về các tập giả giá và quỹ tích không cohen - macaulay của các môđun hữu hạn sinh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
––––––––––––––––––––



NGUYỄN VIỆT HƯƠNG


VỀ CÁC TẬP GIẢ GIÁ VÀ QUỸ TÍCH
KHÔNG COHEN - MACAULAY CỦA CÁC
MÔĐUN HỮU HẠN SINH

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. LÊ THỊ THANH NHÀN




THÁI NGUYÊN - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(R, m)
M R dim M ≥ depth M.

dim M = depth M M R
R
M nCM(M)
nCM(M) = {p ∈ Spec(R) | M
p
}.
R R
nCM(M)
M
M
M R
i M Psupp
R
M,
Psupp
i
R
M = {p ∈ Spec(R) | H
i−dim(R/p)
pRp
(M
p
) = 0}.
nCM(M) R
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M
R/ Ann
R
(M) M
R/p p ∈ Supp

R
(M).
nCM(M) Psupp
i
(M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
R M
R
Ann
R
M = {a ∈ R | aM = 0}. Ann
R
M R
p
0
⊂ p
1
⊂ . . . ⊂ p
n
R p
i
= p
i+1
i
n R R dim R
R
M dim M R/ Ann
R
M.
Z {0} ⊂ 2Z

1 Z {0}
pZ p
Z 1 dim Z = 1.
Z
6
. 2 3Z
6
2Z
6
.
dim Z
6
= 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
p R
M 0 = x ∈ M
p = Ann
R
x. M
Ass
R
M. M Supp M
Supp M = {p ∈ Spec(R) | M
p
= 0}.
M
Ann
R
M.
dim M = max{dim(R/p) | p ∈ Ass

R
M}.
M Supp M = Var(Ann
R
M).
min Supp M = min Var(Ann
R
M).
min Ass M = min Supp M. min Ass M = min Var(Ann
R
M).
dim R[x
1
, . . . , x
n
] = n + dim R.
R[[x]] =

∞

i=0
a
i
x
i
| a
i
∈ R, ∀i

. R[[x]]

x R
∞

i=0
a
i
x
i
+
∞

i=0
b
i
x
i
=
∞

i=0
(a
i
+ b
i
)x
i
∞

i=0
a

i
x
i
∞

j=0
b
j
x
j
=
∞

k=0
c
k
x
k
c
k
=

i+j=k
a
i
b
j
. R[[x]]
x R (R, m)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

m R[[x]]
n =

∞

i=0
a
i
x
i
∈ R[[x]], a
0
∈ m

.
n x
1
, . . . , x
n
R
R[[x
1
, . . . , x
n
]]
dim R[[x
1
, . . . , x
n
]] = n + dim R.

Z[x, y, z]/I I = (x
2
, y)∩(z
3
)
R = Z[x, y, z]. dim R = 3 + dim Z = 4. Ass
R
(R/I) =
{(x, y), (z)}.
dim(R/I) = max{dim(R/(x, y)), dim(R/(z))} = 3.
R[[x, y, z, t]]/J J = (x, y
2
, z) ∩(y, z
3
, t
5
).
R = R[[x, y, z, t]]. dim R = 4+dim R = 4. Ass
R
(R/J) =
{(x, y, z), (y, z, t)}.
dim(R/J) = max{dim R/(x, y, z), dim(R/(y, z, t)} = 1.
R
(R, m) m
M R dim M = d.
I R
I = R xy ∈ I x ∈ I n > 0
y
n
∈ I x, y ∈ R I R

√
I = {x ∈ R | ∃n ∈ N x
n
∈ I} p R
I p
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
q m
(M/q
n
M)
dim M = deg (M/q
n
M)
= inf

t | ∃x
1
, . . . , x
t
∈ m, (M/(x
1
, . . . , x
t
)M) < ∞

.
R m
x
1
, . . . , x

t
∈ m m = (x
1
, . . . , x
t
)R
(M/mM) < ∞ (M/(x
1
, . . . , x
t
)M) < ∞.
dim M < ∞
dim(M/(x
1
, . . . , x
r
)M) ≥ d − r ∀x
1
, . . . , x
r
∈ m.
r = 1.
x ∈ m. dim(M/xM) = k < d − 1. M
1
= M/xM.
x
1
, . . . , x
k
∈ m

