nghiên cứu nâng cao chất lượng điều khiển hệ truyền động sử dụng động cơ đồng bộ kích từ nam châm vĩnh cửu bằng phương pháp điều khiển phi tuyến cuốn chiếu (backstepping)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

NGUYỄN THỊ TÂM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP






LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

TỰ ĐỘ NG HÓ A

NGÀNH: TỰ ĐỘ NG HÓ A


NGHIÊN CỨU NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ĐIỀU KHIỂN
HỆ TRUYỀN ĐỘNG SỬ DỤNG ĐỘNG CƠ ĐỒNG BỘ KÍCH TỪ
NAM CHÂM VĨNH CỬU BẰNG PHƯƠNG PHÁ P ĐIỀ U KHIỂ N PHI
TUYẾN CUỐN CHIẾU (BACKSTEPPING)



NGUYỄN THỊ TÂM

TN
2011

THÁI NGUYÊN 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP





LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT


NGHIÊN CỨU NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ĐIỀU KHIỂN
HỆ TRUYỀN ĐỘNG SỬ DỤNG ĐỘNG CƠ ĐỒNG BỘ KÍCH TỪ
NAM CHÂM VĨNH CỬU BẰNG PHƯƠNG PHÁ P ĐIỀ U KHIỂN CUỐN
CHIẾU (BACKSTEPPING)



Ngành: TỰ ĐỘ NG HÓ A
Học Viên: NGUYỄN THỊ TÂM
Người HD Khoa học: PGS.TS. NGUYỄ N NHƯ HIỂ N

THÁI NGUYÊN – 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC
KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên
:
Nguyễn Thị Tâm
Ngày tháng năm sinh
:
Ngày 08 tháng 05 năm 1984
Nơi sinh
:
Huyện Phú Bình – Tỉnh Thái Nguyên
Nơi công tác
:
Trường Đại Học Sao Đỏ

Cơ sở đào tạo
:
Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên
Chuyên ngành
:
Tự động hóa
Khóa học
:
K12- TĐH


TÊN ĐỀ TÀI:
NGHIÊN CỨU NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ĐIỀU KHIỂN HỆ TRUYỀN
ĐỘNG SỬ DỤNG ĐỘNG CƠ ĐỒNG BỘ KÍCH TỪ NAM CHÂM VĨNH CỬU
BẰNG PHƯƠNG PHÁ P ĐIỀ U KHIỂ N CUỐN CHIẾU (Backstepping)


Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS Nguyễn Như Hiển

Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên

Ngày giao đề tài: / /
Ngày hoàn thành: / /



GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

PGS.TS Nguyễn Như Hiển
HỌC VIÊN



Nguyễn Thị Tâm
BAN GIÁM HIỆU
KHOA SAU ĐẠI HỌC

Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật Chuyên ngành: Tự động hóa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những nghiên cứu dưới đây là của tôi , nếu sai tôi xin
chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2011
Người cam đoan



Nguyễn Thị Tâm

Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật Chuyên ngành: Tự động hóa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
MỤC LỤC
Lời cam đoan
Mục lục
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình vẽ và đồ thị
Nội dung
Trang
Mở đầu
1
Chƣơng 1: Tổng quan về các hệ thống điều khiển phi tuyến và áp dụng
cho động cơ đồng bộ kích thích vĩnh cửu (ĐCĐBKTVC)
4
1.1. Tổng quan về hệ thống điều khiển phi tuyến
4

1.1.1. Phương pháp điều khiển phân tích mặt phẳng pha
5
1.1.2. Kỹ thuật Gain scheduling
6
1.1.3. phương pháp tuyến tính hóa trong lân cận điểm làm việc
6
1.1.4. Điều khiển tuyến tính hình thức
8
1.1.5. Điều khiển bù phi tuyến
9
1.1.6. Nguyên lý điều khiển tựa theo thụ động (PBC)
10
1.1.7. Phương pháp Backstepping
11
1.2. Mô hình hệ thống của động cơ đồng bộ kích thích vĩnh cửu
21
1.2.1. Tổng quan về động cơ đồng bộ kích thích vĩnh cửu
21
1.2.2. Xây dựng cấu trúc bộ điều khiển
25
1.2.3. Các phương pháp điều chỉnh tốc độ động cơ đồng bộ
33
Chƣơng 2: Xây dựng cấu trúc điều khiển hệ thống
34
2.1. Khái quát về ngành sản xuất xi măng lò đứng
34
2.1.1 Sơ lược về ngành sản xuất xi măng
34
2.1.1.1 Sản xuất theo công nghệ lò đứng thủ công
35

2.1.1.2 Sản xuất theo công nghệ lò đứng cơ giới hóa
36
2.1.1.3 Các phương án lò quay
36
Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật Chuyên ngành: Tự động hóa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
2.1.2 Nguyên liệu và nhiên liệu để sản xuất xi măng
37
2.1.2.1. Nguyên liệu để sản xuất xi măng.
37
2.1.2.2. Nhiên liệu để sản xuất xi măng
42
2.2 Công nghệ sản xuất xi măng lò đứng cơ giới hóa
42
2.2.1 Chế tạo phối liệu
44
2.2.1.1 Chế biến sơ bộ và đồng nhất nguyên liệu
45
2.2.1.2 Cân định lượng
45
2.2.1.3 Nghiền bi
45
2.2.1.4 Trộn ẩm và vê viên
46
2.2.2 Nung clinker
46
2.2.3 Nghiền xi măng.
48
2.3 Tìm hiểu công nghệ hệ thống cân băng định lƣợng đƣợc dùng trong

nhà máy xi măng
48
2.3.1 Hệ thống cân băng định lượng
49
2.3.2 Sơ đồ nguyên lý kết cấu băng tải cân băng
50
2.3.3 Các đặc tính kỹ thuật của hệ thống cân băng định lượng
52
2.4 Xây dựng cấu trúc điều khiển hệ thống cân băng định lƣợng dùng
ĐCĐB KTVC với bộ điều khiển phi tuyến
53
2.4.1 Sơ đồ khối và nguyên lí điều khiển
53
2.4.2 Cấu trúc điều khiển hệ thống cân băng định lượng dùng động cơ
đồng bộ kích thích vĩnh cửu với bộ điều khiển phi tuyến.
57
CHƢƠNG 3: Áp dụng phƣơng pháp điều khiển phi tuyến
Backstepping cho hệ thống.
58
3.1. Điều khiển Backstepping đối với động cơ ĐB KTVC
58
3.1.1 Cấu trúc điều khiển
58
3.1.2 Xây dựng cấu trúc bộ điều khiển
59
3.1.2.1 Phát biểu bài toán
59
3.1.2.2 Cấu trúc điều khiển hệ thống cân băng định lượng
59
3.2 Thiết kế bộ điều khiển Backstepping trên hệ tọa độ từ thông roto

