về tính catenary của vành noether địa phương và môđun artin tựa không trộn lẫn

1Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và môdun Artin tựa không trộn lẫn

Môc lôc
Lêi nói đầu

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

KiÕn thøc chn bÞ

5

1.1 BiĨu diƠn thø cÊp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Mét sè tÝnh chÊt c¬ së vỊ tÝnh catenary . . . . . . . . . . .

1.3 Mét sè chuẩn bị về môđun đối đồng điều địa phương
2

. . .

Chiều của môđun Artin và một tính chất linh hoá tử

10

13
17

2.1

17

2.2

Chiều Noether của môđun Artin

. . . . . . . . . . . . . .

19

2.3 Mét tÝnh chất linh hoá tử cho môđun Artin . . . . . . . . .

22

Tính catenary và môđun Artin tựa không trộn lẫn

27

3.1 Môđun Artin tựa không trộn lẫn . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2 Tính catenary và môđun Artin tùa kh«ng trén lÉn . . . . . .

32

3.3 Môđun đối đồng điều địa phương tựa không trộn lẫn . . . .

3

Tập iđêan nguyên tố gắn kết cho môđun Artin . . . . . . .

36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Tài liệu tham khảo

1

S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên




2Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và môdun Artin tựa không trộn lẫn

2

Lêi nãi đầu
Trong toàn bộ luận văn này ta luôn giả thiết
Noether, địa phương,

(R, m) là vành giao hoán

M là R-môđun hữu hạn sinh, A là R-môđun Artin.

Ta luôn có AnnR (M/pM )

= p với mọi iđêan nguyên tố p chứa AnnR M.

Vì thế hoàn toàn tự nhiên, Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [CN] đÃ
xét tính chất đối ngẫu với tính chất trên cho các môđun Artin như sau:

AnnR (0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p Ann A.

()

Khi vành R là đầy đủ theo tôpô m-adic, tính chất (*) luôn đúng cho môđun
Artin

A vì môđun đối ngẫu Matlis D(A) của A là hữu hạn sinh. Một cách

tổng quát, nếu R là đầy đủ thì bằng việc dùng Đối ngẫu Matlis, việc nghiên
cứu mối quan hệ giữa phạm trù các

R-môđun Artin và phạm trù các R-

môđun Noether là rất thuận lợi. Tuy nhiên, khi

R không đầy đủ, người ta

quan tâm xét tính chất (*) vì nó cho nhiều thông tin về vành cơ sở R và các

môđun Artin và môđun hữu hạn sinh trên

R. Cụ thể, năm 2002, Nguyễn

Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [CN] đà giới thiệu tính chất (*) nhằm trả
lời câu hỏi khi nào thì chiều Noether

N-dim A và chiều dim R/ AnnR A

là bằng nhau. Năm 2007, trong [CDN], Nguyễn Tự Cường, Lê Thanh
Nhàn, Nguyễn Thị Dung đà xét tính chất (*) của môđun đối đồng điều
địa phương cấp cao nhất

d
Hm (M ) và chỉ ra rằng môđun này thỏa mÃn tính

chất (*) khi vµ chØ khi vµnh

d
R/ AnnR (Hm (M )) là catenary. Năm 2009,

Lê Thanh Nhàn và Trần Nguyên An [NA1] đà nghiên cứu tính chất (*)
cho các môđun đối đồng điều địa phương bậc thấp hơn, họ chứng tỏ rằng
nếu

R là catenary phổ dụng và tất cả các thớ hình thức của nó là Cohen-

Macaulay thì

i

Hm (M ) thoả m·n (*) víi mäi i ≥ 0. Ngoµi ra hä còng

chØ ra r»ng nÕu

i
Hm (M ) tháa m·n tÝnh chÊt (*) với mọi i < d thì vành

S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và môdun Artin tựa không trộn lẫn

3

R/ AnnR M là catenary phổ dụng và vành R/p là không trén lÉn víi mäi
p ∈ Ass M, tøc lµ dim R/p = dim(R/p) với mọi p Ass(R/pR).
Đặc biệt, năm 2010, Lê Thanh Nhàn và Trần Nguyên An [NA2] đÃ
giới thiệu khái niệm môđun Artin tựa không trộn lẫn: Môđun Artin
được gọi là
mọi

tựa không trộn lẫn

nếu

A

dim(R/p) = dim(R/ AnnR A) víi

p ∈ min AttR A. Sau ®ã hä ®· xÐt tính chất (*) cho lớp môđun này

trong mối quan hệ với tính catenary của vành cơ sở và chiều của môđun.
Kết quả chính thứ nhất trong bài báo này là định lí sau.
Định lí.
vành

Giả sử

A là tựa không trộn lẫn. Nếu A thoả mÃn tính chất (*) thì

R/ AnnR A lµ catenary vµ dim(R/ AnnR A) = dim(R/ AnnR A).

RÊt tự nhiên, người ta hỏi rằng liệu chiều ngược lại của định lí trên là
đúng. Định lí tiếp theo là kết quả chính thứ hai của bài báo này, cho ta
một câu trả lời khẳng định khi
Định lí.

Giả sử

i
Hm (M )

(*) nÕu vµ chØ nÕu
vµ vµnh

i
A = Hm (M ).

lµ tựa không trộn lẫn. Khi đó

i
Hm (M )

thoả mÃn

i
i
dim R/ AnnR (Hm (M )) = dim R/ AnnR Hm (M ))

i
R/ AnnR (Hm (M )) là catenary.

Mục đích của luận văn là trình bày lại chi tiết các kết quả trên trong
bài báo [NA2]: L. T. Nhan and T. N. An,

On the catenaricity of Noethe-

rian local rings and quasi unmixed Artinian modules

, Communications in

Algebra, 38, (10), 2010.
Luận văn gồm 3 chương. Chương I là kiến thức cơ sở phục vụ cho các
chương sau. Chương II trình bày kiến thức về chiều và tính chất (*) của
môđun Artin. Chương III là nội dung chính, chứng minh các kết quả về
tính chất (*) của môđun Artin tựa không trộn lẫn trong mối quan hệ với
tính catenary của vành cơ sở và đẳng thức về chiều của môđun.

S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên




4Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn

4

Lêi c¶m ơn
Luận văn được hình thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc
của PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn. Nhân dịp này tôi xin chân thành bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới Cô và gia đình.
Xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô ở Viện Toán học
Hà Nội, Khoa Toán và Khoa Sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đại
học Thái Nguyên đà tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập tại trường

S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn

Ch­¬ng 1
KiÕn thức chuẩn bị
Trong suốt chương này luôn giả thiết

R là một vành giao hoán Noether và

L là R-môđun.
Mục đích của Chương I là nhắc lại một số kiến thức cơ sở phục vụ cho
các chương sau. Tiết 1.1 trình bày lí thuyết biểu diễn thứ cấp cho môđun
Artin giới thiệu bởi I. G. Macdonald 1973 [Mac]. Tiết 1.2 nhắc lại một số
khái niệm và tính chất cơ sở của vành catenary [Mat]. Tiết cuối 1.3 nhắc
lại một số khái niệm và tính chất cần thiết về môđun đối đồng điều địa
phương [BS].

