điện trở của khí điện tử giả hai chiều trong giếng lượng tử gap/aip/gap

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN



ĐỖ MƯỜI





ĐIỆN TRỞ CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ GIẢ HAI CHIỀU TRONG
GIẾNG LƯỢNG TỬ GaP/AlP/GaP



Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 604401



LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ



NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS NGUYỄN QUỐC KHÁNH

TP. Hồ Chí Minh – Năm 2011
LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh,
thầy đã hướng dẫn tận tình trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Tôi xin cảm ơn đến tất cả các thầy cô bộ môn vật lý lý thuyết, và phân viện vật lý đã
giúp đỡ và truyền thụ những kiến thức khoa học trong quá trình học tập.
Tôi xin cảm ơn Phòng Đào tạo Sau đại học, Bộ môn, Khoa Vật lý đã tạo điều kiện
trong thời gian tôi học tập và báo cáo luận văn.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.




1

MỞ ĐẦU

Các cấu trúc với khí điện tử hai chiều đã được nghiên cứu và ứng dụng rộng
rãi trong vài thập kỷ gần đây và chúng đã mang lại những sự thay đổi lớn lao trong
các ứng dụng vào công nghệ điện tử [1-9]. Nguyên nhân chính là do hệ khí điện tử
hai chiều có một loạt các tính chất khác với hệ điện tử và lỗ trống ba chiều thông
thường mà chính sự khác biệt đó sẽ chứa trong nó những khả năng đột phá và ứng
dụng mạnh mẽ về công nghệ linh kiện điện tử. Trong thời đại ngày nay do nhiều
yêu cầu khác nhau trong khoa học và thực tiễn cuộc sống như tốc độ xử lý thông
tin, truyền tin, truyền thông, các diod phát quang (LEDs)… mà các vật liệu bán dẫn
có tốc độ cao đã được quan tâm nghiên cứu rất nhiều, trong đó các đại lượng vật lý
như độ linh động, điện trở, thời gian hồi phục, các quá trình tán xạ của điện tử…
đóng vai trò rất quan trọng, vì các đại lượng này quyết định đến tốc độ của linh kiện
điện tử. Ta biết rằng độ linh động và điện trở phụ thuộc vào các cơ chế tán xạ của

hạt tải như tán xạ tạp chất ion hóa, bề mặt nhám, mất trật tự hợp kim, phonon,…
Tùy theo loại vật liệu, cấu trúc, nhiệt độ, tạp chất mà vai trò của các cơ chế tán xạ
có thể khác nhau. Các công trình nghiên cứu trước đây chủ yếu tập trung vào trường
hợp nhiệt độ và từ trường bằng không. Ngày nay với sự phát triển của khoa học kỹ
thuật, các nhà nghiên cứu đã thực hiện được thí nghiệm với các cơ chế tán xạ trong
nhiều điều kiện khác nhau, mà mục đích chủ yếu là nhằm tìm cách gia tăng độ linh
động của hạt tải, tức là gia tăng tốc độ của các linh kiện. Trong một số công trình
nghiên cứu gần đây, người ta đã nghiên cứu các cơ chế tán xạ khi có mặt của từ
trường và thấy rằng các hiệu ứng vật lý mới đã xuất hiện hết sức thú vị, sự xuất hiện
của các hiệu ứng này chủ yếu xuất phát từ sự phân cực spin của electron trong từ
trường, hay hiệu ứng Zeemann [10-14]. Mục đích chính của các thí nghiệm này là
sử dụng từ trường để tạo ra dòng điện tử phân cực spin trong các vật liệu bán dẫn,
từ đó khảo sát sự ảnh hưởng của spin điện tử lên độ linh động cũng như điện trở của
vật liệu.

2

Các vật liệu bán dẫn được tập trung nghiên cứu chủ yếu là các bán dẫn có cấu
trúc dị thể với giếng thế lượng tử và siêu mạng ( superlattice), khác với các chất bán
dẫn có sẵn trong tự nhiên như Si, Ge, GaAs là những cấu trúc tuần hoàn, các siêu
mạng không tồn tại trong tự nhiên và có cấu trúc với phân bố thành phần tùy ý, các
siêu mạng được chế tạo bằng kỹ thuật nuôi cấy tinh thể, epitaxy bằng chùm phân tử
( MBE ). Đi cùng cấu trúc dị thể với giếng thế lượng tử và siêu mạng là các hiện
tượng như: khí điện tử hai chiều, hàm mật độ trạng thái như hàm bước nhảy, cộng
hưởng xuyên ngầm, sự tồn tại của các exciton ở nhiệt độ phòng, hiệu ứng Hall
lượng tử,…
Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu độ linh động và điện trở
của các điện tử trong giếng lượng tử
GaPAlPGaP //
ở nhiệt độ bất kỳ đặt trong từ