62
Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật Chuyên ngành: Tự động hóa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
3.2.1 Thiết kế bộ điều khiển Backstepping cơ bản thành phần i
sd

62
3.2.2 Thiết kế bộ điều khiển Backstepping cơ bản thành phần i
sq

65
3.2.3. Thiết kế bộ điều khiển Backstepping theo phương pháp tuyến tính
hóa chính xác và tách kênh trực tiếp
67
3.2.4. Thiết kế bộ điều khiển i
sd

68
3.2.5. Thiết kế bộ điều khiển i
sq

69
3.2.6. Thiết kế bộ điều khiển i
sd
và i
sq
có đưa thêm khâu tích phân
69
CHƢƠNG 4: Mô phỏng và đánh giá chất lƣợng hệ thống điều khiển

77
4.1 Sơ đồ điều khiển trong mô hình Matlab - Simulink
77
4.1.1 Sơ đồ của bộ điều khiển BPC trong mô hình Matlab-Simulink
78
4.1.1.1 Khối bộ điều khiển dòng
78
4.1.1.2 Các khâu tính toán giá trị đặt
78
4.2 Tham số của động cơ và bộ điều khiển
79
4.2.1 Tham số của động cơ
79
4.2.2 Tham số của bộ điều khiển
79
4.3 Kết quả mô phỏng
80
4.3.1 Kết quả mô phỏng tốc độ
80
4.3.2. Kết quả mô phỏng sản lượng Q
82
4.4 Kết luận
84
Tài liệu tham khảo
85

Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật Chuyên ngành: Tự động hóa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
Danh mục các bảng

Bảng 1. Thành phần đá vôi đất sét ở một số cơ sở sản xuất xi măng ở nước ta
39
Bảng 2. Thành phần hoá học phụ gia điều chỉnh.
42

Danh mục các hình vẽ và đồ thị
ĐKPHTT
Điều khiển phản hồi trạng thái
ĐTPT
Đối tượng phi tuyến
ĐB KTNCVC
Đồng bộ kích thích nam châm vĩnh cửu
BPC
Điều khiển Backstepping (Backstepping Control)
KTVC
Kích thích vĩnh cửu
Hệ EL
Hệ Euler-Lagrange
MĐĐB
Máy điện đồng bộ
ĐCXCBP
Động cơ xoay chiều ba pha
v

Tín hiệu đầu vào

Là góc vận tốc giữa véc tơ từ thông stator và từ thông nam châm
i
su

, i
sv
và i
sw

Dòng điện ba pha của pha U, pha V và pha W
ω
Vận tốc góc (tốc độ đầu ra được điều khiển)
ω
*
Tốc độ điều khiển mong muốn (giá trị tốc độ đặt)
f
s
U

Điện áp Stator
f
s


Từ thông Stator
f
s

Là tần số mạch điện Stator
u
sd
Điện áp Stator đo ở vị trí đỉnh cực (dọc theo trục d)
u
sq

Điện áp Stator đo ở vị trí ngang cực (dọc theo trục q)
i
sd
Dòng điện Stator đo ở vị trí đỉnh cực (dọc theo trục d)
i
sq

Dòng điện Stator đo ở vị trí ngang cực (dọc theo trục q)
L
sd

Điện cảm Stator đo ở vị trí đỉnh cực
L
sq

Điện cảm Stator đo ở vị trí ngang cực
Ψ
P

Từ thông cực (từ thông rotor vĩnh cửu).
Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật Chuyên ngành: Tự động hóa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
sd
T

Hằng số thời gian Stator tại vị trí đỉnh cực (trục d)
sq
T

Hằng số thời gian Stator tại vị trí đỉnh cực (trục q)
m
M
Mô men của động cơ đồng bộ KTVC
m
*
Mô men mong muốn của động cơ đồng bộ KTVC
m
G
Mômen quay
m
W

Moomen tải

*

Góc lệch pha giữa của hai hệ tọa độ xy và x
*
y
*


Là góc tạo bởi trục Rotor và trục chuẩn (đi qua trục cuộn dây pha u)
i
s

Vector dòng Stator
i

r

Vector dòng Rotor

r

Vector từ thông Rotor
H
Hàm tổng năng lượng của động cơ
H
e
Hàm năng lượng của phần điện
H
m
Hàm năng lượng của phần cơ
*
e
H

Hàm năng lượng mong muốn của hệ kín
 
)(

LM
eig

Giá trị riêng lớn nhất của ma trận
)(

L

))((

Lm
eg

Giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận
)(

L

*
( ) || ||t


*
r
ψ

Biên độ từ thông rotor yêu cầu
)(
*
t



Đạo hàm bậc nhất của biên độ từ thông rotor yêu cầu
d


Là góc trượt (góc giữa từ thông stator và trục rotor)
U
BPC

Là điện áp do bộ điều khiển BPC tạo ra
u
*
sd

Là điện áp rotor thành phần theo trục d mong muốn của động cơ
u
*
sq

Là điện áp rotor thành phần ngang trục q mong muốn của động cơ
*
sd sd sd
i i i


Là sai lệch dòng điện rotor thành phần theo trục d giữa giá trị đặt và
giá trị lấy từ bộ điều khiển mô men
K(

)
Hệ số suy giảm

Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật Chuyên ngành: Tự động hóa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