1.1

Biểu diễn thứ cấp

Kiến thức trong tiết này được tham khảo trong bài báo [Mac] của I. G.
Macdonald.
1.1.1 Định nghĩa.

Cho

L là một R-môđun.

i) Cho

x R. Nếu tồn tại một số tự nhiên n để xn L = 0 thì ta nói phép

nhân bởi

x trên L là luỹ linh. Nếu xL = L thì ta nói phép nhân bởi x trên

L là toàn cấu.

ii) Ta nói

L là môđun

hoặc lũy linh với mọi

thứ cấp

nếu phép nhân bởi

x trên L là toàn cấu

x R. Trong trường hợp này, tập hợp các phần tử
5

S húa bi Trung tõm Hc liu Đại học Thái Nguyên




6Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và môdun Artin tựa không trộn lẫn

6

x ∈ R sao cho phép nhân bởi x trên L là lũy linh làm thành một iđean
nguyên tố

p và ta gọi L là p-thứ cấp.

iii) Một biểu diễn

được gọi là

L = L1 + . . . + Ln , trong ®ã mỗi Li là pi -thứ cấp,

một biểu diễn thứ cấp

của

L. Biểu diễn thứ cấp này được gọi

là

tối thiểu

là

L = L1 + . . . + Li−1 + Li+1 + . . . + Ln víi mäi i).
iv) NÕu

nÕu c¸c pi là đôi một khác nhau và mỗi

Li là không thừa (tøc

L cã biĨu diƠn thø cÊp tèi thiĨu th× ta nói L là biểu diễn được.

Phần tiếp theo của tiết này chỉ ra rằng mỗi biểu diễn thứ cấp đều cã thĨ
quy vỊ tèi thiĨu. Tr­íc hÕt ta cÇn bỉ đề sau.
1.1.2 Bổ đề.

Cho

L là R-môđun.

i) Tổng trực tiếp của hữu hạn môđun
ii) Môđun thương khác
iii) Nếu
môđun con

L1 , . . . , Lr

p-thø cÊp lµ p-thø cÊp.

0 cđa mét môđun p- thứ cấp là p-thứ cấp.

là môđun con

p-thứ cấp của L thì L1 + . . . + Lr

là

p-thứ cấp của L.

Chứng minh.

(i). Giả sử

phép nhân bởi

L1 , . . . , Ln lµ p-thø cÊp. Cho x ∈ p. Khi đó

x trên L1 , . . . , Ln là lũy linh. Do đó tồn tại t N sao

cho

xt Li = 0 víi mäi i. V× thÕ xt (⊕n Li ) = 0, tøc phÐp nh©n bëi x
i=1

trên

n Li là lũy linh. Cho x p. Khi ®ã xLi = Li víi mäi i. Suy ra
/
i=1

x(⊕n Li ) = ⊕n Li , tøc phÐp nh©n bëi x trên n Li là toàn cấu. Vậy
i=1
i=1
i=1
n
i=1 Li là

(ii). Cho

p-thứ cấp.

L là p-thứ cấp và B là môđun con của L sao cho L/B = 0.

Ta cÇn chøng minh
sao cho

L/B là p-thứ cấp. Cho x p. Khi đó tồn t¹i t ∈ N

xt L = 0. Suy ra xt (L/B) = (xt L + B)/B = 0. V× thÕ phép

nhân bởi

x trên L/B là lũy linh. Cho x p. Khi ®ã xL = L. Suy ra
/

x(L/B) = (xL + B)/B = (L + B)/B = L/B. V× thÕ phép nhân bởi x
trên

L/B là toàn cấu.

S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




7Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether a phng v mụdun Artin ta khụng trn ln

7
(iii). Đặt

B = L1 + . . . + Lr . HiÓn nhiên B = 0. Xét ánh xạ :

r Li −→ B cho bëi ϕ(x1 , . . . , xr ) −→ x1 + . . . + xr . DƠ thÊy ϕ lµ toµn
i=1
cÊu. Suy ra
r
i=1 Li lµ

B là môđun thương của

r
i=1 Li . Theo (i) và theo giả thiết,

p-thứ cấp. Theo (ii) ta suy ra B là p-thứ cấp.

1.1.3 Mệnh đề.
Chứng minh.

Mỗi biểu diễn thứ cấp đều cã thĨ quy vỊ tèi thiĨu.

Gi¶ sư

L = L1 + . . . + Ln lµ mét biĨu diƠn thø cấp của

R-môđun L. Nếu tồn tại i = j sao cho Li và Lj đều là p-thứ cấp thì theo
Bổ đề 1.1.2,

Li + Lj cũng là p-thứ cấp. Vì thế, bằng cách loại đi các thành

phần thứ cấp thừa và ghép lại những thành phần thứ cấp ứng với cùng một
iđêan nguyên tố, ta có thể rút gọn biểu diễn thứ cấp này thành một biểu
diễn thứ cấp tối thiểu.
Phần tiếp theo trình bày 02 định lí duy nhất về biểu diễn thứ cấp, từ đó
dẫn đến khái niệm tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun biểu diễn được.
1.1.4 Bổ đề.
của

Giả sử

L = L1 + . . . + Ln

R-môđun L, trong đó Li

là

là một biểu diễn thứ cấp tối thiểu

pi -thứ cấp. Cho p là iđêan nguyên tố. Khi

đó các phát biểu sau là tương đương:
i)

p {p1 , . . . , pn }.

ii)

L có môđun thương là p-thứ cấp.

iii)

L có môđun thương Q sao cho AnnR (Q) = p.

Chøng minh.

(i⇒ii). Gi¶ sư

trong biĨu diƠn thø cÊp

p = pi . Đặt Pi =

j=i Lj . Vì

Li không thõa

L = L1 + . . . + Ln nªn L/Pi = 0. Hơn nữa,

L/Pi = (Li + Pi )/Pi Li /(Li Pi ).
=
Vì thế

L/Pi là môđun thương khác 0 của Li . Vì Li là pi -thứ cấp nên theo

Bổ đề 1.1.2,

L/Pi là môđun thương pi -thứ cÊp cđa L.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn

8
(ii⇒iii). Gi¶ sử P là môđun thương p-thứ cấp của L. Vì R là vành Noether
nên

p là hữu hạn sinh. Giả sử p = (a1 , . . . , at ). Vì P là p-thứ cấp nên với

mỗi i

= 1, . . . , t, tån t¹i ni sao cho ani P = 0. Chän n = max{n1 , . . . , nt }.

