Tải bản đầy đủ (.doc) (12 trang)

skkn rèn luyện, phát triển tư duy học sinh qua một số bài toán về bất đẳng thức lớp 8

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (163.04 KB, 12 trang )

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I- MỞ ĐẦU.
Cùng với sự phát triển của đất nước ta, sự nghiệp giáo dục cũng không
ngừng đổi mới. Vì thế các nhà trường càng phải ln luôn chú trọng đến chất
lượng của học sinh một cách tồn diện. Bởi vậy phải có sự đầu tư thích đáng
cho nền giáo dục. Với vai trị là mơn học cơng cụ, bộ mơn tốn đã góp phần tạo
điều kiện cho các em học tốt bản thân mơn tốn và các môn khoa học khác.
Một vấn đề được đặt ra là dạy như thế nào để học sinh không những nắm
vững nội dung kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải rèn luyện khả
năng tư duy lô gíc, rèn luyện kỹ năng làm các bài tập của bộ mơn tốn cũng
như các mơn khoa học khác, có thái độ, quan điểm rõ ràng trong các bài tập
của mình để các em tạo được sự hứng thú say mê trong việc học tập, tiếp thu
kiến thức và có thể đưa các kiến thức đó áp dụng ra ngồi cuộc sống đời
thường là câu hỏi mà mỗi thầy cô ln phải đặt ra để có thể truyền đạt kiến
thức một cách tốt nhất cho các em học sinh thân yêu của mình.
Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của
các em học sinh, trong quá trình giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc ra những
nội dung kiến thức cơ bản một cách rõ ràng ngắn gọn và đầy đủ nội dung, phải
đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển rút ra những nội dung
kiến thức chính trong bài học giúp học sinh có thể nắm được cái quan trọng,
nội dung chính trong bài học đồng thời có thể gợi mở, đặt vấn đề để học sinh
phát triển tư duy và kĩ năng phân tích nội dung và làm các bài tập toán học một
cách chặt chẽ, rõ ràng có hệ thống, đồng thời giúp cho các em nhận ra các dạng
bài toán đã học một cách nhanh nhất.
Qua một thời gian giảng dạy bộ mơn tốn tại trường THCS Tn Đạo,
bản thân tơi đã cố gắng chú trọng rèn luyện tư duy cho học sinh trong q trình
học tốn và đã đạt được một số kết quả, có thể đây là bước đầu trao đổi thành
một đề tài về kinh nghiệm rèn luyện tư duy trong học tốn của học sinh. Tơi

Trang 1



mạnh dạn viết thành sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề “Rèn luyện, phát triển
tư duy học sinh qua một số bài toán về bất đẳng thức lớp 8” của mình để
cùng trao đổi với các đồng nghiệp nhằm mục đích cùng trao đổi học hỏi lẫn
nhau trong bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 trong trường một cách tốt hơn.
II- THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
* Trường THCS Tuân Đạo có 400 học sinh cụ thể chất lượng là:
45 % Mức độ đạt yêu cầu trong đó 20 % Học sinh khá và giỏi
(kết quả khảo sát chất lượng đầu năm)
*Đối với học sinh lớp 8
Số học sinh: 84 em trong đó 20 học sinh khá giỏi
- Phân chia thành các nhóm tiếp thu kiến thức như sau :
+ Nhóm những em tiếp thu nhanh, giải quyết vấn đề nhanh, linh hoạt:
30%.
+ Nhóm HS biết vận dụng trực tiếp: 55 %.
+ Nhóm HS chưa biết vận dụng : 15 %.
( Phân chia các nhóm tiếp thu về bộ mơn Toán )
- Học sinh chưa biết lập luận trên cơ sở khoa học chặt chẽ và chưa biết
cách tự học, tự giải quyết vấn đề chiếm tới 85 %.
- Về tài liệu: SGK, SGV đầy đủ, sách nâng cao, sách tham khảo của học
sinh và giáo viên còn hạn chế, phần lớn là do giáo viên và học sinh tự mua
sắm.
- Qua q trình trực tiếp giảng dạy Tốn các khối lớp 8, 9 từ các tiết
luyện tập, các tiết kiểm tra, các tiết bồi dưỡng học sinh yếu kém và ôn thi học
sinh giỏi và các tiết đi dự giờ thăm lớp các đồng nghiệp. Tôi nhận thấy học
sinh thường lúng túng, khơng tìm ra hướng giải quyết hoặc đã tìm ra nhưng
khơng biết làm như thế nào, làm từ đâu, các bài làm của các em trong các giờ
kiểm tra trên lớp cũng như các bài kiểm tra 1 tiết thường là khơng chặt chẽ,
khơng có tính logic nhiều bài làm cho lời giải một cách rời rạc để nhiểu chỗ


