ứng dụng mô hình chuỗi thời gian mờ bậc cao trong dự báo

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN





TRẦN THANH THƢƠNG





ỨNG DỤNG MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN MỜ BẬC CAO
TRONG DỰ BÁO

CHUYÊN NGÀNH: KHOA HỌC MÁY TÍNH
MÃ SỐ: 60 48 01






LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN CÔNG ĐIỀU









THÁI NGUYÊN - 2010
i

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
MỤC LỤC i
DANH MỤC BẢNG BIỂU, HÌNH VẼ iii
MỞ ĐẦU 1
CHƢƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ CHUỖI THỜI GIAN 3
1.1. Chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên 3
1.1.1. Khái niệm chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên 3
1.1.2. Quá trình ngẫu nhiên dừng 4
1.1.3. Hàm tự tương quan 5
1.1.4. Toán tử tiến, toán tử lùi 5
1.2. Quá trình ARMA 6
1.2.1. Quá trình tự hồi quy 6

1.2.2. Quá trình trung bình trượt 8
1.2.3. Quá trình tự hồi quy trung bình trượt 9
1.3. Ƣớc lƣợng tham số mô hình ARMA 11
1.4. Những hạn chế của mô hình ARMA trong chuỗi thời gian tài chính 12
CHƢƠNG 2 LÝ THUYẾT TẬP MỜ 17
2.1. Lý thuyết tập mờ 17
2.1.1. Tập mờ 17
2.1.2. Các phép toán trên tập mờ 19
2.2. Các quan hệ và suy luận xấp xỉ, suy diễn mờ 22
ii

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
2.2.1. Quan hệ mờ 22
2.2.2. Suy luận xấp xỉ và suy diễn mờ 23
2.3. Hệ mờ 25
2.3.1. Bộ mờ hoá 25
2.3.2. Hệ luật mờ 26
2.3.3. Động cơ suy diễn 26
2.3.4. Bộ giải mờ 27
2.3.5. Ví dụ minh họa 28
CHƢƠNG 3 30
MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN MỜ BẬC CAO VÀ ỨNG DỤNG 30
3.1. Chuỗi thời gian mờ 30
3.1.1. Khái niệm 30
3.1.2. Một số định nghĩa liên quan đến chuỗi thời gian mờ 30
3.2. Một số thuật toán trong mô hình chuỗi thời gian mờ 31
3.2.1. Một số thuật toán bậc một (thuật toán cơ sở) 31
3.2.2. Một số thuật toán bậc cao 33
3.3. Ứng dụng trong dự báo 40
3.3.1. Ứng dụng thuật toán bậc cao mới 40

3.3.2. Ứng dụng thuật toán bậc cao của Singh 55
3.3.3. Ứng dụng cải biên thuật toán bậc cao của Singh 62
KẾT LUẬN 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO 73
PHỤ LỤC 75

iii

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
DANH MỤC BẢNG BIỂU, HÌNH VẼ

Hình 1.1 Chuỗi giá 12
Hình 1.2 Chuỗi tăng trƣởng 12
Hình 1.3 Tự tƣơng quan của chuỗi tăng trƣởng 13
Hình 1.4 Tự tƣơng quan riêng của chuỗi tăng trƣởng 13
Hình 1.5 Bình phƣơng chuỗi tăng trƣởng 14
Hình 1.6 Tự tƣơng quan của bình phƣơng chuỗi tăng trƣởng 14
Hình 1.7 Tự tƣơng quan riêng của bình phƣơng chuỗi tăng trƣởng 14
Hình 1.8 Nhiễu 15
Hình 1.9 Tự tƣơng quan của nhiễu 15
Hình 1.10. Tự tƣơng quan riêng của nhiễu 15
Hình 1.11. Bình phƣơng nhiễu 16
Hình 1.12 Tự tƣơng quan bình phƣơng nhiễu 16
Hình 1.13 Tự tƣơng quan riêng bình phƣơng nhiễu 16
Hình 2.1. Hàm liên thuộc của tập mờ “x gần 1” 18
Hình 2.2. Một số dạng hàm liên thuộc của tập mờ 18
Bảng 2.1: Các cặp T - chuẩn và T - đối chuẩn 21
Bảng 2.2. Một số phép kéo theo mờ thông dụng 22
Hình 2.3. Minh hoạ các phƣơng pháp giải mờ 29
Bảng 3.1. Giá trị chỉ số chứng khoán Đài Loan 40

Bảng 3.2. Phân bố giá trị trong từng khoảng 41
Bảng 3.3. Phân khoảng 41
Bảng 3.4. Nhóm mối quan hệ mờ 42
Bảng 3.5. Mối quan hệ mờ và nhóm quan hệ mờ bậc cao 44
Bảng 3.6. Kết quả dự báo của các phƣơng pháp khác nhau 45
Bảng 3.7. Chuỗi thời gian mờ và kết quả dự báo dự báo 45
Bảng 3.8. Giá trị nhiệt độ Hà Nội 46
Bảng 3.9. Phân bố giá trị trong từng khoảng 47
iv

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Bảng 3.10. Phân khoảng 47
Bảng 3.11. Nhóm mối quan hệ mờ 48
Bảng 3.12. Mối quan hệ mờ và nhóm quan hệ mờ bậc cao – kết quả dự báo 54
Hình 3.1. Đồ thị so sánh kết quả dự báo và giá trị thực 55
Bảng 3.13. Phân khoảng 56
Bảng 3.14. Các giá trị mờ hóa 57
Bảng 3.15. Kết quả dự báo 58
Hình 3.2. Đồ thị so sánh kết quả dự báo và giá trị thực 58
Bảng 3.16. Phân khoảng 59
Bảng 3.17. Các quan hệ mờ 60
Bảng 3.18. Kết quả dự báo 61
Bảng 3.19. Phân bố giá trị trong từng khoảng 63
Bảng 3.20. Phân khoảng 63
Bảng 3.21. Các giá trị mờ hóa 64
Bảng 3.22. Kết quả dự báo 65
Bảng 3.23. Phân bố giá trị trong từng khoảng 67
Bảng 3.24. Phân khoảng 68
Bảng 3.25. Các giá trị mờ hóa 69
Bảng 3.26. Kết quả dự báo 70