Danh mục các hình vẽ và đồ thị
Hình 1.1 Kỹ thuật Gain scheduling
6
Hình 1.2. Ổn định hệ phi tuyến
7
Hình 1.3. Điều khiển tuyến tính hình thức bằng bộ điều khiển phản hồi
trạng thái
8
Hình 1.4. Thiết kế bộ điều khiển
10
Hình 1.5. Bù phi tuyến
10
Hình 1.6. Minh họa khái niệm ổn định Lyapunov
13
Hình 1.7. Sơ đồ khối cho hệ (1.12)
16
Hình 1.8. Thêm vào và bớt đi thành phần mong muốn 
18
Hình 1.9. Backstepping  qua khâu tích phân
19
Hình 1.10. Hệ (1.12) sau khi đưa bộ tổng hợp theo phương pháp
Backstepping
20
Hình 1.11. Mô hình đơn giản của ĐCĐB ba pha
25
Hình 1.12. Thiết lập các véc tơ không gian từ các đại lượng pha
26
Hình 1.13 Biểu diễn dòng điện Stator dưới dạng vector không gian với các
phần tử i
s

và i
s
thuộc hệ toạ độ Stator cố định
27
Hình 1.14 Chuyển hệ tọa độ cho vector không gian bất kỳ V
28
Hình 1.15 Biểu diễn vector không gian trên hệ toạ độ từ thông Rotor, còn
gọi là hệ toạ độ dq
30
Hinh 1.16.Sơ đồ thay thế của MĐĐB-KTVC
31
Hình.17. Mô hình MĐĐB-KTVC trên hệ tọa dộ dq (hệ tọa độ từ thông )
32
Hình 2.1. Sơ đồ công nghệ sản xuất xi măng lò đứng cơ giới hóa của một
nhà máy xi măng
43
Hình 2.2. Sơ đồ nguyên lý kết cấu băng tải
51
Hình 2.3. Sơ đồ nguyên lý hệ thống
54
Hình 2.4. Cấu tạo chuyển đổi
55
Hình 2.5.a. Mạch đo của chuyển đổi TENZO
56
Hình 2.5.b. Sơ đồ thay thế
56
Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật Chuyên ngành: Tự động hóa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
Hình 2.6. Cấu trúc điều khiển hệ thống cân băng định lượng

57
Hình 3.1. Sơ đồ cấu trúc điều khiển DCDBVC
58
Hình 3.2. Cấu trúc điều khiển hệ thống cân băng định lượng
60
Hình 3.3. Sơ đồ cấu trúc điều khiển phi tuyến
61
Hình 4.1. Sơ đồ khối của bộ điều khiển trong Matlab-Simulink
77
Hình 4.2. Tốc độ đặt và tốc độ của động cơ khi hệ thống hoạt động với sản
lượng đặt Q = 100 kg/ms và khối lượng không đổi
80
Hình 4.3. Tốc độ đặt và tốc độ của động cơ khi hệ thống hoạt động với sản
lượng đặt Q = 100 kg/ms và khối lượng m nhảy bậc từ 2kg/m2 lên 3kg/m2
80
Hình 4.4. Tốc độ đặt và tốc độ của động cơ khi hệ thống hoạt động với sản
lượng đặt Q = 150 kg/ms và khối lượng thay đổi liên tục
81
Hình 4.5. Khối lượng thay đổi liên tục
81
Hình 4.6. Kết quả mô phỏng sản lượng Q khi Q và m không đổi
82
Hình 4.7. Kết quả mô phỏng sản lượng Q khi Q và m không đổi
82
Hình 4.8. Kết quả mô phỏng sản lượng Q khi Q không đổi và m thay đổi
83
Hình 4.9 Kết quả mô phỏng sản lượng Q khi Q thay đổi và m thay đổi
83

Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật  4  Chuyên ngành: Tự động hóa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN VÀ ÁP
DỤNG CHO ĐỘNG CƠ ĐỒNG BỘ KÍCH TỪ NAM CHÂM VĨNH CỬU

1.1 TỔNG QUAN VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN:
Có thể nói rằng, hiện nay lý thuyết điều khiển tuyến tính đã phát triển ở mức
gần nhƣ hoàn thiện. Do đó việc tổng hợp bộ điều khiển cho một đối tƣợng tuyến
tính đã có đủ công cụ lý thuyết để thực hiện, công việc còn lại chỉ là chọn một
phƣơng pháp điều khiển phù hợp cho từng đối tƣợng cần điều khiển cụ thể mà thôi.
Khi mà lý thuyết điều khiển phi tuyến chƣa phát triển thì việc tổng hợp một bộ điều
khiển phi tuyến là rất khó khăn. Do đó, cách giải quyết trong đa số các trƣờng hợp
đối tƣợng phi tuyến là qua các bƣớc, đầu tiên mô hình của đối tƣợng phi tuyến sẽ
đƣợc tuyến tính hoá, sau đó mô hình xấp xỉ tuyến tính đó sẽ đƣợc sử dụng để quyết
định luật điều khiển bằng lý thuyết điều khiển tuyến tính. Tuy nhiên, trong nhiều
trƣờng hợp, đặc biệt khi yêu cầu về tối ƣu trong hệ thống đƣợc đặt ra thì việc sử
dụng lý thuyết điều khiển tuyến tính để thiết kế một bộ điều khiển cho đối tƣợng phi
tuyến là rất khó. Bởi vì nếu sử dụng mô hình xấp xỉ tuyến tính của đối tƣợng thì có
nghĩa là ta đã phá vỡ đi cấu trúc vật lý của đối tƣợng. Vì vậy, xuất phát từ các nhu
cầu thực tế, việc phát triển một hệ thống lý thuyết điều khiển phi tuyến là hết sức
cần thiết và thiết thực. Nhiều năm trở lại đây đã có nhiều tác giả xây dựng một cách
có hệ thống các công cụ và lý thuyết để giải quyết các bài toán điều khiển áp dụng
cho các đối tƣợng phi tuyến. Tuy nhiên, không giống nhƣ hệ tuyến tính, các hệ phi
tuyến rất phức tạp và đa dạng, nên việc xây dựng một hệ thống lý thuyết điều khiển
phi tuyến cho mọi hệ phi tuyến là không thể. Vì thế nhiều tác giả thấy rằng để lý
thuyết điều khiển phi tuyến có thể ứng dụng một cách thiết thực trong thực tế thì
cần phải phân loại ra thành các hệ phi tuyến riêng biệt có những tính chất nhất định,
đặc trƣng cơ bản cho lớp các đối tƣợng thuộc một hệ phi tuyến cụ thể, để rồi từ đó
đi xây dựng một hệ thống lý thuyết có khả năng ứng dụng cho hệ thống phi tuyến