Trang 2


khơng hợp lý, đặc biệt là những bài tốn khó, những tình huống tốn học mang
tính thực tiễn.

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I- CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:
1. Hình thành thái độ học tập bộ mơn tốn cho học sinh.
2. Phân loại bài tập và yêu cầu đối tượng học sinh qua từng bài tập để
phù hợp và hiệu quả khi giải bài tập bất đẳng thức.
3. Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh.
4. Tham khảo các tài liệu trong thư viện, trên báo chí, ý kiến của các
đồng nghiệp, các chuyên gia, điều tra, thống kê kết quả học tập của học
sinh, hiệu quả trang công tác giảng dạy, đúc rút kinh nghiệm kịp thời...
về các vấn đề nghiên cứu và một số vấn đề liên quan.
II- CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
1. Hình thành thái độ học tập bộ mơn tốn cho học sinh.
Học sinh ở cấp THCS đang ở lứa tuổi hiếu động, bồng bột, giải quyết
vấn đề hầu như dựa vào cảm tính. Nắm được sự phát triển tâm lí này, giáo viên
cần phải tạo cho học sinh một thái độ học tập đúng đắn, nghiêm túc nhằm tạo
cho học sinh tính kỉ luật, khoa học…đồng thời kích thích sự hướng thú say mê
học tập của học sinh trong q trình học tập mơn tốn.
Để làm được điều này là một người giáo viên cần có nhiều biện pháp
như: cho học sinh học tập theo nhóm để rèn luyện tính tập thể, tổ chức học tập
dưới hình thức trị chơi, tiến hành đo đạc, giới thiệu những bài tốn lí thú,…
Đặc biệt là phải phân rõ các dạng toán một cách rõ ràng để học sinh dễ hình
dung và dễ tiếp thu nó
2. Phân loại và yêu cầu đối tượng học sinh qua từng bài tập để phù hợp và
hiệu quả khi giải bài tập.

Được chia làm 2 phần
+ Giới thiệu kiến thức cơ bản

Trang 3


+ Các bài tập áp dụng
(ở phần này được chia làm các dạng tốn để học sinh có hệ thống trong quá
trình làm các bài tập)
3. Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh qua các dạng bài tập
1. GIỚI THIÊU KIẾN THỨC CƠ BẢN
a). Định nghĩa
a > b nếu a – b > 0
b). Tính chất (Có 3 tính chất)
- Tính chất 1: Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức
a>b ⇔ a+c>b+c
- Tính chất 2: Nhân hai vế của bất đẳng thức với một cùng một số dương
a > b
⇒ a.c > b.c

c > 0

- Tính chất 3: Nhân hai vế của bất đẳng thức với một cùng một số âm
a > b
⇒ a.c < b.c

c < 0

Nhận xét: Phần này giáo viên giới thiệu nội dung kiến thức cơ bản nhất, là tiền
đề để làm các bài tập áp dụng. Trong từng dạng giáo viên phải nhấn mạnh đã

dũng tính chất gì, hướng phân tích bài tốn, tìm ra lời giải thì phải hướng dẫn
mẫu và cách trình bày lời giải để học sinh đỡ lúng túng trong cách trình bày lời
giải.
2. CÁC BÀI TỐN ÁP DỤNG
I. Khi nào một biểu thức có giá trị âm hoặc dương
Dạng 1: Biểu thức có dạng tổng
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của x, sao cho:
a). Biểu thức A = 2x – 1 > 0 có giá trị dương
b). Biểu thức B = 8 – 2x có giá trị âm
Giải
a). 2x – 1 > 0 ⇔ 2x > 1 ⇔ x >