Hình PL.1. Giao diện chƣơng trình 75
Hình PL.2. Test chƣơng trình 75
Hình PL.3. Dự báo chỉ số chứng khoán theo thuật toán nguyên thủy của Singh 76
Hình PL.4. Dự báo nhiệt độ theo thuật toán nguyên thủy của Singh 76
Hình PL.5. Dự báo chỉ số chứng khoán theo thuật toán Singh cải biên 77
Hình PL.6. Dự báo nhiệt độ theo thuật toán Singh cải biên 77
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
MỞ ĐẦU
Chuỗi thời gian đang đƣợc sử dụng nhƣ một công cụ hữu hiệu để phân tích số liệu
trong kinh tế, xã hội cũng nhƣ trong nghiên cứu khoa học. Chính do tầm quan trọng
của phân tích chuỗi thời gian, rất nhiều tác giả đã đề xuất các công cụ phân tích chuỗi
thời gian để trích xuất ra những thông tin quan trọng từ trong các dãy số liệu.
Trƣớc đây, phƣơng pháp chủ yếu để phân tích chuỗi thời gian là sử dụng các công
cụ của thống kê nhƣ hồi qui, phân tích Fourie và một vài công cụ khác. Nhƣng hiệu
quả nhất và đƣợc sử dụng chủ yếu để dự báo chỗi thời gian là phƣơng pháp đƣợc Box
và Jenkins xây dựng từ những năm 70 của thế kỷ trƣớc. Đó là mô hình ARMA. Tuy
nhiên mô hình ARMA chỉ thích ứng hầu hết cho chuỗi thời gian dừng và tuyến tính,
chính vì vậy những chuỗi thời gian biến thiên nhanh hoặc chuỗi số liệu lịch sử ngắn
cho kết quả chƣa chính xác. Chuỗi thời gian trong kinh tế do đặc điểm phát triển kinh
tế phụ thuộc rất nhiều vào các yếu tố khác nhau nên có nhiều biến thiên và mang tính
phi tuyến. Chính vì vậy mô hình ARMA không thể xử lý tốt trong lĩnh vực kinh tế.
Để vƣợt qua đƣợc những khó khăn trên, gần đây nhiều tác giả đã sử dụng mô hình
chuỗi thời gian mờ. Khái niệm tập mờ đƣợc Zadeh đƣa ra từ năm 1965 và ngày càng
tìm đƣợc ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau nhất là trong điều khiển và trí tuệ
nhân tạo. Chuỗi thời gian mờ và mô hình chuỗi thời gian mờ bậc nhất đƣợc Song và
Chissom phát triển từ năm 1993, Song và Chissom đã đƣa ra khái niệm chuỗi thời gian
mờ không phụ thuộc vào thời gian (chuỗi thời gian dừng) và phụ thuộc vào thời gian
(không dừng) để dự báo. Chen đã cải tiến và đƣa ra phƣơng pháp mới đơn giản và hữu
hiệu hơn so với phƣơng pháp của Song và Chissom. Trong phƣơng pháp của mình,

thay vì sử dụng các phép tính tổ hợp Max-Min phức tạp, Chen đã tính toán bằng các
phép tính số học đơn giản để thiết lập các mối quan hệ mờ. Phƣơng pháp của Chen cho
hiệu quả cao hơn về mặt sai số dự báo và giảm độ phức tạp của thuật toán.
Từ các công trình ban đầu về chuỗi thời gian mờ đƣợc xuất hiện năm 1993, hiện
nay mô hình này đang đƣợc sử dụng để dự báo trong rất nhiều lĩnh vực của kinh tế hay
xã hội nhƣ giáo dục để dự báo số sinh viên nhập trƣờng hay trong lĩnh vực dự báo thất
nghiệp, dân số, chứng khoán và trong đời sống nhƣ dự báo mức tiêu thụ điện, hay dự
báo nhiệt độ của thời tiết… Tuy nhiên xét về độ chính xác của dự báo, các thuật toán
trên cho kết quả chƣa cao. Trong những năm gần đây, một số tác giả đã sử dụng nhiều
kỹ thuật khác nhau để tìm mô hình hữu hiệu cho chuỗi thời gian mờ. Những kỹ thuật
trong lý thuyết tính toán mềm, khai phá dữ liệu, mạng nơ ron và các giải thuật tiến hoá
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
đều đƣợc đƣa vào sử dụng. Một số tác giả sử dụng phƣơng pháp phân cụm nhƣ công
trình của Chen et al trong tập thô hay sử dụng khái niệm tối ƣu đám đông nhƣ trong
các công trình để xây dựng các thuật toán trong mô hình chuỗi thời gian mờ. Ngoài ra,
một số tác giả khác đã sử dụng thêm thông tin khác trong chứng khoán để dự báo
chính xác hơn các chỉ số chứng khoán. Một trong các hƣớng đƣợc phát triển là sử
dụng mối quan hệ mờ bậc cao trong mô hình chuỗi thời gian mờ. Chen tiếp tục là
ngƣời đi đầu khi xây dựng đƣợc thuật toán để xử lý mối quan hệ mờ bậc cao. Sau đó
hƣớng này đƣợc một số tác giả khác tiếp cận và ứng dụng trong các công trình của
mình. Riêng Singh đã xây dựng mô hình chuỗi thời gian mờ bậc cao bằng cách mở
rộng thuật toán đơn giản của mình xây dựng trong các công trình trƣớc đây.
Nhƣ đã trình bầy ở trên, mô hình chuỗi thời gian mờ đang có nhiều ứng dụng trong
công tác dự báo. Tuy nhiên kết quả dự báo của các phƣơng pháp đề xuất còn chƣa cao.
Do đó việc tìm tòi các mô hình có độ chính xác cao hơn và thuật toán đơn giản hơn
đang là một ƣu tiên. Với mục tiêu tìm hiểu về việc sử dụng mô hình chuỗi thời gian
trong dự báo, đặc biệt là việc sử dụng mô hình chuỗi thời gian mờ bậc cao, em đã lựa
chọn đề tài “Ứng dụng mô hình chuỗi thời gian mờ bậc cao trong dự báo” làm đề tài
cho luận văn tốt nghiệp của mình.