đó. Để có thể phát triển lý thuyết điều khiển phi tuyến một cách thực dụng, thì đầu
Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật  5  Chuyên ngành: Tự động hóa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
tiên ta phải xem xét những đối tƣợng có ý nghĩa thực tế mà cấu trúc vật lý của nó
phải đƣợc tính đến từ đầu trong quá trình thiết kế.
Các phƣơng pháp điều khiển phi tuyến trong hệ thống tự động hóa đã đƣợc hình
thành, phát triển và đạt đƣợc nhiều kết quả rất quan trọng. Đặt nền móng ban đầu
phải nói đến các phƣơng pháp điều khiển phi tuyến kinh điển nhƣ phân tích mặt
phẳng pha, tính ổn định tuyệt đối, cân bằng điều hòa…. Sau đến là các phƣơng pháp
tuyến tính hoá trong lân cận điểm làm việc, điều khiển bù phi tuyến phân tích hệ
thống nhờ đa tạp trung tâm, điều khiển tuyến tính hình thức, kỹ thuật Gain
scheduling … và sau này do công nghệ chế tạo linh kiện điện tử phát triển tốt, giải
quyết đƣợc bài toán về tốc độ xử lý và thời gian tính toán. Do kỹ thuật máy tính, kỹ
thuật vi xử lý phát triển vƣợt bậc, con ngƣời có khả năng tính đƣợc nhiều các phép
tính phức tạp và nhanh hơn gấp hàng triệu lần so với trƣớc kia thi các phƣơng pháp
điều khiển hiện đại , điều khiển thông minh ra đời nhƣ điều khiển cuốn chiếu
(Backstepping), điều khiển thích nghi , điều khiển mờ , điều khiển thụ độ ng
(Passitivy-based), …. Đây là mảng lý thuyết điều khiển mới và đƣợc ứng dụng
trong những năm gần đây đƣợc áp dụng để thiết kế các bộ điều khiển thông minh có
thể kể đến là các thuyết điều khiển logic mờ, lý thuyết mạng Nơron, thuật toán di
truyền, vector không gian.… Sau đây chúng ta có thể phân tích khái quát một số
phƣơng pháp điều khiển.
1.1.1 Phƣơng pháp điều khiển phân tích mặt phẳng pha.
Phƣơng pháp này dựa trên các thông tin cần thiết của hệ thống từ mô hình
hoặc sơ đồ khối nhƣ là “điểm cân bằng hoặc điểm dừng của hệ thống”, “tính ổn
định và xác định miền ổn định tƣơng ứng của hệ” và khả năng tồn tại dao động để
phân tích hệ thống từ đó rút ra những những kết luận cơ bản về tính chất động học
của hệ thống. Bằng việc phân tích các đƣờng quỹ đạo trạng thái khép kín để rút ra
kết luận về chất lƣợng phi tuyến. Phƣơng pháp này tƣởng nhƣ đơn giản, song việc
phân tích chất lƣợng động học của hệ thống trên cơ sở phân tích dạng các đƣờng

quỹ đạo trạng thái. Do đó nó sẽ có hạn chế là chỉ áp dụng đƣợc cho những hệ thống
có tối đa là hai biến trạng thái vì chúng ta chỉ có thể xây dựng đƣợc đồ thị đƣờng
cong trong mặt phẳng một cách tƣơng đối chính xác.
Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật  6  Chuyên ngành: Tự động hóa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
1.1.2 Kỹ thuật Gain scheduling
Kỹ thuật gain scheduling là một dạng đặc biệt của phản hồi phi tuyến. Tuy
nó chƣa có một định nghĩa chặt chẽ nào hoàn hảo về thuật ngữ gain scheduling
nhƣng ta có thể hiểu đó là một bộ điều chỉnh tuyến tính mà các tham số của nó đƣợc
thay đổi nhƣ là một hàm của các điểm làm việc theo một cách đã đƣợc lập trình
trƣớc. Toàn bộ kỹ thuật Gain scheduling đã đƣơc [1] (Tr.390) trình bầy trong nhiều
trƣờng hợp, các động học của quá trình thay đổi theo các điều kiện của quá trình đó,
các tham số của bộ điều khiển có thể thay đổi bằng cách quan sát các điều kiện làm
việc của quá trình đó. Toàn bộ kỹ thuật Gain scheduling đƣợc thể hiện bằng sơ đồ
khối sau:

Hình 1.1 Kỹ thuật Gain scheduling
1.1.3. Phƣơng pháp tuyến tính hoá trong lân cận điểm làm việc
Bản chất của tuyến tính hoá xấp xỉ mô hình hệ thống xung quanh điểm làm
việc
v
x
đó là thay đổi một đoạn đƣờng cong
)u,x(f
trong lân cận điểm
v
x
bằng
một đoạn thẳng tiếp xúc với đƣờng cong đó tại điểm
v

x
. Nhƣ vậy, việc tuyến tính
hoá một hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc đồng nghĩa với sự xấp xỉ gần đúng
hệ phi tuyến trong lân cận điểm làm việc bằng một mô
hình tuyến tính.
Xét hệ phi tuyến có mô hình trạng thái:







)u,x(gy
)u,x(f
dt
xd
(1.1)
Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật  7  Chuyên ngành: Tự động hóa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
u
~
Bx
~
A
dt
x
~
d


w

u
~

u
~

R
-
Hình 1.2: Ổn định hệ phi tuyến
Giả sử rằng hệ có điểm cân bằng
v
x
và trong lân cận điểm làm việc
v
x
,
0
u
, hệ
đƣợc mô tả gần đúng bằng mô hình tuyến tính:








u
~
Dx
~
Cy
~
u
~
Bx
~
A
dt
x
~
d
(1.2)
Trong đó: sai số
v
xxx
~

,
0
uuu
~


)u,x(gyy
~

0
v

.
Hệ (1.1) đƣợc chứng minh là ổn định (tiệm cận Lyapunov) tại
v
x
khi hệ (1.2) là
ổn định, khi và chỉ khi các giá trị riêng của ma trận A có phần thực âm. Trƣờng hợp hệ
(1.2) không ổn định thì có thể áp dụng phƣơng pháp thiết kế bộ điều khiển phản hồi
trạng thái R tĩnh để ổn định hóa hệ (hình 1.1), tức là xác định ma trận R sao cho ma
trận A – BR có các giá trị riêng nằm bên trái trục ảo.






Các phƣơng pháp thiết kế thƣờng hay đƣợc sử dụng nhất là bộ điều khiển cho
trƣớc điểm cực của Rosenbrock, hay của Roppenecker hoặc của Ackermann nếu là hệ
SISO tuyến tính. Ta cũng có thể sử dụng phƣơng pháp thiết kế bộ điều khiển tối ƣu của
bài toán LQR (Linear Quadratic Regulator) để tìm R.
Bộ điều khiển R đƣợc thiết kế nhờ mô hình tuyến tính (1.2) song lại làm việc
thực với mô hình phi tuyến (1.1), trong đó hai mô hình chỉ tƣơng đƣơng với nhau
trong một lân cận L đủ nhỏ nào đó xung quanh điểm làm việc
v
x
,
0
u

. Nếu nhƣ R
chỉ có thể đƣa lại cho hệ phi tuyến tính ổn định với miền ổn định O nhỏ (giống nhƣ
L) thì điều đó hoàn toàn không có ý nghĩa ứng dụng trong thực tế. Chỉ khi O tƣơng đối
lớn (lớn hơn rất nhiều so với L) thì chất lƣợng ổn định mà R mang lại mới có ý nghĩa.
Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật  8  Chuyên ngành: Tự động hóa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
1.1.4. Điều khiển tuyến tính hình thức
Xét hệ thống phi tuyến mà mô hình trạng thái của nó có dạng:







x)t,u,x(Cy
x)t,u,x(Bx)t,u,x(A
dt
xd
(1.3)
Trong đó
)t,u,x(C),t,u,x(B),t,u,x(A
là các ma trận thích hợp có phần tử là
hàm số của
x
,
u
và thời gian t.
Dạng mô hình (1.3) có tên gọi là mô hình tuyến tính hình thức, vì trong trƣờng
hợp đặc biệt, khi mà các ma trận trong mô hình (1.3) không còn phụ thuộc

x
,
u
và
trở thành A(t), B(t), C(t) thì nó chính là mô hình của hệ tuyến tính (không dừng).
Bài toán điều khiển tuyến tính hình thức ở đây là tìm cách can thiệp vào hệ
thống, chẳng hạn nhƣ bộ điều khiển phản hồi trạng thái (hình 1.2) để hệ có đƣợc chất
lƣợng nhƣ mong muốn.
x)t,u,x(Rwu 
(1.4)
Chất lƣợng mong muốn đầu tiên là tìm bộ điều khiển (1.4) để sao cho với nó,
hệ kín với mô hình trạng thái:

 
wtuxBx
tA
tuxRtuxBtuxA
dt
xd
),,(
)(
~
),,(),,(),,( 
  
(1.5)
có ma trận
)t(A
~
không còn phụ thuộc
x

,
u
. Khi đó (1.5) trở thành tuyến tính.
x)t,u,x(Bx)t,u,x(A
dt
xd



w

x

x)t,u,x(R

-
Hình 1.3: Điều khiển tuyến tính hình thức bằng bộ điều khiển phản hồi trạng thái.
u

Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật  9  Chuyên ngành: Tự động hóa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
Việc thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái nhƣ trên có thể đƣợc thực hiện
thông qua các phƣơng pháp thiết kế nhƣ: Phƣơng pháp thiết kế định hƣớng hình thức
theo giá trị riêng, phƣơng pháp thiết kế Sieber .
1.1.5. Điều khiển bù phi tuyến
Xét đối tƣợng phi tuyến đƣợc mô tả bởi hệ phƣơng trình trạng thái:








xCy
uB)x(nPxA
dt
xd
(1.6)
Trong đó: A  R
n x n
, B  R
n x r
, C  R
s x n
, P  R
n x q
là các ma trận hằng
không suy biến.
)x(n
là vectơ có q phần tử phụ thuộc
x
, đại diện cho các thành
phần phi tuyến trong hệ.
Mục đích điều khiển là thiết kế bộ điều khiển
)y,u(h
sao cho hệ kín có đƣợc
chất lƣợng mong muốn và chất lƣợng này không phụ thuộc vào thành phần phi
tuyến
))t(x(n
. Việc thiết kế gồm hai bƣớc nhƣ sau:

Bƣớc 1: Nhận dạng thành phần phi tuyến bằng một mô hình tuyến tính.
Bƣớc 2: Thiết kế bộ điều khiển
)y,u(h
để loại bỏ thành phần phi tuyến trong hệ kín
và mang lại cho hệ một chất lượng mong muốn.
Thiết kế bộ điều khiển R theo nguyên lý phản hồi trạng thái
)t(x
~
và
)t(n
~
có
tín hiệu ra
z
của R đƣợc xét nhƣ sau (hình 1.3):
n
~
Rx
~
R
n
~
x
~
Rz
nx











, tức là R = (R
x
, R
n
) (1.7)







Đối tƣợng
Mô hình
quan sát
n
~

x
~

u

u

Hình 1.4: Thiết kế bộ điều khiển
R
w

z

u

-
y

Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật  10  Chuyên ngành: Tự động hóa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
Tóm tắt các bƣớc xác định R
n
, R
x
nhƣ sau:
- Xác định ma trận B
P
giả nghịch đảo bên trái nào đó của B, sử dụng công
thức sau: B
P
= (B
T
B)
-1
B
T

.
- Tính R
n
theo công thức: R
n
= B
P
.P.H.
- Thiết kế bộ điều khiển tuyến tính R
x
phản hồi trạng thái cho đối tƣợng tuyến
tính:
eBxA
dt
xd

(hình 1.4) để hệ kín gồm R
x
và đối tƣợng tuyến tính này có
đƣợc chất lƣợng nhƣ mong muốn (phƣơng pháp điểm cực đặt trƣớc, phƣơng pháp
tối ƣu tuyến tính).
- Xác định R = (R
x
, R
n
).