1
1
. Với mọi x > thì A > 0
2
2

Trang 4


b). 8 – 2x < 0 ⇔ 8 < 2x ⇔ 4 < x ⇔ x > 4. Với mọi x > 4 thì B < 0
Nhận xét:- ở đây đã dùng chiều ngược lại của tính chất 1 (a – b > 0 ⇒ a > b)
Dạng 2: Biểu thức đưa về dạng tích
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của x để biểu thức A = (x - 1)(x + 3) có giá trị âm
Giải
A < 0 ⇔ (x - 1) và (x + 3) trái dấu.
 x −1 < 0
 x <1
⇔ 

⇔ -3 < x < 1
x + 3 > 0
 x > −3

Do x – 1 < x + 3 ⇒ 

Chú ý: Dùng trục số để lấy khoảng nghiệm trong trường hợp này

-3

1

x < 1 để trắng, x ≥ 1 loại (dùng dấu “ ” trên trục số)
x > -3 để trắng, x ≤ -3 loại (dùng dấu “ ” trên trục số)
Phần còn lại trên trục số khơng bị gạch bỏ chính là phần nghiệm chung.
(Rèn luyện kĩ năng lấy tập nghiệm trên trục số)
Nhận xét: Tập cho học sinh khả năng viết gọn tập nghiệm bằng cách dùng trục
số
Ví dụ 3: Khi nào biểu thức x2 – 3x có giá trị dương?
Giải
Biến đổi B = x(x - 3).
Cách 1: B > 0 khi các thừa số x, x – 3 cùng dấu. Do x – 3 < x nên
TH1: Cùng dương ⇒ 0 < x – 3 < x ⇒ x < 3
TH2: Cùng âm ⇒ x – 3 < x < 0 ⇒ x < 0
Cách 2: chú ý: x = 0 hoặc x = 3 làm cho các thừa số x và x – 3 bằng 0, do đó
ta xét 3 khoảng giá trị của x
a). Với x < 0 thì 2 thừa số đều âm ⇒ B > 0
b). Với 0 < x < 3 thì hai thừa số trái dấu nhau ⇒ B < 0
c). x > 3 thì hai thừa số cùng dường ⇒ B > 0
Trang 5



Kết luận: Vậy B > 0 ⇔ x > 3 hoặc x < 0

Có thể tổng hợp các kết quả trên vào 1 bảng xét dấu như sau:
x
x
x-3
x(x - 3)

0
0

3

+
0
0
+
0
(Rèn luyện kĩ năng lấy tập nghiệm bằng cách dùng bảng)

+
+
+

Nhận xét: - Rèn cho học sinh thêm một cách giải khác bằng cách dùng bảng
xét dấu.
- Một bài tốn khơng chỉ có 1 cách giải mà có thể có nhiều cách, tuỳ vào từng
bài tốn mà chúng ta có thể chọn 1 trong những cách đơn giản để trình bày.

- Một số bài tốn muốn đơn giản thì cần phải quan sát bài tốn, có thuộc vào
các bài tốn giải bằng phương pháp đặc biệt khơng. Có những bài tốn thì cần
phải phân tích từ bên trong những cũng có những bài tốn cần phải phân tích từ
phía ngồi mới tìm ra được lời giải hay.
Dạng 3: Biểu thức đưa về dạng thương
Ví dụ 4: Tìm các giá trị của x để biểu thức A =

x+3
có giá trị âm.
x −1

Giải
A < 0 ⇔ x + 3 và x – 1 trái dấu. Do x – 1 < x + 3
 x −1 < 0
 x <1
⇒ 
⇔ 
⇔ -3 < x < 1
x + 3 > 0
 x > −3

Nhận xét: - Có thể dùng trục số xét dấu hoặc bảng xét dấu để thu gọn tập
nghiệm, học sinh có thể thấy được việc dùng trục xét dấu nó đơn giản hơn
bảng xét dấu.
- Xét dấu ở dạng tích cũng tương tự như việc xét dấu ở dạng thương. Ta có thể
quy về dạng tích để xét dấu.

Trang 6



- Luyện cách dùng dấu “ { ”thay cho chữ “và” hoặc dùng dấu “ [ ” thay cho
chữ “hoặc” để giải tốn.
II. KHI NÀO THÌ A > B HOẶC A < B
Thực chất của loại tốn này là tìm giá trị của biến để biểu thức A – B có
giá trị dương hoặc âm.
Ví dụ 5: Cho biểu thức A =

x+5
. Tìm các giá trị của x để A > 1
x+8

Giải
Do A > 1 ⇔

x+5
( x + 5) − ( x + 8)
−3
3
-1>0 ⇔
>0 ⇔
>0 ⇔
<0
x+8
x+8
x+8
x+8

⇔ x + 8 < 0 ⇔ x < -8

Vậy x < -8 thì A > 1

Ví dụ 6: Với giá trị nào của x thì

3
1
x −1 > x + 5
4
2

Giải
3
1
3
1
1
1
x −1 > x + 5 ⇔
x −1− x + 5 > 0 ⇔
x − 6 > 0 ⇒ x > 6 ⇔ x > 24
4
2
4
2
4
4

Nhận xét: Rèn luyện cho học sinh khả năng quy đồng mà mẫu số bằng chữ
như ở ví dụ số 5, đồng thời rèn luyện quy tắc chuyển vế được ứng dụng trong
các bất đẳng thức tương tự như trong các đẳng thức
III. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Một biểu thức có thể có những giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Chẳng

hạn biểu thức x2. Biểu thức này có giá trị dương khi x ≠ 0. Có giá trị bằng 0
khi x = 0. Như vậy biểu thức x 2 có giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = 0. Biểu thức
này khơng có giá trị lớn nhất. Thật vậy, giả sử x 2 có giá trị lớn nhất là m tại x 1
thì x2 cũng bằng m tại x2 là số đối của x1. Giả sử x1 > 0, ta sẽ chứng tỏ rằng tồn
tại một giá trị x3 mà x32 > m . Ta chọn x3 > x1 > 0 khi đó x32 > x12 . Mà x12 = m nên
2
x3 > m , trái với điều giả sử m là giá trị lớn nhất của biểu thức.

Trang 7


Muốn tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x), ta phải thực hiện
hai yêu cầu: Chứng tỏ rằng f(x) ≥ m (m là hằng số) với mọi giá trị của x rồi chỉ
ra rằng dấu “=” được xảy ra .
Muốn tìm giá trị lớn nhất (GTNN) của biểu thức f(x), ta phải thực hiện
hai yêu cầu: Chứng tỏ rằng f(x) ≤ m (m là hằng số) với mọi giá trị của x rồi chỉ
ra rằng dấu “=” được xảy ra .
Nếu chỉ chứng minh được yêu cầu thứ nhất thì chưa đủ để kết luận về
2
giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Chẳng hạn ta có ( x 2 + 3) ≥

0. Muốn dấu “=” xảy ra ta phải có x 2 + 3 = 0, điều này khơng thể xảy ra vì x 2 +
3 ≥ 3 với mọi x. Như vậy mặc dù (x2 + 3) ≥ 0 nhưng 0 không phải là giá trị
nhỏ nhất của biểu thức (x2 + 3)2, GTNN của biểu thức này là 9 khi x = 0.
Một số ví dụ khác: xét biểu thức x 2 + (x - 2)2. Ta cũng có x2 + (x - 2)2 ≥
0 nhưng dấu đẳng thức không xảy ra. GTNN của biểu thức này là 2 khi x = 1.
Phương pháp:
Để chứng tỏ rằng f(x) ≥ m (m là hằng số), ta thường dùng đến bất đẳng
thức:
x2 ≥ 0 ; |x| ≥ 0

Để chứng tỏ rằng f(x) ≤ m (m là hằng số), ta thường dùng đến bất đẳng
thức:
-x2 ≤ 0 ; -|x| ≤ 0
Sau đây một số ví dụ về việc sử dụng bất đẳng thức
Ví dụ 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2(x + 3)2 – 5
Giải
Ta có: (x + 3)2 ≥ 0 ∀ x ∈ R. ⇒ 2(x + 3) ≥ 0 ⇒ 2(x - 5) – 5 ≥ -5 (Sử dụng tính
chất 1) .
TGNN của A = 5 ⇔ x = x + 3 = 0 ⇔ x = -3
Chú ý: Có những biểu thức khơng có GTLN và GTNN

Trang 8


Chẳng hạn A = 4x ; B =

5
. Tuy nhiên nếu xét các giá trị của biến trong một
x

tập hợp hẹp hơn, biểu thức là có thể có GTLN hoặc GTNN. Chẳng hạn, xét x
∈ R; x ∈ Q; x ∈ Z thì biểu thức x + 5 khơng có GTNN những nếu xét x ∈ N

thì biểu thức đó có GTNN bằng 5 với x = 0.
Ví dụ 8: Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức D =

14 − x
có giá trị lớn
4− x


nhất. Tìm giá trị đó.
Giải
Biến đổi D =

14 − x
4 − x + 10
10
= 1+
=
4− x
4− x
4−x

D lớn nhất khi và chỉ khi

10
lớn nhất.
4−x

TH1: x > 4 ⇒

10
<0
4−x

TH2: x > 0 ⇒

10
10
> 0. Phân số

có tử và mẫu đều dương, tử khơng đổi
4−x
4−x

(1)

nên giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Mộu 4 – x nguyên dương, nhỏ nhất khi 4
– x = 1 ⇔ x = 3. Khi đó
10
= 10
4−x

Từ (1) và (2) ⇒

(2)
10
≤ 10. Vậy D lớn nhất bằng 11 tại x = 3.
4−x

Nhận xét: Dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất mà tử và mẫu đều có biến bậc nhất thì
phương pháp chung là phải là sao mất biến ở tử số (bằng cách nhóm, thêm, bớt,
…) cịn biến ở mẫu số.
- Dựa vào điều kiện của đề bài để đưa ra kết quả.
4. Tham khảo ý kiến của các đồng nghieep, các loại sách tham khảo tôi thấy
hầu hết các sách đều trình bày theo lối.
- Đưa ra các nội dung kiến thức cơ bản
- Đưa ra các dạng toán và hướng giải quyết các dạng bài toán này.
- Một số chú ý khi làm các dạng bài toán này.
Trang 9



- Đưa ra một số bài toán nâng cao và cách giải để học sinh tham khảo. Đó
chính là tiền đề để bồi dưỡng học sinh giỏi mà trong các giờ lên lớp giáo viên
khơng thể bồi dưỡng được. Vì kiến thức ở lớp chỉ là các kiến thức cơ bản để
cho học sinh từ yếu, kém, trung bình cũng như học sinh khá giỏi nắm được cái
căn bản của tri thức.
- Kinh nghiệm đúc rút ra trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi là không
những củng cố lại phần kiến thức cơ bản mà học sinh được học ở lớp mà còn
củng cố cho học sinh một số kĩ năng, cách giải các bài tốn, cách phân tích các
bài tốn để có thể giải một số bài tốn khó những được quy về một số dạng nào
đó mà học sinh đã có dịp bồi dưỡng, đặc biệt là rèn luyện cho học sinh cách tư
duy các bài toán, từ dễ đến khó, từ đơn giãn đến phúc tạp, một số “kĩ xảo” để
giải các bài toán về dạng bất đẳng thức này. Đây là một dạng toán mà ở lớp các
học sinh chưa có dịp học một cách cụ thể.
- Đồng thời rèn luyện cho các em có tinh thần học tập, khả năng tự học, tự đọc
và tìm ra các lời giải hay, phong phú, tao hưng phấn cho học tập bộ mơn tốn
này, một mơn học mà nhiều người cho là khô khan.
- Bất đẳng thức là một trong những lĩnh vực mà theo tôi là tương đối khó. Bởi
vậy phải luyện cho học sinh nhiều để cho học sinh nắm được các dạng toán này
để có thể giải được nhiều bài tập hơn.

C- KẾT LUẬN
I- KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀO GIẢNG DẠY
- Khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng daỵ, đại đa số học sinh đều lúng
túng khi làm bài tập, chỉ dừng lại ở những bài tập cơ bản và dễ, các bài tốn
phải ở sẵn dạng quen thuộc đã làm thì học sinh theo dạng đó mới làm được,
chưa có những suy luận logic, phân tích bài tốn hợp lý để giải các bài tốn mà
nó chưa có sẵn dạng quen thuộc. Nếu có bài tập nâng cao thì làm xong bài nào
chỉ biết cách làm bài đó khơng biết cách suy luận để chuyển về những bài toán
về những dạng đã làm, đã giải, khơng biết mở rộng những bài tốn đã làm...


Trang 10


- Sau khi áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy tôi thấy:
+ Học sinh vận dụng nhanh kiến thức vào giải toán.
+Học sinh giải các bài toán từ cơ bản mở rộng lên những bài tốn
nâng cao chính xác và nhanh hơn.
+Tạo điều kiện cho học sinh khả năng tư duy thành thói quen, suy
nghĩ, phân tích nội dung và yêu cầu của bài toán một cách cẩn thận, chính xác
trước khi giải một bài tốn học nói riêng và các bài tốn nói chung.
+Tạo nếp suy nghĩ, nếp khai thác chiều sâu, hay mở rộng bài toán.
+Tạo nếp tự học, độc lập suy nghĩ trong đại đa số học sinh, đồng
thời có ý thức tham khảo ý kiến, cách làm hay của các em học
sinh khác để từ đó rút ra những lời giải hay trong q trình giải
toán.
+ Giúp học sinh say mê, hứng thú trong quá trình học tập bộ mơn
tốn nói riêng cũng như các bộ mơn khoa học khác nói chung.
II- KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT:
- Vấn đề sách tham khảo trường trung học cơ sở Tuân Đạo còn hạn chế,
chưa đáp ứng đủ yêu cầu, của giáo viên và học sinh, vì vậy cần được đầu tư
thêm về tài liệu học tập cũng như các thiết bị phục vụ cho công tác giảng dạy
được tốt hơn, giáo viên chủ động trong công tác giảng dạy và học sinh tích cực
hơn trong việc học tập.
- Với việc đổi mới phương pháp dạy học theo chiều hướng tích cực, phát
huy tính độc lập của học sinh không thể trong chốc lát mà là cả một quá trình
lâu dài từng bước từ thấp đến cao. Mục tiêu cuối cùng là hướng dẫn cho học
sinh nắm được nội dung kiến thức của từng tiết học, của từng chương, của từng
cấp học để học sinh giải các bài toán một cách chặt chẽ, có đủ cơ sở lý luận
trong lời giải của mình, học tốn và vận dụng tốn học vào các bộ môn khác

cũng như vào thực tế.
Bản thân tơi ít nhiều qua nhiều năm cũng đã cố gắng thể hiện chuyên đề
này tại trường dù sao vẫn còn nhiều điều phải học tập và phấn đấu để đạt kết
Trang 11


quả cao hơn. Nhưng tôi vẫn mạnh dạn áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này áp
dụng vào việc giảng dạy, ít nhiều có kết quả với đối tượng học sinh tôi được
phân công giảng dạy.
Mong các cấp quản lý chuyên mơn, các đồng nghiệp góp ý thêm để tơi
làm hồn thành sáng kiên kinh nghiệm một cách tốt hơn!

Tuân Đạo, ngày 10 tháng 05 năm 2009
Người viết

Bùi Văn Vịnh

Trang 12



×