Ôn Tập Lượng Giác Công Thức Bổ Sung Và Bài Tập

- 1 -



§ 1. ÔN TẬP LƯỢNG GIÁC

1. Công thức cộng

sin( ) sin cos sin cos
cos( ) cos cos sin sin
tan tan
tan( )
1 tan tan
a b a b b a
a b a b a b
a b
a b
a b
  
 

 



2. Công thức nhân

     
2 2 2 2
sin 2 2 sin cos

cos 2 cos sin 1 2 sin 2 cos 1
a a b
a a a a

3. Công thức hạ bậc
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
a
a
a
a





4. Công thức nhân 3

2
2
sin 3 3sin 4 sin
cos 3 4 cos 3 cos
a a a
a a a

 
 

5. Biến đổi tích thành tổng

1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
1
cos sin sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
 
   
 
 
 
    
 
 
 

   
 
 
 
   
 
 


- 2 -

6. Biến đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos cos
2 2
cos cos 2 sin sin
2 2
sin sin 2 sin cos
2 2
sin sin 2 cos sin
2 2
sin( )
tan tan
cos cos
cos sin 2 sin 2 cos
4 4
a b a b
a b
a b a b
a b

a b a b
a b
a b a b
a b
a b
a b
a b
a b a a
 
 
 
 
  
 
 
 
 

 
   
 
 
 
    
 
 
 
 
 
   

7. Mở rộng

1
sin sin sin sin 3
3 3 4
1
cos cos cos cos 3
3 3 4
tan tan tan tan 3
3 3
x x x x
x x x x
x x x x
 
 
 
   
 
 
 
  
 
 
 
 
 
   
   
 

 
 
  
 
 
 
 
 
   
   
 
 
 
  
 
 
 
 
 
   

8. Một số phép biển đổi cơ bản



2
2
2
4 4 2
1 sin 2 cos sin

1 cos2 2cos
1 cos 2 2sin
1
sin cos 1 sin (2 )
2
1
1 tan tan
2 cos
a a a
a a
a a
a a a
a
a
a
  
 
 
  
 

9. Bài tập
1)
sin 3 3 cos3 2sin 2
x x x
 

HD: PT
sin 3 sin 2
3

x x

 



  





 


- 3 -

2)
 
2 sin 1 sin 2
4
1 tan
cos
x x
x
x

 




 





 
 
HD: PT
2
(cos sin )(cos sin ) cos sin
x x x x x x
    

3)
2
3 4
2 cos 1 3cos
5 5
x x
 
HD: PT
3 2
6 4
cos 3cos 2 0
5 5
2 3 2
4 cos 6cos 3cos 5 0
5 5 5

x x
x x x
   
    

 Đẳng thức lượng giác trong tam giác
Trong
ABC

ta có:

sin( ) sin
cos( ) cos
sin cos
2 2
cos sin
2 2
A B C
A C B
A B C
B C A
 
  





1) CM:
sin sin sin 4 cos cos cos

2 2 2
A B C
A B C  
HD: VT 2sin cos sin 2 cos cos sin
2 2 2 2 2
A B A B C A B C
C
 
  



   





 

2) CM:
sin2 sin 2 sin 2 4 sin sin sin
A B C A B C
  


3) CM:
cos cos cos 1 4 sin sin sin
2 2 2
A B C

A B C   
HD: VT
2
2 cos cos cos 2 sin cos 1 2 sin
2 2 2 2 2
A B A B C A B C
C
  
    
4) CM:
2 2 2
cos cos cos 1 2cos cos cos
A B C A B C
   

HD: Dùng công thức hạ bậc





- 4 -

Trong
ABC

không vuông ta có:

tan tan tan tan tan tan
tan tan tan tan tan tan 1

2 2 2 2 2 2
cot cot cot cot cot cot 1
cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
A B B C C A
A B B C C A
A B C A B C
  
  
  
  


 Nhận dạng tam giác
1) CMR nếu
2 2 2
sin sin sin 2
A B c
  
thì
ABC

vuông.