1.1.6. Nguyên lý điều khiển tựa theo thụ động (PBC)
Điều khiển tựa theo thụ động (Passivity Based Control) là thuật điều khiển
mà nguyên lý của nó dựa trên đặc điểm thụ động của hệ với mục tiêu làm cho hệ
kín cũng là một hệ thụ động với hàm lƣu giữ năng lƣợng mong muốn. Nguyên lý
PBC đƣợc xem nhƣ là mở rộng của kỹ thuật chọn hàm năng lượng (Energy
shaping) và kỹ thuật phun tín hiệu suy giảm (Damping injection). Kỹ thuật chọn
hàm năng lượng là quá trình thay đổi thế năng của hệ thống để sao cho hàm thế
năng mới là nhỏ nhất và duy nhất tại trạng thái cân bằng. Tiếp theo là quá trình
phun tín hiệu duy giảm, đó là giai đoạn làm thay đổi năng lƣợng tiêu thụ
(dissipation energy) để đảm bảo tính ổn định tiệm cận của hệ thống.
Khi mở rộng kỹ thuật trên cho nguyên lý PCB thì có thể hiểu một cách đơn
giản nhƣ sau: Giai đoạn chọn hàm năng lượng là quá trình thiết lập một quan hệ
Đối
tƣợng
Mô hình
quan sát
n
~

x
~

u

u

Hình 1.5: Bù phi tuyến.
e

-
y

w

-
R
n
R
x

Hệ tuyến tính
Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật  11  Chuyên ngành: Tự động hóa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
thụ động giữa đầu vào và đầu ra cần điều khiển để đạt đƣợc hàm lƣu giữ năng lƣợng
mong muốn. Hàm này bao gồm động năng ban đầu và thế năng mong muốn của hệ
thống. Còn phun tín hiệu suy giảm là quá trình củng cố thêm đặc điểm thụ động đối
với đầu ra (Output strictly pasivity). Và ngoài sự kế thừa các kỹ thuật trên thì để xây
dựng một nguyên lý điều khiển PCB hoàn chỉnh thì cần phải bổ xung thêm những
nhận thức rất quan trọng sau và có thể xem nhƣ đó là các nguyên tắc trong quá
trình xây dựng bộ điều kiển PCB sau này:
 Khi trạng thái của hệ thống không có khả năng đo thì tín hiệu suy giảm
phải đƣợc “phun” vào hệ thông qua việc mở rộng động học của hệ thống.
 Đối với hệ thống thiếu tác động điều khiển (underactuated system), trong
điều khiển robot thƣờng gọi là hệ hụt cơ cấu chấp hành, thì thế năng của hệ thống
không đƣợc bỏ qua, mà nó sẽ đóng một vai trò quyết định trong việc xây dựng bộ
điều khiển PCB. Và nếu nhƣ cần phải thay đổi động năng, thì đầu tiên, bộ điều

khiển đƣợc xây dựng ở dạng không tƣờng minh (chƣa có quan hệ tƣờng minh giữa
tín hiệu điều khiền và tín hiệu ra của hệ cần điều khiển) và sau đó qua bƣớc “đảo”
động học của hệ thống để đạt đƣợc dạng tƣờng minh.
 Vì trong hầu hết các trƣờng hợp, động năng có tham gia vào việc xây dựng
bộ điều khiển, nên nó cũng phải đƣợc thay đổi (shaped). Nhƣ đã nói ở trên, nguyên
lý điều khiển PCB là gán cho hệ kín một hàm lƣu giữ năng lƣợng mong muốn
(desired storage function). Tuy nhiên hàm này không đơn thuần là tổng động năng
và thế năng mới của hệ thống mà ở đây hàm này sẽ đƣợc chọn từ việc phân tích
động học sai số (error dynamic) của hệ kín thông qua việc chọn hệ số phù hợp đối
với lực (workless force) của hệ thống để có đƣợc quan hệ tuyến tính đối với tín hiệu
sai lệch.
1.1.7. Phƣơng pháp Backstepping
a. Thiết kế bộ điều khiển trên cơ sở hàm Lyapunov
Trƣớc khi đƣa ra thuật toán thiết kế bộ điều khiển trên cơ sở hàm điều khiển
Lyapunov, một số khái niệm sẽ đƣợc sử dụng trong phần này, đó là: Điểm cân bằng
của hệ thống; ổn định Lyapunov; hàm Lyapônv; hàm điều khiển Lyapunov.
Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật  12  Chuyên ngành: Tự động hóa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
Điểm cân bằng: Điểm cân bằng
e
x
của hệ thống là nghiệm của phƣơng trình:

0),,(
0

u
tuxf
dt
xd

(1.8)
Nghĩa là, điểm cân bằng là điểm mà hệ thống sẽ nằm im tại đó, tức trạng thái của nó
không bị thay đổi (
0
dt
xd
) khi không có sự tác động từ bên ngoài (
0u
).
Điểm cân bằng mà trong luận văn sẽ áp dụng chính là các giá trị đặt của bộ điều
khiển mà ta sẽ thiết kế. Vì các khài niệm về ổn định Lyapunov đƣợc phát biểu cho
điểm cân bằng tại gốc toạ độ
0
, nên từ các điểm cân bằng
0
e
x
của hệ, để chuyển
về điểm cân bằng tại điểm cân bằng tại gốc toạ độ, ta thực hiện thế biến
dt
xd
dt
xd
xxx
e
~
~