Khi đó pk P
định

= 0 với mọi k nt. Do P là p-thứ cấp nên P = 0. Ta kh¼ng

P = pP. ThËt vËy, nÕu P = pP th× víi k ≥ nt ta cã
0 = pk P = pk−1 (pP ) = pk−1 P = . . . = pP = P,

điều này là mâu thuẫn. Vì thế

Q = P/pP là môđun thương khác 0 của

L. Do P là p-thứ cấp nên Q là p-thứ cấp. Do đó AnnR Q p. Rõ ràng
p AnnR Q. Suy ra AnnR Q = p.
(iii⇒i). Gi¶ sư

Q = L/B là môđun thương của L sao cho AnnR (Q) = p.

Ta cã

n

n

Q = L/B = (

Li )/B =
i=1

(Li + B)/B.
i=1

Với mỗi i ta có (Li + B)/B Li /(Li ∩ B). Do ®ã, theo Bỉ ®Ị 1.1.2(ii),
=
nÕu

(Li + B)/B = 0 thì nó là pi -thứ cấp. Bằng việc bỏ đi các thành phần

thừa trong biểu diễn Q
của

=

n
i=1 (Li +B)/B ta được một biểu diễn tối thiểu

Q. Do đó bằng việc đánh lại thứ tự các chỉ sè ta cã thĨ gi¶ thiÕt Q cã

mét biĨu diƠn thứ cấp tối thiểu Q

=

m
i=1 Qi , trong đó

Qi là pi -thø cÊp víi

i = 1, . . . , m với một số tự nhiên m

n nào đó. Do Qi lµ pi -thø cÊp víi
√
mäi i = 1, . . . , m nên dễ kiểm tra được AnnR Q = p1 ∩ . . . ∩ pm . Vì thế,
theo giả thiết (iii) ta có
sao cho

p = p1 ∩ . . . ∩ pm . Do ®ã tån t¹i i ∈ {1, . . . , m}

p = pi .

Định lí sau đây là hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.1.4.
1.1.5 Định lý.
và

(Định

lí duy nhất thứ nhất).

L = L1 + . . . + Lm

trong đó

Li

là

Giả sử

L = L1 + . . . + Ln

lµ hai biĨu diễn thứ cấp tối thiểu của

pi -thứ cấp và Li

là

R-môđun L,

qi -thứ cấp. Khi đó m = n và

{p1 , . . . , pn } = {q1 , . . . , qn }.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




9Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether a phng v mụdun Artin ta khụng trn ln

9
1.1.6 Định nghĩa.

Giả sử

duy nhất thứ nhất, tập

L là R-môđun biểu diễn được. Theo Định lý

{p1 , . . . , pn } chỉ phụ thuộc vào L mà không phụ

thuộc vào biĨu diƠn thø cÊp tèi thiĨu cđa
g¾n kÕt

cđa

L. Ta gäi nó là

tập các iđêan

L và kí hiệu là AttR L. Nếu p là phần tử tối thiểu trong tập

AttR L thì thành phần thứ cấp tương ứng được gọi là thành phần thứ cấp
cô lập

của

L.

Chú ý rằng tồn tại hai biểu diễn thứ cấp tối thiểu của

L mà các thành

phần thứ cấp ứng với cùng một iđêan nguyên tố gắn kết là khác nhau. Tuy
nhiên, nếu iđêan nguyên tố gắn kết ấy là tối thiểu trong tập

AttR L thì

thành phần thứ cấp tương ứng là xác định duy nhất. Đó là nội dung của
định lí sau đây.
1.1.7 Định lý.

(Định

lý duy nhất thứ hai).

pi min AttR L.

diễn được và

Giả sử

Giả sử

là

R-môđun

biểu

Khi đó thành phần thứ cấp ứng với

không phụ thuộc vµo biĨu diƠn thø cÊp tèi thiĨu cđa

Chøng minh.

L

pi

L.

L = L1 + . . . + Ln vµ L = L1 + . . . + Ln lµ hai

biĨu diƠn thứ cấp tối thiểu của

L, trong đó Lj và Lj là pj -thứ cấp. Vì

pi min AttR L nên pj ⊆ pi víi mäi j = i. Do ®ã tồn tại phần tử
a (j=i pj ) \ pi . Víi j = i, do a ∈ pj nªn an Lj = 0 = an Lj víi n ®đ
lín. Do

a pi nên an Li = Li và an Li = Li víi mäi n. V× thÕ víi n ®đ
/

lín ta cã an L

= Li = Li .

PhÇn ci trình bày tính biểu diễn được của môđun Artin. Trước hết ta
cần bổ đề sau.
1.1.8 Bổ đề.

Giả sử

A = 0 là R-môđun Artin và A không là tổng của hai

môđun con thực sự của

Chứng minh.

Giả sử

phép nhân bởi

A. Khi đó A là thứ cấp.

A không thứ cấp. Khi đó tồn tại x R sao cho

x trên A không toàn cấu và cũng không là luỹ linh. Vì thế

S húa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




10Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và môdun Artin tựa không trộn lẫn

10

A = xA vµ xn A = 0 víi mäi n > 0. Do A là Artin nên dÃy môđun con
{xn A} của A dừng. Do đó tồn tại k > 0 sao cho xn A = xk A víi

gi¶m
mäi

n ≥ k. §Ỉt A1 = {a ∈ A | xk a = 0} và A2 = xk A. Vì xk A1 = 0 và

xk A = 0 nên A1 = A. Vì A = xA nên A2 = A. Do đó A1 , A2 là những
môđun con thực sự của
với v
với

A, suy ra xk (u−xk v) = 0. Do ®ã u−xk v ∈ A1 . Suy ra u ∈ z+xk v

z ∈ A1 . V× thÕ u ∈ A1 + A2 . Suy ra A = A1 + A2 , m©u thuẫn.

1.1.9 Định lý.
Chứng minh.

Gọi

A. Lấy u A. Do xk A = x2k A nªn xk u = x2k v,

Mäi môđun Artin đều biểu diễn được.

Cho

A là R-môđun Artin. Giả sử A không biểu diễn được.

là tập các môđun con không biểu diễn được của A. Vì A nên

= . Do A là Artin nên có phần tử cực tiểu, gọi là B. Vì B nên
B = 0 và B không là môđun thứ cấp. Theo bổ đề trên, B biểu diễn được
thành tổng của hai môđun con thực sự của

B , tức lµ B = B1 + B2 víi

B1 , B2 lµ hai môđun con thực sự của B. Vì B cực tiểu nên B1 , B2 ,
/
tức là

B1 , B2 là biểu diễn được. Vì thế B = B1 + B2 cũng biểu diễn được,

vô lý.