Nội dung chính của luận văn là tìm hiểu, nghiên cứu những khái niệm, tính chất
và một số thuật toán trong mô hình chuỗi thời gian mờ bậc cao để ứng dụng dự báo chỉ
số chứng khoán Đài Loan và dự báo nhiệt độ tại Hà Nội đƣợc trình bày trong 3 chƣơng
nhƣ sau:
Chƣơng 1: Các kiến thức cơ bản về chuỗi thời gian.
Chƣơng 2: Lý thuyết tập mờ.
Chƣơng 3: Mô hình chuỗi thời gian mờ bậc cao và ứng dụng.
Luận văn này đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của TS Nguyễn
Công Điều, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối với thầy. Tác giả
xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo Viện Công nghệ thông tin, Khoa Công nghệ
thông tin - Đại học Thái Nguyên đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ em trong suốt qúa
trình học tập nâng cao trình độ kiến thức. Tuy nhiên vì điều kiện thời gian và khả năng
có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong các thầy
cô giáo và bạn đóng góp ý kiến để đề tài đƣợc hoàn thiện hơn.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
CHƢƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ CHUỖI THỜI GIAN

Chƣơng 1 giới thiệu các kiến thức cơ bản về chuỗi thời gian và trọng tâm là
trình bầy về một lớp mô hình chuỗi thời gian hết sức thông dụng trong thực tế. Đó là
mô hình quy trình trƣợt ARMA (Autoregressive Moving Average). Bao gồm các nội
dung: đặc trƣng của quá trình ARMA, phƣơng pháp ƣớc lƣợng tham số của lớp mô
hình này và hạn chế của nó khi áp dụng với chuỗi thời gian tài chính.
1.1. Chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên
1.1.1. Khái niệm chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên
Một chuỗi thời gian là một dãy các giá trị quan sát X:={x
1
, x
2
,…… x

n
} đƣợc xếp
thứ tự diễn biến thời gian với x
1
là các giá trị quan sát tại thời điểm đầu tiên, x
2
là quan
sát tại thời điểm thứ 2 và x
n
là quan sát tại thời điểm thứ n.
Ví dụ: Các báo cáo tài chính mà ta thấy hằng ngày trên báo chí, tivi hay Internet
về các chỉ số chứng khoán, tỷ giá tiền tệ, chỉ số tiêu dùng đều là những thể hiện rất
thực tế của chuỗi thời gian.
Bƣớc đầu tiên của việc phân tích chuỗi thời gian là chọn một mô hình toán học
phù hợp với tập dữ liệu cho trƣớc X:={x
1
, x
2
,……… x
n
} nào đó. Để có thể nói về bản
chất của những quan sát chƣa diễn ra, ta giả thiết mỗi quan sát x
t
là một giá trị thể hiện
của biến ngẫu nhiên X
t
với t

T. Ở đây T đƣợc gọi là tập chỉ số. Khi đó ta có thể coi tập
dữ liệu X:={x

1
, x
2
,……… x
n
} là thể hiện của quá trình ngẫu nhiên X
t
, t

T. Và vì vậy,
ta có thể định nghĩa một quá trình ngẫu nhiên nhƣ sau:
Định nghĩa 1.1(Quá trình ngẫu nhiên)
Một quá trình ngẫu nhiên là một họ các biến ngẫu nhiên

X
t
, t

T

được định
nghĩa trên một không gian xác suất(

,

,

).
Chú ý:
Trong việc phân tích chuỗi thời gian, tập chỉ số T là một tập các thời điểm, ví dụ nhƣ

là tập {1,2 } hay tập (-,+). Cũng có những quá trình ngẫu nhiên có T không phải là một
tập con của R nhƣng trong giới hạn của luận văn nàychỉ xét cho trƣờng hợp TR. Và
thƣờng thì ta xem T là các tập các số nguyên, khi đó ta sẽ sử dụng ký hiệu tập chỉ số là Z
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
thay vì T ở trên. Một điểm chú ý nữa là trong luận văn này sẽ dùng thuật ngữ chuỗi thời
gian để đồng thời chỉ dữ liệu cũng nhƣ quá trình có dữ liệu đó là một thể hiện.
1.1.2. Quá trình ngẫu nhiên dừng
Định nghĩa 1.2 (Hàm tự hiệp phƣơng sai)
Giả sử

X
t
, t

Z

là một quá trình ngẫu nhiên có var(X
t
)<

với mỗi t

Z. Khi
đó hàm tự hiệp phương sai của X
t
được định nghĩa theo công thức sau:
)],
s
X)(

r
X[(),cov(:),( E
s
XE
r
XE
s
X
r
Xsr
x


với r, s

Z.
Định nghĩa 1.3 (Quá trình dừng)
Chuỗi thời gian

X
t
, t

Z

được gọi là dừng nếu nó thoả mãn 3 điều kiện sau:
-
ZtE  ,X
2
t

-
ZtmE  ,X
t

-
Zsrttstrsr
xx
 ,,),,(),(


Định lý 1.1
Nếu

X
t
, t

Z

là một quá trình dừng, và nếu như a
t


R, i

Z thoả mãn điều
kiện




i
i
a
thì hệ thức
ZtaY
i
it




,X:
i-t
sẽ định nghĩa một quá dừng.
Chú ý: Cũng có tài liệu gọi “dừng” theo nghĩa trên là dừng yếu, dừng theo
nghĩa rộng hay dừng bậc hai. Tuy nhiên trong giới hạn luận văn chỉ xem xét tính dừng
theo định nghĩa ở trên.
Khi chuỗi thời gian