, khi đó việc xét ổn định của hệ
),(

~
),,(
0
txftuxf
dt
xd
u


tại
điểm cân bằng
0
e
x
sẽ đƣợc thay bằng việc xét tính ổn định của hệ
),
~
(),
~
(
~
~
txhtxxf
dt
xd
e

tại điểm gốc toạ độ
0
~

x
.
Ổn định Lyapunov: Một hệ thống với mô hình không kích thích:

),(
~
),,(
0
txftuxf
dt
xd
u


(1.9)
với một điểm cân bằng là gốc toạ độ
0
đƣợc gọi là:
 Ổn định Lyapunov tại điểm cân bằng
0
nếu sau một tác động tức thời đánh
bật ra khỏi điểm cân bằng
0
và đƣa tới một điểm trạng thái
0
x
nào đó thì hệ có khả
năng tự quay về lân cận
0
. Biểu diễn khái niệm này dƣới dạng toán học thì: “Hệ

đƣợc gọi là ổn định Lyapunov tại điểm cân bằng
0
nếu với
0

bất kỳ bao giờ
cũng tồn tại

phụ thuộc ε sao cho nghiệm
)(tx
của (1.9) với điều kiện đầu
00
)0( xx 
thỏa mãn:
0,)0(
0
00
 txxxx
t

”.
 Ổn định tiệm cận Lyapunov tại điểm cân bằng
0
nếu sau một tác động tức
thời đánh bật ra khỏi điểm cân bằng
0
và đƣa tới một điểm trạng thái
0
x
nào đó thì:

“Hệ đƣợc gọi là hệ ổn định tiệm cận tại điểm cân bằng
0
nếu với
0

bất kỳ bao
giờ cũng tồn tại

phụ thuộc

sao cho nghiệm
)(tx
của (1.9) với điều kiện đầu
00
)0( xx 
thỏa mãn:
0)(lim 

tx
t
”.
Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật  13  Chuyên ngành: Tự động hóa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
Hình 1.6 minh họa khái niệm ổn định và ổn định tiệm cận tại gốc
0
của
hệ phi tuyến. Ở hệ ổn định, nếu cho trƣớc một lân cận

của
0

, tức là tập

các
điểm
x
trong không gian trạng thái thỏa mãn


t
x
với

là một số thực dƣơng
tùy ý nhƣng cho trƣớc, thì phải tồn tại một lân cận

cũng của
0
sao cho mọi
đƣờng quỹ đạo trạng thái tại thời điểm
0t
đi qua một điểm
0
x
thuộc lân cận


thì kể từ thời điểm đó sẽ nằm hoàn toàn trong lân cận

. Vì
)0(

0
xx 
nên để có
đƣợc

)0(x
, lân cận

phải nằm trong lân cận

. Mở rộng hơn, nếu quá trình tự
do
)(tx
không những về đƣợc lân cận
0
mà tiến tiệm cận về
0
, thì khi đó ngƣời ta
nói hệ là hệ ổn định tiệm cận tại
0
.
Từ các định nghĩa ở trên,để chỉ ra một dạng ổn định nào đó, ta phải xác định
cho đƣợc
)(tx
là lời giải của (1.9). Song hiện chƣa có một phƣơng pháp tổng quát
nào để A. M. Lyapunov, nhà toán học và kỹ sƣ ngƣời Nga đã đƣa ra một phƣơng
pháp kiểm tra đƣợc tính ổn định(ổn định tiệm cận) của hệ (1.9) mà không cần phải
tìm nghiệm
)(tx
của nó. Phƣơng pháp này sử dụng một hàm vô hƣớng

)(xV
xác
định dƣơng, nghĩa là
0,0)(;0)0(  xxVV
. Nếu chỉ ra đƣợc
)(xV
là một hàm
giảm liên tục, thì hệ thống tự nó phải chuyển tới trạng thái (điểm) cân bằng.


0
0
x


)(tx
Hình 1.6 Minh họa khái niệm ổn định Lyapunov
Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật  14  Chuyên ngành: Tự động hóa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
Điều kiện cho hệ ổn định:
Hệ phi tuyến cân bằng tại gốc tọa độ và khi không bị kích thích, nó đƣợc mô
tả bởi hình:

),( txf
dt
xd

(1.10)
sẽ ổn định Lyapunov tại
0

với miền ổn định

nếu:
 Trong

tồn tại một hàm xác định dƣơng
),( txV

 Đạo hàm của nó tính theo mô hình (1.10) có giá trị không dƣơng trong

,
tức là:
0),( 





 txf
x
V
t
V
dt
dV
với mọi
x

sẽ ổn định tiệm cận Lyaphunnov tại
0

với miền ổn định

nếu:
 Trong

tồn tại một đạo hàm xác định dƣơng
),( txV
.
 Đạo hàm của nó tính theo mô hình (1.10) có giá trị âm trong

với
0x
, tức
là:
0),( 





 txf
x
V
t
V
dt
dV
với mọi
x
và

0x

Hàm Lyapunov:
Một hàm
)(xV
trơn, xác định dƣơng có
0,0)(
~
)(
)( 


 xxf
x
xV
xVL
f
đƣợc gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.9). Hiển
nhiên rằng cần và đủ để hệ (1.9) ổn định tiệm cận tại
0
là nó có hàm
Lyapunov(LF).
Ổn định tiệm cận toàn cục: với hệ ổn định tiệm cân, lân cận gốc

chứa tất
cả(hoặc phần lớn) các điểm trạng tháu đầu
0
x
mà từ đó hệ tự quay về đƣợc gốc,
đƣợc gọi là miền ổn định. Nếu một hệ phi tuyến ổn định tiệm cận tại gốc

0
với miền
ổn định

là toàn bộ không gian trạng thái thì nó đƣợc gọi là ổn định tiệm cận toàn
cục (GAS).
Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật  15  Chuyên ngành: Tự động hóa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
Thuật toán thiết kế bộ điều khiển trên cơ sở hàm điều khiển Lyapunov
Bây giờ chúng ta thêm đầu vào điều khiển và xét hệ thống:

),( uxfx 

(1.11)
Nhiệm vụ của bài toán điều khiển đƣợc đặt ra trong luận văn này là thiết kế bộ điều
khiển phản hồi trạng thái
)(xu


để cho trạng thái mong muốn của hệ kín
))(,( xxfx



là một điểm cân bằng ổn định tiệm cận toàn cục(ổn định tuyệt đối).
Từ các phân tích về ổn định Lyapunov ở trên, để đạt đƣợc mục đích đặt ra, ta cần
thực hiện các bƣớc sau:
 Tìm một hàm
)(xV
xác định dƣơng, khả vi.