1.2

Một số tính chất cơ sở về tính catenary

Luôn giả thiết

R là một vành giao hoán, Noether. Trong tiết này chúng ta

nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ sở về tính cartenary của vành.
Các thuật ngữ và kết quả ở tiết này được tham khảo trong cuốn sách của H.
Matsumura [Mat]. Tính catenary cho các vành đà được quan tâm nghiên
cứu đầu tiên bởi W. Krull từ năm 1937. Sau đó rất nhiều kết quả về tính
catenary của vành được cho bởi W. Krull, M. Nagata, I. S. Cohen, D.
Ferand vµ M. Raynaud, L. J. Ratliff, R. Heitmann, M. Brodmann ..., c¸c
kÕt quả này đà làm làm cho tính catenary của vành trë thµnh mét lÝ thut

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và môdun Artin tựa không trộn lẫn

11
quan träng trong Đại số Giao hoán, nó liên quan với nhiều lĩnh vực khác
của Đại số Giao hoán như vành định chuẩn, môđun Cohen-Macaulay tối
đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết... Lớp vành catenary đầu tiên được
chỉ ra bởi W. Krull trong một bài báo của ông năm 1937, ở đó ông chỉ
ra rằng nếu

k là một trường thì mọi k -đại số hữu hạn sinh đều là vành

catenary. Tính catenary của lớp vành đầy đủ theo tôpô

m-adic được chứng

minh bởi Cohen trong một bài báo năm 1946, ở đó ông đà chứng minh
tính catenary cho vành các chuỗi luỹ thừa hình thức trên một trường và sau
đó chỉ ra rằng mỗi vành địa phương đầy đủ là thương của một vành các
chuỗi luỹ thừa hình thức. Hầu hết các vành được biết đến đều là catenary.
Cho đến tận năm 1956, M. Nagata mới chỉ ra được một lớp những miền
nguyên không catenary.
1.2.1 Định nghĩa.

nguyên tố

R được gọi là vành

catenary

nếu với mọi cặp iđêan

q p của R luôn tồn tại một dÃy nguyên tố bÃo hoà giữa q và

p và mọi dÃy nguyên tố bÃo hoà giữa q và p đều có chung độ dài.
Nhắc lại rằng
của các số
dài

R.

chiều (Krull)

R, kí hiệu là dim R, là cận trên

n sao cho có một dÃy tăng những iđêan nguyên tố của R cã ®é

n lång nhau p0 ⊂ p1 ⊂ . . . pn . Cho p là một iđêan nguyên tố của
Độ cao

của p, kí hiệu là

dÃy nguyên tố độ dài
Với

I là iđêan của R,

các số

ht p, là cận trên của các số n sao cho có một

n chứa trong p lång nhau p0 ⊂ p1 ⊂ . . . pn = p.
độ cao

của

I , kí hiệu là ht(I), lµ sè bÐ nhÊt trong

ht p víi p lµ iđêan nguyên tố chứa I . Cho M là một R-môđun

hữu hạn sinh.
số

của vành

Chiều (Krull)

của

M , kí hiệu là dim M , là cận trên của các

n sao cho có một dÃy nguyên tố độ dài n trong SuppR M lång nhau

p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn .
1.2.2 Một số tính chất.

i) Vành thương của vành catenary cịng lµ vµnh catenary.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và môdun Artin tựa không trộn lẫn

12
ii) NÕu

dim R

iii) Giả sử

2 thì R là catenary.

(R, m) là vành Noether địa phương. Khi đó R là vành cate-

nary nếu và chỉ nếu mọi dÃy bÃo hoà giữa hai iđêan nguyên tố

q p đều

có cùng độ dài.
Chứng minh.

(i). Giả sử

R là vành catenary và I là iđêan của R. Khi đó

mỗi dÃy iđêan nguyên tố bÃo hoà giữa hai iđêan nguyên tố

q p của R/I

tương ứng với một dÃy iđêan nguyên tố bÃo hoà giữa hai iđêan nguyên tè

q ⊂ p cđa R chøa I, trong ®ã q và p là ảnh của q và p trong R/I. Vì thế
R/I là catenary.
(ii). Giả sử

dim R

2. Cho p q là các iđêan nguyên tố của R.

Khi đó chỉ có một trong 2 khả năng xảy ra: hoặc chèn được thêm 1 iđêan
nguyên tố giữa
thế

p và q để được dÃy bÃo hoà, hoặc p q đà là bÃo hoà. Vì

R là catenary.
(iii). Vì

R là vành Noether địa phương nên dim R < . Vì thế luôn

tồn tại một dÃy nguyên tố bÃo hoà giữa
tố

q và p với mọi cặp iđêan nguyên

q p của R. Do đó R lµ vµnh catenary nÕu vµ chØ nÕu mäi d·y b·o

hoµ giữa hai iđêan nguyên tố

1.2.3 Định nghĩa.

Giả sử

q p đều có cùng độ dài.

(R, m) là vành Noether địa phương và M là

R-môđun hữu hạn sinh. Kí hiệu M là môđun đầy đủ theo tôpô m-adic
của

M . Ta nói rằng M là

đẳng chiều

iđêan nguyên tố liên kết tối thiểu
trộn lÉn

lµ

nÕu

dim(R/p) = dim M víi mäi

p ∈ AssR M. Ta nói M là

nếu môđun đầy đủ theo tôpô

tựa không

m-adic M của M là đẳng chiều, tức

dim(R/p) = dim M với mäi p ∈ min AssR M .

1.2.4 MƯnh ®Ị.

(xem [Na], 1956). Nếu

Noether tựa không trộn lẫn thì

(R, m) là miền nguyên địa phương

R là catenary.

Từ định nghĩa vành catenary, ta dƠ thÊy r»ng nÕu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn

R là miền nguyên địa




13Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn

13
ph­¬ng catenary thì nó thoả mÃn công thức chiều

ht p + dim R/p = dim R
với mọi iđêan nguyên tố

p của R. Vì thế I. S. Cohen 1954 đà hỏi rằng

liệu một miền nguyên địa phương

R thoả mÃn công thức chiều ht p +

dim R/p = dim R với mọi iđêan nguyên tố p của R luôn là miền catenary?
Câu trả lời khẳng định được R. J. Ratliff đưa ra vào năm 1972.
1.2.5 Mệnh đề.