(M
1
/(x
1
, . . . , x
k
)M
1
) < ∞. (M/(x, x
1
, . . . , x
k
)M) < ∞.
d = dim M  k + 1. d − 1  k,
(x
1
, . . . , x
d
) ⊆ m
M (M/(x
1
, . . . , x
d
)M) < ∞. (x
1
, . . . , x
r
) ⊆ m
r  d M
dim(M/(x

1
, . . . , x
r
)M) = d −r.
(x
n
) ⊆ R m
k ∈ N n
0
x
n
− x
m
∈ m
k
n, m ≥ n
0
. (x
n
) ⊆ R
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
k ∈ N n
0
x
n
∈ m
k
n ≥ n
0
.

(x
n
), (y
n
) (x
n
− y
n
)

R (x
n
) + (y
n
) =
(x
n
+ y
n
) (x
n
)(y
n
) = (x
n
y
n
)

R


R
m

R.

R
m R
(z
n
) ⊆ M m
k ∈ N n
0
z
n
− z
m
∈ m
k
M.
m

R

M.
K K[x
1
, . . . , x
n
] n

K S = K[x
1
, . . . , x
n
]
P = (x
1
, . . . x
n
)S S
R = S
P
m = (x
1
, . . . x
n
)R.
m R K[[x
1
, . . . , x
n
]].
m
dim M = dim(

M).
x
1
, . . . , x
t

R
M t (x
1
, . . . , x
t
)M = M x
i
M/(x
1
, . . . , x
t
)M i.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
I R M x
1
, . . . , x
t
∈ I
I y ∈ I x
1
, . . . , x
t
, y
M
I R M
I M
M I
M I
M I depth(I, M). I = m
depth(M) depth(m, M). depth M

M
M = mM
x
1
, . . . , x
t
∈ m M = (x
1
, . . . , x
t
)M x
1
, . . . , x
t
M x
i
M/(x
1
, . . . , x
t
)M i.
x ∈ m M x /∈ p
p ∈ Ass M. depth(M) = 0 m ∈ Ass M.
a ∈ I M
depth(I, M) = depth(I, M/aM) + 1.
depth(M)  dim R/p p ∈ Ass(M).
p ∈ Ass M. dim R/p.
dim R/p = 0 m = p m ∈ Ass(M).
depth M = 0
dim R/p > 0. m ∈ Ass M

depth(M) = 0, m /∈ Ass M.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a ∈ m a /∈ p p ∈ Ass M.
x M Q ∈ Ass(M/aM)
Q ⊇ p + Ra. a /∈ p dim(R/Q) < dim(R/p).
depth(M/aM)  dim(R/Q) < dim(R/p).
depth(M) = depth(M/aM) + 1  dim(R/Q) + 1  dim R/p.
I R depth(I, M) = depth(I

R,

M).
depth(M) = depth(

M).
(R, m) M R
dim M = d.
dim M ≥ depth M.
M
M = 0 depth M = dim M. R
R R
K x, y, z R = K[[x, y, z]]
R
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M = R/((x
2
, z) ∩(y, z))
N = R/((x
2
) ∩(y, z

2
))
R
(x, y, z).
dim R = dim K[[x, y, z]] = 3 x, y, z R
depth R = dim R = 3. R
Ass
R
M = {(x, z), (y, z)}
dim M = max{dim R/(x, z), dim R/(y, z)} = 1.
(x, y, z) /∈ Ass M depth M > 0. depth M = dim M = 1.
M
Ass N = {(y, z), (x)}.
dim N = max{dim R/(x), dim R/(y, z)} = 2.
depth N  dim(R/(y, z)) = 1. N
M