X
t
, t

Z

là dừng thì
,,),0,(),( Zsrsr
x
sr

x
y 


Và vì vậy, với một quá trình dừng thì có thể định nghĩa lại hàm tự hiệp phƣơng
sai bằng cách chỉ thông qua hàm một biến. Khi đó, với quá trình dừng

X
t
, t

Z

ta có:
Zht
t
X
ht
XCovh
x
h
x
y 

 ,),,()0,()(


Hàm số
(.)
x

y
đƣợc gọi là hàm tự hiệp phƣơng sai của X
t
, còn 
x
(h)là giá trị
của nó tại “trễ” h. Đối với một quá trình dừng thì ta thƣờng ký hiệu hàm tự hiệp
phƣơng sai bởi (.) thay vì 
x
(.).
Với một quá trình dừng thì hàm hiệp phƣơng sai có các tính chất
(0)  0, (h)(0), hZ
Và nó còn là một hàm chẵn nghĩa là:
(h) = (-h),hZ.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1.1.3. Hàm tự tương quan
Định nghĩa 1.4
Hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên

X
t
, t

Z

được định nghĩa tại
trễ h như sau:

(h): = (h)/(0):=corr(X

t+h
,X
t
), t, hZ
Chú ý:
Trong thực tế, ta chỉ quan sát đƣợc một thể hiện hữu hạn X:={x
t
, t = 1,2,…n}
của một chuỗi thời gian dừng nên về nguyên tắc ta không thể biết chính xác đƣợc các
hàm tự hiệp phƣơng sai của chuỗi thời gian đó, muốn ƣớc lƣợng nó ta đƣa vào khái
niệm hàm tự hiệp phƣơng sai mẫu của thể hiện X.
Hàm tự hiệp phƣơng sai mẫu của một thể hiện X đƣợc định nghĩa bởi công
thức:
nhx
hj
xx
hn
j
j
xnnhc 






 0),)(
1
(
11

:)(

Và
,0),(:)(  hnhchc
trong đó




n
j
j
xnx
1
1
là trung bình mẫu.
Khi đó thì hàm tƣơng tự tƣơng quan mẫu cũng định nghĩa thông qua hàm tự
hiệp phƣơng sai mẫu nhƣ sau:
( ): ( ) / (0), .r h c h c h n

1.1.4. Toán tử tiến, toán tử lùi
Toán tử lùi B kết hợp với một quá trình ngẫu nhiên

X
t
, t

Z

là quá trình

ngẫu nhiên

Y
t
, t

Z

sao cho
1
::


ttt
XBXY

Toán tử lùi B là toán tử tuyến tính và khả nghịch. Nghịch đảo của nó
B
-1
:=F đƣợc gọi là toán tử tiến, định nghĩa bởi công thức:
FX
t :=
X
t+1
Các toán tử B, F thoả mãn hệ thức
B
n
X
t
= X

t-n,
F
n
X
t :=
X
t+n
Và
i-t
X
0
t
X
0













n
i
i

a
n
i
i
B
i
a

6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Chú ý:
Một cách tổng quát, ngƣời ta có thể định nghĩa các chuỗi theo toán tử tiến F hay
toán tử lùi B và muốn thế cần hạn chế trong trƣờng hợp các quá trình là dừng. Khi đó,
giả sử ta có quá trình dừng

X
t
, t

Z

và một dãy {a
i
,iZ tuyệt đối khả tổng, tức là



i
i
a

, thì theo định lý 1.1, quá trình
ZtXaY
it
i
it





,:
cũng là quá trình
dừng. Ta ký hiệu
i
i
i
Ba



là ánh xạ đặt tƣơng ứng quá trình dừng

X
t
, t

Z

với quá
trình dừng


Y
t
, t

Z

. Các chuỗi theo B khi đó sẽ có những tính chất cho phép ta xử lý
nó tƣơng tự nhƣ đối với chuỗi nguyên thông thƣờng. Đặc biệt ta có thể thực hiện phép
cộng, phép nhân hay phép lấy nghịch đảo. Điều này có vai trò quan trọng trong các
phép biến đổi của đa thức tự hồi quy, đa thức trung bình trƣợt và các phép biến đổi xử
lý chuỗi thời gian khác.
1.2. Quá trình ARMA
1.2.1. Quá trình tự hồi quy
Định nghĩa 1.5 (Quá trình ồn trắng)
Quá trình ngẫu nhiên

t,
t

Z

được gọi là một ồn trắng, ký hiệu

WN(0,

2
),
khi nó thoả mãn các điều kiện sau:
E


t

s
= 0 (t s)

22


t
E


0,Et
t



Định nghĩa 1.6 (Quá trình tự hồi quy)
Người ta gọi quá trình ngẫu nhiên

X
t
, t

Z

là một quá trình tự hồi quy cấp P,
viết là X
t


AR(p), là một quá trình dừng {X
t
, t

Z} thoả mãn
X | 0
1 1 2 2 t-p
a X a X a a
t t p t p
X
t

     

.
với {

} là một ồn trắng.
Ta có thể viết biểu thức của quá trình tự hồi quy ở trên bởi công thức
X | 0,
1 1 2 2 t-p
a X a X a a
t t p t p
X
t

    



Hay ở dạng toán tử

ở đây a(z) đƣợc gọi là đa thức hồi quy.
2
( ): 1
12
a
p
z a z a z a z
p
     
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Chú ý:
Nếu đa thức a(z) ở trên có nghiệm nằm ngoài đĩa tròn đơn vị
)1( z
thì
X
t
đƣợc gọi là quá trình nhân quả tự hồi qui cấp p và nói chung ta chỉ xét các quá trình
nhân quả.
Các đặc trƣng của quá trình tự hồi quy cấp p:
- E(X
t
) = 0
-




p
t
i
ia
1
2
|)()0(


-
0,0)(
1
)( 


 hih
p
i
i
ah


Lần lƣợt cho h = 1,2,….p ta đƣợc


















p
p
a
a
a
a
1
2
1
=


















)(
)1(

)2(
)1(
p
p






Hệ phƣơng trình gọi là hệ phƣơng trình Jule – Walker, song tuyến đối với a và

.
Nghĩa là nếu cho

ta sẽ tính đƣợc a và ngƣợc lại cho a ta cũng sẽ tính đƣợc

.
Trong hệ phƣơng trình Jule – Walker, nếu ta đặt 
pi

= a
i
, i =1,…p thì hệ phƣơng trình
Jule – Walker tƣơng đƣơng với
pjpjj
p
, ,1),()(
1