Một miền nguyên Noether địa phương

và chỉ nếu với mỗi iđêan nguyên tố

R là catenary nếu

p của R ta cã

ht p + dim R/p = dim R.
Gi¶ sư

R là vành địa phương Noether đẳng chiều, tức là dim R/q =

dim R víi mäi q ∈ min Ass R. Từ định nghĩa vành catenary, dễ thấy rằng
nếu

R là catenary th× ht p + dim R/p = dim R víi mọi iđêan nguyên tố p

của R. McAdam và R. J. Ratliff năm 1974 đà chứng minh chiều ngược lại,

kết quả này mở rộng mệnh đề trên cho tất cả các vành địa phương đẳng
chiều.
1.2.6 Mệnh đề.

Giả sử

R là vành địa phương Noether đẳng chiều. Khi đó

R là catenary nếu và chỉ nếu với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta cã
ht p + dim R/p = dim R.
1.3

Mét sè chuẩn bị về môđun đối đồng điều địa phương

Trong tiết này luôn giả thiết
của

R là vành giao hoán, Noether, I là iđêan

R và L là một R-môđun. Mục đích của tiết này là trình bày các tính

chất cơ sở cần thiết về môđun đối đồng điều địa phương phục vụ cho các
chương sau. Các kiến thức và thuật ngữ ở đây được tham khảo từ cuốn
sách của M. Brodmann và R. Y. Sharp [BS] về đối đồng điều địa phương.

S hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether a phng v mụdun Artin ta khụng trn ln

14
Cho

1.3.1 Định nghĩa.

nghĩa

I là iđêan của R. Với mỗi R-môđun L ta ®Þnh

(0 :L I n ). NÕu f : L −→ L là đồng cấu các R-môđun

I (L) =

n0

thì ta có ®ång cÊu

f ∗ : ΓI (L) −→ ΓI (L ) cho bëi f ∗ (x) = f (x). Khi ®ã

ΓI () là hàm tử khớp trái, hiệp biến từ phạm trù các R-môđun đến phạm
trù các
Một

R-môđun. I () được gọi là hàm tử I -xoắn.
giải nội xạ

của

L là một dÃy khíp

0 −→ L −→ E0 −→ E1 −→ E2 −→ . . .
trong đó mỗi

Ei là môđun nội xạ. Chú ý rằng với mỗi môđun đều nhúng

được vào một môđun nội xạ, vì thế, mỗi môđun đều có giải nội xạ.
1.3.2 Định nghĩa.

suất phải thứ

Cho

L là R-môđun và I là iđêan của R. Môđun dẫn

n của hàm tử I -xoắn I () ứng với L được gọi là môđun

đối đồng ®iỊu thø

n
n cđa L víi gi¸ I , kÝ hiƯu lµ HI (L). Cơ thĨ, nÕu
u

u

1
0
0 −→ L −→ E0 E1 E2 . . .

là giải nội xạ của

L, tác động hàm tử I () ta có ®èi phøc
u∗

u∗

0
1
0 −→ Γ(E0 ) −→ Γ(E1 ) −→ Γ(E2 ) −→ . . .

Khi ®ã

n
HI (L) = Ker u∗ / Im u là môđun đối đồng điều thứ n của đối
n
n1

phức trên, môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của
Cho
nếu

L.

I là iđêan của R. Nhắc lại rằng R-môđun L được gọi là I -xoắn

L = I (L). Sau đây là tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa

phương.
1.3.3 Mệnh đề.

(i)

Cho

L là một R-môđun. Các phát biểu sau là đúng.

0
HI (L) I (L).
=

(ii) Nếu

i
L là nội xạ thì HI (L) = 0 với mäi i ≥ 1.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




15Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và môdun Artin tựa không trộn lẫn

15
(iii) NÕu

i
HI (L) là môđun I -xoắn với mọi i.

(iv)
(v)

i
L là I -xoắn thì HI (L) = 0 với mọi i 1.

j
i
HI (HI (L)) = 0 víi mäi j > 0.

(v) NÕu

0 −→ L −→ L −→ L −→ 0 lµ dÃy khớp ngắn các R-môđun

thì tồn tại với mỗi số tự nhiên

n+1
n
n một đồng cấu n : HI (L ) −→ HI (L )

sao cho ta cã d·y khíp dµi

δ

0
1
0 −→ ΓI (L ) −→ ΓI (L) −→ ΓI (L ) −→ HI (L )

δ

1
1

1
2
−→ HI (L) −→ HI (L ) HI (L ) . . .

Sau đây là một số tính chất triệt tiêu của một số môđun đối đồng điều
địa phương.
Cho
là

M là R-môđun hữu hạn sinh. Một phần tử 0 = a R được gọi

phần tư

M -chÝnh

quy

nÕu

am = 0 kÐo theo m = 0 víi mọi m M.

Một dÃy các phần tử a1 , . . . , an của R được gọi là M -dÃy chính quy nghèo
nếu ai là phần tử chính quy của
Một dÃy các phần tử

M/(a1 , . . . , ai−1 )M víi mäi i = 1, . . . , n.

a1 , . . . , an ∈ R được gọi là M -dÃy

chính quy

nếu

a1 , . . . , an lµ mét M -d·y chÝnh quy nghÌo vµ M/(a1 , . . . , an )M = 0. Cho
I là một iđêan của R. Khi đó mỗi d·y chÝnh quy cđa M trong I cã thĨ më
réng thành một dÃy chính quy tối đại, và các dÃy chính quy tối đại của

M trong I có chung độ dài. Độ dài chung này được gọi là độ sâu của M
trong

I và được kí hiệu là depth(I, M ).

1.3.4 Định lý.

I

của

Giả sử

M

là

R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó với mỗi iđêan

R ta có
i
depth(I, M ) = inf{i | HI (M ) = 0}.

Chiều của một môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương có thể đặc
trưng qua tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau.

S húa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




16Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether a phng v mụdun Artin ta khụng trn ln

16
1.3.5 Định lý.

Giả sử

(R, m)

M

là vành địa phương và

là

R-môđun

hữu

hạn sinh. Khi đó

i

dim M = max{i | Hm (M ) = 0}.

PhÇn cuèi cùng của tiết này dành để trình bày một số tính chất Artin
của môđun đối đồng điều địa phương. Kết quả đầu tiên khẳng định môđun
đối đồng điều địa phương với giá cực đại luôn là Artin.
1.3.6 Định lý.

Giả sử

hạn sinh. Khi đó

(R, m)

là vành địa phương và

M

là

R-môđun

hữu

i
Hm (M ) là Artin với mọi số nguyên i 0.

Kết quả tiếp theo khẳng định môđun đối đồng điều địa phương cấp cao
nhất (với giá tuỳ ý) luôn là Artin.
1.3.7 Định lý.
hạn sinh với

(i)
(ii)

Giả sử

(R, m)

là vành địa phương và

dim M = d. Khi đó với mỗi iđêan I

M

của

là

R-môđun

hữu

R ta luôn cã

i
HI (M ) = 0 víi mäi i > d.
d
HI (M ) là Artin.