M
x
1
, . . . , x
r
∈ m M M
M/(x
1
, . . . , x
r
)M
d − r
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

r = 1
x M depth(M/xM) =
depth M − 1. dim(M/xM) ≥ d − 1. x
M x /∈ p p ∈ Ass M.
dim(M/xM)  d − 1. dim(M/xM) = d − 1. M
dim M = depth(M) = d
dim(M/xM) = d − 1 = depth M − 1 = depth(M/xM),
M/xM d − 1.
M
M
M M
p
p ∈ Supp M
p ∈ Supp M M
p
= 0.
dim M
p
= depth M
p
depth M
p
.
dim M
p
≥ depth M
p
. depth M
p
= 0

pR
p
∈ Ass(M
p
). Ass M
p
=

qR
p
| q ⊆ p, q ∈ Ass M

.
p ∈ Ass M. M p ∈ min Ass M.
dim M
p
= 0. M
p
depth M
p
> 0 dim M
p
> 0
p /∈ min Ass M. M p /∈ Ass M. p ⊆ q
q ∈ Ass M. x ∈ p x /∈ q q ∈ Ass M.
x M N = M/xM M
N N
p
= M
p

/xM
p
x/1 /∈ qR
p
qR
p
∈ Ass(M
p
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x/1 M
p
M
p
R
p
0
⊂ p
1
⊂ . . . ⊂ p
n
R n i p
i
= p
i+1
q R p
i
⊂ q ⊂ p
i+1
R q ⊂ p

q p
q p
R dim R < ∞.
q ⊂ p
q p R
q ⊂ p q p
d ≥ 3,
d
2
M
dim(

R/P ) = dim

M P ∈ Ass(

M). M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
dim M = dim(R/p) p ∈ min Ass M. M
dim

M = dim(

R/P ) P ∈ min Ass

M.
M

M M
M

depth(M) = dim M = dim R/p
p ∈ Ass(M). Ass(M) = min Ass M M
M depth(M) = dim M
depth(M) = dim M = dim R/p
p ∈ Ass(M).
R
R
S R
a
1
, . . . , a
n
∈ S S = R[a
1
, . . . , a
n
]
R[x
1
, . . . , x
n
] −→ R[a
1
, . . . , a
n
] f(x
1
, . . . , x
n
) = f(a

1
, . . . , a
n
).
S R[x
1
, . . . , x
n
].
R
R[x
1
, . . . , x
n
]
R
R[x]
R
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M
M
M
R/ Ann
R
M
M

M
dim(


M) =
dim(

R/P ) P ∈ Ass(

M). M
min Ass

M = min Var(Ann
R

M)
dim(

M) = dim(

R/ Ann

R

M) = dim(

R/P )
P ∈ min Var(Ann
R

M). R/ Ann
R
M
R/ Ann

R
M
I R. R L
Γ
I
(L) =

n≥0
(0 :
L
I
n
). f : L −→ L

R
f
∗
: Γ
I
(L) −→ Γ
I
(L

) f
∗
(x) = f(x).
Γ
I
(−) R
R Γ

I
(−) I
R L L
0 −→ L −→ E
0
−→ E
1
−→ E
2
−→ . . .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
E
i
L R I R.
n I Γ
I
(−) L
n L I H
n
I
(L).
0 −→ L −→ E
0
u
0
−→ E
1
u
1
−→ E

2
−→ . . .
L, Γ
I
(−)
0 −→ Γ(E
0
)
u
∗
0
−→ Γ(E
1
)
u
∗
1
−→ Γ(E
2
) −→ . . .
H
n
I
(L) = Ker u
∗
n
/ Im u
∗
n−1
n