Đại lƣợng 
pp
ở trên đƣợc gọi là tự tƣơng quan riêng cấp p của quá trình {X
t
, nó
đóng vai trò rất quan trọng trong việc xác định bậc của quá trình tự hồi quy cũng nhƣ
việc ƣớc lƣợng tham số mô hình tự hồi quy sau này.
Trong việc thực tế, khi cho chuỗi quan sát X:=x
1
, t = 1,2…,n thì ta dùng công
thức của tƣơng quan mẫu để tính các r(i), là các giá trị xấp xỉ của

(i). Khi đã có các tự
tƣơng quan mẫu ta thay vào hệ phƣơng trình Jule – Walker và giải nó để tìm các tham
số a
1
. Từ đây ta cũng xác định đƣợc tƣơng quan riêng

p1

….,

pp.
1

(1) ….

(p-2)

(p-1)
(1) 1 ….

(p-3)

(p-1)
…. …. …. … …

(p-2)….

(p-3) 1

(1)

(p-1)

(p-2)

(1) 1

8

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1.2.2. Quá trình trung bình trượt
Định nghĩa1.7 (Quá trình trung bình trƣợt)
Một quá trình trung bình trượt cấp q, ký hiệu X
t


MA(q), là một quá trình

X
t
,
t

Z

thoả mãn biểu thức
0,, ,
21
,
111





q
bR
q
bbb

qt
q
b
t
b
t
X


với

t

là một ồn trắng.
Ta cũng có thể viết biểu thức trung bình trƣợt ở trên dƣới dạng toán tử lùi
tƣơng tự nhƣ đối với quá trình tự hồi quy nhƣ sau :
X
t
= b(B)

t,
Trong đó hàm b(.) định nghĩa bởi
b(z) : = 1+b
1
z+…+b
q
z
q.
Ở đây b(z) đƣợc gọi là đa thức trung bình trƣợt.
Chú ý:

Khác với quá trình AR, biểu thức trên luôn xác định duy nhất một quá trình MA
mà không đòi hỏi thêm điều kiện gì đối với các hệ số b
1
. Và với giả thiết 
t
là ồn trắng
thì theo định lý 1.1 ta có
b(z)

(z) = 1.
Và khi đó 
1
có thể biểu diễn dƣới dạng













j
j
j
z

j
j
z
j
jt
X
j
t

;)(;

Một chú ý nữa, cũng giống nhƣ trƣờng hợp AR, nếu đa thức trung bình trƣợt
b(z) không có nghiệm có môđun bằng 1 thì ta có thể biểu diễn X
t
dƣới dạng sau:






 j
jtjt
j
jt
XX

;
1

Và có thể xác định
i

bằng cách chia 1 (theo luỹ thừa tăng) cho b(z),
)1(
0


.
Khi quá trình
t
X
có thể biểu diễn ở dạng trên, tức là khi b(z) chỉ có nghiệm có
môđun lớn hơn 1 thì ta nói
t
X
là một quá trình khả nghịch. Và từ nay về sau, nếu
không nói gì thêm thì khi nói về các quá trình AR và MA thì sẽ đƣợc hiểu đó là các
quá trình nhân quả và khả nghịch.
Các đặc trƣng của quá trình trung bình trƣợt:
Trƣớc hết, dễ dàng thấy rằng
0EX
t

,
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Và
2
,

2
( ) , ;1
1
0,
st
E X b s t i i q
tt
s






    






Mặt khác
có:

Từ đó suy ra
2
( ) ( ), : 1;1
1 1 0
( ) 0,
h b b b b b b h q

h h q h q
h h q


      








Đặc biệt có
2 2 2
γ(0):=varX =σ (1+b + +b )
t 1 q

Từ công thức hiệp sai của quá trình trung bình trƣợt suy ra công thức của tự tƣơng
quan nhƣ sau:

1
1
, 1,2
22
1
()
1
0, .
b b b b b

q
h h q h
hq
bb
h
q
hq

   





  







1.2.3. Quá trình tự hồi quy trung bình trượt
Định nghĩa 1.8 (quá trình tự hồi quy trung bình trƣợt)
Một quá trình

X
t
, t


Z

được gọi là quá trình tự hồi quy trung bình trượt cấp
p,q, kí hiệu
t
X

ARMA(p,q) là một quá trình

X
t
, t

Z

thỏa mãn
0,0,, ,
2
,
1
,,
2
,
1
,

11

11











q
b
p
aR
q
bbb
p
aaa
qt
q
b
t
b
tpt
X
p
a
t
Xa
t
X




Trong đó
t

là ồn trắng, a(.) và b(.) lần lƣợt là đa thức tự hồi quy và đa thức
trung bình trƣợt có bậc tƣơng ứng là p và q:
( ): 1
1
p
a z a z a z
p
   

( ): 1
1
q
b z b z b z
q
   

Khi đó ta có thể viết quá trình ARMA ở dạng toán tử nhƣ sau:
( ) ( )a B X b B
tt



) ( ( ))
1 1 1 1

( ): (X X E X b b
t t h t t h h q h q
hE
  
  
     

10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Định nghĩa 1.9 (Quá trình nhân khả nghịch)
Một quá trình ARMA(p,q) đƣợc gọi là một quá trình nhân quả và khả nghịch
nếu có là một quá trình ARMA(p,q) có a(z) và b(z) thỏa mãn hai điều kiện:
i) a(z) và b(z) không có nghiệm chung
ii) a(z) và b(z) không có nghiệm có môđun không vƣợt quá 1
Chú ý:
Do tính nhân quả và khả nghịch cộng với tính chất khả đảo của đa thức
toán tử, ta có thể biểu diễn một quá trình
, 1; .
0
01
X
t
i t i i
ii
   