 Xác định hàm
)(xu


để có:










00
00
))(,(
)(
xkhi
xkhi
xxf
x
V
VL
dt
xdV
f


trong một miền

nào đó chứa gốc tọa đọ. Miền

càng lớn, chất lƣợng bộ điều
khiển càng cao. Nếu miền

là toàn bộ không gian trạng thái, ngƣời ta nói, bộ điều
khiển đã ổn định đƣợc đối tƣợng một cách toàn cục.
Một hàm xác định dƣơng, khả vi
)(xV
thỏa mãn điều kiện trên đƣợc gọi là hàm
điều khiển Lyapunov (CLF). Nhƣ vậy bất cứ một hàm xác định dƣơng, trơn nào
cũng có thể là hàm CLF của hệ (1.11) nếu nhƣ tồn tại ít nhất một quan hệ
)(xu



sao cho:

00),(
)(
infinf 











 khixuxf
x
xV
VL
u
f
u


Nhƣ vậy, hàm điều khiển Lyapunov là một khái niệm mở rộng của hàm
Lyapunov. Hàm Lyapunov chỉ đƣợc định nghĩa cho hệ thống bị kích thích và ổn
định, còn khái niệm hàm điều khiển Lyapunov đƣợc định nghĩa cho cả hệ bị kích
thích và không ổn định.
Từ hàm điều khiển Lyapunov, ta dễ dàng xác định đƣợc bộ điều khiển ổn định
đối tƣợng theo hai bƣớc của thuật toán đã nêu. Vấn đề còn lại là làm thế nào để có
đƣợc một hàm điều khiển Lyapunov. Đây là một bài toán nan giản, cản trở sự ứng
dụng của phƣơng pháp thiết kế Lyapunov. Một trong những phƣơng pháp tìm hàm
Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật  16  Chuyên ngành: Tự động hóa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
điều khiển Lyapunov đƣợc áp dụng cho một lớp đối tƣợng dạng cascade (dạng đối
tƣợng có nhiều mô hình con hợp thành) gọi là phƣơng pháp cuốn
chiếu(backstepping). Hàm điều khiển Lyapunov sẽ đƣợc xây dựng xuất phát từ các
mô hình con bên trong theo kiểu cuốn chiếu.
b. Phƣơng pháp thiết kế bộ điều khiển trên cơ sở Backstepping
Để nêu bật lên đƣợc ý tƣởng chính của phƣơng pháp Backstepping, ta xét
một ví dụ cụ thể đơn giản sau:
Xét hệ thống đƣợc mô tả nhƣ (1.12).








u
xxx




3
cos
(1.12a,b)
Mục tiêu điều khiển của ta là đƣa x(t) →0 khi t→∞ với mọi x(0),ξ(0). Từ
phƣơng trình (1.12a) ta có thể thấy ngay hệ có 1 điểm cân bằng (x,ξ)= (0, -1). Có
thể biểu diễn (1.12) ở dạng sơ đồ khối nhƣ sau:

Nếu coi ξ là tín hiệu điều khiển cho phần trong đóng khung ở trên (chính là
(1.12a)), trƣớc hết ta đi tìm hàm điều khiển một phần của hệ.

x
u

Cos(x)
.
x

3
x

3
(.)
ξ
+
+
+
Cos(.)
Hình 1.7: Sơ đồ khối cho hệ (1.12)

Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật  17  Chuyên ngành: Tự động hóa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
Với mục đích làm triệt tiêu thành phân phi tuyến cos(x) trong phƣơng trình
(1.12a), ta chọn:
ξ=-c
1
x-cos(x) (c
1
là một hằng số dƣơng) (1.13)
thế vào phƣơng trình, thu đƣợc:
3
1
xxcx 


Chọn hàm điều khiển Lyapunov:
42
1

2
)(
2
1
)( xxcxxxVxxV 


xác
định âm.
Nhƣ vậy với ξ đã chọn, (1.12a) ổn định tiệm cận toàn cục. Tuy nhiên, ξ
không phải là tín hiệu điều khiển mà chỉ là biến trạng thái. Nói cách khác bộ điều
khiển (1.13) là không sử dụng đƣợc cho hệ (1.12) vì tín hiệu phản hồi về lại là một
biến trạng thái (chứ không phải đầu vào của hệ (1.12) đã cho). Vấn đề tiếp theo là
phải chuyển đƣợc đầu vào hồi tiếp ξ thành u .
Xem hàm tìm đƣợc chỉ là giá trị mong muốn của ξ . Ta gọi giá trị đó là:
)()cos(
1
xxxc
des


. Để biểu diễn sụ khác biệt giữa ξ và giá trị mong
muốn của nó, ta định nghĩa một đại lƣợng z là biến sai lệch:
)cos()(
1
xxcxz
des


(1.14)

Bây giờ ξ đƣợc gọi là điều khiển ảo (virtual control) và giá trị mong muốn
của nó là α(x) có chức năng ổn định (stabilizing function) biến z, là sai lệch điều
khiển (error variable).
Bây giờ thêm bớt vào vế phải của phƣơng trình
x

cùng một lƣợng α(x) thu
đƣợc
 
xxczxxxxxxx coscos())(cos
1
33




hay:
zxxcx 
3
1

(1.15)