L
I R R L I
L = Γ
I
(L)
L R
H
0
I
(L)
∼
=
Γ
I
(L).
L H
i
I
(L) = 0 i ≥ 1.
L I H
i
I
(L) = 0 i ≥ 1.
H
i
I
(L) I i.
H
j
I

(H
i
I
(L)) = 0 j > 0.
0 −→ L

−→ L −→ L

−→ 0 R
n δ
n
: H
n
I
(L

) −→ H
n+1
I
(L

)
0 −→ Γ
I
(L

) −→ Γ
I
(L) −→ Γ
I

(L

)
δ
0
−→ H
1
I
(L

)
−→ H
1
I
(L) −→ H
1
I
(L

)
δ
1
−→ H
2
I
(L

) −→ . . .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(R, m) M

R d
H
0
m
(M)
m ∈ Ass
R
M depth(M) = 0
H
0
m
(M) = 0.
m ∈ Ass
R
M. depth(M) > 0 x ∈ m
M 0 :
M
x = 0. 0 :
M
m = 0. m ∈ Ass M
m = Ann
R
m 0 = m ∈ M. mm = 0. m ∈ 0 :
M
m.
0 :
M
m = 0. depth M = 0.
depth M = 0. H
0

m
(M) = 0 0 :
M
m = 0 H
0
m
(M) m
m /∈ Ass
R
M. x ∈ m x /∈ p
p ∈ Ass M. x M depth M > 0.
H
0
m
(M) = 0. (H
0
m
(M)) < ∞ m ∈ Ass
R
H
0
m
(M).
H
0
m
(M) ⊆ M m ∈ Ass
R
M.
H

i
I
(M) = 0 I i > dim M.
d = dim M ≥ 0.
d = 0 (M) < ∞ M = H
0
I
(M) = 0 M I
H
i
I
(M) = 0 i > 0.
d > 0. M = M/Γ
I
(M) Γ
I
(M)
I H
i
I
(Γ
I
(M)) = 0 i > 0.
0 −→ Γ
I
(M) −→ M −→ M −→ 0 H
i
I
(M)
∼

=
H
i
I
(M)
i > 0 Var(I) R I
Ass M = Ass M \ Var(I)
x ∈ I x /∈ p p ∈ Ass M. x M
0 −→ M
x
−→ M −→ M/xM −→ 0.
H
j
I
(M/xM) −→ H
j+1
I
(M)
x
−→ H
j+1
I
(M) −→ H
j+1
I
(M/xM)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
j > 0. dim(M) = d. dim(M/xM) = d−1.
H
j

I
(M/xM) = 0 j > d−1.
H
j+1
I
(M)
x
−→ H
j+1
I
(M) j > d −1.
0 0 :
H
j+1
I
(M)
x = 0 H
j+1
I
(M)
I H
j+1
I
(M) = 0 j > d −1. H
i
I
(M) = 0
i > d.
I = m
dim M = max{i | H

i
m
(M) = 0}.
I R M
n I H
i
I
(M) = 0 i < n
depth(I, M) = inf{i | H
i
I
(M) = 0}.
⇒ x
1
, . . . , x
n
∈ I M
H
i
I
(M) = 0 i < n n. n = 1.
H
0
I
(M)
∼
=
Γ
I
(M) ⊆ Γ

x
1
R
(M) =

n∈N
(0 :
M
x
n
1
R) = 0,
n = 1 n > 1. x
1
, . . . , x
n−1
∈ I M
H
i
I
(M) = 0 i < n − 1
H
n−1
I
(M) = 0 x
1
M
0 −→ M
x
1

−→ M −→ M/x
1
M −→ 0.
H
n−2
I
(M/x
1
M) −→ H
n−1
I
(M)
x
1
−→ H
n−1
I
(M).
x
2
, . . . , x
n
M/x
1
M
H
i
I
(M/x
1

M) = 0 i < n − 1 H
n−2
I
(M/x
1
M) = 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
H
n−1
I
(M)
x
1
−→ H
n−1
I
(M) 0 :
H
n−1
I
(M)
x
1
= 0.
H
i
I
(M) I x
1
∈ I H

n−1
I
(M) = 0.
⇐ H
i
I
(M) = 0 i < n − 1
n M n I n = 1.
H
0
I
(M) = 0. I ⊆ p p ∈ Ass(M).
x
1
∈ I x
1
/∈ p p ∈ Ass M. x
1
M n = 1. n > 1. H
0
I
(M) = 0.
x
1
∈ I M
0 −→ M
x
1
−→ M −→ M/x
1

