẫn giữa các lần.
Chú ý: Từ việc tìm thời điểm vật đi qua li độ x nào đó lần thứ n, một
cách tương tự ta sẽ tìm được thời điểm:
+ Vật nhận vận tốc hay gia tốc nào đó lần thứ n.
+ Động năng bằng một giá trị nào đó của thế năng lần thứ n.
+ Lực phục hồi hay lực đàn hồi nhận giá trị nào đó lần thứ n.
+ Điện áp, cường độ dòng điện, điện tích nào đó lần n.
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình
 
x 5cos 4 t / 3


cm. Tính từ lúc khảo sát dao động, vật có độ lớn gia
tốc cực đại lần thứ 2 vào thời điểm nào?
Giải
Từ phương trình chuyển động
chuyển sang phương trình gia tốc ta
được:
a = -80π
2
.cos(4πt - π/3) cm/s
2

Cực đại lần 2 tương ứng với
điểm M
2
trên vòng tròn. So với OM
0

bán kính OM đã quét được góc:

α = π + π/3 = 4π/3 rad


t = 1/3 s
Ví dụ 2: Vật dao động điều hòa với phương trình x = A.cos(4πt + π/6)
cm. Tìm thời điểm vật đi qua vị trí có động năng bằng thế năng lần 2014?
Giải
Tại t = 0 thì x
0
=
3
3
A
và v
0
< 0 tương với điểm M
0
trên đường tròn.
a
Hình 2.9
0
M
1
M
0

M
2

4π/3

-80π
2
80π
2

18
Khi W
đ
= W
t

thì W = W
đ
+ W
t
= 2W
t


x = ±
2
2
A

Do có 2 tọa độ nên trong một chu
kỳ sẽ có 4 lần động năng bằng thế năng.
Vì vậy ta tách 2014 thành 2012 + 2 để
thời điểm động năng bằng thế năng lần
2014 được tính là: t

2014
=
2012
4
T
+ t
2
, trong đó t
2
là khoảng thời gian để dịch
chuyển trên cung M
0
M
2
.
Dễ dàng ta có α =
7
6

rad.
Do đó t
2
= t
M0

M2
=


=

7
24
T
s
Vậy
2012
2012 7 12079

4 24 48
  
TT
ts

Kết luận
* Khi tính đến chiều dao động, thời điểm vật qua tọa độ x* theo một
chiều nào đó lần thứ n sẽ được tính bằng công thức:
t
n
= t
1
+ (n – 1).T
* Khi không tính đến chiều dao động, thời điểm vật qua tọa độ x* nào đó
lần thứ n sẽ được tính bằng công thức:
+ Nếu lần n là số lẻ thì: t
n
= t
1
+
n
2

1
T
+ Nếu lần n là số chẵn thì: t
n
= t
2
+
1
2
n 
T

x
M
0
M
2
M
2





-A
A
M
1







0
Hình 2.10
19
Trong đó:
t
1
là khoảng thời gian từ vị trí ban đầu đến tọa độ x* lần thứ nhất.
t
2
là khoảng thời gian từ vị trí ban đầu đến tọa độ x* lần thứ hai.
T là chu kỳ dao động.
2.1.2.3. Các bài tập tƣơng tự
1. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 4.cos(4πt + π/6) cm. Tìm
thời điểm thế năng gấp 3 lần động năng lần thứ 2015?
2. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 7.cos(5πt + π/3) cm. Tìm
thời điểm để lực phục hồi có giá trị cực đại lần thứ 2?
3. Dao động điều hòa của một vật có phương trình x = 2.cos(10πt - π/3)
cm. Hỏi lần thứ 10 vật qua li độ x = - 1 cm đang tiến về VTCB vào thời điểm
nào?
4. Dòng điện xoay chiều qua một đoạn mạch RLC nào đó có biểu thức I
= I
0
cos(100πt – π/3) A. Tìm thời điểm để cường độ dòng điện có giá trị bằng
giá trị hiệu dụng lần thứ 2013 và 2014?
2.1.3. Cho phƣơng trình dao động của vật: x = A.cos(


t + α). Biết tại thời
điểm t vật qua li độ x, theo 1 chiều nào đó. Tìm li độ dao động, vận tốc,
gia tốc, lực tại thời điểm trƣớc hoặc sau thời điểm t một khoảng ∆t.
2.1.3.1. Phƣơng pháp giải
Với loại bài toán này việc đầu tiên ta nên kiểm tra xem tỉ số
/2
t
T

nhận
giá trị nào. Có 3 khả năng xảy ra:
+ Nếu giá trị đó là một số nguyên chẵn thì sẽ có kết quả: x
1
= x
2
và
v
2
= v
1
. Gia tốc a = -

2
.x
1
và lực F = - K.x
1
= - m.
2


.x
1.

Vì cứ sau nguyên lần chu kỳ thì vật quay về vị trí cũ.
+ Nếu giá trị đó là một số nguyên lẻ thì sẽ có kết quả: x
1
= - x
2
và
v
2
= - v
1
. Gia tốc a =

2
.x
1
và lực F = K.x
1
= m.
2

.x
1
.
20
Vì cứ sau bán nguyên lần chu kỳ thì độ lớn không thay đổi nhưng thay
đổi về dấu.
+ Nếu không rơi vào số nguyên thì ta sẽ dùng một trong hai cách sau:

Cách 1: Dùng mối liên hệ giữa
chuyển động tròn đều và dao động điều
hòa.
Đánh dấu vị trí x
1
trên trục đi qua
tâm Ox. Kẻ đoạn thẳng qua x
1
vuông
góc với Ox cắt đường tròn tại 2 điểm.
Căn cứ vào chiều chuyển động để chọn
vị trí M duy nhất trên vòng tròn. Vẽ
bán kính OM. Trong khoảng thời gian ∆t góc ở tâm mà OM quét được là
α =

.∆t. Vẽ OM’ lệch với OM một góc α. Từ M’ kẻ vuông góc Ox cắt Ox
tại đâu thì đó là li độ cần xác định.
Cách 2: Dùng phép biến đổi toán học thuần túy.
Thay x
1
vào phương trình dao động x = A.cos(

.t + α) rồi căn cứ vào
chiều chuyển động để chọn được nghiệm (

.t + α) duy nhất. Từ đó tính được
li độ trước hoặc sau thời điểm t
x
t + ∆t
= A.cos[


.( ∆t) + α] = A.cos(

.t + α 

.∆t)
Dấu (-) là thời điểm trước và (+) là thời điểm sau.
Khi đó vận tốc của vật sẽ được tính theo biểu thức:
2
22
2
2
2
v
Ax



Gia tốc và lực sẽ được tính theo biểu thức: a = -

2
.x
2

và F = - K.x
2
= - m.
2

.x

2.


Hình 2.11
0
x
M’
M

α
x
1
-A
A