trường song song với lớp theo hai cơ chế tán xạ là tán xạ bề mặt nhám và tán xạ tạp
chất ion hóa. Giếng lượng tử này là giếng lượng tử thuộc cấu trúc dị thể loại II,
chuyển động của các electron không thể vượt qua khỏi lớp rào và được xem như bị
giam trong một miền giếng lượng tử, trong trường hợp này lớp
AlP
có bề rộng hữu
hạn trong đó tồn tại hiệu ứng giam cầm điện tử và sự giam cầm này là vô hạn. Do
đó mà các electron sẽ bị lượng tử hóa khi có chuyển động vuông góc với mặt tiếp
xúc dị thể. Vì độ chênh lệch đáy vùng dẫn của
AlPGaP /
lớn hơn rất nhiều so với
năng lượng Fermi và năng lượng chuyển động nhiệt
eVTk
B
026.0
của hạt tải nên
giếng lượng tử trong cấu trúc
GaPAlPGaP //
là giếng lượng tử vuông sâu vô hạn.
Các tính toán với độ linh động và điện trở suất ở nhiệt độ không sẽ được so
sánh với các kết quả của A.Gold và R.Marty ( Phys. Rev B76 165309 ). Sau đó
chúng tôi sẽ mở rộng tính toán cho trường hợp nhiệt độ khác không.
Bố cục của luận văn được trình bày như sau:
Chương 1: Chúng tôi trình bày lý thuyết vận chuyển cổ điển theo mô hình của
Drude để có một cái nhìn đầu tiên một cách định tính về khí điện tử.
Chương 2: Mô hình và các tham số của giếng thế lượng tử
GaPAlPGaP //
, giải
phương trình Schrodinger tìm hàm sóng và năng lượng tương ứng, từ đó tính hàm

3

phân bố mật độ trạng thái và mật độ electron theo nhiệt độ và từ trường của khí điện
tử hai chiều.
Chương 3: Trình bày thời gian hồi phục, hiệu ứng chắn và hàm điện môi của khí
điện tử hai chiều.
Chương 4: Trình bày các cơ chế tán xạ bề mặt nhám và tán xạ tạp chất ion hóa ( pha
tạp xa trong hai trường hợp là các tạp chất bên ngoài giếng và các tạp chất tại tâm
giếng lượng tử).
Chương 5: Các kết quả khảo sát từ lập trình C cho độ linh động, tỉ số thời gian tán
xạ và thời gian hồi phục, tỉ số điện trở suất theo mật độ, nhiệt độ và từ trường, so
sánh kết quả tính được với kết quả của A.Gold và G.Marty ( Phys. Rev. B76
165309 ).



MỤC LỤC

Trang
Trang phụ bìa
Mục lục
Danh sách hình vẽ
MỞ ĐẦU 1
Chương 1 – Lý thuyết vận chuyển cổ điển của Drude 4

Chương 2 – Đặc tính của khí điện tử hai chiều 7
2.1. Giếng thế lượng tử 7

2.2. Mật độ trạng thái 10
2.3. Mật độ electron trong từ trường và nhiệt độ 13

2.4. Thời gian tán xạ và thời gian hồi phục 15
2.5. Hiệu ứng màn chắn và hàm điện môi 17

2.6. Các cơ chế tán xạ 24
Chương 3 – Độ linh động và điện trở suất của khí điện tử hai chiều 29
3.1. Lý thuyết tổng quát 29
3.2. Kết quả giải số 30
3.2.1. Tán xạ bề mặt nhám 30
3.2.2. Tán xạ tạp chất ion 33
3.3. Kết luận 39

Phụ lục 40
Tài liệu tham khảo 43




4
Chương 1
LÝ THUYẾT VẬN CHUYỂN CỔ ĐIỂN CỦA DRUDE


Ba năm sau việc phát hiện ra electron của Thompson, Drude đã xây dựng lý
thuyết cho quá trình dẫn điện và dẫn nhiệt bằng cách áp dụng lý thuyết động lực học
chất khí, vốn đã rất thành công cho khí electron trong kim loại. Những giả thiết cơ
bản cho lý thuyết của Drude bao gồm [1]:
Giữa các lần va chạm, ta bỏ qua tương tác của một electron bất kì với các
electron còn lại và với các ion. Như vậy, nếu không có trường điện từ bên ngoài tác
động vào, mỗi electron sẽ chuyển động đồng nhất theo một đường thẳng. Nếu có sự
hiện diện của trường ngoài thì chuyển động của electron sẽ được xác định bằng các

định luật chuyển động của Newton có sự tham gia của trường ngoài, nhưng bỏ qua
sự tham gia của các trường phức tạp khác được sinh ra bởi các electron còn lại và
của các ion. Việc bỏ qua tương tác electron – electron giữa các lần va chạm gọi là
gần đúng electron độc lập. Việc bỏ qua tương tác electron – ion gọi là gần đúng
electron tự do.
Va chạm trong mô hình Drude cũng như trong lý thuyết động học cổ điển, là
các sự kiện tức thời, làm thay đổi vận tốc của electron một cách đột ngột. Drude cho
các electron va chạm với các lõi ion ( thay vì va chạm giữa các electron với nhau,
giống như trong cơ chế va chạm của chất khí thông thường ). Tuy nhiên bức tranh
cơ học đơn giản như vậy, tức là electron va chạm từ các ion này đến ion khác rất xa
rời thực tế. Tuy nhiên, điều này không phải là một vấn đề vì nhiều lí do: việc hiểu
định lượng (và thường là định tính) về độ dẫn điện của kim loại có thể đạt được
bằng giả thiết đơn giản là tồn tại một số cơ chế tán xạ nào đó mà không cần phải đi
quá chi tiết vào việc các cơ chế tán xạ đó là gì. Nếu chúng ta chỉ xem xét một số
tính chất tổng quát của quá trình tán xạ, chúng ta có thể không cần biết tán xạ của
electron thực sự diễn ra như thế nào. Những đặc điểm tổng quát này có thể được mô
tả trong hai giả thiết sau đây:

5
 Chúng ta giả thiết rằng một electron sẽ có một va chạm (tức là có sự thay
đổi đột ngột về vận tốc) với xác suất trong một đơn vị thời gian là

1
. Điều
đó có nghĩa là xác suất để một electron có một va chạm trong khoảng thời
gian vô cùng nhỏ bất kì
dt
là

/dt

. Thời gian

được biết như là thời gian
phục hồi, thời gian tán xạ hay thời gian tự do trung bình và nó đóng vai trò
quan trọng trong lí thuyết dẫn điện của kim loại. Ta có thể chứng minh
được là một electron được chọn ngẫu nhiên ở một thời khắc nào đó, nếu
tính trung bình sẽ chuyển động trong khoảng thời gian

kể từ lần va chạm
gần nhất. Trong ứng dụng đơn giản của mô hình Drude, thời gian tán xạ


không phụ thuộc vào tọa độ và vận tốc của electron.
 Các electron được giả thiết là đạt trạng thái cân bằng nhiệt với môi trường
xung quanh thông qua va chạm. Quá trình va chạm này nhằm duy trì trạng
thái cân bằng nhiệt động định xứ theo cách sau đây: ngay sau mỗi quá trình
va chạm, vận tốc của electron lúc sau không có mối liên hệ nào với vận tốc
của nó trước va chạm, nó định hướng ngẫu nhiên và độ lớn của nó thì phụ
thuộc vào nhiệt độ tại nơi mà va chạm xảy ra. Vì vậy, nếu nơi xảy ra va
chạm có nhiệt độ càng cao thì các electron sau va chạm sẽ có vận tốc càng
lớn, tức là chuyển động càng nhanh.
Bây giờ, chúng ta sẽ tính độ dẫn điện của kim loại.
Mật độ dòng
j

là một vectơ, song song với dòng chảy của điện tích, độ lớn của nó
là lượng điện tích trong một đơn vị thời gian chuyển qua tiết diện vuông góc với
dòng chảy.
Nếu có
n

electron trong một đơn vị thể tích cùng chuyển động với vận tốc
v

thì
mật độ dòng mà chúng tạo ra sẽ song song với
v

. Ngoài ra trong khoảng thời gian
dt
các electron sẽ đi được một đoạn đường
dtv.
theo hướng
v

, tức là ta sẽ có
Adtvn
electron di chuyển qua tiết diện

vuông góc với hướng chuyển động. Bởi
vì mỗi electron mang điện tích
e

, lượng điện tích di chuyển qua

trong khoảng
thời gian
dt
sẽ là
Adtven


, và vì vậy mật độ dòng sẽ là:

venj






1.1


6
Tại một vị trí bất kì trong kim loại, các electron luôn luôn di chuyển theo các hướng
khác nhau với năng lượng nhiệt khác nhau. Mật độ dòng tổng cộng sẽ được cho bởi


1.1
trong đó
v

là vận tốc điện tử trung bình. Nếu không có điện trường, electron
có thể chuyển động theo mọi hướng, trung bình của
v

bằng không, và sẽ không có
mật độ dòng điện. Tuy nhiên, nếu có sự hiện diện của điện trường
E

, sẽ có một vận

tốc điện tử trung bình hướng ngược chiều với điện trường (do electron mang điện
âm) được tính như sau:
Xét một electron ở thời điểm
0

t
là thời điểm ngay sau lần va chạm cuối. Gọi
t
là
khoảng thời gian từ lần va chạm cuối cùng. Vận tốc của electron tại thời điểm
không sẽ bằng vận tốc của nó
0
v

ngay sau lần va chạm cuối cộng với vận tốc
mtEe /


mà nó có được trong điện trường. Bởi vì chúng ta giả thiết là electron sau
va chạm có thể chuyển động theo mọi hướng, vận tốc điện tử trung bình sẽ không
có sự đóng góp của
0
v

, mà là sự đóng góp hoàn toàn của trung bình của đại lượng
mtEe /


. Tuy nhiên trị trung bình của
t

là thời gian phục hồi

. Vì vậy:

E
m
ne
j
m
Ee
v
tb





2
; 



2.1

Đại lượng tỉ lệ giữa điện trường
E

tại một điểm trong kim loại và mật độ dòng
j


mà nó cảm ứng chính là độ dẫn điện:

m
ne
Ej


2
;. 





3.1




7
Chương 2
ĐẶC TÍNH CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ HAI CHIỀU

Hệ hai chiều là hệ mà trong đó các điện tử có thể di chuyển tương đối tự do
trong hai chiều còn một chiều bị hạn chế. Trong hệ hai chiều thuần túy thì chiều bị
hạn chế có kích thước bằng không, nghĩa là điện tử thực sự chỉ có thể chuyển động
trong hai chiều. Tuy nhiên hệ hai chiều thuần túy chỉ là một mô hình lý tưởng
không có trong thực tế. Việc nghiên cứu các hệ hai chiều trong thực tế đòi hỏi phải
có bổ chính thích hợp vì các điện tử ít nhiều vẫn có thể chuyển động trong chiều thứ

ba, làm cho hệ hai chiều không còn là hai chiều nữa mà là giả hai chiều.

2.1 Giếng thế lượng tử

Ta khảo sát mẫu có kích thước rất lớn theo các phương
x
và
y
, nhưng kích
thước L của nó theo phương
z
chỉ vào cỡ vài chục nanomet [3-5]. Như vậy, các
electron có thể vẫn chuyển động hoàn toàn tự do trong mặt phẳng


xy
, nhưng
chuyển động của chúng theo phương
z
bị giới hạn. Hệ như thế tạo thành hệ
electron giả hai chiều. Khi kích thước của vật rắn giảm xuống vào cỡ nanomet thì
hạt tải điện tự do trong cấu trúc này sẽ thể hiện tính chất giống như một hạt chuyển
động trong giếng thế


zV
. Để đơn giản ta giả sử V(z) có dạng giếng thế sâu vô hạn:

 
0, 0

, 0
z L
V z
z z L
 



   




1.2


GaP
z
L
0

z
i

AlP
GaP
ionized impurity
+ + + + + +

Hinh 2.1 Giếng lượng tử
GaPAlPGaP //


8
Phương trình Schrödinger của electron trong giếng thế


zV
có dạng

     
zyxEzyxzV
z
m
yxm
z
,,,,
2
2
2
22
2
2
2
2
*
2









































2.2

*
m
là khối lượng hiệu dụng trong mặt phẳng


xy
, và
z
m
là khối lượng hiệu dụng
theo phương
z
.
Thế năng


zV
chỉ phụ thuộc
z
, nên electron được xem như chuyển động tự do
trong mặt phẳng



xy
và hàm sóng của electron theo trục
x
và
y
là sóng phẳng. Khi
đó hàm sóng của electron được viết lại như sau:









zyikxikzyx
yx
 expexp,,



3.2

Thay


3.2

vào


2.2
và đơn giản các thừa số thì ta thu được phương trình sau:

   
 
 
zkk
m
EzzV
z
m
yx
z

























22
*
2
2
22
2
2




4.2

Đặt

 
*
22
22
*

2
2
2
m
k
Ekk
m
E
yx







5.2



yx
kkk ,

là vectơ sóng hai chiều và phương trình


4.2
được viết lại dưới dạng
như sau:

     
zzzV
zm
z




















2
22
2





6.2



6.2
là phương trình
dingeroSchr

một chiều và việc giải phương trình này trở nên
đơn giản cho các trường hợp thế khác nhau.
Với electron bên trong giếng thế


0zV
thì phương trình
dingeroSchr

cho electron
bên trong giếng thế có dạng:

       
0
2
2"
2
22












 zkzzz
z
m
z





7.2

với
2
2
2


z
m
k 

9
Phương trình


7.2
có nghiệm dạng:







kzBkzAz cossin 



8.2

Các điều kiện biên




00  L
ta có thể viết lại hàm sóng


8.2
dưới dạng:

 
L
n
k
L
zn
Az
z
z
n
z









 sin



9.2

Từ điều kiện chuẩn hóa
 




 1
2
dzz
ta suy ra
L
A
2

.
Như vậy, hàm sóng và năng lượng của electron trong giếng thế lượng tử


Lz 0

là:

 
 
2 2 2
2
2
sin , 0
, 1,2,3,
0, 0
, 1,2,3,
2
z
n

n
z
n z
z L
z n
L L
z z L
n
n
m L




 
 

 
  

 

  

 




10.2

Đối với cấu trúc giếng lượng tử
GaPAlPGaP //
, trong trường hợp
Lz


0
, khí
điện tử trong dải con thấp nhất được mô tả bằng hàm sóng:





LzLLz

sin20 



11.2

Do hiệu ứng giam hãm nên khí điện tử 2 chiều trong
AlP
có thừa số suy biến valley
1
v
g
cho giếng thế có bề rộng

0
7.45 ALL
C

và thừa số suy biến valley
2
v
g

cho giếng thế có bề rộng
0
7.45 ALL
C

, với
C
L
là độ dài tới hạn theo phương
z
.
Hiệu ứng giam cầm này sẽ tạo ra các mức năng lượng
2222
2 LmnE
c
QW
n


với


 Nn
và các khối lượng khác nhau theo phương z và sự tồn tại các mức năng
lượng này của giếng lượng tử là do cấu trúc các dải con ứng với mỗi dải chính.

10

Các khối lượng dọc và ngang trong
AlP
đã được xác định từ thực nghiệm, cụ thể là
etel
mmmm 3.0,9.0 
với
e
m
là khối lượng điện tử tự do. Điều này có nghĩa
rằng trong mặt phẳng (001) và giếng lượng tử có bề rộng
c
LL 
thì khối lượng vận
chuyển là
e
mm 3.0
*

còn khối lượng theo phương z là
ec
mm 9.0

. Mối liên hệ
giữa khối lượng vận chuyển, độ linh động


và thời gian vận chuyển
t

được biểu
diễn qua hệ thức
*
/ me
t


. Đối với giếng lượng tử có bề rộng
c
LL 
thì khối
lượng vận chuyển và khối lượng theo phương z lần lượt là


ectle
mmmmmm 3.0,52.0
2/1
*

, với các thông số này độ dài tới hạn được
xác định bởi hệ thức
 
 


0

22
7.45/2/ AEmmmmL
sttltlc
 

, với
meVE
st
40
là năng lượng biến dạng lưỡng trục trong mặt phẳng.

2.2 Mật độ trạng thái


Trước hết ta xét mật độ trạng thái của hệ điện tử ba chiều trong một tinh thể
bán dẫn khối lập phương, mỗi cạnh có chiều dài
L
. Do đó, hàm sóng điện tử trong
tinh thể thỏa mãn tính tuần hoàn






 
 
 
 
 

 
 
 
 
zzyyxxzyx
zzyyxx
zyx
LkLkLkizkykxki
LzkLykLxki
LzLyLxzyx








expexp
exp
,,,,

với
,LLLL
zyx

ta có:

,
2

,,,2
,2
zz
zyxyy
xx
nLk
ZnnnnLk
nLk







Thể tích của một ô đơn vị trong không gian
k

được chiếm bởi một trạng thái



3
3
0
2
L
kkkV
zyxk






12.2


11

Mật độ trạng thái 3D là số trạng thái trên đơn vị năng lượng trên đơn vị thể tích
trong không gian thực

 
E
N
Eg
D
D



3
3



13.2

D
N

3
là tổng số trạng thái:

 
3
3
33
3
3
23
4
2
1
2
1
3
4
2




k
g
L
L
k
gN
vv
D












14.2

Thừa số 2 chỉ sự suy biến spin,
v
g
là thừa số suy biến valley. Ta có thể viết lại


13.2
như sau:

 
E
k
k
N
Eg
D
D








3
3



15.2

Sử dụng


14.2
ta suy ra:

 
3
2
3
2
4
2


k

g
k
N
v
D







16.2

Mặt khác ta có
*
22
2
m
k
E


, nên ta suy ra

E
m
E
k
2

12
2/1
2
*
















17.2

Thay


16.2
và


17.2

vào


15.2
ta được:

 
E
m
g
Eg
v
D
2/3
2
*
2
3
2
2















18.2


Trong hệ hai chiều thì tổng số các trạng thái được xác định bởi hệ thức:

 
2
2
22
22
2
2
1
2
1
2




k
g
L
L
kgN
vv

D











19.2

Mật độ trạng thái hai chiều là số trạng thái trên đơn vị năng lượng trên đơn vị diện
tích không gian thực:

12


 
E
k
k
N
Eg
D
D








2
2



20.2

Mặt khác ta có
*
22
2
m
k
E


, nên ta suy ra

E
m
E
k
2
12
2/1

2
*
















21.2

Do đó ta thu được

 
 
2
*
2/1
2
*
2

2
2
12
2
4




mg
E
mk
gEg
v
vD













22.2

Nếu nhiều trạng thái bị giam hãm trong giếng thế lượng tử thì mật độ trạng thái tại
năng lượng cho trước là tổng của tất cả các vùng con dưới mức năng lượng đó

   
 









n
n
n
n
n
v
D
mg
Eg





,0
,1

1
2
*
2




23.2

trong đó
n
là số các vùng con ứng với năng lượng cho trước.
Rõ ràng là sẽ có sự khác nhau giữa
D
g
3
và
D
g
2
, bởi vì
D
g
2
là mật độ trạng thái trên
một đơn vị diện tích, còn
D
g
3

là mật độ trạng thái trên một đơn vị thể tích. Do hàm


n


nên
D
g
2
sẽ có dáng điệu bậc thang với kích thước mỗi bước
2*
/ 

mg
v
và
các biên của bước trùng với các vùng con năng lượng
n
E
, tại các giá trị
n
EE 
ta
đều có
DD
gg
23

.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
1
2
3
4
5
a.g
3D
(E) - g
2D
(E) (10
14
)
E (eV)
E
1
E
2
E
3

Hình 2.2 Các mật độ trạng thái
D
g
2
và
D
g

3


15

2.3 Mật độ electron trong từ trường ở nhiệt độ bất kỳ

Khi có một từ trường song song tác dụng vào hệ, khí điện tử sẽ phân cực spin,
mật độ hạt tải

n
cho spin up và spin down là không bằng nhau, nhưng mật độ hạt
tải tổng cộng

 nnn
là không đổi [5-6]. Mật độ phân cực spin sinh ra là do sự
dịch chuyển mức năng lượng trong dải năng lượng của spin up và down thông qua
hiệu ứng Zeeman trong từ trường ngoài
B
.
Trường hợp nhiệt độ
0

T
, ta có:

S
S
S
BBnnn

BB
B
Bn
n













,0,
,1
2



24.2

trong đó
S
B
được gọi là trường bão hòa hay trường phân cực spin, được xác định
bởi hệ thức

FSB
EBg 2

, với
g
là thừa số Lande hiệu dụng và
B

là magneton
Bohr.
Trường hợp nhiệt độ
0

T
, mật độ hạt

n
được xác định từ hàm phân bố
Fermi của hạt tải ứng với spin up và spin down

 
 
 
 
T
f







exp1
1



25.2

Với
Tk
B
/1

và

 
 


F
E



exp1ln
1




26.2



26.2
là hóa thế cho các trạng thái spin up và spin down tương ứng với mức năng
lượng Fermi
F
E
ở nhiệt độ xác định, ta có:



 











nnn
eee
t
n
n

txtxtx
2
411
ln
2
/22
2
/2/2



27.2




16

trong đó
s
BBx /
và
F
TTt /
là các tham số không thứ nguyên. Nếu như không có
từ trường ngoài thì độ suy biến spin là
2
và không có sự phân cực spin, do đó
2/nnn 


ở mọi nhiệt độ.
Từ hàm mật độ ta có thể tính độ phân cực spin





 nnnn /

ở các nhiệt
độ khác nhau như sau:
Thấy rằng ở
0

T
:









s
s
s
BB
BB

B
B
,1
,




28.2

Độ phân cực khi
0

T
:



 
2
411
ln.
/22
2
/2/2 txtxtx
eee
t








29.2


0.0 0.5 1.0 1.5
2.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0


B/B
S
T = 3(K)
T = 2(K)
T = 1(K)
T = 0(K)
2.4 Thời gian tán xạ và thời gian
hồi phục

Xét hệ điện tử hai chiều dẫn điện dưới tác dụng của điện trường song song với
mặt phẳng (xy), hạt tải điện trong quá trình chuyển động sẽ có sự tán xạ nên chuyển
động lệch so với phương điện trường ngoài. Vì có một số cực lớn các tâm tán xạ
nên các tâm tán xạ trở thành đại lượng ngẫu nhiên, nguồn tán xạ là nguồn không trật

tự được mô tả bằng thế tán xạ


,
U U r z


là hàm ngẫu nhiên.


17

Giả sử trạng thái của điện tử trước va chạm là
,
i n k


, ứng với năng lượng
và hàm sóng:

n
22
k,n
m
2
k
E 








2.30


 


 
zr.kiexp
A
1
z,r
n
k,n








2.31

Trạng thái điện tử sau va chạm là
', '
f n k



, ứng với năng lượng và hàm sóng:

'n
22
'k,'n
m
2
'k
E 







2.32


 


 
zr'.kiexp
A
1
z,r
'n

'k,'n








2.33

trong đó n và n’ nhận các giá trị 0, 1, 2, …
Xác suất để hạt tải chuyển từ trạng thái
i f

có dạng:



k,n'k,'n
2
'k,'nk,n
EE'k'nUkn
2
W












2.34

số hạng


k,n'k,'n
EE



xuất hiện để đảm bảo sự bảo toàn năng lượng trong tán xạ
đàn hồi của hạt tải. Phần tử ma trận chuyển dời trong


2.34
có dạng

     
 
 
 
 
 
       

' '
'
'
' , '
' ' , , ,
1
,
1
,
n k nk
i k k r
n n
n n n n
nk U n k drdz r z U r z r z
dz z dre U r z z
A
dz z U q z z U q
A
 
 
 

 




 

 


 
 

 
   
 




2.35

Với
'
q k k
 
 

được gọi là xung lượng truyền hai chiều trong mặt phẳng (xy), ta đã
sử dụng biến đổi Fourier hai chiều cho thế tán xạ.







 z,rUerdz,qU
rqi









2.36

Xét trường hợp tán xạ nội vùng con (n=n’), khoảng cách hai mức năng lượng lớn,
nồng độ hạt tải thấp, nhiệt độ đủ thấp. Xác suất chuyển dời trong một đơn vị thời
gian


18




 


k,n'k,n
2
n,n
EEqU
2
'k,kW












2.37

Vì tán xạ đang xét ở đây là tán xạ đàn hồi (
|k||'k|



), vectơ sóng chỉ quay đi
một góc  trong mặt phẳng (xy) nên

 
   
 
2
,
2
2
, '
2
n n

W k k P U q
U q



 

 







2.38

Thời gian vận chuyển tán xạ được xác định theo công thức

  




dCos1P
1
0
t




2.39

Thời gian hồi phục được xác định theo công thức

 




dP
1
0
q



2.40

Tỉ số thời gian vận chuyển và thời gian hồi phục

 
  










dCos1P
dP
0
0
q
t



2.41

19

Tỉ số này sẽ cho chúng ta biết chiều hướng của tán xạ.
Thực hiện
q


, có tính đến hiệu ứng chắn thì thu được công thức cho thời
gian vận chuyển và thời gian hồi phục [8]:

 
 
 



F

k
F
Ft
q
qU
qk
q
dq
2
0
2
2
21
22
2
4
2
11





2.42


 
 
 
2

2
2
0
21
22
2
4
2
2
11
q
qU
qk
k
dq
F
k
F
F
Fs








2.43

 
2
U q
là trung bình của trường ngẫu nhiên được xác định theo các cơ chế tán xạ
khác nhau.
2.5 Hiệu ứng màn chắn và hàm điện môi
2.5.1 Hiệu ứng màn chắn
Một tập hợp các điện tích nếu phân bố đều trong toàn không gian thì không tạo
ra trường thế, bởi vì thế tĩnh điện ở mỗi điểm là như nhau. Để hệ này sinh ra trường
thì phải có một nguồn kích thích nào đó. Khi có mặt nguồn ngoài (trường chính)
nào đó và do tương tác Coulomb (hút hoặc đẩy) thì các điện tử cảm ứng trong hệ sẽ
phân bố lại (sự phân bố này sẽ xảy ra theo khuynh hướng không đều nên hệ bị phân
cực) và tạo thành một lớp màn chắn xung quanh nguồn ngoài, do đó làm giảm
cường độ ảnh hưởng và bán kính tác dụng (bán kính chắn) của trường ngoài.
Khi các điện tử tham gia vào hiệu ứng chắn mà vẫn không di chuyển (định xứ
tại chỗ), sự phân bố lại ở các điện tử này là do sự định hướng lại các lưỡng cực điện
tại chỗ. Hiệu ứng chắn này được gọi là hiệu ứng chắn tĩnh, ảnh hưởng của nó là làm
giảm cường độ trường chính (trường ngoài) nhưng không làm thay đổi bán kính tác
dụng. Hiệu ứng chắn tĩnh được mô tả bằng hằng số điện môi
L

và giá trị của nó
được đo bằng thực nghiệm.
Ngược lại, khi các phần tử tham gia vào hiệu ứng chắn là các điện tích di
động. Dưới tác dụng của một nguồn nào đó (điện tích thử, donor, acceptor, … ) các
điện tích di động phân bố lại làm hệ bị phân cực và tạo ra một trường phụ có xu
hướng chống lại nguyên nhân sinh ra nó (trường chính) theo định luật Lenz và đồng

20

thời trường phụ này lại làm yếu nguồn ban đầu. Điều kiện để có hiệu ứng chắn động
là:
i) Các điện tích di động, sự di động của các điện tích này phụ thuộc vào tr
ạng
thái và loại tương tác (hút hoặc đẩy) của hạt chắn tham gia.
ii) Các điện tích di động phải tương tác với nhau: tương tác Coulomb, tương
tác trao đổi.
Độ cơ động của các điện tích di động sẽ quyết định tính chắn động. Nghĩa là các
electron dễ di chuyển dẫn đến electron dễ phân bố lại, hệ electron dễ bị phân cực
làm cho tính chắn tăng. Tính chắn trong hệ ba chiều (3D) mạnh hơn trong hệ hai
chiều (2D) vì tính cơ động của các điện tích di động trong hệ ba chiều cao hơn. Tính
chắn trong hệ 2D phụ thuộc vào cấu trúc giếng lượng tử chứa khí điện tử 2D. Ngoài
ra tính chắn còn phụ thuộc vào nguyên lý loại trừ Pauli: hiệu ứng trao đổi làm hạn
chế sự di chuyển của các electron, điều này làm cho tính chắn giảm. Như vậy, tất cả
các tương tác làm thay đổi phân bố của khí điện tử đều bị chắn động.
2.5.2 Hàm điện môi
Khí điện tử hai chiều (2DEG) dưới tác dụng của nguồn ngoài sẽ phân bố lại
không đều nên hệ sẽ bị phân cực tạo ra một trường phụ ngược với trường chính. Kết
quả là làm giảm cường độ cũng như bán kính tác dụng của các thế tán xạ. Khi ấy
khí điện tử 2 chiều không còn chịu tác dụng của thế


qU
như ban đầu mà thay vào
đó là một thế chắn.

   


 

q
qU
qUqU
scr





2.44

Với


q

là hàm điện môi đặc trưng cho hiệu ứng chắn phụ thuộc vào độ cơ động
của hạt tham gia vào hiệu ứng chắn và các loại tương tác mà hạt tham gia chắn bị
ảnh hưởng.
Xét trường hợp chắn đơn vùng con, chỉ có một loại chuyển dời cho điện tử
(trên cùng một mức năng lượng) làm xung lượng hai chiều thay đổi và tham gia
dịch chuyển trong mặt phẳng


xy
. Hàm điện môi có dạng [4]:












qqGqVq
0
11 




2.45


21



q
0

là hàm phân cực tĩnh của khí điện tử hai chiều có dạng như sau [3]:

   



















F
Fv
kq
q
kmg
q 2
2
11
2
2
2
2
*
0






2.46





qG1
là số hạng hiệu chỉnh trường định xứ để tính đến tương tác trao đổi giữa
các electron với nhau. Trong gần đúng Hubbard thì hàm


qG
có dạng [12]:

 
22
1
qk
q
gg
qG
F
vs
H





2.47

s
g
là thừa số suy biến spin, nếu hệ phân cực hoàn toàn thì
1
s
g
, nếu hệ không
phân cực thì
2
s
g
.


qV
là ảnh Fourier của tương tác electron-electron, chính là
tương tác Coulomb. Nếu mặt phẳng mà các electron chuyển động nằm trong chân
không thì


qeqV
2
2



. Trong một hệ thực mà cụ thể trong trường hợp luận văn
này là cấu trúc giếng lượng tử
GaPAlPGaP //
thì cũng tương tự như vậy, thế tương
tác Coulomb của một cặp electron nằm ở hai điểm


zr,

và


''
, zr

được cho bởi:

     


 






q
zzq
rrqi

L
L
ee
q
e
zzrr
e
zzrrV



,
,
2
2/1
2
,
2
,
2
,,
2
,,






2.48

Thế năng hiệu dụng có dạng:

   
qF
q
e
qV
C
L
12
2






2.49



qF
C
là dạng thừa số phụ thuộc vào sự mở rộng hữu hạn và sự tương tác của khí
điện tử dọc theo phương
z
, có dạng:

   

 
 






,
2
,,
2
zzq
C
ezdzzdzqF



2.50

Thay hàm sóng


11.2
vào


2.50
ta thu được:

 










































aaa
C
I
a
z
a
dz
a
z
a
dz
a
z
a
dzqF
0
2
0

2
'
'
2
0
sin
2
sin
2
sin
2




2.51


22

với
   
 
qzqz
z a
z
zzqzzq
eIeI
a
e

a
z
dze
a
z
dz
a
I
21
0
'
2'
'
2'
2
sinsin
2
''



























 




2.52

Sử dụng tích phân :
 













































a
x
aqa
x
e
a
x
aqa
x
e
qa
qa
ee
q
dxe
a
x
qx
qxqxqxqx
x
x
11
22
222

22
2
2
sin
22
cos
2
sin
22
cos
42
1
sin
1
212
2
1







2.53

Áp dụng tích phân


2.53

vào


2.52
và


2.51
, thu được kết quả sau:

 














22222
42
222
4
1328

3
4
1
qa
e
qaaq
aq
qa
qF
aq
C






2.54

Xét trường hợp
     
*
0
2
0, 1,
v
C
g m
G q F q q


   

, chúng ta thu được hiệu ứng chắn
Thomas-Fermi cho khí điện tử hai chiều

 
q
q
q
TF
1




2.55

với
2
2*
2

L
v
TF
emg
q


là tham số chắn.

Như vậy, hàm điện môi tĩnh cho khí điện tử hai chiều đồng nhất với phổ năng lượng
*
22
2m
k
E
k


và vectơ sóng Fermi
F
k
có dạng:

 




























F
FTF
F
TF
kq
q
k
q
q
kq
q
q
q
2,
2
111
2,1
2





2.56


23


0 1 2 3 4 5
0
50
100
150
200
250

(q)
q/2k
F
n=10
12
cm
-2
n=5x10
12
cm
-2
n=9x10

12
cm
-2

Hình 2.4 Hàm điện môi ứng với các mật độ khác nhau.



Hàm điện môi đặc trưng cho sự chắn. Khi
F
kq 2
, chúng ta thấy hàm điện môi
không phụ thuộc vào hạt tải. Điều đó có nghĩa là mật độ hạt tải rất thấp cũng chắn
như mật độ hạt tải cao hơn. Khi
0
F
k
thì mật độ hạt tải cũng tiến tới không và
hiệu ứng chắn chỉ tác động tới các giá trị rất nhỏ của
q
mà thôi, khi
F
kq 2
thì hiệu
ứng chắn giảm rất nhanh khi
q
tăng.
Trong gần đúng RPA, hàm điện môi có hiệu ứng chắn với vectơ sóng bất kì
được cho bởi [14]:











TqqGqVq ,11 




2.57

trong đó


Tq,
là hàm phân cực hai chiều ở nhiệt độ hữu hạn (và vectơ sóng hữu
hạn) và được cho bởi






TqTqTq ,,,



, trong đó


Tq,


là hàm phân
cực ứng với các trạng thái phân cực spin up và down. Maldague (1978) đã chứng tỏ
là hàm phân cực tĩnh ở nhiệt độ hữu hạn có thể được tính từ hàm phân cực ở nhiệt
độ không, kết quả đó như sau [1]:

 


 








0
'2
'0
'
4

cosh
,
4
,





q
dTq



2.58


24

trong đó,




qEq
F
00
,



là hàm phân cực tĩnh của hệ không tương tác ở nhiệt độ
không, được cho bởi:

   


















 F
F
F
kq
k
q
Nq 2
2

11
2
0



2.59

2
*
2 

mg
N
v
F

là mật độ trạng thái ở mức năng lượng Fermi và
2/1
4












sv
F
gg
n
k

là vectơ
sóng Fermi hai chiều ứng với hạt tải có spin up và down. Độ suy biến spin thì bị
tách ra bởi từ trường
B
song song với mặt phẳng chứa hạt tải. Trong trường hợp
không phân cực khi không có từ trường ngoài, ta có
FFF
kkk 

, ta cũng cần lưu
ý là tích phân trong


2.58
lấy theo biến câm
'

và nó không liên quan gì đến năng
lượng Fermi thực tế
F
E
của hệ.

0 1 2 3 4 5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a)
B=0
B=2B
S

(q,T)/N
F0
q/k
F
0
T/T
F
0.0
0.05
0.1
0.2

0 1 2 3 4 5
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4

0.5
0.6
0.7
(b)
B=B
S

(q,T)/N
F0
q/k
F0
T/T
F
0.2
0.1
0.05
0.0

Hình 2.5 Hàm phân cực cho hệ GaP/AlP/GaP trong các từ trường ngang khác nhau
a) cho
0

B
và
S
BB 2
, và b) cho
S
BB 
. Ở đây


/2
0
mgNN
vFF

là mật độ
trạng thái của hệ không phân cực và
0
2
FF
kk 

.
Trong hình


2.5
, chúng tôi trình bày kết quả tính số cho hàm phân cực
 
)(/,
*
00

mg
NNNTq
v
FFF

cho nhiều giá trị của từ trường. Trong hình a) cho

0

B
và
S
BB 2
, và trong hình b) là
S
BB 
. Tại
0

B
(hệ không phân cực,

 nn
), khi tăng nhiệt độ hàm chắn giảm tại
0
2
F
kq 
(
vF
gnk

2
0

) làm điện trở