Cuối cùng là một kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun
đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại.

1.3.8 Định lý.
hạn sinh với

Giả sử

(R, m)

là vành địa phương và

M

là

R-môđun

hữu

dim M = d. Khi ®ã

d
AttR (Hm (M )) = {p ∈ AssR M | dim(R/p) = d}.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




17Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn

Ch­¬ng 2

ChiỊu của môđun Artin và một tính
chất linh hoá tử
Luôn giả thiết
hạn sinh và

2.1

A là R-môđun Artin.

Tập iđêan nguyên tố gắn kết cho môđun Artin

Với iđêan

I của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố chứa I.

2.1.1 Bổ đề.
Chứng minh.

DƠ thÊy

√

min AttR A = min Var(AnnR A).
Gi¶ sư

AnnR A =

thể chọn pi
nên

(R, m) là vành Noether địa phương, M là R-môđun hữu

AttR A = {p1 , . . . , pn }. Cho p ∈ min Var(AnnR A).
n
i=1 pi . Vì

p AnnR A nên p pi với i nào đó. Có

min AttR A sao cho p ⊇ pi . Do pi ⊇ AnnR A vµ p tối thiểu

p = pi min AttR A. Ngược lại, giả sử p min AttR A. Theo Bổ đề

1.1.4, tồn tại môđun thương

Q của A sao cho p = AnnR Q. Vì AnnR A

AnnR Q nên p Var(AnnR A). NÕu p ∈ min Var(AnnR A) th× tån t¹i
/
q ∈ min Var(AnnR A) sao cho q ⊂ p và q = p. Theo chứng minh trên,
q min AttR A. Điều này là mâu thuẫn. Vậy p min Var(AnnR A).
2.1.2 Bổ đề.

Giả sử

0 A A A 0

là dÃy khớp các

17

S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




18Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether a phng v mụdun Artin ta khụng trn ln

18

R-môđun Artin. Khi ®ã
AttR A ⊆ AttR A ⊆ AttR A ∪ AttR A .
Chứng minh.

con của

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết

A và A = A/A . Cho p ∈ AttR A . Theo Bỉ ®Ị 1.1.4, tån tại

môđun thương
của

A là môđun

Q của A sao cho AnnR Q = p. Vì Q cũng là thương

A nên p AttR A theo Bỉ ®Ị 1.1.4. VËy AttR A ⊆ AttR A. Cho

p ∈ AttR A. Theo Bỉ ®Ị 1.1.4, có môđun thương A/P của A là pthứ cấp.
Xét

Q = P + A . NÕu A = Q th×
A/P = (P + A )/P ∼ A /(P ∩ A ).
=

V×

A/P là p-thứ cấp nên p AttR (A/P ). Theo đẳng cấu trên, A/P là

thương của

A . Vì thế ta cã p ∈ AttR A . Gi¶ sư A = Q. Khi đó A/Q là

môđun thương khác không của

A/P. Vì A/P là pthứ cấp nên A/Q là

p-thứ cấp theo Bổ đề 1.1.2. Vì thế p AttR (A/Q). Lại do A/Q là thương
của

A = A/A nên p AttR A .

Kí hiệu

R là vành đầy đủ của R theo tôpô m-adic. Cho u ∈ A vµ cho

x = (xn ) ∈ R, trong ®ã xn ∈ R. Khi ®ã Ru = {au | a R} là một
môđun con của

A, do đó nó là môđun Artin. Chú ý rằng Ru là hữu hạn

sinh (sinh bởi 1 phần tử
Noether. Do đó
nhiên

u). Vì thế Ru vừa là môđun Artin, vừa là môđun

Ru là môđun có độ dài hữu hạn. Vì thế tồn tại số tự

k sao cho mk u = 0. Vì (xn ) R, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho

xn − xm ∈ mk víi mäi m, n ≥ n0 . Do ®ã ta cã (xn − xm )u = 0 víi mäi
m, n ≥ n0 . Suy ra xn u không đổi khi n n0 . Do đó ta có thể định nghĩa
xu = xn u với n n0 . Dễ kiểm tra được đây là một tích vô thương trên
A. Do đó A có cấu trúc R-môđun. Với cấu trúc này, một tập con của A là
một

R-môđun con của A nếu và chỉ nếu nó là một R-môđun con của A.

S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




19Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn

19
V× thÕ dàn môđun con của
của

A xét như R-môđun chính là dàn môđun con

A xét như R-môđun. Do đó A là một R-môđun Artin.

2.1.3 Bổ đề.
Chứng minh.

AttR A = {p R | p ∈ AttR A}.
Gi¶ sư

A = (A11 + . . . + Ait1 ) + . . . + (An1 + . . . + Antn ) lµ

mét biĨu diễn thứ cấp tối thiểu của

A xét như R-môđun, trong ®ã Aij lµ

pij -thø cÊp vµ pi1 ∩ R = . . . = piti ∩ R = pi víi mäi i = 1, . . . , n vµ các
pi là đôi một phân biệt. Khi đó
AttR A = {pij | i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , ti }.
Đặt

Ai = Ai1 + . . . + Aiti víi i = 1, . . . , n. Khi ®ã A = A1 + . . . + An .

Cho

i ∈ {1, . . . , n}. Víi x ∈ pi , ta cã x ∈ pij víi mäi j = 1, . . . , ti . Vì

thế phép nhân bởi
mọi

x trên Ai là luỹ linh. Cho x pi . Khi ®ã x ∈ pij víi
/
/

j = 1, . . . , ti . Do đó phép nhân bởi x trên Ai là toàn cấu. Suy ra Ai

là pi -thứ cấp. Vì mỗi
Vậy

2.2

Aij đều không thừa nên Ai là không thõa víi mäi i.

AttR A = {p1 , . . . , pn } = {p ∩ R | p AttR A}.
Chiều Noether của môđun Artin

Trong tiết này luôn giả thiết

A là R-môđun Artin. Khái niệm đối ngẫu

với chiều Krull cho một môđun tùy ý (Kdim) được giới thiệu bởi R. N.
Roberts [Ro] và ở đó ông đà chứng minh một số kết quả về chiều Krull
cho các môđun Artin. Sau đó D. Kirby [K2] đà đổi thuật ngữ của Roberts
và đề nghị thành chiều Noether (N-dim) để tránh nhầm lẫn với chiều Krull
đà được định nghĩa cho các môđun Noether. Định nghĩa sau theo thuật
ngữ của Kirby [K2].
2.2.1 Định nghĩa.