   




Và có thể tính các hệ số
t

bằng cách chia theo lũy thừa tăng a(z) cho b(z).
Các đặc trƣng của quá trình ARMA:
Trƣớc hết ta có
) ( ) ( ) ( )

1
11
( ) (
pq
a h i h b h i
i
XX
ti
h E X X
t
th
  


    





Với

( ): (
.
k E X
t
X
tk





Mặt khác ta có thể biểu diễn
0
X
i
t k t k i
i




  


Và ta có



Lần lƣợt cho h = 0,1, p trong các chƣơng trình trên và chú ý đến tính chẵn của hàm
(h) ta có hệ phƣơng trình tuyến tính đối với (0), , (p) hay với

).(), 1( p





p
i
i
qhihah
1
),()(


Và vì thế
( ) ( ), .
1
p
h a h i h q
i
i

  













0,
2
0,0
)(
.
k
k
k
k
Xe



11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1.3. Ƣớc lƣợng tham số mô hình ARMA
Giả sử ta cần ƣớc lƣợng các tham số của mô hình ARMA(p,q)
| , , , , , , , , 0, 0,
1 1 2 1 2

1 1 1
b a a a b b b R a b
q p q p q
tq
t

X a X a X b
p
t t p t
t

    


    



trong đó
t

đóng vai trò là sai số.
Đối với mô hình ARMA cũng có nhiều phƣơng pháp ƣớc lƣợng tham số hiệu
quả và đƣợc nêu ra chi tiết trong P.Brockwell, R. David, 2001. Một trong số đó là
phƣơng pháp bình phƣơng cực tiểu theo kiểu thuật toán Hannan – Rissanen. Ý tƣởng
của thuật toán này là sử dụng hồi quy tuyến tính để ƣớc lƣợng các tham số. Nếu q>0 ta
còn phải ƣớc lƣợng các giá trị chƣa biết
t

.
Thuật toán Hannan – Rissanen
Bƣớc 1:
Dùng ƣớc lƣợng Yule Walker để ƣớc lƣợng các tham số mô hình AR(m), với
m >
max(p,q).

Bƣớc 2:
Ƣớc lƣợng vecto tham số
( , , , , )
11
t
a a b b
pq


trên cơ sở cực tiểu hóa hàm
2
( ) ( ) .
1 1 2 2 1 2
1
n
S x a x a x a x b b theo
pq
t t p t q
t t t
t m q
   
       


  
  


Giải hệ Gauss-Markov, kết quả thu đƣợc ở dạng sau:
1

( ) ,
tt
Z Z Z X
n





Ta cũng có thể dùng phƣơng pháp trực giao hóa Househoder để tìm.
Ở đây,
( , , )
1
X X X
nn
mq



Và

1 1 1 1

1 2 1 2


1 2 2 2
X X X
m q m q
m q m q p m q m

X X X
m q m q
m q m q p m q m
Z
X X X
n p n q
n n n n
  
  
  


       



       






   

     

Ƣớc lƣợng phƣơng sai
t


theo công thức
2
()
.
S
HR
n m q







, 1, , .
11
a X a X t m n
m
t t m t
t
X

     


12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1.4. Những hạn chế của mô hình ARMA trong chuỗi thời gian tài chính
Mô hình ARMA thu đƣợc thành công lớn khi áp dụng cho các chuỗi thời gian
xuất phát từ các lĩnh vực khoa học tự nhiên và kỹ thuật nhƣng thất bại khi áp dụng cho

các chuỗi thời gian kinh tế tài chính. Nguyên nhân chính là giả thiết về mặt toán học
phƣơng sai của các chuỗi thời gian tài chính không thay đổi theo thời gian là không
phù hợp. Và vì vậy mô hình ARMA có thể dự báo đƣợc kỳ vọng nhƣng thất bại khi dự
báo phƣơng sai của chuỗi thời gian tài chính. Sau đây ta sẽ xem xét một ví dụ cụ thể
để thấy rõ sự không phù hợp của mô hình ARMA đối với chuỗi thời gian tài chính.
Xét chuỗi số chuỗi số liệu NYSE chứa giá trị của chỉ số chứng khoán giao dịch
hằng ngày trên thị trƣờng NewYork từ tháng ngày 02/01/1990 đến ngày 31/12/2001.
Chuỗi gồm 3028 số liệu đƣợc lƣu dƣới tên file là NYSE.txt. Tuy nhiên thay vì trực
tiếp làm việc với chuỗi số liệu gốc, ta lấy logarit tự nhiên của chuỗi gốc rồi lấy lại sai
phân của nó để đƣợc một chuỗi mới mà trong lĩnh vực kinh tế tài chính ta gọi là chuỗi
tăng trƣởng. Từ số liệu ở trên, chuỗi giá và chuỗi tăng trƣởng đƣợc minh họa nhƣ sau:


Hình 1.1 Chuỗi giá

Hình 1.2 Chuỗi tăng trưởng
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Nhìn vào đồ thị của chuỗi giá, rõ ràng ta thấy nó không có tính dừng. Ngƣợc
lại, chuỗi tăng trƣởng có đồ thị rất giống với một quá trình dừng. Khi nhìn vào đồ thị
của chuỗi tăng trƣởng ta cũng thấy có xuất hiện những cụm biến động, có vùng biến
đổi về phƣơng sai của chuỗi thời gian. Tiếp theo ta sẽ khai thác đặc trƣng tƣơng quan
riêng mẫu của chuỗi tăng trƣởng ở trên.
Kết quả đƣợc minh họa bằng đồ thị sau:

Hình 1.3 Tự tương quan của chuỗi tăng trưởng

Hình 1.4 Tự tương quan riêng của chuỗi tăng trưởng
Ta thấy rằng tƣơng quan riêng của chuỗi tăng trƣởng biến đổi trong một khoảng
tƣơng đối hẹp khá giống với tự tƣơng quan riêng của một quá trình dừng. Tuy nhiên ta

lại không thấy đƣợc dấu hiệu triệt tiêu của tự tƣơng quan riêng mặc dù ta đã lấy đến trễ
100. Điều này cho thấy cho chuỗi tăng trƣởng chắc chắn không thể là một quá trình tự
hồi quy. Ta cũng biết rằng, về mặt lý thuyết có thể xấp xỉ mô hình AR nhiều tham số
bằng mô hình ARMA với ít tham số hơn. Điều này cũng cho thấy mô hình ARMA
nhiều khả năng không phù hợp với chuỗi tăng trƣởng của chúng ta.
Bây giờ ta lấy bình phƣơng chuỗi tăng trƣởng, kết quả cho bởi đồ thị dƣới đây
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

Hình 1.5 Bình phương chuỗi tăng trưởng
Nhìn vào đồ thị ta có thể ta có thể thấy đƣợc việc tạo thành các cụm biến động
trong đó các thời kỳ và biến động mạnh xen kẽ nhau. Ta tính tiếp các đặc trƣng mẫu
của bình phƣơng chuỗi tăng trƣởng. Kết quả đƣợc thể hiện bằng các đồ thị sau

Hình 1.6 Tự tương quan của bình phương chuỗi tăng trưởng

Hình 1.7 Tự tương quan riêng của bình phương chuỗi tăng trưởng
Mặc dù chuỗi tăng trƣởng ít tƣơng quan nhƣng bình phƣơng của nó lại thể hiện
sự tƣơng quan mạnh. Những dấu hiệu đó cho ta thấy rằng mô hình ARMA không thực
sự phù hợp với chuỗi thời gian qua sát này.
Bây giờ giả sử bằng cách nào đó ta tìm đƣợc mô hình ARMA gần nhất với
chuỗi quan sát và đó là mô hình ARMA(1,1). Mục đích ở đây là chúng ta sẽ thấy rõ
ràng sau khi ƣớc lƣợng, nhiễu thu đƣợc sẽ không phải là một ồn trắng nhƣ ta mong
muốn nữa. Thật vậy, kết quả ƣớc lƣợng theo mô hình ARMA(1,1) là
0.00049332y
tt



15

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

Nhiễu khi đó đƣợc tính toán và biểu diễn bởi đồ thị sau

Hình 1.8 Nhiễu
Khi đó tự tƣơng quan và tự tƣơng quan riêng của nhiễu cho bởi đồ thị dƣới đây

Hình 1.9 Tự tương quan của nhiễu

Hình 1.10. Tự tương quan riêng của nhiễu
Ban đầu, do tính ít tƣơng quan của nhiễu ƣớc lƣợng đƣợc nên ta thấy nó giống
với một quá trình ồn trắng. Tuy nhiên khi lấy bình phƣơng nhiễu ta lại thấy khác.
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

Hình 1.11. Bình phương nhiễu

Hình 1.12 Tự tương quan bình phương nhiễu

Hình 1.13 Tự tương quan riêng bình phương nhiễu
Rõ ràng là nhiễu có hiện tƣợng tạo cụm biến động giống nhƣ chuỗi tăng trƣởng
ban đầu. Còn khi nhìn vào đồ thị tự tƣơng quan của bình phƣơng nhiễu ta thấy nó thể
hiện sự tƣơng quan mạnh nên ta có thể kết luận rằng nhiễu không phải là một ồn trắng
nhƣ mong muốn. Và nhƣ vậy mô hình ARMA sẽ không phù hợp với chuỗi số liệu này.
Mặc dù mô hình ARMA tỏ ra không phù hợp với chuỗi thời gian tài chính
nhƣng những kỹ thuật mà nó cung cấp là một cơ sở rất quan trọng và mang lại nhiều
gợi ý cho các công trình nghiên cứu về chuỗi thời gian sau Box-Jenkins.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
CHƢƠNG 2 LÝ THUYẾT TẬP MỜ

Trong các bộ môn toán cơ bản, suy luận logic nguyên thuỷ hay logic rõ với
hai giá trị đúng/sai hay 1/0 đã rất quen thuộc. Tuy nhiên, các suy luận này không
đáp ứng đƣợc hầu hết các bài toán phức tạp nảy sinh trong thực tế nhƣ những bài
toán trong lĩnh vực điều khiển tối ƣu, nhận dạng hệ thống,… mà các dữ liệu không
đầy đủ, không đƣợc định nghĩa một cách rõ ràng. Trong những năm cuối thập kỷ
20, một ngành khoa học mới đã đƣợc hình thành và phát triển mạnh mẽ đó là hệ
mờ. Đây là hệ thống làm việc với môi trƣờng không hoàn toàn xác định, với các
tham số, các chỉ tiêu kinh tế kỹ thuật, các dự báo về môi trƣờng sản xuất kinh
doanh chƣa hoặc khó xác định một cách thật rõ ràng, chặt chẽ. Khái niệm logic mờ
đƣợc giáo sƣ Lofti A.Zadeh đƣa ra lần đầu tiên vào năm 1965 tại Mỹ. Từ đó lý
thuyết mờ đã đƣợc phát triển và ứng dụng rộng rãi.
Chƣơng này tập trung trình bày một số kiến thức cơ bản về hệ mờ có liên quan
tới mô hình chuỗi thời gian mờ sẽ đƣợc đề cập tới ở chƣơng sau.
2.1. Lý thuyết tập mờ
2.1.1. Tập mờ
Định nghĩa: Cho Ω( Ω ≠ ) là không gian nền, một tập mờ A trên Ω đƣợc xác
định bởi hàm thuộc (membership function):

A
: Ω [0,1]
0 

A
(x)  1

A
(x): Chỉ độ thuộc (membership degree) của phần tử x vào tập mờ A (để cho
đơn giản trong cách viết, sau này ta ký hiệu A(x) thay cho hàm


A
(x))
Khoảng xác định của hàm

A
(x) là đoạn [0,1], trong đó giá trị 0 chỉ mức độ
không thuộc về còn giá trị 1 chỉ mức độ thuộc về hoàn toàn.
Nhƣ vậy tập mờ A hoàn toàn xác định trên tập các bộ đôi:
A=