HD:
GT

2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos 2

2cos cos cos 0
A B c
A B C
      
 

2) CMR nếu :
sin sin sin 1 cos cos cos
A B C A B C
     
thì
ABC


vuông.

HD:
)sin sin sin 4 cos cos cos
2 2 2
)1 cos cos cos 4 sin cos cos
2 2 2
A B C
A B C
A B C
A B C
   
    

3)
Nếu

 
sin sin 1
tan tan
cos cos 2
A B
A B
A B

 


thì
ABC

cân.

HD:


2
2 sin cos
1 sin( )
2 2
2 cos cos
2 cos cos
2 2
cos cos sin
2
cos( ) 1
A B A B

A B
GT
A B A B A B
C
A B
A B
 

 
 
 
  





- 5 -

§ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Định nghĩa: Là một trong các phương trình sau:
(1)
(2)
(3)
(4)
sin
cos
tan
cot
x m

x m
x m
x m





x
là ẩn, m là số thực cho trước.
II. Công thức nghiệm của PT
(1)
x m
sin


+ Nếu

1
m
thì (1) vô nghiệm
+ Nếu
1
m

thì (1) có nghiệm
2
sin
2
x k

x m
x k
 
  

 

 

  



Trong đó

là một số thực sao cho
sin
m



Ví dụ:
2
3
3
sin sin sin
2
2 3
2
3

x k
x x
x k







 

   


 



Lưu ý:

2
sin sin
2
x k
x
x k
 

  


 

 

  




( ) ( ) 2
sin ( ) sin ( )
( ) ( ) 2
f x g x k
f x g x
f x g x k

 

 

 

  



 Nếu đo bằng đơn vị độ thì
0 0
0 0 0

.360
sin
180 .360
x a k
x m
x a k

 

 

  




- 6 -

 Với
1
m

trên
;
2 2
 
 
 

 

 
thì
sin
x m

có duy nhất một nghiệm. Nghiệm này gọi là
arcsin
m

 Khi

0; 1; 1
m m m
   
thì ta có công thức nghiệm đặc biệt
sin 0
sin 1 2
2
sin 1 2
2
x x k
x x k
x x k





  
   

     

LUYỆN TẬP
 Giải các phương trình sau






1
1.1) sin2
2
1.2) sin2 sin
1.3) cos2 sin 2
1.4) cos sin 2 0
3 2
1.5) cos 3 sin 3 1
1.6) cos 3 cos 3 1
3 3
x
x x
x x
x x
x x
x x
 




   
 
 
 
   
 
 
 
 
 
   
 
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
   

2 2 2 2
2 2
0 0 0
1.7) sin sin 3 cos cos 3
cos2 3
1.8) cos
sin cos 2
1
1.9) 3 sin cos
cos
1.10) sin 3 cos2 1 2 sin 2 cos2
1.11) sin 2 cos 3 1
2
1.12) sin(2 15 ) ( 120 120 )
2
x x x x
x
x
x x
x x
x
x x x x
x x
x x
  
 

 

  
 
    
III. Công thức nghiệm của PT
(2)
cos
x m


+ Nếu

1
m
thì (1) vô nghiệm
+ Nếu
1
m

thì (1) có nghiệm
cos 2
x m x k

     

Trong đó

là một số thực sao cho
cos
m




Ví dụ:
1 2 2
cos cos cos 2
2 3 3
x x x k
 
        



- 7 -

Lưu ý:

cos cos 2
x x k
 
     


cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2
f x g x f x g x k
     

 Nếu
x
đo bằng độ thì :
0 0

cos 360
x m x a k
    

 Với
1
m

trên
0;
 

 
 
thì
cos
x m

có duy nhất một nghiệm. Nghiệm này gọi là
arccos
m

 Khi

0; 1; 1
m m m
   
thì ta có công thức nghiệm đặc biệt
cos 0
2

cos 1 2
cos 1 2
x x k
x x k
x x k

    
   
      

IV. Công thức nghiệm của pt

tan
x m

+ TXĐ:
2
x k

  

+ PT
tan
x m

có nghiệm
m
 


tan
x m x k

    