Chiều Noether

nghĩa quy nạp như sau: Khi

của

A, kí hiệu là N-dimR A, được định

A = 0, đặt N-dimR A = −1. Cho d ≥ 0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




20Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn

20
lµ mét số nguyên. Ta đặt
mọi dÃy tăng

N-dimR A = d nếu N-dimR A < d lµ sai vµ

A0 ⊆ A1 ⊆ . . . các môđun con của A, tồn tại n0 sao cho

N-dimR (An /An+1 ) < d víi mäi n > n0 .
Từ định nghĩa trên ta thấy rằng
môđun Noether vµ

.
N-dimR A = 0 nÕu vµ chØ nÕu A là

A = 0. Hơn nữa, ta dễ dàng kiểm tra được kết quả sau

đây.
2.2.2 Bổ đề.
các

Nếu

0 A A A 0

là dÃy khớp ngắn

R-môđun Artin thì
N-dimR A = max{N-dimR A , N-dimR A }.

Sau đây là một kết quả rất quan trong về chiều của môđun Artin. Trong
kết quả này, D. Kirby [K1] chỉ ra R (0 :A
hữu tỷ khi

0. Sau đó R. N. Robert [Ro] đặc trưng bậc của đa thức

n

này thông qua 02 bất biến khác của
Noether của

A, một trong 2 bất biến đô là chiều

A.

2.2.3 Định lý.
hữu tỷ khi

mn ) là một đa thức với hệ số

Giả sử

A = 0. Khi đó

mn ) là mét ®a thøc víi hƯ sè

R (0 :A

n ®đ lín vµ

N-dimR A = deg

R (0 :A

mn )

= inf{t | ∃x1 , .., xt m sao cho
2.2.4 Định nghĩa.

phần tử
hệ

t

Giả sö

R (0 :A

(x1 , .., xt )R) < ∞}.

N-dimR A = s. Theo định lí trên, tồn tại s

x1 , . . . , xs trong m sao cho

(x1 , . . . , xs ) được gọi là

R (0 :A

hÖ tham sè

(x1 , . . . , xs )R) < ∞. Khi ®ã

cđa

A. Mét hƯ (x1 , . . . , xt ) với

s được gọi là một phần của hệ tham số của A nếu tồn tại các phÇn tư

xt+1 , . . . , xs ∈ m sao cho (x1 , . . . , xs ) là hệ tham số của A.
2.2.5 Bổ đề.

Giả sử

N-dimR A > 0. Khi ®ã
N-dimR (0 :A x) ≥ N-dimR A − 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




21Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn

21
víi mäi

x∈m

tham số của

Chứng minh.

Khi đó

và dấu đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu

x

là một phần tử

A.
Giả sử

N-dimR (0 :A x) = r < N-dimR A − 1 víi x ∈ m.

N-dimR A > r + 1. V× N-dimR (0 :A x) = r nên tồn tại hệ tham số

(x1 , . . . , xr ) cña 0 :A x. Suy ra (0 :A (x, x1 , . . . , xr )R) < . Theo định
lí trên,

N-dimR A

r + 1, vô lí. Đặt N-dim A = s. Giả sử

N-dimR (0 :A x) = N-dimR A − 1 = s − 1.
Chän mét hƯ tham sè
Khi ®ã

(0 :A (x, x2 , . . . , xs )R) < ∞. V× N-dim A = s nªn (x, x2 , . . . , xs )

là hệ tham số của
giả sử

(x2 , . . . , xs ) cña 0 :A x (hệ này gồm s 1 phần tử).

A, do đó x là phần tử tham số của A. Ngược lại,

x m là phần tử tham số của A. Khi đó tồn tại các phần tử

x2 , . . . , xs ∈ m ®Ĩ (x, x2 , . . . , xs ) lµ hƯ tham sè cđa A. Suy ra (0 :A
(x, x2 , . . . , xs )R) < ∞ hay (0 :0:A x (x2 , . . . , xs )R) < . Theo định lí
trên,

N-dimR (0 :A x)

luôn có

s 1 = N-dimR A − 1. Theo chøng minh trªn ta

N-dimR (0 :A x) N-dimR A 1, đẳng thức xảy ra.

Vì dàn các môđun con của

A xét như R-môđun hay R-môđun là như

nhau nên từ định nghĩa chiều Noether ta có ngay kết quả sau.
2.2.6 Bổ đề.

N-dimR A = N-dimR A.

Vì các phần tử tối thiểu của

AttR A chính là các phần tư tèi thiĨu cđa

Var(AnnR A) (xem TiÕt 2.1) nªn ta có kết quả sau.
2.2.7 Bổ đề.

dim(R/ AnnR A) = max{dim(R/p) | p AttR A}.

Sau đây là mối quan hệ giữa chiều Noether N-dim A và chiều Krull của
vành

R/ AnnR A.

2.2.8 Bỉ ®Ị.

dim(R/ AnnR A) ≥ N-dimR A.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




22Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và môdun Artin tựa không trộn lẫn

22
Chøng minh.

NÕu

Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo

s = dim(R/ AnnR A).

s = 0 thì A = 0 và A là môđun Noether. V× thÕ N-dimR A = 0. Cho

s > 0. Khi đó tồn tại x m sao cho x ∈ p víi mäi p ∈ AttR A tho¶ m·n
dim(R/p) = s. Theo Bỉ ®Ị 2.1.1, x ∈ p víi mäi p ∈ min Var(AnnR A).
V× thÕ

dim(R/ AnnR (0 :A x))

N-dimR (0 :A x)

s 1. Do đó theo giả thiết quy nạp ta có

s 1. Theo Bổ đề 2.2.5 ta suy ra N-dimR A

s.

Phần cuối của tiết này nhắc lại một kết quả của Z. Tang và H. Zakeri
[TZ] về chiều Noether của môđun Artin.
2.2.9 Mệnh đề.

(Xem [TZ]). Cho

I

là iđêan của

R sao cho

N-dimR (0 :A I) = N-dimR A r.
Khi đó tồn tại một phần hệ tham số của
hệ tham số của

A trong I

có độ dài

r

A trong I

có độ dài

r và mọi phần

đều là phần hệ tham số tối đại của

A trong I .
2.3

Một tính chất linh hoá tử cho môđun Artin

Trong tiết này luôn giả thiết

(R, m) là vành địa phương và A là R-môđun

Artin. Trước hết ta xét một tính chất cơ sở của các

R-môđun hữu hạn sinh

M như sau: Giả sử p là iđêan nguyên tố của R chứa AnnR M . Khi đó
p Supp M và do đó Mp = 0. Theo Bỉ ®Ị Nakayama ta suy ra
(M/pM )p = Mp /pMp = 0.
Vì thế

p Supp(M/pM ), tức là p AnnR (M/pM ). Vì vậy ta luôn có
AnnR (M/pM ) = p với mọi iđêan nguyên tố p AnnR M.

