sáng kiến kinh nghiệm cấp thành phố phát hiện quy luật dãy phân số để hình thành lời giải

Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc



Sơ yếu lí lịch
Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Mai Phơng
Ngày sinh : 19 / 3 /1981
Chức vụ : Giáo viên
Năm vào nghành : 2003

Trình độ chuyên môn : Đại học s phạm Toán

Bộ môn dạy : Toán

Đơn vị công tác : Trờng THCS Cao Viên - Thanh oai .
Khen thởng : Gii ba hi thi giỏo viờn gii cp thnh ph
năm học 2008 - 2009

Năm học 2008 -2009
Trang
1
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng


A. T VN
1- Tờn ti : Hớng dẫn học sinh :
Ph
át hiện quy luật của dãy phân số
để hình thành lời giải

2-

Lý do chọn đề tài :
* Trong quỏ trỡnh ging dy toỏn v bi dng học sinh khỏ , gii toỏn lớp 6 trong
chơng phân số tôi thấy HS khi gặp
mt s bi toỏn v phõn s l cỏc dóy s cú quy lut
th-
ờng rất lúng túng v
à không có định hớng lời giải ,
vic HS phỏt hin ra cỏc quy lut ca dóy
cỏc phõn s
để giải quyết bài toán cũng nh
m rng cỏc quy lut ú cho bi toỏn tng quỏt
cũn rt lỳng tỳng v hn ch .
Chính vì lý do đó qua quá trình giảng dạy , trao đổi với
đồng nghiệp tôi tự đúc rút ra kinh nghiệm và mạnh dạn viết đề tài này .

* Mt iu chc chn rng vic tỡm ra quy lut ca mi bi toỏn s kớch thớch hng
thỳ hc tp , úc sỏng to ca cỏc em , lm cho cỏc em khụng cm thy e ngi trc cỏc bi
toỏn dng ny na . T ú giỳp HS cú c s khoa hc khi phõn tớch , nh hng li gii
cho cỏc bi toỏn v dóy cỏc phõn s cú quy lut, . . Giỳp cỏc em cng c c nim tin v
yờu mụn toỏn hc hn .
Trong phạm vi bi vit về tính giá trị của dãy phân số có quy luật tôi chia làm 2
dng điển hình :
Dạng 1 : Dãy các phân số mà mỗi phân số có mẫu là tích của hai số tự nhiên phân biệt
khác 0
Dạng 2 : Dãy các phân số mà mỗi phân số có mẫu là luỹ thừa của một số tự nhiên
khác 0 , khác 1.
3- Đối tợng nghiên cứu và phạm vi áp dụng :
+ Đề tài này của tôi đợc thực hiện trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng HS khá , giỏi

lớp 6 bao gồm
Năm học 2007 - 2008 : 50 học sinh
Năm học 2008 - 2009 : 45 học sinh
+ phạm vi áp dụng : chơng trình lớp 6 phần phân số .
4-
Thời gian nghiên cứu :
Đợc chia làm 3 giai đoạn chính :
1. Giai đoạn 1 :
Bắt đầu từ ngày 20 tháng 3 năm 2008 đến ngày 25 tháng 4 năm 2008
Trang
2
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng
2. Giai đoạn 2 :
Bắt đầu từ ngày 15 tháng 3 năm 2009 đến ngày 01 tháng 4 năm 2009.
3 Giai đoạn 3 : Hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm ngày 3 tháng 4 năm 2009
5- Phơng pháp nghiên cứu :
- Đọc sách, tham khảo tài liệu.
- Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp.
- Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm.
- Thông qua học tập BDTX các chu kỳ.
Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán của các giáo viên có kinh nghiệm của tr-
ờng trong những năm học trớc và vốn kinh nghiệm của bản thân đã rút ra đợc một số vấn đề
có liên quan đến nội dung của sáng kiến.
Trong những năm học vừa qua chúng tôi đã quan tâm đến những vấn đề mà học sinh
mắc phải. Qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các bài kiểm tra dới các hình
thức khác nhau, bớc đầu tôi đã nắm đợc khó khăn khi phải giải bài tập dạng này . Sau đó
tôi tổng hợp lại, phân loại thành hai nhóm cơ bản.
Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng những phơng
pháp sau :
- Quan sát trực tiếp các đối tợng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà học sinh

thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó.
- Điều tra toàn diện các đối tợng học sinh với tổng số 95 học sinh để thống kê học lực
của học sinh. Tìm hiểu tâm lý của các em khi học môn toán, quan điểm của các em khi tìm
hiểu những vấn đề về giải toán có liên quan đến tính giá trị của các biểu thức là dãy các
phân số có quy luật
- Nghiên cứu sản phẩm hoạt động của GV và HS để phát hiện trình độ nhận thức, ph-
ơng pháp và chất lợng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chất lợng giáo dục.
- Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập, tiết trả bài
kiểm tra. . . tôi đã đa vấn đề này ra hớng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận bằng nhiều
hình thức khác nhau nh hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu
kiến thức . Từ đó hình thành lời giải . Yêu cầu học sinh giải một số bài tập theo nội dung
trong sách giáo khoa , sách tham khảo rồi đa thêm vào đó những yếu tố mới, những điều
kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận của học sinh.
- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang nghiên cứu
vào thực tiễn giảng dạy nhằm hớng dẫn HS tìm ra quy luật của các bài toán dạng này . Từ
đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các giờ dạy tiếp theo.
6 -
Đồ dùng và

tài liệu tham khảo :
Trang
3
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng
* Đồ dùng : Bảng phụ , phấn màu , phiếu học tập , phiếu sinh hoạt nhóm