V. Công thức nghiệm của pt

cot
x m

+ TXĐ:
x k
 

+ PT
cot
x m

có nghiệm
m
 


cot
x m x k

    

LUYỆN TẬP
1. Giải các phương trình sau

 







 
 
  
  
  
 




      





 
   
2 2 2
3 3
2
2 2 2 2

2 2 2 2
1.1) 2 sin2 2 sin 0
1.2) sin sin tan 3
1.3) cos sin sin 0
1.4) 1 sin2 cos 3 sin 3
1.5) cos2 3cos 4 0
7
1.6) sin ( 5 ) sin cos sin 1
2
1.7) cos cos 2 cos 3 cos 4 2
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x x
x x x x


- 8 -

2. Giải các pt sau







6 6 4 4 2

2
3 3
2 2
2.1) 4(sin cos ) 2(sin cos ) 8 4 cos
2.2) 3 4 cos sin (1 2 sin )
2.3) sin cos 1 cos2
2.4) cos 5 sin 4 cos 3 sin 2
2.5) cos 5 sin 4 cos 3 sin2
2.6) tan tan 2 tan 3
17
2.7) sin 2 cos 8 sin 10
2
x x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
    
  
  


 



  


3 3
5 7
2.8) sin 2 3cos 1 2 sin
2 2
2.9) cos cos 3 sin sin 3 3
2.10) tan tan 2 1
3 3
x x x
x x x x
x x









   
 
 
 
 
    
 
 

 
 
 
   
 
   
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
   

- 9 -

§ 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN
I) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Dạng:


  
  
 
sin 0 ( 0)
cos 0 ( 0)
tan 0
a x b a
a x b a
a x b

Cách giải: chuyển vế đưa về phương trình lượng giác cơ bản

II) Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác
Dạng:


2
2
sin sin 0 ( 0)
tan tan 0 ( 0)
a x b x c a
a x b x c a

   
   

Cách giải: đặt ẩn phụ ( đk ẩn phụ nếu có)
LUYỆN TẬP
 Giải các phương trình sau







2
4
2
4 4 2
4 4
6 6 4
1) 3sin 2 7 cos2 3 0
2) cos2 5 sin 3 0
3) cos2 cos 2 0
4) cos 4 2 sin 2 0
1
5) sin cos cos2 sin 2 2
4
3
6)( .05) cos sin cos sin 3 0
2 4 2
7) cos sin cos 4

x x
x x
x x
x x
x x x x
D x x x x
x x x
  
  
  
  
   
   
 
 
 
 
     
 
 
 
 
 
   
 

6 6
2(cos sin ) sin cos
8) 0
2 2 sin

x x x x
x
 







- 10 -

III) Phương trình bậc nhất đối với
sin
x
và
cos
x

Dạng:

2 2
sin cos ( 0)
a x b x c a b
   

Cách giải: Chia hai vế pt cho
2 2
a b


:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
PT x x
a b a b a b
  
  

Vì
2 2
2 2 2 2
1
a b
a b a b
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
nên ta đặt

2 2 2 2
cos ; sin
a b
a b a b
  
 
:

2 2
2 2
sin cos cos sin
sin( )
c
PT x x
a b
c
x
a b
 

  

  


Chú ý : Ta có thể đặt cos
2 2 2 2
sin ;
a b
a b a b

  
 
:
LUYỆN TẬP
 Giải các phương trình sau








5 4
2 2
6 6
2
4
1) 3 cos2 sin 2 2
2) 3sin 2 4 cos 2 1
3) 4 sin 5 cos 4 cos sin cos 1
cos sin
4) 4 cot2
cos sin
1 1 2
5)
cos sin 2 sin 4
sin (sin cos ) 1
6) 0
cos sin 1

1
7) 2 tan cot2 2 sin 2
sin2
sin
8)
x x
x x
x x x x x
x x
x
x x
x x x
x x x
x x
x x x
x
x
  
 
  



 
 

 
  

4
2
2 2 2
cos 1 1
cot2
5 sin2 2 8 sin2
9) 2 sin sin 3 3 cos 2 2 0
10) sin cos 2 cos 3
x
x
x x
x x x
x x x

 
  
 


- 11 -

 Dùng Phương trình bậc nhất đối với
sin
x
và
cos
x
để tìm min , max

2 2

: sin cos sin( )
c
PT a x b x c x
a b
    


Phương trình có nghiệm
2 2 2
2 2
1
c
a b c
a b
    


Áp dụng: Tìm min, max của các hàm sau
1) cos sin
cos
2)
sin cos 2
y x x
x
y
x x
 

 

 Bài tập 1: Cho
.sin 1
cos 2
k x
y
x




a) Tìm min, max khi
1
k


b) Tìm k để min
1
y
 

c) Tìm k để max của y là nhỏ nhất
 Bài tập 2: Cho
2 cos 1
cos sin 2
k x k
y
x x
 

 

a) Tìm min, max khi
1
k


b) Tìm để
k
min của hàm số
2
 

c) Tìm để
k
max của hàm số là lớn nhất

IV) Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với
sin
x
và
cos
x

Dạng:

2 2 2 2 2
sin sin cos cos 0 ( 0) (4)
a x b x x c x a b c
     

Cách giải:
+ Xét
cos 0
x


+ Với
cos 0
x

,
2
(4) tan tan 0
a x b x c
   

Lưu ý:

- 12 -

1) Nếu thay:
2 2
1 cos2 1 cos2 1
sin ; cos ; sin cos sin2
2 2 2
x x
x x x x x
 
   thì pt
(4) trở thành bậc nhất đối với

sin 2
x
và
cos 2
x

2) Xét pt
2 2 2 2 2
sin sin cos cos ( 0; 0) (4 )
a x b x x c x d a b c d a
      

Thay
2 2
(sin cos )
d d x x
 
thì
(4 ) (4)
a


Hoặc chia 2 vế của
(4 )
a
cho
2
cos 0
x


và dùng công thức


2
2
1 tan
cos
d
d x
x
 

3) Một cách tổng quát: với pt đẳng cấp bậc n đối với
sin
x
và
cos
x
ta thường chia 2 vế
cho
cos
n
x

Ta thường gặp pt đẳng cấp bậc 3 dạng sau:
3 2 2 3
sin sin cos sin cos cos 0
a x b x x c x x d x
   

LUYỆN TẬP:
 1. Giải các phương trình sau





2 2
2
2 2
2 2
2 2
1.1) sin 2sin cos 3 cos 3 0
1.2) sin 3 sin cos 1 0
5
1.3) 4 3 sin cos 4 cos 2 sin
2
5 3
1.4) 3sin (3 ) 2 sin cos 5 sin 0
2 2 2
1.5) cos 3 sin cos 2 sin
x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
   
  
  
     

  
  
  
  
       
  
  
  
  
  
     
 





2 2
2 2
2
32 2
32 2
1 0
1.6) sin 2 sin cos 3cos
1.7) sin sin 2 3cos 0
1.8) cos 2 sin2 1 0
1.9) sin 6 sin2 3 cos 2. 66 0
1.10) 7 sin 2sin 2 3 cos 3 15 0
x x x x
x x x

x x
x x x
x x x
 
 
  
  
   
   

 2. Giải các phương trình sau


3 3 2
3 3 2
2.1) 4 sin 3 cos 3sin sin cos 0
2.2) cos 4 sin 3cos sin sin 0
x x x x x
x x x x x
   
   


- 13 -

3 2
3 3
3 3
3
3
2
2.3) cos sin 3sin cos 0
2.4) cos sin sin cos
2.5) 4 cos 2sin 3sin 0
2.6) sin sin 2 sin 3 6cos
2.7) sin cos 4 sin 0
2.8) 1 3 sin2 2 tan
2.9) sin (tan 1) 3 sin (cos sin ) 3
2.10) 2
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
x x
x x x x x
  
  
  
 
  
 

   
3 1
sin 2 3 cos
cos sin
x x
x x
  

V) Phương trình đối xứng với
sin
x
và
cos
x

Dạng:

     
2 2
(cos sin ) sin cos 0 ( 0)
a x x b x x c a b

Cách giải: đặt
sin cos 2 2
4
t x x x t
 





     





 

Khi đó
2
1
sin cos
2
t
x x


2
1
. . 0
2
t
PT a t b c

   

LUYỆN TẬP
 Giải các phương trình sau

3 3
3 3
1) 2(sin cos ) sin cos 1
2
2) (1 sin cos )(sin cos )
2
1 1 10
3) cos sin
cos sin 3
2
4) sin cos
2
3
5) 1 sin cos sin2
2
6) 2 sin2 2(sin cos ) 1 0
7) sin cos 2sin 2 cos 2
8) 1 tan 2 2 sin
x x x x
x x x x
x x
x x
x x

x x x
x x x
x x x x
x x
  
  
   
 
  
   
  
 


- 14 -



9) sin cos 7 sin2 1
10) sin 2 2 sin 1
4
x x x
x x
  
 




  






 

VI) Phương trình đối xứng với
tan
x
và
cot
x

Dạng:
2 2
(tan cot ) (tan cot ) 0
a x x b x x c
    

Cách giải:
+ TXĐ:
2
x k


+ Đặt
2 2 2
2
tan cot

tan cot 2
t
t x x
x x t





  


  





BÀI TẬP TỔNG HỢP
 1. Giải các phương trình sau
1)
2 2
sin 4 cos 6 sin(10,5 10 )
x x x
   

(ĐH Dược HN năm 1999)
2)
4 4
7

sin cos cot cot
8 3 6
x x x x
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
   

(ĐH GTVT năm 1999)
3)
3
8 cos cos 3
3
x x
 




 






 

(ĐH QGHN-Khối A, năm 1999)
4)
2 3
cos 2 2(sin cos ) 3sin 2 3 0
x x x x
    

(ĐH QGTP.HCM-Khối A,1999)
5)
1
3 sin 2 cos 3(1 tan )
cos
x x x
x
   
(CĐ SPHN năm 1999)

- 15 -

6)
4(sin 3 cos2 ) 5(sin 1)
x x x
  

(ĐH Luật Hà Nội, năm 1999)

7)
5 cos 2 2(2 cos )(sin cos )
x x x x
   

(ĐH Hàng Hải Tp.HCM năm 1999)
8)
3
sin 4 sin cos 0
x x x
  

(ĐH Y Dược Hà Nội năm 1999)
9)
2
1 cos2
1 cot2
sin 2
x
x
x

 
(ĐH Sư Phạm Vinh năm 1999)
10)
2
cos 2 sin cos
3
2 cos sin 1
x x x

x x


 

(ĐH Nông nghiệp I – Khối B 1998)
11)
2 2
cot tan
16(1 cos 4 )
cos2
x x
x
x

 
(ĐH GTVT năm 1998)
12)
sin cot5
1
cos9
x x
x


(ĐH Huế - Khối A năm 1999)
13)
2
2 tan cot 3
sin 2

x x
x
  
(ĐH Ngoại Thương nưm 1997)
14)
sin cos sin cos 2
x x x x
   

(ĐH QGHN-Khối D, năm 1999)
15)
2 cos sin 1
x x
 

(ĐH Dân Lập Hồng Bàng năm 1999)

16)
cos2 1 sin2 2 sin cos
x x x x
   


- 16 -

(ĐH DL Phương Đông năm 1999)
 2. Tìm
m
để pt sau có nghiệm
2

cos2 2(2 3)cos 2 2 0
m x m x m
    

(ĐH Đà Lạt năm 1998)
 3. Cho phương trình:
4 6
sin cos 2 cos 0
x x m x
  

a) Giải pt khi
2
m


b) Tìm các giá trị
m
để pt có nghiệm trên khoảng
0;
4
 










 

 4. Cho phương trình:
2
(cos 1)(cos2 cos ) sin
x x m x m x
  

a) Giải pt khi
2
m
 

b) Tìm các giá trị
m
để pt có nghiệm thuộc đoạn
2
0;
3
 

 
 
 