(x,

A
(x))

x

Ω


Nếu Ω =

x
1
,x
2
, ,x
n
,


là một tập hữu hạn và A là tập mờ xác định trên Ω thì
thông thƣờng ta có ký hiệu:
A =

1
/x
1
+

2
/ x
2
+ +

n


/ x
n

18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Ví dụ 1: Hàm liên tục của tập mờ A “tập các số thực gần 1” đƣợc định nghĩa nhƣ
sau:

A
(x) =
2
( 1)ax
e




Hình 2.1. Hàm liên thuộc của tập mờ “x gần 1”
Ví dụ 2: Một số dạng hàm liên thuộc liên tục khác
Triangle(x, a, b, c) = max(min(
)0),,1,
bc
xc
ab
ax





Trapezoid(x, a, b, c,d) = max(min(
)0),,1,
cd
xd
ab
ax





Gaussian(x,
,,c


)=
)
2
()
xc
e





Bell(x, a, b, c) =
b
a
cx
2
1
1




Hình 2.2. Một số dạng hàm liên thuộc của tập mờ
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
2.1.2. Các phép toán trên tập mờ
2.1.2.1 Phần bù của tập mờ
Định nghĩa 1: (Hàm phủ định): Hàm n: [0,1] không tăng thỏa mãn các điều
kiện n(0) = 1, n(1) = 0 đƣợc gọi là hàm phủ định (negation function).
Định nghĩa 2: (Phần bù của một tập mờ): Cho n là hàm phủ định, phần bù A

c

của tập mờ A là một tập mờ với hàm thuộc đƣợc xác định bởi:
A
c
(x) = n(A(x)), với mỗi x


2.1.2.2. Phép giao hai tập mờ
Định nghĩa 3 (T - chuẩn): Hàm T: [0,1]
2
 [0,1] là một T - chuẩn (phép hội)
khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện sau:
1. T(1, x) = x, với mọi 0  x  1.
2. T có tính giao hoán : T(x,y) = T(y,x), với mọi 0  x, y 1.
3. T không giảm: T(x,y)=T(u,v), với mọi x  u, y v.
4. T có tính kết hợp: T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),z), với mọi 0  x,y, z 1.
Ví dụ: T
1
(x,y)=min(x,y) là một T-chuẩn, thật vậy:
- T
1
(1,x)=min(1,x)=x, với mọi 0  x  1.
- T
1
có tính giao hoán: min(x,y)=min(y,x), với mọi 0  x, y 1.
- T
1
không giảm: min(x,y)<=min(u,v), với mọi x  u, y v.
- T1 có tính kết hợp: min(x,min(y,z))=min(min(x,y),z)= min(x,y,z), với

mọi 0  x, y, z 1.
Định nghĩa 4 (Phép giao hai tập mờ): Cho hai tập mờ A, B trên cùng không
gian nền  với hàm thuộc A(x), B(x) tƣơng ứng. Cho T là một T-Chuẩn. Phép giao
của hai tập mờ A,B là một tập mờ (ký hiệu (A
T
B)) trên  với hàm thuộc cho bởi
biểu thức:
(A
T
B)(x) = T(A(x), B(x)), với mỗi x  
Ví dụ:
- Với T(x,y)=min(x,y)ta có: (A
T
B)(x) = min(A(x),B(x))
- Với T(x,y) = x.y ta có (A
T
B)(x) = A(x).B(x) (tích đại số)
Ta có thể biểu diễn phép giao của hai tập mờ qua hai hàm T(x,y)=min(x,y)
và T(x,y) = x.y theo các đồ thị hình 1.3 sau đây:
- Hình a: Hàm thuộc của hai tập mờ A và B
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
- Hình b: Giao của hai tập mờ theo T(x,y)=min(x,y)
- Hình c: Giao của hai tập mờ theo T(x,y)=x.y
2.1.2.3. Phép hợp hai tập mờ
Định nghĩa 5 (T - đối chuẩn): Hàm S:[0,1]
2
đƣợc gọi là một T - đối chuẩn
(phép tuyển) nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1. S(0,x) = x, với mọi 0  x  1.

2. S có tính giao hoán : S(x,y)= S(y,x) với mọi 0  x, y  1.
3. S không giảm: S(x,y) = S(u,v), với mọi x  u, y  v.
4. S có tính kết hợp: S(x,S(y,z)) = S(S(x,y),z) với mọi 0  x, y, z1.
Định nghĩa 6 (phép hợp hai tập mờ): Cho hai tập mờ A, B trên cùng không
gian nền  với hàm thuộc A(x), B(x) tƣơng ứng. Cho S là một T - đối chuẩn. Phép
hợp của hai tập mờ A, B là một tập mờ (kí hiệu (A
S
B)) trên  với hàm thuộc cho
bởi biểu thức: (A
S
B)(x)=S(A(x),B(x)), với mỗi x
Ví dụ:
- Với S(x,y) = max(x,y): (A
S
B)(x)= max(A(x), B(x))
- Với S(x,y) = x + y – x.y: (A
S
B)(x)= A(x) + B(x) – A(x).B(x)
- Ta có thể biểu diễn phép hợp của hai tập mờ qua hai hàm
S(x,y)=max(x,y) và S(x,y)=x+y – x.y theo các đồ thị hình 2.4 sau đây:
- Hình a: Hàm thuộc của hai tập mờ A, B
- Hình b: Hợp của hai tập mờ theo S(x,y) = max(x,y)
- Hình c: Hợp của hai tập mờ theo S(x,y) = x + y – x.y
2.1.2.4. Luật De Morgan
Cho T là T - chuẩn, S là T - đối chuẩn và n là hàm phủ định mạnh. Khi
đó bộ ba (T, S, n) là bộ ba DeMorgan nếu:
n(S(x,y)) = T(n,(x),n(y))
Với phép phủ định n(n-1) = 1- x, chúng ta có một số cặp T-chuẩn và T-
đối chuẩn thoả mãn luật DeMorgan trong bảng 2.1.