Rất tự nhiên, theo suy nghĩ đối ngẫu, N. T. Cuong và L. T. Nhan [CN]
đà xét tính chất sau đối với các môđun Artin

S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên

A:




23Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether a phng v mụdun Artin ta khụng trn ln

23
2.3.1 Định nghÜa.

Ta nãi

A tho¶ m·n tÝnh chÊt (*) nÕu

AnnR (0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p AnnR A
Khi

R là đầy đủ theo tôpô m-adic, sử dụng đối ngẫu Matlis và áp dụng

tính chất trên của các môđun hữu hạn sinh ta suy ra rằng tính chất (*) luôn
đúng cho mọi môđun Artin trên vành địa phương đầy đủ. Tuy nhiên, tính
chất (*) không còn đúng khi vành
2.3.2 Ví dụ.

R không đầy đủ.

[CN]. Tồn tại một môđun Artin trên vành Noether địa phương

không thoả mÃn tính chất (*).

Chứng minh.

Gọi

(R, m) là miền Noether địa phương chiều 2 được xây

dựng bới D. Ferrand và M. Raynaud [FR] thoả m·n tÝnh chÊt tån t¹i mét
1
q ∈ Ass R víi dim R/q = 1. Khi đó Hm (R) là
1
môđun Artin và ta có đẳng cấu các Rmôđun Hm (R) Hm (R). Theo
= 1

iđêan nguyên tố nhúng

[BS, 11.3.3]) ta suy ra

1
q ∈ AttR Hm (R) . Theo Bỉ ®Ị 2.1.3 ta suy ra

1
q ∩ R ∈ AttR Hm (R) . Chó ý r»ng Ass R = {p ∩ R : p Ass R} (xem

[Mat, Định lí 12]). Vì thế ta cã

q ∩ R ∈ Ass R. Do R lµ miền nguyên nên

1
Ass R = {0}. Do đó 0 = q ∩ R ∈ AttR (Hm (R)). V× thÕ
1

AnnR Hm (R) =

p ⊆ q ∩ R = 0.
1
p∈AttR (Hm (R))

Chän

1
A = Hm (R). Khi đó A là Rmôđun Artin. Lấy tuỳ ý một iđêan

nguyên tố

p của R sao cho p = 0 và p = m. Ta đà chứng minh ở trên rằng

AnnR A = 0. Do đó p AnnR A. LÊy 0 = x ∈ p. XÐt d·y khíp
x

0 −→ R −→ R −→ R/xR −→ 0.
D·y nµy cảm sinh dÃy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương
x

0
1
1
0 Hm (R/xR) Hm (R) Hm (R).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

24Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và môdun Artin tựa không trộn lẫn

24
0
Suy ra Hm (R/xR)

∼ 0 :H 1 (R) x = 0 :A x. Vì H 0 (R/xR) là Rmôđun có
=
m
m

độ dài hữu hạn nên 0 :A
và do đó

x có độ dài hữu hạn. Do x p nên 0 :A p 0 :A x

0 :A p có độ dài hữu hạn. Vì thế AnnR 0 :A p là iđêan

mnguyên sơ, điều nµy chøng tá Ann(0 :A p) = p VËy A không thoả
mÃn tính chất (*).
Có thể chỉ ra

1
1
N-dim Hm (R) = 1 vµ dim(R/ AnnR Hm (M )) = 2, trong

đó R là miền nguyên Noether trong ví dụ trên. Do đó tồn tại những môđun
Artin

A sao cho N-dimR A < dim(R/ AnnR A). Kết quả sau đây chỉ ra

rằng điều kiện (*) là đủ để các khái niệm chiều này là trùng nhau.
2.3.3 Bổ đề.

Nếu

A thoả mÃn điều kiện (*) thì
dim(R/ AnnR A) = N-dimR A.

Chứng minh.

số của

Giả sử

N-dimR A = s. Gäi (x1 , . . . , xs ) là một hệ tham

A. Đặt I = (x1 , . . . , xs )R. Ta cã

R (0

:A I) < ∞, v× thÕ

dim R/ AnnR (0 :A I) = 0. Ta cã
Rad AnnR (0 :A I) ⊇ Rad I + AnnR A .
Vì

A thoả mÃn điều kiện (*) nªn AnnR (0 :A I) ⊆ AnnR (0 :A p) = p với

mọi iđêan nguyên tố

p chứa I + AnnR A. V× thÕ

Rad AnnR (0 :A I) = Rad I + AnnR A .
Suy ra

0 = dim R/ AnnR (0 :A I) = dim R/(I + AnnR A)
≥ dim(R/ AnnR A) − s.
Do ®ã

dim(R/ AnnR A)

N-dimR A

s = N-dimR A. Theo Bỉ ®Ị 2.2.8 ta ®· cã

dim(R/ AnnR A).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




25Trần Văn Hải - Về tính Catenary của vành Noether địa phương và mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn

25
Chó ý rằng mỗi

R-môđun Artin đều thoả mÃn điều kiện (*). Vì thế ta

có ngay kết quả sau.
2.3.4 Bổ đề.

Với mỗi

R-môđun Artin A ta cã

N-dimR A = dim(R/ AnnR A)
= max{dim(R/p) | p AttR A}.
Giả sử

M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi ®ã ta cã
Supp M = {p ∩ R | p Supp M }.

Vì

M là hữu hạn sinh nên Supp M = Var(AnnR M ). Tương tự, vì M

là

R-môđun hữu hạn sinh nên Supp M = Var(AnnR M ). Do đó từ đẳng

thức trên ta suy ra

Var(AnnR M ) = {p ∩ R | p ∈ Var(AnnR (M )}.
Vì thế, chúng ta hỏi rằng liệu đẳng thức tương tự sau đây có xảy ra cho
các

R-môđun Artin A
Var(AnnR A) = {p ∩ R | p ∈ Var(AnnR A}.

Nh×n chung, đẳng thức này không xảy ra, nó được thể hiện qua câu trả lời
trong kết quả sau đây.
2.3.5 Mệnh đề.
i)
ii)

Các điều kiện sau là tương đương:

A thoả mÃn tính chất (*).
Var(AnnR A) = {p ∩ R | p ∈ Var(AnnR A)}.

Chứng minh.

(i)(ii). Cho

p Var(AnnR A). Khi đó tồn tại một iđêan

nguyên tố tối thiểu q chứa AnnR A sao cho p
tối thiểu chứa
Artin

q. Vì mỗi iđêan nguyên tố

AnnR A đều là một iđêan nguyên tố gắn kết của R-môđun

A nên q AttR A. Chú ý rằng
AttR A = {p ∩ R | p ∈ AttR A}.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên