Biến số phụ và mô tả đơn cực từ trong phép biến đổi hurwitz mở rộng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




NGUYỄN THÀNH SƠN






BIẾN SỐ PHỤ VÀ MÔ TẢ ĐƠN CỰC TỪ
TRONG PHÉP BIẾN ĐỔI HURWITZ
MỞ RỘNG

Chuyên Ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60.44.01





LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN



Người hướng dẫn Khoa học
TSKH. LÊ VĂN HOÀNG

TP.HỒ CHÍ MINH, NĂM 2009



LỜI CẢM ƠN

Trong khoảng thời gian ba năm học tập tại trường, tôi đã học tập được nhiều
kiến thức bổ ích về chuyên ngành của mình dưới sự hướng dẫn rất nhiệt tình của
thầy, cô trong bộ môn vật lý lý thuyết và vật lý toán. Tôi xin chân thành cảm ơn
thầy, cô đã dạy tôi trong suốt khóa học qua.
Cho tôi bày tỏ lòng biết ơn của mình với thầy Lê Văn Hoàng. Trong quá
trình học tập và làm luận văn, thầy đã hết sức tận tình chỉ bảo, động viên và cả
nhắc nhở để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Cảm ơn các bạn trong khóa 16, các anh chị, các bạn trong nhóm nghiên cứu
của thầy Lê Văn Hoàng, các đồng nghiệp - những người luôn bên tôi, hỗ trợ tôi
rất nhiều trong suốt khóa học và trong quá trình làm luận văn!


Nguyễn Thành Sơn

MỤC LỤC

MỤC LỤC 3
MỞ ĐẦU 4
Chương 1: BIẾN SỐ PHỤ
TRONG PHÉP BIẾN ĐỔI BÌNH PHƯƠNG 9
1.1. Biến số phụ trong phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel 9
1.2. Biến số phụ trong phép biến đổi Hurwitz 12
1.3. Đơn cực từ 15
1.4. Phụ lục chương 1: 17
Phụ lục A1.1: Tính
k
ξ
theo các giá trị
λ
x
và
i
φ
17
Phụ lục A1.2: Tính các đạo hàm riêng của
i
φ
theo
*
,
ss

ξξ
19
Phụ lục A1.3: Biểu diễn Hamintonian trong không gian
(,)
i
x
λ
φ
20
Chương 2: PHÉP BIẾN ĐỔI HURWITZ MỞ RỘNG
VÀ VAI TRÒ CỦA BIẾN SỐ PHỤ 29
2.1. Giới thiệu phép biến đổi 29
2.2. Dao động tử điều hòa 16 chiều và nguyên tử hydro 9 chiều 33
2.3. Nghiệm vật lý mới của phép biến đổi 34
2.4. Đại số hệ toán tử 37
2.5. Phụ lục chương 2 44
Phụ lục A2.1: Biến đổi ngược 44
Phụ lục A2.2: Tính đạo hàm các góc theo u, v 48
Phụ lục A2.3: Hệ toán t
ử A, B, C, D 50
Phụ lục A2.4: Chương trình lập bảng giao hoán tử 60
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 75
TÀI LIỆU THAM KHẢO 76
Mở đầu
Trang 4


MỞ ĐẦU

Dao động tử điều hòa và nguyên tử hydro là hai bài toán cơ bản nhất,

có lời giải chính xác không những trong cổ điển mà cả trong cơ học lượng tử
[34]. Đây cũng là hai trong số rất ít bài toán giải được chính xác trong cơ học
lượng tử. Từ rất lâu rồi, người ta đã phát hiện ra giữa hai bài toán kinh điển
này có một mối liên hệ rất đặc biệt [2-4]. Cụ thể, qua phép biến đổ
i
Kustaanheimo-Stiefel [5] phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa
bốn chiều có thể chuyển về phương trình Schrodinger cho nguyên tử đồng
dạng hydro trong không gian ba chiều.
Trong nhiều năm mối quan hệ giữa hai bài toán đã thu hút được sự
quan tâm rất lớn của các nhóm nghiên cứu theo hướng ứng dụng cho các tính
toán cụ thể [6-8]. Như ta biết được, với bài toán dao động tử điều hòa ngoài
phương pháp giải tích với các biến động lực, nó có thể
giải bằng phương
pháp đại số thông qua biểu diễn bằng các toán tử sinh và hủy lượng tử. Chính
vì vậy, mối quan hệ có thể giúp xây dựng phương pháp đại số tiện lợi trong
ứng dụng cho bài toán nguyên tử hydro [9-10] trong điện từ trường.
Ngoài yếu tố quan trọng trong ứng dụng, mối quan hệ trực tiếp giữa
bài toán hydro ba chiều và dao động tử điều hòa bốn chiều tự thân nó rất thú
vị. Xuất hiện câu hỏi tự nhiên là liệu bài toán hydro trong không gian nhiều
chiều khác có liên quan đến dao động tử điều hòa hay không? Nếu tồn tại mối
quan hệ thì tương quan giữa số chiều của nguyên tử hydro và dao động tử
điều hòa sẽ như thế nào?[11]. Mối liên hệ tương tự được phát hiện cho
Mở đầu
Trang 5
nguyên tử hydro hai chiều và dao động tử điều hòa hai chiều [12] qua phép
biến đổi Levi-Civita [13]. Cũng như vậy, qua phép biến đổi Hurwitz [14] mối
liên hệ được xây dựng cho nguyên tử hydro năm chiều với dao động tử điều
hòa tám chiều [15-17].
Trong công trình [11], lý thuyết tổng quát về mối liên hệ nêu trên được
chứng minh và cách xây dựng phép biến đổi kết nối hai bài toán cũng được

đưa ra. Cụ thể, nếu gọi N là số chi
ều của nguyên tử hydro, K là số chiều của
dao động tử điều hòa thì mối liên hệ giữa hai bài toán chỉ tồn tại nếu :

1
2 1 2 0,1,2,
nn
NKn
+
=+→= = .
Công trình [11] thêm một phép biến đổi cụ thể được xây dựng tường minh
cho nguyên tử hydro 9 chiều và dao động tử điều hòa 16 chiều, gọi là phép
biến đổi Hurwitz mở rộng. Các trường hợp cụ thể tồn tại được thể hiện trong
bảng sau:

Tên phép biến đổi
Số chiều
nguyên tử hyđrô
Số chiều
dao động tử điều hòa

Levi-Civita 2 2
Kustaanheimo-Stiefel 3 4
Hurwitz 5 8
Hurwitz mở rộng 9 16

Rất đặc biệt, một vấn đề cơ bản khác lại liên quan đến mối liên hệ này –
đó chính là đơn cực từ Dirac (1931) [18], đơn cực SU(2) của Yang (1978)
[19]. Thật vậy, nếu như phép biến đổi Levi-Civita:

22
x
=u -v
y=2uv
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩

Mở đầu
Trang 6
chuyển tọa độ từ không gian hai chiều sang không gian hai chiều
22→
thì
phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel:

11324
21423
2222
31 234
2( )
2( )
xuuuu
xuuuu
x
uuuu
=
+
=−

=
+−−

lại kết nối không gian 3 chiều với không gian 4 chiều
34→ . Số dư 1 chiều
được lấp đầy bằng việc đưa ra 1 biến số phụ thêm vào không gian 3 chiều [3]:

21
arctan ( )uu
φ
=

Chính biến số
φ
lại liên quan đến đơn cực từ Dirac. Thực vậy, phép biến đổi
ngược
123 1234
,,, ,,,
x
xx uuuu
φ
→ mang tên Cayley-Klein [3] được xây dựng và
đã chứng minh được rằng phương trình Schrodinger cho dao động tử điều
hòa 4 chiều có thể đưa về phương trình Schrodinger cho nguyên tử hydro với
sự có mặt của đơn cực từ Dirac [6].
Ta có bức tranh tương tự cho trường hợp
58→ . Phép biến đổi Hurwitz:

118273645
2 17283546

316253847
415263748
22222222
51 2345678
2( )
2( )
2( )
2( )
xuuuuuuuu
xuuuuuuuu
xuuuuuuuu
xuuuuuuuu
x
uuuuuuuu
=
−+−
=− − + +
=−−+
=+++
=
+++−−−−

kết nối không gian 5 chiều và 8 chiều. Trong công trình [17] lần đầu tiên đưa
ra định nghĩa 3 biến số phụ
123
,,
φ
φφ
là các góc Euler [33] và xây dựng phép
biến đổi ngược của Hurwitz. Công trình [20] (1996) sử dụng ba biến số phụ,

lần đầu tiên xây dựng mối liên hệ giữa bài toán dao động tử điều hòa 8 chiều
với nguyên tử hydro 5 chiều với sự có mặt của đơn cực SU(2). Đây chính là
Mở đầu
Trang 7
đơn cực isospin được Yang tổng quát hóa từ đơn cực từ Dirac [19]. Từ năm
1996 đến nay, một loạt bài báo được công bố về hướng nghiên cứu và phát
triển bài toán trên [21-26].
Như vậy, ta thấy mối liên hệ giữa nguyên tử hydro với dao động tử
điều hòa không những có ý nghĩa thực tiễn trong ứng dụng tính toán mà thực
sự là vấn đề lớn liên quan đến đề tài rất cơ bản của vậ
t lý là đơn cực từ. Liệu
bức tranh chung, phân tích bên trên có tồn tại cho trường hợp
916→ hay
không? Phép biến đổi Hurwitz mở rộng chỉ mới được nêu ra trong công trình
[11] mà chưa được nghiên cứu cụ thể. Liệu chúng ta có thể đưa ra 7 biến số
phụ để cân xứng số chiều trong phép biến đổi? Liệu một loại đơn cực mới có
tồn tại trong không gian 9 chiều không? Sao cho bài toán dao động tử điều
hòa 16 chiều được đưa về bài toán nguyên tử hydro với sự có mặt của đơn
c
ực này. Giải quyết các vấn đề này chính là nội dung chính của luận văn này.
Với hướng phát triển như trên, nội dung của luận văn sẽ được trình
bày như sau:
Mở đầu: Giới thiệu tổng quan
Nội dung phần mở đầu là giới thiệu tổng quan các nghiên cứu theo hướng
đề tài. Từ đó, định hướng nội dung nghiên cứu trong luận văn này.
Chương I: Biến số phụ trong phép biế
n đổi bình phương
Trong chương này trình bày về biến số phụ trong phép biến đổi
Kustaanheimo-Stiefel cũng như phép biến đổi Hurwitz. Đồng thời sử dụng nó
đẩ xây dựng mối liên hệ giữa bài toán dao động tử điều hòa với nguyên tử

hydro với sự có mặt của đơn cựa từ Dirac và Yang. Chương này, chủ yếu là
viết tổng quan các kết quả của các tác giả khác. Phần đóng góp của tác giả
luận văn là cải tiến về hình thức các phép biến đổi, đồng thới sắp xếp, hệ
thống hóa kiến thức.

Mở đầu
Trang 8
Chương II: Phép biến đổi Hurwitz mở rộng và vai trò của biến số phụ
Phần này là kết quả mới của tác giả, tổng quát hóa chương I cho trường
hợp
916→ bằng cách xây dựng phép biến đổi và phép biến đổi ngược trong
trường hợp này. Trong chương này, lần đầu tiên dạng tường minh của 7 biến
số phụ được đưa ra và mối liên hệ giữa dao động tử điều hòa 16 chiều và
nguyên tử hydro 9 chiều với sự có mặt của đơn cực được thiết lập. Biểu thức
tường minh cho đơn cực được đưa ra cũng như
đại số của mô hình được
nghiên cứu.
Trong luận văn này một số kiến thức, tính toán phức tạp và các
chương trình tính toán bằng Mathematica sẽ được trình bày ở phần phụ lục
sau mỗi chương để logic của vấn đề được liền mạch và người đọc có thể tiện
việc theo dõi.
Kết quả của luận văn đã công bố trong một bài báo khoa học tại J.
Phys. A (2009) [27].

Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương
Trang 9

Chương 1:
BIẾN SỐ PHỤ
TRONG PHÉP BIẾN ĐỔI BÌNH PHƯƠNG

Quay lại các phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel và Hurwitz, chúng ta
thấy đây là các phép biến đổi giữa hai không gian có số chiều khác nhau
(
34→ và 58→ ). Như vậy, có sự bất cân đối về chiều trong các phép biến
đổi trên. Khi thiết lập mối liên hệ giữa bài toán nguyên tử hydro và dao động
tử điều hòa chúng ta cần xây dựng phép biến đổi ngược cho các phép biến đổi
kể trên. Chính vì vậy cần thiết phải đưa ra thêm các biến số phụ vào. Dành
cho phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel người ta đã đưa thêm một biến số
phụ và có phép biến đổi ngược Cayley-Klein (1983) [3]. Với phép bi
ến đổi
Hurwitz thì trong công trình (1991) [17] đưa ra 3 biến số phụ dạng góc Euler.
Điều đặc biệt là khi sử dụng các biến số phụ này trong hai phép biến đổi trên,
có thể đưa vào bài toán thêm tương tác với các đơn cực từ. Trường hợp
34→
ta có đơn cực từ Dirac [3] còn trường hợp
58→ ta có đơn cực từ Yang [20].
Trong chương này ta sẽ hệ thống hóa lại và viết tổng quan về các biến số phụ
này cũng như vai trò của nó trong việc đưa vào các đơn cực từ.
1.1. Biến số phụ trong phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel:
Đối với phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel
(3 4)→
, cần thêm 1 biến
số phụ
21
arctan ( )uu
φ
= [3]. Lúc này, phép biến đổi ngược biểu diễn
1234
,,,uuuu theo

123
,,,
x
xx
φ
. Sử dụng phép biến đổi ngược đưa phương trình
Schrodinger của dao động tử điều hòa 4 chiều về bài toán nguyên tử hydro 3
chiều.

Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương
Trang 10
Phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa 4 chiều có dạng
như sau:
ˆ
(,) (,)Huv Zuv
ψψ
=
(1.1)
trong đó,
(,)uv
ψ
, Z là hàm riêng và nghiệm riêng của Hamiltonian
ˆ
H
. Trong
hệ đơn vị nguyên tử,
ˆ
H
được viết như sau:
2

2
11
ˆ
22
s
s
ss
Huu
uu
ω
∂
=− +
∂∂
(1.2)
Sử dụng phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel và thêm vào biến số phụ
φ
như
đã nêu. Chúng ta có phép biến đổi có sự xuất hiện thêm của
φ
:
11324
21423
2222
31 234
21
2( )
2( )
arctan ( )
xuuuu
xuuuu

x
uuuu
uu
φ
=+
=−
=+−−
=

Biểu diễn
1234
,,,uuuu theo
123
,,,
x
xx
φ
, chúng ta có phép biến đổi ngược gọi là
phép biến đổi Cayley-Klein:

3
1
cos
2
rx
u
φ
+
=
,

3
2
sin
2
rx
u
φ
+
=

12
3
3
cos sin
2( )
xx
u
rx
φ
φ
−
=
+
,
12
4
3
sin cos
2( )
xx

u
rx
φ
φ
+
=
+

Sử dụng phép biến đổi ngược, ta đưa phương trình (1.1) về dạng như sau:

2
2
22
111
(, ) (, )
282
Z
AA r r
xx rr
λλ
λλ
ψ
φωψφ
φφφ
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
∂∂∂∂ ∂
−+ + − − =−
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟

∂∂∂∂ ∂
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
r
r
(1.3)

Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương

Trang 11
trong đó,
2
2E
ω
=− được xem như là nghiệm riêng của phương trình trên;

21
3
1
(, ,0)
()
Axx
rr x
λ
=−
+

là vector có dạng thế đơn cực từ Dirac (xem phần 1.3).
Nghiên cứu một cách kỹ lưỡng phương trình (1.3), ta thấy rằng nếu
tìm được hàm sóng

Ψ chỉ phụ thuộc vào r, tức là:

0
φ
∂Ψ
=
∂
(1.4)
Lúc này, phương trình (1.3) trở thành:

1
() ()
2
Z
E
xx r
λλ
⎧⎫
∂∂
−−Ψ=Ψ
⎨⎬
∂∂
⎩⎭
rr
(1.5)
Phương trình này có dạng là phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro.
Như vậy, ta có thể tìm hàm riêng của nguyên tử hydro bằng hàm riêng của
dao động tử điều hòa 4 chiều với điều kiện ràng buộc (1.4).
Nếu ta chọn được hàm sóng
Ψ

thỏa điều kiện q
φ
∂
Ψ
=
Ψ
∂
thì (1.3) sẽ có
dạng sau:

2
2
1
(, ) (,)
28
qZ
Aq Aq r E r
xx rr
λλ
λλ
ψ
φψφ
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
∂∂
−+ +−− =
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟
∂∂
⎝⎠⎝⎠

⎣⎦
r
r
(1.6)
Như vậy, sử dụng phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel và thêm vào
biến số phụ, khi đưa phương trình Schrodinger của dao động tử 4 chiều về
dạng phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro với thế tương tác của
đơn cực từ
A
λ
xuất hiện trong phương trình. Phương trình (1.6) có thể xem là
bài toán một điện tử chuyển động trong “charge-dyon” (lưỡng tích gồm cả từ

Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương

Trang 12
tích và điện tích). Từ tích sinh ra thế đơn cự từ A
λ
còn điện tích sinh ra thế
Coulomb
Z
r− . Với phương trình (1.3), ta có thể tìm hàm riêng của bài toán
nguyên tử hydro bằng nghiệm riêng của bài toán dao động tử điều hòa với
điều kiện ràng buộc (1.4).

1.2. Biến số phụ trong phép biến đổi Hurwitz:
Tương tự như phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel, đối với phép biến
đổi Hurwitz
(5 8)→ ta cũng thêm vào biến số phụ, thiết lập phép biến đổi
ngược để từ đó xây dựng mối liên hệ giữa bài toán dao động tử 8 chiều vào

bài toán điện tử chuyển động trong trường Coulomb (bài toán nguyên tử
hydro) 5 chiều. Tuy nhiên, muốn cân bằng số biến không gian của phép biến
đổi ta cần thêm đến 3 biến số phụ. Công trình [17] đã đặt các biến số phụ đầu
tiên cho phép biến đổi này như sau:

()
(
)
()()
1234
1
1234
ln
2
uiuuiu
i
uiuuiu
φ
++
=−
−−


()
(
)
()()
1234
2
1234

ln
2
uiu uiu
i
uiuuiu
φ
+−
=−
−+
(1.7)


()()
()()
1212
3
3434
2arctan
uiuuiu
uiuuiu
φ
+−
=
+−

Kết hợp phép biến đổi Hurwitz và các biến số phụ được xây dựng như ở trên,
ta được phép biến đổi ngược:

53
12

1
sin cos
22 2
rx
u
φ
φ
φ
+
+
= ,
53
12
2
sin sin
222
rx
u
φ
φ
φ
+
+
=


53
12
3
cos cos

222
rx
u
φ
φ
φ
+
−
= ,
53
12
4
cos sin
222
rx
u
φ
φ
φ
+
−
=
(1.8)

Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương

Trang 13
33
12 12 12 12
51234

5
1
sin sin cos cos sin cos
22 222 2
2( )
uxxxx
rx
φφ
φφ φφ φφ φφ
⎧−− ++⎫
⎛⎞⎛⎞
=−++−+
⎨⎬
⎜⎟⎜⎟
+
⎝⎠⎝⎠
⎩⎭

33
12 12 12 12
61234
5
1
sin cos sin cos cos sin
22 222 2
2( )
uxxxx
rx
φφ
φφ φφ φφ φφ

⎧−− ++⎫
⎛⎞⎛⎞
=+++
⎨⎬
⎜⎟⎜⎟
+
⎝⎠⎝⎠
⎩⎭

33
12 12 12 12
71234
5
1
sin sin cos cos sin cos
22 222 2
2( )
uxxxx
rx
φφ
φφ φφ φφ φφ
⎧++ −−⎫
⎛⎞⎛⎞
=−−+ +
⎨⎬
⎜⎟⎜⎟
+
⎝⎠⎝⎠
⎩⎭
33

12 12 12 12
812 34
5
1
sin cos sin cos cos sin
22 22 2 2
2( )
uxx xx
rx
φφ
φφ φφ φφ φφ
⎧++ −−⎫
⎛⎞⎛ ⎞
=−+−+
⎨⎬
⎜⎟⎜ ⎟
+
⎝⎠⎝ ⎠
⎩⎭

Phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa 8 chiều trong hệ đơn vị
nguyên tử được viết như sau:


2
2
11
() ()
22
ss

ss
uu u Z u
uu
ωψ ψ
⎛⎞
∂
−+ =
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
(1.9)
Sử dụng phép biến đổi ngược ta viết lại (2.8) dưới dạng sau:

),(),(
ˆ
2
1
ˆ
)(
2
1
2
2
2
φψφψ
λ
λ
rEr
r
Z

Q
r
QrA
x
i
kk
rrr
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂

−
(1.10)
trong đó,
2
2E
ω
=− được xem như là nghiệm riêng của phương trình trên,
λ

nhận các giá trị từ 1 đến 5, k nhận giá trị từ 1 đến 3,
2 222
123
ˆˆˆˆ
QQQQ
=
++.
Từ phương trình (1.10) nếu chúng ta tìm được hệ nghiệm
ψ
sao cho
chúng không chứa các biến số góc nghĩa là chúng thoả mãn các phương trình:
1
ˆ
0Q
ψ
= ,
2
ˆ
0Q
ψ
= ,

3
ˆ
0Q
ψ
=
(1.11)
thì (1.10) chính là phương trình Schrodinger cho nguyên tử hydro trong
không gian 5 chiều. Trong trường hợp tổng quát thì phương trình (1.10) mô tả
hạt có spin đồng vị chuyển động trong trường Coulomb và trường thế đơn
cực Yang [20].

Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương

Trang 14
Bây giờ chúng ta sẽ nói rõ hơn về ()
k
Ar
λ
r
và
ˆ
()
k
Q
φ
trong phương trình
(1.10). Biểu thức tường minh của hệ toán tử
ˆ
()
k

Q
φ
được xác định:

2
1
ˆ
φ
∂
∂
−= iQ
,

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=

3
2
23
2
13
2
2
sin
tan
cos
sin
cos
ˆ
φ
φ
φφ
φ
φφ
φ
iQ
, (1.12)

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−−=
3
2
23
2
13
2
3
cos
tan
sin
sin
sin
ˆ
φ
φ
φφ
φ
φφ
φ
iQ
.

Ta dễ dàng chứng minh hệ 3 toán tử này thỏa các tính chất giao hoán:

ˆˆ ˆ
,
ij ijkk
QQ i Q
ε
⎡⎤
=
⎣⎦
,

2
ˆˆ
,0
i
QQ
⎡⎤
=
⎣⎦

Nghiệm riêng của hệ toán tử này là hàm cầu suy rộng hay còn gọi là hàm
Winger
123
(, , )
j
mk
D
φ
φφ

[33]. Ngoài ra,
k
A
λ
là hệ thế vectơ của trường đơn cực
Yang [19-20] được xác định :

)0,,,,(
)(
1
3412
5
1
xxxx
xrr
A −−
+
=
λ
,

)0,,,,(
)(
1
1234
5
2
xxxx
xrr
A −−

+
=
λ
, (1.13)

)0,,,,(
)(
1
2143
5
3
xxxx
xrr
A −−
+
=
λ
.
Tính chất của hệ thế vectơ
k
A
λ


Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương

Trang 15

kjjk
xrr

xr
AA
δ
λλ
)(
5
2
5
+
−
=
,
(1.14)

0=
k
Ax
λλ
.
1.3. Đơn cực từ:
Trong điện học cổ điển chúng ta đã biết tới hệ phương trình nổi tiếng
của Maxwell mô tả trường điện từ :

0e
E
ρ
εε
∇=
r
, 0B

∇
=
r


B
E
dt
∂
∇× =−
r
r
,
0
0
1
e
E
BJ
t
μμ
εε
⎛⎞
∂
∇× = +
⎜⎟
∂
⎝⎠
r
rr

(1.15)
trong đó, E
r
,
B
r
là cường độ điện trường và cảm ứng từ, đây là hai đại lượng
đặc trưng cho điện trường và từ trường.
ε
,
μ
là hằng số điện môi và độ từ
thẩm phụ thuộc vào môi trường.
0
ε
,
0
μ
là hằng số điện và hằng số từ. ,
ee
J
ρ
r
là
mật độ điện tích và mật độ dòng điện tích.
Các phương trình trên thể hiện nguồn gốc và tính chất của trường điện
từ. Phương trình thứ nhất và thứ ba cho chúng ta biết rằng điện trường tĩnh
(có đường sức hở) do điện tích gây ra, còn điện trường xoáy (có đường sức
kín) do sự biến thiên của từ trường gây ra. Phương trình thứ hai và thứ tư
cho

ta biết từ trường luôn xoáy (có đường sức là đường cong kín), từ trường được
sinh ra do các điện tích chuyển động (dòng điện dẫn) và do sự biến thiên của
điện trường (dòng điện dịch). Dựa trên ý nghĩa vật lý cũng như hình thức các
phương trình trên ta thấy mặc dù điện trường và từ trường thống nhất với
nhau trong trường điện từ và có vai trò như nhau nhưng
ở đây ta thấy có sự
bất cân xứng giữa điện và từ. Trong sự phát triển cao hơn, Dirac đã đưa ra ý
tưởng về sự đối xứng giữa điện và từ, có nghĩa là có điện tích sẽ có từ tích, có

Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương

Trang 16
đơn cực điện (do điện tích gây ra) sẽ có đơn cực từ (do từ tích gây ra). Với ý
tưởng trên, hệ phương trình Maxwell được điều chỉnh lại như sau:

0e
E
ρ
εε
∇=
r
,
0 m
B
μ
μρ
∇=
r

0 m
B
EJ
dt
μμ
∂
∇× =− −
r
rr
,
00e
E
BJ
t
μμ εε
⎛⎞
∂
∇× = +
⎜⎟
∂
⎝⎠
r
rr
(1.16)
ở hệ phương trình này,
,
mm
J
ρ
r

là mật độ từ tích và mật độ dòng từ tích.
Xét một lưỡng tích (charge-dyon) gây ra một đơn cực tĩnh điện và một
đơn cực tĩnh từ, điện từ trường bao quanh nó có mật độ mômen theo vector
Poynting và chúng có mômen tổng cộng tỉ lệ với tích
q
e
q
m
(tích của điện tích
và từ tích). Theo cơ học lượng tử thì mômen bị lượng tử hóa nên
q
e
q
m
cũng
bị lượng tử hóa
. Dirac đã đưa ra được biểu thức như sau:

1
2
em
qq
n
hc
=
(với n là số nguyên)
Trong công trình [18], Dirac đưa ra bài toán chuyển động của một điện
tích quanh một đơn cực từ. Sau đó, dựa trên tính đối xứng giữa điện và từ,
bài toán ngược là chuyển động của đơn cực từ quanh điện tích được đưa ra.
Theo tính đối xứng giữa điện và từ thì biểu thức cảm ứng từ

B
r
do từ tích gây
ra phải được xác định giống tĩnh điện
E
r
:

3
m
q
B
r
r
=
r
r
(1.17)
mà thế vector của từ trường được xác định :

B
A=∇×
r
r

thế biểu thức trên vào (1.17) ta được:

Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương

Trang 17

3
m
q
Ar
r
∇× =
r
r
(1.18)
Một trong những nghiệm của phương trình (1.18) có dạng sau [1]:

()
,,0
()
m
q
Ayx
rr z
=−
+
r

(1.19)
biểu thức (1.19) là một trong những dạng của thế đơn cực từ Dirac.
Trong trường hợp 5 chiều, thế đơn cực từ được Yang đề xuất trong
công trình [20] và được sử dụng ở nhiều bài báo khác:

()

12143
5
,, ,,0
()
m
q
Axxxx
rr x
=−
+
r


()
24321
5
,, , ,0
()
m
q
Axxxx
rr x
=−−−
+
r

(1.20)

()
33412

5
,,,,0
()
m
q
Axxxx
rr x
=−−−
+
r


1.4. Phụ lục chương 1:

PHỤ LỤC A.1.1 : Tính
k
ξ
theo
λ
x
,
i
φ

Để thuận tiện cho tính toán ta sử dụng ký hiệu phức cho phép biến đổi
Hurwitz như sau:

****
114233241
xi i i i

ξ
ξξξξξξξ
=− − + +
, (1)
1
*
42
*
33
*
24
*
12
ξξξξξξξξ
−++=x
, (2)
2
*
41
*
34
*
23
*
13
ξξξξξξξξ
iiiix −++−=
, (3)
2
*

41
*
34
*
23
*
14
ξξξξξξξξ
+++=x
, (4)

Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương

Trang 18

4
*
43
*
32
*
21
*
15
ξξξξξξξξ
−−+=x
, (5)
211
argarg
ξ

ξ
φ
+=
, (6)

212
argarg
ξ
ξ
φ
−=
, (7)

2
1
1
*
12
*
2
2
*
21
*
1
3
arctan2
2
arctan
ξ

ξ
ξξξξ
ξξξξ
φ
=
−
=
, (8)
* Tính
21
,
ξ
ξ

Từ (5) và (8), ta tính được:

()
5
3
1
2
1
2
sin xr +=
φ
ξ
,

()
5

3
2
2
1
2
cos xr +=
φ
ξ
.
Từ (6) và (7):
2
arg
21
1
φ
φ
ξ
+
=
,

2
arg
21
2
φ
φ
ξ
−
=

.
Do đó ta tính được:

()
2
5
3
1
21
2
1
2
sin
φφ
φ
ξ
+
+=
i
exr
, (9)

()
2
5
3
2
21
2
1

2
cos
φφ
φ
ξ
−
+=
i
exr
. (10)
* Tính
43
,
ξ
ξ

Sử dụng các biểu thức (1-8), ta biểu diễn được
34
,
ξ
ξ
theo
i
x
và
12
,
ξ
ξ
như sau:

()
(
)
()
2
*
2
*
11
212431
3
2
ξξξξ
ξξ
ξ
+
+++
=
xixxix
.

Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương

Trang 19

()
(
)
()

2
*
2
*
11
211432
4
2
ξξξξ
ξξ
ξ
+
−+−−
=
xixxix

Thế các giá trị
21
,
ξ
ξ
đã tính ở trên, ta được:

()
() ()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎡
+++
+
=
+−
2
3
43
2
3
21
5
3
2121
2
cos
2
sin
2
1
φφφφ
φφ
ξ
exixexix
xr
i
.

()
() ()

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−−
+
=
−+
2
3
43
2
3
21
5
4
2121
2
cos
2
sin
2
1
φφφφ
φφ
ξ
exixexix
xr

i



PHỤ LỤC A.1.2: TÍNH CÁC ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA
i
φ
THEO
*
,
ss
ξξ


Tính các đạo hàm riêng của
21
,
φ
φ
theo
*
,
ss
ξξ

Sử dụng các biểu thức (9) và (10), ta tính được các kết quả sau:

*
2
*

1
21
1
ln
2
ξξ
ξ
ξ
φ
i−
=
,
2
*
1
*
21
2
ln
2
ξξ
ξξ
φ
i−
=
.
Lấy đạo hàm của
21
,
φ

φ
theo
*
,
ss
ξξ
ta được:

11
1
2
ξξ
φ
i−
=
∂
∂
,
*
1
*
1
1
2
ξξ
φ
i
=
∂
∂

,
22
1
2
ξξ
φ
i
−
=
∂
∂
,
*
2
*
2
1
2
ξξ
φ
i
=
∂
∂
,

11
2
2
ξξ

φ
i−
=
∂
∂
,
*
1
*
1
2
2
ξξ
φ
i
=
∂
∂
,
22
2
2
ξξ
φ
i
=
∂
∂
,
*

2
*
2
2
2
ξξ
φ
i−
=
∂
∂
.

Tính các đạo hàm riêng của
3
φ
theo
*
,
ss
ξξ
:

**
3
122
***
1112211
φ
ξ

ξξ
ξ
ξξ ξξ ξξ
∂
=
∂+
,
*
11
*
22
*
22
*
11
1
*
1
3
ξξ
ξξ
ξξξξ
ξ
ξ
φ
+
=
∂
∂
.

Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương

Trang 20

**
3
211
***
2112222
φ
ξ
ξξ
ξ
ξξ ξξ ξξ
∂
−
=
∂+
,
*
22
*
11
*
22
*
11
2
*

2
3
ξξ
ξξ
ξξξξ
ξ
ξ
φ
+
−
=
∂
∂
.


PHỤ LỤC A.1.3: BIỂU DIỄN TOÁN TỬ HAMINTON
TRONG KHÔNG GIAN
(,)
i
x
λ
φ

Toán tử Haminton trong (1.8) được viết:

*
2
*
2

2
1
2
1
ˆ
ss
ss
H
ξξω
ξξ
+
∂∂
∂
−=
.
Bây giờ chúng ta sẽ viết lại trong không gian (,)
i
x
λ
φ
.
Trước hết, ta tính
*
2
ss
ξξ
∂∂
∂

Ta có:

is
i
s
s
x
x
φξ
φ
ξ
ξ
λ
λ
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
**
*

Suy ra:
iss
i

iss
i
ssss
ss
x
x
x
x
φξξ
φ
φξξ
φ
ξξξξ
ξξ
λ
λ
λ
λ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂∂
∂
+

∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂∂
∂
=
∂∂
∂
**
2
**
2
*
2


kis
k
s
i
iss
i
ssss
xx

x
x
x
x
φφξ
φ
ξ
φ
φξξ
φ
ξξξξ
μλ
μ
λ
λ
λ
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂∂
∂
+
∂∂
∂

∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂∂
∂
=
2
**
2
2
**
2


iss
i
s
i
s
x
xx
φξξ
φ
ξ
φ
ξ

λ
λλ
∂
∂
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
**

Bây giờ ta tính từng số hạng trong biểu thức trên:
()
0)(
)(

*
*2
*
2
==
∂∂
∂
=
∂∂
∂
=
uvvsus
ss
vuvu
ss
x
A
λ
λλ
γδδ
ξξ
ξγξ
ξξ



Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương

Trang 21
()

()
μλ
λμ
μλ
μ
λ
ξγγξδδ
ξξ
xxxx
x
x
B
v
uv
ij
ijsus
ss
∂∂
∂
=
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
2
*
2

*


()
()
2
2
*
2
*
2
*
λμλ
λμ
μλ
λμ
ξξδξξξγγξ
xxxxx
ssssv
sv
is
i
∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂∂
∂

=

*
22
3
2
*
11
3
2
*
3
2
*
2
ξξ
φ
ξξ
φ
ξξ
φ
φξξ
φ
∂∂
∂
+
∂∂
∂
=
∂∂

∂
=
∂
∂
∂∂
∂
=
ssiss
i
C
.

()
33
21
2
**
12 5
11 2 2
11
cotan tan
22
2
rx
φ
φ
ξξ
ξξ
ξξ ξξ
⎛⎞

⎛⎞
=−=−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
+
⎝⎠



3
5
cotan
2
φ
xr +
=
.

2
3
2
3
2
2
2
2
2

1
2
1
2
*
φφφφφξ
φ
ξ
φ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
= DDDD
kis
k
s
i

32
2
6
31
2
5
21
2
4
φφφφφφ
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+ DDD
.
trong đó:

=
∂
∂
∂
∂
=
*

11
1
s
s
D
ξ
φ
ξ
φ
+
∂
∂
∂
∂
*
1
1
1
1
ξ
φ
ξ
φ
*
2
1
2
1
ξ
φ

ξ
φ
∂
∂
∂
∂
3
2
5
sin)(
2
φ
xr +
=
.

=
∂
∂
∂
∂
=
*
22
2
ss
D
ξ
φ
ξ

φ
+
∂
∂
∂
∂
*
1
2
1
2
ξ
φ
ξ
φ
*
2
2
2
2
ξ
φ
ξ
φ
∂
∂
∂
∂
=
3

2
5
sin)(
2
φ
xr +
.

=
∂
∂
∂
∂
=
*
33
3
ss
D
ξ
φ
ξ
φ
+
∂
∂
∂
∂
*
1

3
1
3
ξ
φ
ξ
φ
*
2
3
2
3
ξ
φ
ξ
φ
∂
∂
∂
∂
=
5
2
rx
+
.

+
∂
∂

∂
∂
=
*
1
2
1
1
4
ξ
φ
ξ
φ
D
12
*
22
φ
φ
ξ
ξ
∂
∂
+
∂∂
21
*
11
φ
φ

ξ
ξ
∂
∂
+
∂∂
*
2
1
2
2
ξ
φ
ξ
φ
∂
∂
∂
∂


Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương

Trang 22

3
2
53
4cos
()sinrx

φ
φ
=
+

.
3333
11 1 1
5
****
11 22 11 22
D
φ
φφ φ
φ
φφφ
ξ
ξξξξξξξ
∂∂∂∂
∂∂ ∂∂
=+++
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂
=0

3333
22 22
6
****
11 22 11 22
D

φ
φφ φ
φ
φφφ
ξ
ξξξξξξξ
∂∂∂∂
∂∂ ∂∂
=+++
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂
=0
Vậy:

21
2
3
2
5
3
2
3
2
5
2
2
2
3
2
5
2

1
2
3
2
5
sin)(
cos4
2
sin)(
2
sin)(
2
φφφ
φ
φφφφφ
∂∂
∂
+
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+

=
xrxrxrxr
D


k
k
iss
i
s
i
s
x
E
x
xx
E
φφξξ
φ
ξ
φ
ξ
λ
λ
λ
λλ
∂
∂
∂
∂

=
∂
∂
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
**
.
trong đó:

11 11 11 11
11
****

11 2 2 11 2 2
x
xxx
E
φ
φφ φ
ξ
ξξξξξξξ
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂
=+++
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂


53
2
()sinrx
φ
=
+
[
]
2423
cossin
φ
φ
xx
−
.

12 12 21 21

12
****
11 22 11 22
x
xxx
E
φ
φφ φ
ξ
ξξξξξξξ
∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
=+++
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂


5
2
()rx
=
+
[]
2342332
coscotansincotan
φ
φ
φ
φ
xxx
−
+

.

3333
11 11
13
****
11 2 2 11 2 2
x
xxx
E
φ
φφ φ
ξ
ξξξξξξξ
∂∂∂∂
∂∂ ∂∂
=+++
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂


5
2
()rx
=
+
[]
2423
sincos
φ
φ

xx
−
−
.

Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương

Trang 23

21 21 12 12
21
****
11 2 2 11 2 2
x
xxx
E
φ
φφ φ
ξ
ξξξξξξξ
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂
=+++
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂


53
2
()sinrx
φ
−

=
+
[
]
2423
sincos
φ
φ
xx
−
−
.

22 22 22 22
22
****
11 2 2 11 2 2
x
xxx
E
φ
φφ φ
ξ
ξξξξξξξ
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂
=+++
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂


5

2
()rx
=
+
[]
2342331
sincotancoscotan
φ
φ
φ
φ
xxx
+
+
−
.

3333
22 22
23
****
11 2 2 11 2 2
x
xxx
E
φ
φφ φ
ξ
ξξξξξξξ
∂∂∂∂

∂∂ ∂∂
=+++
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂


5
2
()rx
=
+
[]
2423
cossin
φ
φ
xx
−
.

33 33
1111
31
****
11 2 2 11 2 2
x
xxx
E
φ
φφ φ
ξ

ξξξξξξξ
∂∂ ∂∂
∂∂∂∂
=+++
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂


53
2
()sinrx
φ
−
=
+
[
]
2122
sincos
φ
φ
xx
+
.

33 33
2222
32
****
11 22 11 22
x

xxx
E
φ
φφ φ
ξ
ξξξξξξξ
∂∂ ∂∂
∂∂∂∂
=+++
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂


5
2
()rx
−
=
+
[]
4231232
sincotancoscotan xxx
+
+
φ
φ
φ
φ
.

33 3333 33

33
****
11 2 2 11 2 2
x
xxx
E
φ
φφ φ
ξ
ξξξξξξξ
∂∂ ∂∂∂∂ ∂ ∂
=+ +
∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂


5
2
()
rx
=
+
[]
2221
sincos
φ
φ
xx
−
.

Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương

Trang 24

41 41 14 14
41
****
11 22 11 22
x
xxx
E
φ
φφ φ
ξ
ξξξξξξξ
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂
=+++
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂


53
2
()sinrx
φ
=
+
[
]
2221

sincos
φ
φ
xx
−
.

42 42 24 24
42
****
11 22 11 22
x
xxx
E
φ
φφ φ
ξ
ξξξξξξξ
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂
=+++
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂


5
2
()rx
=
+
[]
3232231

sincotancoscotan xxx
+
−
φ
φ
φ
φ
.

3333
44 44
43
****
11 22 11 22
x
xxx
E
φ
φφ φ
ξ
ξξξξξξξ
∂∂∂∂
∂∂ ∂∂
=+++
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂


5
2
()

rx
=
+
[]
2221
cossin
φ
φ
xx
+
.

55 55
1111
51
****
11 2 2 11 2 2
x
xxx
E
φ
φφ φ
ξ
ξξξξξξξ
∂∂ ∂∂
∂∂∂∂
=+++
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂

0
2
*
2
*
2
2
2
*
1
*
1
1
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+−=
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ

ξ
ξ
i
.

55 5 5
2222
52
****
11 22 11 22
x
xxx
E
φ
φφ φ
ξ
ξξξξξξξ
∂∂ ∂∂
∂∂∂∂
=+++
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂


0
2
*
2
*
2
2

2
*
1
*
1
1
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−++−=
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
i
.

35335 35
4

53
****
11 22 11 22
x
xx
x
E
φ
φφ φ
ξ
ξξξξξξξ
∂∂∂∂∂∂∂
∂
=+++
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂


⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
*
22
*
11
*
22
*
11
2
*
2
*
11
2
*
2
*
22
*
11
*
11

ξξ
ξξ
ξξξξ
ξξ
ξξ
ξξ
ξξξξ
ξξ


Chương 1: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương

Trang 25

0
*
22
*
11
*
22
*
11
2
*
2
*
11
2
*

2
*
22
*
11
*
11
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
ξξ

ξξ
ξξξξ
ξξ
ξξ
ξξ
ξξξξ
ξξ
.
Ta biểu diễn
*
2
ss
ξξ
∂∂
∂
trong không gian (,)
i
x
λ
φ
:
2
1
2
3
2
53
3
5
2

2
*
2
sin)(
2
cotan
2
φφφ
φ
ξξ
λ
∂
∂
+
+
∂
∂
+
+
∂
∂
=
∂∂
∂
xrxrx
r
ss


21

2
3
2
5
3
2
3
2
5
2
2
2
3
2
5
sin)(
cos4
2
sin)(
2
φφφ
φ
φφφ
∂∂
∂
+
+
∂
∂
+

+
∂
∂
+
+
xrxrxr


35
sin)(
2
φ
xr +
+
[]
11
2
2423
cossin
φ
φφ
∂∂
∂
−
x
xx


)(
2

5
xr +
+
[]
21
2
2342332
coscotansincotan
φ
φφφφ
∂∂
∂
−+
x
xxx

)(
2
5
xr +
+
[]
31
2
2423
sincos
φ
φφ
∂∂
∂

−−
x
xx


35
sin)(
2
φ
xr +
+
[]
12
2
2423
sincos
φ
φφ
∂∂
∂
+
x
xx


)(
2
5
xr +
+

[]
22
2
2342331
sincotancoscotan
φ
φφφφ
∂∂
∂
++−
x
xxx

)(
2
5
xr +
+
[]
32
2
2423
cossin
φ
φφ
∂∂
∂
−
x
xx

35
sin)(
2
φ
xr +
+
[]
13
2
2122
sincos
φ
φφ
∂∂
∂
−−
x
xx


)(
2
5
xr +
+
[]
23
2

4231232
sincotancoscotan
φ
φφφφ
∂∂
∂
−−−
x
xxx