* T
ài liệu tham khảo :
1. Sách giáo khoa , sách bài tập lớp 6 ( tập 2 - BGD&ĐT)
2 . Sách Nâng cao và phát triển Toán 6 (Tác giả : Vũ Hữu Bình )
3. Tài liệu bồi dỡng thờng xuyên cho GV THCS chu kỳ III ( 2004-2007) môn toán của

Bộ giáo dục và Đào tạo.
4. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục trung học cơ sở môn toán của Bộ giáo
dục và Đào tạo.
5. Giáo trình " Phơng pháp dạy học toán" tác giả Hoàng Chúng - BGD&ĐT
6. Một số tạp trí toán học .
B . Quá trình thực hiện đề tài
I - Khảo sát hiện trạng của học sinh khi cha thực hiện
Khi cha thực hiện đề tài , trong giảng dạy lý thuyết , luyện tập , ôn tập tôi chủ yếu cho
HS làm một số bài tập đơn giản sau đó tổng quát thành các bài toán phải tìm ra các quy luật
, quy tắc thì mới giải đợc . Đa số HS còn lúng túng , không có phơng pháp giải , Học sinh
cha biết tự tìm tòi , khám phá kiến thức , không có sự kết hợp giữa cá nhân và hoạt động
nhóm , tập thể để thống nhất phơng pháp giải . Vì thế kết quả còn nhiều hạn chế . Kết quảt
khảo sát cho thấy :
+ Năm học 2007 2008
số học sinh : 45
Dới Trung bình Trung Bình trở lên
Cha thực hiện đè tài 36 80 % 9 20 %
+ Năm học 2008 2009
số học sinh : 50
Dới Trung bình Trung Bình trở lên
Cha thực hiện đè tài 38 76 % 12 24 %

II. Biện pháp tác động giáo dục :
- Trớc hết phải áp dụng đúng phơng pháp đổi mới trong mỗi giờ học . Hớng dẫn học
sinh biết khám phá , tìm tòi , suy nghĩ
Trang
4
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng
- Tăng cờng luyện tập trong loại bài tập , đa ra phơng pháp giải phù hợp
- Soạn bài đúng phơng pháp , đúng quy định , sử dụng các dồ dùng dạy học : Phiếu ,

bảngphụ , máy tính , phấn màu , .phù hợp với yêu cầu mục tiêu của bài toán và hoàn cảnh
hiện có .
- Ra câu hỏi hợp lí , đa ra các hoạt động hợp lí nhằm phát huy tính độc lập , sáng tạo
của học sinhgiúp các em tự khám phá , bớc đầu làm quen với phơng pháp tự nghiên cứu.
- Phân chia nhóm học sinh để các em kiểm tra , giúp đỡ , kích thích nhau trong học
tập .
- Tiến hành thi đua giành nhiều điểm tôt , biểu dơng khen thởng những em những
nhóm học tốt .
- Về phía học sinh
+ chuẩn bị bài , có đầy đủ đồ dùng khi đến lớp .
+ Biết rút ra những nhận xét sau mỗi bài tập , biết so sánh , liên hệ giữa kiến thức cũ
và mới .
III. Giải pháp khoa học
Trong giảng dạy tôi cho học sinh thấy cùng một nội dung có nhiều dạng bài dới nhiều
hình thức . Vì thế đầu tiên là học sinh phải biết nhận dạng các bài tập cùng loại , phơng
pháp giải . Học sinh thấy đợc cái chung của dạng này và dạng kia , các khác của dạng này
và dạng kia để thêm bớc này , bớt bớc kia hoặc mở rộng nâng cao trong bài .
Đối với bài toán về tính giá trị của biểu thức là dãy các phân số tôi đa ra hai dãy phân
số
Dạng 1 : Dãy các phân số mà mỗi phân số có mẫu là tích của hai số tự nhiên phân biệt
khác 0
Dạng 2 : Dãy các phân số mà mỗi phân số có mẫu là luỹ thừa của một số tự nhiên
khác 0 , khác 1.
Sau khi tôi hớng dẫn cho học sinh cụ thể trong tong dạng bài , Hớng dẫn cách suy
luận để tìm ra các quy luật cuẩ dãy số thì học sinh hình thành đợc lời giải , rút ra đợc phơng
pháp giải và biết so sánh giữa các dạng . Học sinh đợc kiểm tra kiến thức và tự kiểm tra
kiến thức thông qua các hoạt động cá nhân hoặc hoạt động nhóm . Vì vậy học sinh cần nắm
vững các quy tắc về phép toán đối với phân số .
*
Dạng 1

: D
ãy các phân số mà mỗi phân số có mẫu là tích
của hai số tự nhiên phân biệt khác 0.
Bài toán 1
Tớnh giỏ tr ca biu thc
1 1 1 1
2.3 3.4 4.5 5.6
A
= + + +
.
Trang
5
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng
* Câu hỏi:
Muốn tính giá trị của biểu thức A theo quy tắc ta làm nh thế nào ?
* Hớng dẫn :
- Tìm mẫu số chung của các phân số trong A ?
- Quy đồng mẫu số ?
- Tính A đợc kết quả ?

Để phát triển t duy cho học sinh .
Hỏi : Ngoài cách tính giá trị của biểu thức A theo quy tắc nh trên em còn cách nào
tính khác ?
* Hớng dẫn :
- Nhận xét mỗi phân số trong dãy .
- Phân tích mỗi phân số trong dãy thành hiệu của hai phân số mà khi thay vào A làm
xuất hiện các số đối nhau . Chẳng hạn :

1 1 1
2.3 2 3

=
;
1 1 1
3.4 3 4
=
;
1 1 1
4.5 4 5
=
;
- Sử dụng quy tắc cộng hai phân số ta sẽ tính đợc biểu thức A .
* Lời giải :
Cách 1:
1 1 1 1
2.3 3.4 4.5 5.6
A
= + + +

1 1 1 1
6 12 20 30
= + + +

10 5 3 2
60 60 60 60
= + + +


20 1
60 3
= =

Cách 2 : Ta có

1 1 1
2.3 2 3
=

1 1 1
3.4 3 4
=

1 1 1
4.5 4 5
=
Trang
6
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng

1 1 1
5.6 5 6
=
Khi đó biểu thc cần tính:

1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 3 4 4 5 5 6
1 1 2 1
2 6 6 3
B
= + + +
= = =

Với 2 cách làm trên đều cho ta cùng một kết quả , thông thờng học sinh áp dụng trực tiếp
theo cách 1 . Nhng cách 1 sẽ gặp khó khăn khi học sinh gặp phải những bài toán tơng tự
Chẳng hạn nh bài toán sau :
Bài toán 2:
Tớnh giỏ tr ca biu thc
1 1 1 1

2.3 3.4 4.5 49.50
B
= + + + +

+ Câu hỏi :
1. Ta có thể áp dụng cách 1 tính biểu thức A để tính B đợc không ?
2. Tại sao ta không nên áp dụng cách 1 tính của biểu thức A vào B ?
3. Muốn tính B ta làm nh thế nào ?
4. Nhận xét: Mỗi phân số trong biểu thức B có đậc điểm gì ?
+ Hớng dẫn :
Nhận xét : Mỗi phân số trong dãy đều có tính chất sau :
Mỗi phân số trong biểu thức B đều có tử số bằng nhau và bằng 1 , mẫu số là tích hai số
tự nhiên liên tiếp và hiệu ( số lớn số nhỏ ) của chúng bằng nhau và bằng tử số .
Cụ thể : 3-2 = 4 -3 = 5 4 = = 50 49 = 1
Do đó ta có thể tổng quát hoá mỗi phân số trong biểu thức B đều có dạng:
1
( 1)n n +

với
( )
; 1n N n >
Mặt khác ta lại thấy:
1

( 1)n n +
=
1
n
.
1
1n +
=
1
n
-
1
1n +
(1)
( Đẳng thức (1) đã đợc chứng minh trong Bi 87 , sỏch bi tp Toỏn 6 , Tp 2 )
ở đây sau khi ta xác định đợc dạng tổng quát của mỗi phân số . Thay lần lợt các giá trị n
=1;2;3 .;49 ta sẽ đ ợc các phân số của dãy số trên ta vận dụng kiến thức phân tích mỗi
phân số trong dãy thành hiệu hai phân số theo dẳng thức (1) làm xuất hiện các số đối nhau .
Với hớng suy nghĩ đó ta có lời giải của bài toán nh sau .
Trang
7
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng
+ Lời giải :
Ta có:
1 1 1
2.3 2 3
=

1 1 1
3.4 3 4

=

1 1 1
4.5 4 5
=
.

1 1 1
49.50 49 50
=
Khi đó biểu thc cần tính:

1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 3 4 4 5 49 50
1 1 24 12
2 50 50 25
B
= + + + +
= = =

* Nhận xét quy luật và phân tích lời giải của bài toán :
- Quy luật của bài toán : Mỗi phân số trong dãy đều đợc phân tích thành hiệu hai
phân số . Khi đó biểu thức cần tính là một dãy các phân số mà kể từ phân số thứ hai trở đi
đều bị triệt tiêu bởi phân số kề sau nó ( hai phân số đối nhau ) .
Vậy với quy luật nh trên thì biểu thức B chỉ còn hiệu của hai phân số đầu và phân số
cuối của dãy .
- Dấu hiệu trong bài toán 1 , 2 là mỗi phân số trong biểu thức A , B đều có tử số bằng
nhau , mẫu số là tích hai số tự nhiên liên tiếp và hiệu ( số lớn số nhỏ ) của chúng bằng
nhau và bằng tử số .

Cụ thể : 3- 2 = 4 - 3 = 5 4 = = 50 49 = 1
Từ đó ta có :
* Bài toán tổng quát I:
Tính giá trị của biểu thức :
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 ( 1)
S
n n
= + + + +
+
với
( )
*
n N
.
Lời giải :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 4 5 1
S
n n
= + + + + +
+

Ta có kết quả sau :
1 1
1 1 1
n
S

n n
= =
+ +
(I)

Trang
8
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng
Bài toán 3:
Tớnh giỏ tr ca biu thc
2 2 2 2

1.3 3.5 5.7 2007.2009
C
= + + + +
+ Câu hỏi :
1. Với hớng suy nghĩ tơng tự nh bài toán 2 ta có thể tính đợc C không ?
2. Muốn tính C ta phải làm nh thế nàò?
+ Hớng dẫn :
- Xét biểu thức C ta thấy
Dấu hiệu : mỗi phân số trong biểu thức đều có tử số bằng nhau , mẫu số là tích hai số
tự nhiên và hiệu ( số lớn số nhỏ ) của chúng bằng nhau và bằng tử số của chúng . ( tơng
tự nh ở bài toán 1 , bài toán 2 ) .
Cụ thể : 3 - 1 = 5 - 3 = 7 5 = .= 2009 - 2007 = 2
Nh vậy ta có thể sử dụng quy luật tơng tự bài toán 2 .
- tìm ra phân số tổng quát biểu thị các phân số trong dãy là:
2
( 2)n n +

2

( 2)n n +
=
1
n
-
1
n m+
với
( )
*
,n m N
(2)
Với m = 1 ta có (1) . Vậy (3) là đẳng thức tổng quát của (1).
Khi đó ta có lời giải của bài toán 3 nh sau
+ Lời giải :
áp dụng Đẳng thức (2) cho mỗi phân số trong dãy số ta có :

2 1 1
1.3 1 3
=

2 1 1
3.5 3 5
=


2 1 1
5.7 5 7
=

2 1 1
2007.2009 2007 2009
=
Khi đó
Trang
9
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng

2 2 2 2

1.3 3.5 5.7 2007.2009
1 1 1 1 1 1 1 1

1 3 3 5 5 7 2007 2009
1
1
2009
2008
2009
B
= + + + +
= + + + +
=
=
+ Nhận xét : Thực chất bài toán 3 dựa trên cơ sở của bài toán 2 . Ta cũng phân tích mỗi
phân số trong dãy số thành hiệu hai phân số .
Cn chỳ ý rng dấu hiệu trong các bi toỏn 1 , 2, 3 là mi phõn s trong dóy u c t
s bng nhau và bằng hiu ca hai tha s trong mu mi của mỗi phân s (s ln - s
nh ) .

Muốn giải bài toán dạng trên ta phải xác định dạng tổng quát của mỗi phân số trong dãy
phải có dạng :
( )
m
n n m+

Sau đó ta sẽ biểu thị mỗi phân số thành hiệu hai phân số theo công thức :

( )
m
n n m+
=
1
n
-
1
n m+
với
( )
*
,n m N
(3)
Từ đó ta sẽ tính đợc giá trị của biểu thức một cách dễ dàng .
Vậy đẳng thức (3) chính là dạng tổng quát của đẳng thức ( 1) và (2).
Nhng trong thực hành ta lại có thể gặp những bài toán có dạng trên mi phõn s trong dóy
u c t s bằng nhau nhng khụng bng hiu ca hai tha s trong mu mi phõn s
(s ln - s nh ) . Chẳng hạn nh bài toán 4 , bài toán 5 sau đây .
Bài toán 4 :
Tớnh giỏ tr ca biu thc:
1 1 1 1

1.5 5.9 9.13 2005.2009
D
= + + + +

+ Câu hỏi :
1.Trong mỗi phân số hiệu của hai thừa số ở mẫu có bằng tử không ?
2.Có thể áp dụng đợc (3) để tính không ?
3. Muốn tính D ta làm nh thế nào ?
+Hng dn :
Để tính D ta phải biến đổi các phân số trong D để có thể áp dụng đợc (3)
Ta thấy đặc điểm ở mẫu : 5 -1 = 9 - 4 = 13 9 = = 2009 2005 = 4

1 ( tử số
mỗi phân số )
Trang
10
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng
Vậy ta phải biến đổi mỗi phân số trong dãy về dạng có thể sử dụng đợc đẳng thức (3) .
Muốn vậy ta phải làm xuất hiện tử số của mỗi phân số trong dãy là 4 bằng cách nhân cả
tử và mẫu của mỗi phân số với 4 . Từ đó hình thành lời giải .
+ Li gii :

1 1 1 1

1.5 5.9 9.13 2005.2009
C
= + + + +

4 1 1 1 1
.
4 1.5 5.9 9.13 2005.2009

= + + + +
ữ

( nhân cả tử và mẫu của các phân số với 4 )

1 4 4 4 4
.
4 1.5 5.9 9.13 2005.2009

= + + + +
ữ



1 1 1 1 1 1 1 1 1

4 1 5 5 9 9 13 2005 2009

= + + +
ữ


1 1 1 2008 502
1 .
4 2009 4 2009 2009

= = =
ữ

* t vn : Nu trong nhng bi toỏn cú c im nh trờn nhng t s ca mi phõn s
khụng phi l 1 thỡ ta vn cú th gii theo phng phỏp tng t
Ta xột bi toỏn tip theo .
Bài toán 5 :
Tớnh giỏ tr ca biu thc sau :

3 3 3 3

1.6 6.11 11.16 96.101
E
= + + + +
+ Câu hỏi : Theo hớng phân tích nh bài toán 4 để tính dợc E ta làm nh thế nào ?
+ Hớng dẫn :
- Đa bài toán 5 về bài toán 4 bằng cách đặt thừa số chung 3
E = 3 . F
Cách tính Biểu thức F tơng tự nh ở bài toán 4 .
+ Lời giải :
Trang
11
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng

3 3 3 3

1.6 6.11 11.16 96.101
1 1 1 1
3.
1.6 6.11 11.16 96.101

3 5 5 5 5
.
5 1.6 6.11 11.16 96.101
3 1 1 1 1 1 1 1 1

5 1 6 6 11 11 16 96 101
3 1 3 100 60
1 .
5 101 5 101 101
E = + + + +

= + + + +
ữ


= + + + +
ữ


= + + +
ữ


= = =
ữ

Phơng pháp để giải bài toán chứa các dãy số có :
Quy luật 1 : mỗi phân số trong biểu thức đều có tử số bằng nhau , mẫu số là tích hai
số tự nhiên và hiệu ( số lớn số nhỏ ) của chúng bằng nhau và bằng tử số của chúng . ( t -
ơng tự nh ở bài toán 1 , bài toán 2, bài toán 3 , bài toán 4 , bài toán 5 ) .

Phơng pháp giải 1
+ Xác định công thức tổng quát biểu thị mỗi phân số trong dãy có dạng :
( )
a
n n b
+
.
+ Biến đổi mỗi phân số trong dãy theo đẳng thức sau

1 1
.
( )
a a
n n b b n n b

=
ữ
+ +

vi a , b ,n

N
*
(4)
Đẳng thức (4) chính là Đẳng thức tổng quát của (1) và (2) và (3) .
+ áp dụng các phép biến đổi đa về một trong các dạng bài toán 1 , 2 , 3, 4, 5 . Từ đó tính
đợc giá trị của biểu thức .
Lu ý : Đôi khi những bài toán cha cho trực tiếp mẫu là tích của hai số tự nhiên phân
biệt , Ta cần phải phân tích mẫu của mỗi phân số trong dãy thành tích hai số tự nhiên
. Sau đó áp dụng dạng toán trên để tính .

Bài toán 6
. Tớnh giỏ tr ca biu thc sau :

2009 2009 2009 2009

6 66 176 9696
C
= + + + +
Lời giải:
Ta nhận xét thấy : 6 = 1.6.; 66 = 6 .11; 176 = 11.16 ; ; 9696 = 96.101.
Trang
12
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng
Vậy
2009 2009 2009 2009

1.6 6.11 11.16 96.101
C = + + + +

1 1 1 1
2009
1.6 6.11 11.16 96.101

= + + + +
ữ


2009 5 5 5 5

5 1.6 6.11 11.16 96.101

= + + + +
ữ


2009 1 1 1 1 1 1 1 1 1

5 1 6 6 11 11 16 96 96 101

= + + + +
ữ


2009 1 1 2009 100 40180
.
5 1 101 5 101 101

= = =
ữ

* Mở rộng :
Trong thực hành giải toán ta cũng có thể gặp những dãy số có quy luật 1 nhng ở dạng
tìm x , chứng minh . Muốn giải bài toán dạng này cũng chính là dựa trên phơng pháp
giải 1 . Ví dụ nh bài toán sau :
Bi toỏn 6:
Chng minh rng vi mi s t nhiờn n > 0 ta cú

1 1 1 1

1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1) 2 1

n
n n n
+ + + + =
+ +
Hng dn
Xột v trỏi ca ng thc ta thy : mi phõn s trong dóy u tỏch c thnh hiu hai
phõn s tng ng theo quy lut 1
Vy chng minh c ng thc ta phi i tớnh v trỏi . T ú ta s chng minh c
ng thc .
Li gii :
Xột v trỏi
Trang
13
Trường THCS Cao Viên Giáo viên : Nguyễn Mai Phương
1 1 1 1

1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1)
2 1 1 1 1

2 1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1)
1 2 2 2 2

2 1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1)
1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 3 5 5 7 (2 1) (2 1)
1 1
1
2 (2 1)
1 2 1 1

.
2 2 1
1 2
.
2
VT
n n
n n
n n
n n
n
n
n
n
= + + + +
− +
 
= + + + +
 ÷
− +
 
 
= + + + +
 ÷
− +
 
 
= − + − + − + + −
 ÷
− +

 
 
= −
 ÷
+
 
+ −
=
+
=
2 1
2
2(2 1)
(2 1)
n
n
n
n
n
+
=
+
=
+
VT = VP =
2 1
n
n +

V ậy đ ẳng th ức đ ư ợc ch ứng minh .

Bài tËp 7 : Tìm x biết :
1 1 1 1 101
)
5.8 8.11 11.14 ( 3) 1540
a
x x
+ + + + =
+
( víi x
≠
0 ; -3 )

Nhận xét :
Ta thấy : 8 - 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = x+3 – x = 3
Do đó ta có lời giải dựa trên quy luật 1 như sau:
Lời giải :
Trang
14
Trường THCS Cao Viên Giáo viên : Nguyễn Mai Phương

1 1 1 1 101

5.8 8.11 11.14 ( 3) 1540x x
+ + + + =
+


3 1 1 1 1 101

3 5.8 8.11 11.14 ( 3) 1540

1 3 3 3 3 101

3 5.8 8.11 11.14 ( 3) 1540
1 1 1 1 1 1 1 1 1 101

3 5 8 8 11 11 14 3 1540
1 1 1 101
3 5 3 1540
1 1 101
15 3( 3) 1540
1 1 101
3( 3) 15 1540
1
x x
x x
x x
x
x
x
 
+ + + + =
 ÷
+
 
 
+ + + + =
 ÷
+
 
 

− + − + + + + − =
 ÷
+
 
 
− =
 ÷
+
 
− =
+
= −
+
1
3( 3) 924
3( 3) 924
924
3
3
3 308
308 3
305
x
x
x
x
x
x
=
+

+ =
+ =
+ =
= −
=

1 1 1 1 1
)
( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) ( 5)
b
x x x x x x x x x
+ + + =
+ + + + + + + + +
( Víi x
∉
{ }
1; 2; 3; 4; 5− − − − −
)
tương tự như trên ta có lời giải như sau
Trang
15
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng

1 1 1 1 1
( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) ( 5)
1 1 1 1 1 1
( 1) ( 2) ( 2) ( 3) ( 3) ( 4)
1 1 1
( 4) ( 5) ( 5)
1 1 1

( 1) ( 5) ( 5)
1 1 1
( 1) ( 5) ( 5)
1 2
( 1) ( 5)
2( 1) 5
2 2 5
2 5 2
3
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x
+ + + =
+ + + + + + + + +
+ +
+ + + + + +
+ =
+ + +
=
+ + +
= +
+ + +
=

+ +
+ = +
+ = +
=
=
( tho món kiu kin )
Kt lun : x = 3
Dạng 2 : Tính giá trị của biểu thức phân số có quy luật trong
đó mẫu số của mỗi phân số là luỹ thừa của một số tự nhiên khác 0
và 1
1 Kiến thức trọng tâm trong khi đi làm dạng baì tập này ta có thể tóm lợc nh sau:
- Định nghĩa về luỹ thừa là số tự nhiên .

.
n
a a a a
=
(có n số a

với n

N)
- Nhân hai luỹ thừa cung cơ số.

.
n m m n
a a a
+
=
( với a,m,n

N, a 0 )
- Nhân hai luỹ thừa cung cơ số.

:
m
m n m n
n
a
a a a
a

= =
( với a,m,n

N, a 0 va m > n )
- Chú ý: a
0
=1, a
1
= a
Trang
16
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng


n
n
a a a a
b b b b

=
ữ ữ ữ ữ

1 4 4 2 4 43
- HS biết thực hiện thành thạo phép toán quy đồng mẫu số nhiều phân số.
- HS biết cách so sánh hai hay nhiều phân số, một số với một phân số.
- Các kỹ năng tinh toán , các phép biến đổi phân số đã học .
Sau đây ta sẽ đi vào nhng bài toán cụ thể trong dạng này mà ta hay găp khi giải toán phân
số,cũng nh cách giải tối u cho nhng bài toán đó.
Bài toán 1
Tính : M =
2 3 7
1 1 1 1

2 2 2 2
+ + + +
*Các câu hỏi :
1. Em có nhận xét gì về các phân số trong tổng trên ?
2. Tìm cách tính tổng trên dựa trên những cách đã học ?
3. Hãy tìm tổng các phân số trên theo phơng pháp chung ( Quy đòng mẫu số )
*Hớng dẫn :
- Viết đầy đủ dãy số trên
- Khai triển các luỹ thừa
- Quy đồng mẫu số các phân số
- Thực hiện phép cộng các phân số cùng mẫu theo quy tắc
Hỏi: Ngoài cách làm trên còn cách nào khác ?
*Hớng dẫn :
- Khai triển các luỹ thừa .
- Nhận xét : mỗi phân số trong tổng đều phân tích đợc thành hiệu hai phân số .

Trang
17
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng

1 1
1
2 2
1 1 1
4 2 4
1 1 1
8 4 8

1 1 1
128 64 128
=
=
=
=
Thay mỗi phân số trong tổng bởi hiệu của hai phân số tơng ứng có trong M. Thực hiện
các phép tính đối với các số đối nhau ta sẽ còn lại một phép tính đơn giản . Từ đó ta tính đ-
ợc tổng M
Lời giải :
Cách 1: Sử dụng phơng pháp quy đồng mẫu số thông dụng
2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 128
64 32 16 8 4 2 1
128 128 128 128 128 128 128

64 32 16 8 4 2 1
128
127
128
M = + + + + + +
= + + + + + +
= + + + + + +
+ + + + + +
=
=
Cách 2 : Sử dụng phơng pháp tách mỗi phân số trong dãy thành hiệu hai phân số

2 3 7
1 1 1 1

2 2 2 2
1 1 1 1

2 4 8 128
1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 4 4 8 64 128
1
1
128
127
128
M
= + + + +
= + + + +

= + + + +
=
=
Ngoài 2 cách giải trên còn có thể có một cách giải thứ 3 nh sau :
Trang
18
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng
Cách 3 :
*Nhận xét: Về quy luật của các phân số trong dây là mẫu của mỗi phân số là các luỹ thừa
tăng đần của cơ số 2. Do đó phân số tông quát biểu thị đợc tất cả các phân số trong mâu số
là:
1
2
n
với n = 1;2;3;4;5;6;7
Chính vì đặc điểm lý do trên mà ta đã tìm tòi ra lời giải của bài toán trên nh sau:
*H ớng dẫn cách giải
B1: Trớc hết ta đi nhân cả hai vế của biểu thức M với cơ số của mẫu ( cụ thể trong bài này
ta đi nhân cả hai vế với số 2.) việc nhân cả hai vế của M với 2 để nhằm mục đích ta tạo ra
một biểu thức 2M là dây các phân số có tử số là số 1 còn mẫu số là luỹ thừa của cơ số 2
nhng có số mũ lùi hơn so với M một đơn vị
B2: Thc hiện phép trừ theo vế với hai biểu thc 2M và M.

2 3 7
1 1 1 1
2. 2.
2 2 2 2
M

= + + + +

ữ


2 3 7
2 2 2 2
2.
2 2 2 2
M

= + + + +
ữ


Vậy
1 2 6
1 1 1
2. 1
2 2 2
M
= + + + +
Mà
2 3 7
1 1 1 1

2 2 2 2
M
= + + + +
Ta có:
2 6 2 3 6 7
2 6 2 3 6 7

7
1 1 1 1 1 1 1 1
2. 1
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 2 2 2 2 2 2
1
1
2
1
1
128
128 1
128
127
128
M M
M
M
M
M
M

= + + + + + + + +
ữ ữ

= + + + +
=
=

=
=
Vậy Cả 3 cách làm trên đều cho ta cùng một kết quả trong mỗi cách đều có những u điểm
Trang
19
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng
và nhợc điểm riêng.
*Cách 1 Đơn giản dễ thực hiện nhng gặp khó khăn khi nhng bài toán có mẫu của phân số
là nhng luỹ thừa có số mũ lớn.
*Cách 2 : Trong bài toán này có thể sử dụng đợc dễ dàng vì ta có thể biểu diễn mỗi phân
số thành hiệu hai phân số mà khi thay chúng vào biểu thức cần tính thì có thể thu gọn đợc .
Nhng đối với bài toán khác thì sử dụng 2 cách nh trên để giải thì ta cung sẽ bị găp khó
khăn .
*Cách 3: Tôi thấy là một cách giải hay và u thế của cách giải này là có thể áp dụng cho tất
cả các bài toán có đặc điểm tơng tự nh bài toán 1 trong dạng toán 2 này . Theo tôi đây là
một cách giải tổng quát có thể áp dụng cho các bài toán có đặc điểm tính chất nh trên.
Chẳng han nh bài bài toán sau ta sẽ thấy là việc sử dụng cách 1 cũng nh cách 2 đều gặp rất
nhiều khó khăn
Bài toán 2 .
Tính tổng :
2 3 2009
1 1 1 1

2008 2008 2008 22008
N
= + + + +
Câu hỏi :
1. Nhận xét mỗi phân số trong tổng trên ? So sánh với bài toán 1 ?
2. Vậy có thể áp dụng tính biểu thức N cả 3 cách nh ở bài toán 1 không ?

3. Muốn tính đợc biểu thức N ta làm nh thế nào ?
Hớng dẫn
áp dụng theo cách 3 ở trên ta có trình tự bớc giải theo thứ tự sau:
- Nhân cả hai vế của biểu thức N với 2008
- Thực hiện phép trừ theo vế 2N với N. Từ đó ta tính đợc giá trị của N ?
Lời giải :

2 3 2009
1 1 1 1

2008 2008 2008 22008
N = + + + +
(1)
2 3 2009
1 1 1 1
2008. 2008.
2008 2008 2008 2008
N

= + + + +
ữ

( nhân cả hai vế với 2008 )

2 3 2008
1 1 1 1 1
2008.
1 2008 2008 2008 2008
N = + + + + +
(2)

Thực hiện phép trừ theo vế (2) cho (1) ta đợc :
Trang
20
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng

1 2 2008 1 2 2008 2009
2009
2009
2009
2009
2009
1 1 1 1 1 1 1 1
2008
1 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008
1 1
2007.
1 2008
2008 1
2007.
2008
2008 1
2008 .2007
N N
N
N
N

= + + + + + + + +
ữ ữ

=

=

=
*
Rút ra nhận xét về cách giảI đối với những bài toán có dạng quy luật nh trên để tính theo
cách 3 thì ta chỉ việc nhân cả hai vế của biểu thức cần tính với chính cơ số của mẫu số ,rồi
thực hiện phép trừ vế theo vế của hai biểu thức từ đó rút ra kết quả cần tìm.
* Bài toán tổng quát II .
Tính tổng
2 3 1

n n
m m m m m
S
a a a a a

= + + + + +
( với mọi a;n

N
*
và m

0 , a

1)
Cách giải :
+ Bớc 1: Nhân cả hai vế của biểu thức S với a

Ta có :
2 3 1
1 1 1 1 1
. . .( )
n n
S a a m
a a a a a

= + + + + +

2 2 1
1 1 1 1 1
.( )
1
n n
m
a a a a

= + + + + +
Vây ta có : S.a
2 2 1
1 1 1 1 1
.( )
1
n n
m
a a a a

= + + + + +
+ Bớc 2 : Thực hiện phép trừ theo vế của S .a S ta đợc kết quả :

1
.( 1) .(1 )
n
S a m
a
=
S =
1
m
a
( 1 -
1
n
a
)
Nh vậy ta thấy :với m =1; a =2; n =7 thì ta đợc bài toán 1.
Với m =1; a =2008; n =2009 thì ta đợc bài toán 2.
* Mở rộng : Trong khi làm toán nhiều khi ta gặp phải những bài toán tơng tự nh trên nh-
ng tử số của các phân số không băng nhau thì ta vấn áp dụng đợc cách giải trên . Cụ thể ta
xét ví dụ sau :
Bài toán 3 .
Tính tổng : C =
2 3 4 2007
1 2 3 2006

2 2 2 2
+ + + +
Trang
21

Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng
Lời giải :
Cách 1 :
+ Nhân hai vế của đẳng thức trên với cơ số trong luỹ thừa ở mâu số cụ thể là số 2.
2. C = 2. (
2 3 4 2007
1 2 3 2006

2 2 2 2
+ + + +
)
2 .C =
2 3 4 2006
1 2 3 4 2006

2 2 2 2 2
+ + + + +
+ Lấy 2.C C ta đợc :
2 C C = (
2 3 4 2006
1 2 3 4 2006

2 2 2 2 2
+ + + + +
) (
2 3 4 2007
1 2 3 2006

2 2 2 2
+ + + +

)
2. C =
1
2
+
2 2
2 1
2 2


ữ

+
3 3
3 2
2 2


ữ

+ +
2006 2006
2006 2005
2 2


ữ

-
2007

2006
2
2 . C =
1
2
+
2 3 2006
1 1 1

2 2 2
+ + +
-
2007
2006
2
(3)
Đặt D =
1
2
+
2 3 2006
1 1 1

2 2 2
+ + +

( Tính giá trị của D trực tiếp theo cách giải của bài toán tổng quát 1 )

1
1

2006
D =
(4)
Thay (4 ) vào (3) ta đợc :
2. C =
2006 2007
1 2006
1
2 2

=
2007
2007 2007
2008 2 2008
1
2 2

=
Ta cũng có thể suy nghĩ đến một cách giải khác của bài toán thông qua tìm phân số
tổng quát của bài toán và bằng những cách biến đổi khéo léo để tính dãy số trên.
- Cách 2:
Các phân số trong C có dạng tổng quát sau.
1
2
n
n
+

- Mà ta lại có :
1

2
n
n
+
=
1
1 2
2 2
n n
n n
+
+ +

(*)
áp dung cho (*) với n =1,2,3, ,2006 ta đợc:
Trang
22
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng
C=
2 2 3 2006 2007
2 3 3 4 2007 2008
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
+ + +
=
2007
2007 2007
2008 2 2008
1
2 2

=
* Bài toán tổng quát hoá III:
Tính : S =
2 3 4 1
1 2 3

n
n
a a a a
+
+ + + +
( với
1a

và
*
n N
)
Sử dụng cách giải giống nh cách 1 của bài toán 3 thì ta thu đợc kết quả của bài toán tổng
quát nh sau:

2 2 1
1 ( 1)
( 1) ( 1) .
n
a n a
S
a a a
+

+
=

- Ta thấy với n =2006 , a = 2 thì ta cũng đợc kết quả là
2007
2007
2 2008
2
S

=
- Nh vậy cứ với mỗi cặp số thích hợp : (n, a ) thì ta có một bài toán tính giái trị của
biểu thức.
Kết luận : Qua các bài toán cụ thể trên cũng nh các bài toán đợc tông quát hoá thì ta
thấy phơng phấp chung làm các dạng bài toán về tính giái trị của một dẫy các phân số
B1: tìm ra quy luật của dãy số và phân số tổng quat của biểu thị các phân số có
trong dãy số.
B2: Bằng phơng pháp biến đổi ta tìm cách phân tích , nhân , chia , thêm bớt một số
nào đó mà sau khi thực hiện phép tính chúng phải bị rút gọn với nhau để bài toán
tính toán trở nên đơn giản , dễ thực hiện .
Trên đây là hai dạng toán mà ta có thể dễ dàng nhìn ra đợc ngay quy luật của chúng và
hình thành cách giải . Tuy nhiên trong thực tế chúng ta gặp phải những bài toán phát hiện
ra quy luật của chúng không hề đơn giản mà không có một cách giải nào chung .
Vậy tuỳ vào mỗi bài toán mà hớng dẫn học sinh có những dấu hiệu riêng để nhận ra quy
luật và từ đó tìm lời giải của bài toán .
Ta xét một số bài toán điển hình sau :
Bài tâp 1:
Tính tổng gôm 2005 số hạng :
S =
2 2 2 2

2 3 4 2006

1.3 2.4 3.5 2005.2007
+ + + +
* Các câu hỏi
1. Các phân số chứa trong dãy tổng trên có dạng tổng quát nh thế nào ?
2 . Muốn tính S ta làm nh thế nào ?
Trang
23
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng
* Hớng dẫn :
+ Nhận xét : Ta thấy (n+1)
2
= n(n+2) +1
Mà mỗi phân số trong tổng đều có dạng :
2
( 1)
( 2)
n
n n
+
+
Mặt khác :
2
( 1)
( 2)
n
n n
+
+

=
( 1) 1 1 1 1 1
1 1
( 2) ( 2) 2 2
n
n
n n n n n n
+ +

= + = +
ữ
+ + +

Vậy ta có thể biếu diễn mỗi phân số trong dãy thành tổng nh sau :

2
( 1)
( 2)
n
n n
+
+

1 1 1
1
2 2n n

= +
ữ
+

Từ đó ta hình thành lời giải
* Lời giải :
Ta có :
2
( 1)
( 2)
n
n n
+
+

1 1 1
1
2 2n n

= +
ữ
+


Thay n lần lợt bằng 1, 2, 3, 4, , 2005 vào đẳng thức tổng quát trên ta có :
S =
2 2 2 2
2 3 4 2006

1.3 2.4 3.5 2005.2007
+ + + +

=2005+
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 2 4 3 5 2004 2006 2005 2007

+ + + + +
ữ

= 2005+
1 1 1 1 1
1
2 2 3 2004 2005

+ + + + +
ữ

-
1 1 1 1 1 1

2 3 4 5 2006 2007

+ + + + +
ữ


=2005+
1 1
1
2 2

+
ữ

+
1 1 1 1

2 3 2004 2005

+ + +
ữ

-
1 1 1
2 2006 2007

+
ữ

-
1 1 1 1 1 1

2 3 4 5 2004 2005

+ + + + +
ữ


=2005 +
1 1
1

2 2

+
ữ

-
1 1 1
2 2006 2007

+
ữ

= 2005 +
1 1 1 1
1
2 2 2006 2007

+
ữ

= 2005 +
1 3 4013
2 2 2006.2007


ữ


=2005 -
3017525

40266042

Bài toán 2 :
Xét tổng S gồm 2006 số hạng sau :
Trang
24
Trng THCS Cao Viờn Giỏo viờn : Nguyn Mai Phng
S =
1 2 3 4 2006
2 3 4 5 2007

2 2 2 2 2
+ + + + +
Hãy so sánh S với 3 .
Câu hỏi :
1 . Nhận xét gì về mỗi phân số trong tổng S ?
2 . Muốn tính S ta làm nh thế nào ?
* Hớng dẫn : Tử số của các phân số là các số tự nhiên tăng dần cách nhau 1 đơn vị .
Mẫu số là luỹ thừa của 2 với cơ số tăng dần .
- Xác định đợc công thức tổng quát biểu thị mỗi phân số trong dãy trên .
- phân tích mỗi phân số thành hiệu hai phân số .
- Từ đó , sau khi thực hiện các phép toán . ta tính đợc S .
* Lời giải :
Với mọi n

2 ta có :
1
1 2 3
2 2 2
n n n

n n n

+ + +
=
(5)
Thay lần lợt với n = 2 ; 3 ; 4 ; ; 2006 vào đẳng thức (5) ta có

1 2 3 4 2006
1 2 2 3 2004 2005 2005 2006
1 2006
2006
2 3 4 5 2007

2 2 2 2 2
4 5 5 6 2007 2008 2008 2009
1
2 2 2 2 2 2 2 2
4 2009
1
2 2
2009
3 3
2
S
= + + + + +

= + + + + +
ữ ữ ữ ữ

= +

= <

Vậy S < 3
Bài toán 3 : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n > 2 ta cú

2 2 2 2
1 1 1 1
1
2 3 4 n
+ + + + <
Hớng dẫn :
Bài toán trên ta khó có thể chứng minh trực tiếp vì ta thấy vế trái không thể áp dụng những
trờng hợp của dạng dãy số chúng ta đang xét . Vậy chúng ta nghĩ đến việc tìm ra một yếu tố
trung gian để gắn kết vế tráI và vế phảI . Nhng yếu tố trung gian đó phảI tính đợc .
Nhận xét : Với mọi số tự nhiên n > 2 ta luôn có

1 1
. ( 1).n n n n
<

Trang
25