M −→ 0.
H
i
I
(M) −→ H
i
I
(M/x
1
M) −→ H
i+1
I
(M)
i ∈ N H
i
I
(M) = 0 i < n H
i
I
(M/x
1
M) = 0
i < n − 1 x
2
, . . . , x
n
∈ I
M/x
1
M x

1
, . . . , x
n
∈ I M
R A
A
A
0
⊇ A
1
⊇ . . . ⊇ A
n
⊇ . . .
A n
0
A
n
= A
n
0
n ≥ n
0
.
H
i
m
(M) i
H
d
I

(M) I
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M H
i
m
(M) = 0
i < d.
M depth M = d.
d = depth(M) = depth(m, M) = min

i | H
i
m
(M) = 0

.
H
i
m
(M) = 0 i < d.
H
i
m
(M) = 0 i < d.
depth(M) = min

i | H
i
m
(M) = 0


≥ d = dim M.
dim M ≥ depth(M) dim M = depth(M). M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M M
(R, m) M R
d.
i ≥ 0 i M
Psupp
i
R
M
Psupp
i
R
(M) = {p ∈ Spec(R) | H
i−dim(R/p)
pR
p
(M
p
) = 0}.
M p ∈ Spec(R)
M
M
p
Ass
R
p
(M

p
) =

qR
p
| q ∈ Ass
R
M, q ⊆ p

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
T Spec(R) i ≥ 0
(T )
i
= {p ∈ T | dim(R/p) = i}.
dim(R/p)  i p ∈ Psupp
i
R
(M)

Psupp
i
R
(M)

i
=

Ass
R

M

i
.
p ∈ Psupp
i
R
(M) H
i−dim(R/p)
pR
p
(M
p
) = 0.
i − dim(R/p) ≥ 0 i ≥ dim(R/p).
p ∈

Psupp
i
R
(M)

i
H
0
pR
p
(M
p
) = 0 dim(R/p) = i

pR
p
∈ Ass
R
p
(M
p
) p ∈

Ass
R
M

i
.
p ∈

Ass
R
M

i
. pR
p
∈ Ass
R
p
(M
p
)

H
0
pR
p
(M
p
) = 0 dim(R/p) = i. p ∈

Psupp
i
R
(M)

i
Psupp
i
R
M Var(Ann
R
H
i
m
(M))
R A
A A = 0 x A
x ∈ R
x ∈ R x A
p A p
A = A
1

+ . . . + A
n
A
i
p
i
A
p
i
A
i
A = A
1
+ . . . + A
i−1
+ A
i+1
+ . . . + A
n
i
A A = A
1
+ . . . + A
n
A
i
p
i
{p
1

, . . . , p
n
} A
A
A Att
R
A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A R
A
A = 0 Att
R
A = ∅
min Att
R
A = min Var(Ann
R
A)
A R A

R
A R

R A

R
A R
Att
R
A =



p ∩ R |

p ∈ Att

R
A

.
H
i
m
(M)
H
i−dim(R/p)
pR
p
(M
p
) p ∈ Spec(R)
p ∈ Spec(R). qR
p
∈ Att
R
p
H
i−dim(R/p)
pR
p

(M
p
)
q ∈ Att
R
H
i
m
(M).
R
p ∈ Spec(R). R
Att
R
p
H
i−dim(R/p)
pR
p
(M
p
) =

qR
p
| q ⊆ p, q ∈ Att
R
H
i
m
(M)


.
Psupp
i
R
M Var(Ann
R
H
i
m
(M))
Psupp
i
R
(M) ⊆ Var(Ann
R
H
i
m
(M)) i ≥ 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên