Đề thi HSG Toán 9 huyện Đầm Dơi năm 2010-2011

PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN
HUYỆN ĐẦM DƠI NĂM HỌC 2010-2011
- Môn thi TOÁN
- Ngày thi: 23-01-2011
- Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4 điểm)
a. Chứng minh rằng:
1
26
4813532
=
+
+−+
b. Cho biểu thức
yxyxx
x
yxy
x
A
22
22
2
22
−−+
+
−
−
=
với
yxx 2;1 ≠≠
- Rút gọn A.

- Tính giá trị của biểu thức khi
124 +=y
Câu 2. (5 điểm)
a. Cho đa thức:
( )
bxaxxxf ++−= 232
23
Xác định a, b để f(x) chia hết cho x-1 và x+2.
b. Chứng minh rằng :
246116
234
nnnn +++
với mọi
Zn
∈
.
Câu 3. (4,5 điểm)
Một canô chạy trên sông xuôi dòng 84 km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ. Nếu canô
xuôi dòng 112 km và ngược dòng 110 km thì mất 9 giờ. Tính vận tốc riêng của canô và vận
tốc của dòng nước.
Câu 4. (4 điểm).
Cho đường tròn (O), từ điểm B bất kì thuộc đường tròn kẻ đường vuông góc BH với
tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm A cho trước. Gọi I là giao điểm thứ hai của BH với
đường tròn (O), gọi B’ là điểm đối xứng của điểm B qua tâm O.
a. Chứng minh rằng:
'BAAI


=
b. Chứng minh rằng BA là phân giác của góc OBH.

c. Khi B di động trên đường tròn. Chứng minh rằng đường phân giác ngoài của góc
OBH đi qua một điểm cố định.
Câu 5. (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC và đường phân giác BD. Chứng minh rằng:
DCADBCABBD
2
−=
Hết
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đáp án và thang điểm
Câu 1. (4 điểm)
a. Chứng minh rằng:
1
26
4813532
=
+
+−+
VT =
1
)13(2
)13(2
26
322
26
12432
26
4813532
=
+

+
=
+
+
=
+
−+
=
+
+−+
Các bước biến đổi cho 0,25 điểm nhưng không quá 1 điểm
2 đ
b. Cho biểu thức
yxyxx
x
yxy
x
A
22
22
2
22
−−+
+
−
−
=
với
yxx 2;1 ≠≠
Rút gọn

yyxy
yx
yxyxy
x
xyx
x
yxy
x
yxyxx
x
yxy
x
A
1
)2(
2
2
2
)2(
)1)(2(
)1(2
)2(
22
22
2
22
=
−
−
=

−
−
−
=
+−
+
−
−
=
−−+
+
−
−
=
Các bước biến đổi cho 0,25 điểm nhưng không quá 0,75 điểm
1,5 đ
Tính giá trị của biểu thức khi
124 +=y
2
13
13
1
324
1
124
11 −
=
+
=
+

=
+
==
y
A
0,5 đ
Câu 2. (5 điểm)
a. Cho đa thức:
( )
bxaxxxf ++−= 232
23
Xác định a, b để f(x) chia hết cho x-1 và x+2.
Khi f(x) chia hết cho x-1 nên ta có f(1) = 0
430232 =−⇔=++−⇔ baba
(I)
Khi f(x) chia hết cho x+2 nên ta có f(-2) = 0
2012 −=−⇔ ba
(II)
Từ (I) và (II) ta tính được
12;
3
8
−=−= ba
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
1,0 đ
b. Chứng minh rằng :
246116

234
nnnn +++
với mọi
Zn ∈
.
Phân tích
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
2

[ ]
[ ]
)3)(2)(1(
)65)(1(
)1(6)1(5)1(
)66()55()(
)6116(6116
2
2
223
23234
+++=
+++=
+++++=
+++++=
+++=+++
nnnn
nnnn
nnnnnn

nnnnnn
nnnnnnnn
Mà 24 =
3.2
3
Vậy tích 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 và chia hết cho 8 nên chia hết
cho 24.
Vậy
246116
234
nnnn +++
với mọi
Zn
∈
.
0,25 đ
0,25 đ
0.25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu 3. (4,5 điểm)
Một canô chạy trên sông xuôi dòng 84 km và ngược dòng 44 km mất 5
giờ. Nếu canô xuôi dòng 112 km và ngược dòng 110 km thì mất 9 giờ. Tính
vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước.
Gọi x, y lần lượt là vận tốc của ca nô và dòng nước (x>0; y>0; x, y tính bằng
km/h; x>y)
Theo đề ra ta có hệ phương trình








=
−
+
+
=
−
+
+
9
110112
5
4484
yxyx
yxyx
Đặt X=x+y; Y=x-y ta có hệ phương trình







=+
=+
9
110112

5
4484
YX
YX

Giải ra ta được X=28; Y=22
Thay vào tìm được x=25; y= 3
Vậy vận tốc của ca nô là 25 km/h
Vận tốc của dòng nước 3 km/h
0,25 đ
1,75 đ
0,25 đ
0,25 đ
1,0 đ
0,5 đ
0,5 đ
Câu 4. (4,0 điểm).
Cho đường tròn (O), từ điểm B bất kì thuộc đường tròn kẻ đường
vuông góc BH với tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm A cho trước. Gọi I
là giao điểm thứ hai của BH với đường tròn (O), gọi B’ là điểm đối xứng của
điểm B qua tâm O.
a. Chứng minh rằng:
'BAAI


=
b. Chứng minh rằng BA là phân giác của góc OBH.
c. Khi B di động trên đường tròn. Chứng minh rằng đường phân giác
3
ngoài của góc OBH đi qua một điểm cố định.

Vẽ hình đúng 0,5 đ
a. Ta có góc BIB’ = 1V (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
'//')(,' BAIAAxIBgtBHAxBHIB

=⇒⇒⊥⊥⇒
0,25 đ
0,75 đ
b.
AxOA
⊥
(vì Ax là tiếp tuyến của (O) tại A)
OABHgtAxBH //)( ⇒⊥
OABAMB =⇒
(1)
OBAOAB =⇒
(OA=OB=R) (2)
Từ (1) và (2)
OBAAMB =⇒
, tia BA nằm giữa hai tia BO và BM, vậy
BA là phân giác góc OBH
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
c. gọi BA’ là đường phân giác ngoài (A’
∈
(O)) của góc OBH
⇒=⇒
0
90'BHA

AA’ là đường kính (vì A’BA là góc nội tiếp chắn nữa
đường tròn)
1,0 đ
Câu 5. (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC và đường phân giác BD. Chứng minh rằng:
DCADBCABBD
2
−=
4
Gọi đường tròn (O) đi qua 3 điểm A, B, C. Đường phân giác của góc B cắt
cung nhỏ AC tại E.
Xét hai tam giác ABE và DBC, chúng có
CEgtBB
ˆ
ˆ
),(
ˆˆ
21
==
(hai góc nội tiếp
chắn cung AB). Vậy
ABE∆
đồng dạng với
DBC∆
BC
BE
BD
AB
=⇒
BDDEBCABBDBDDEBDBDDEBDBEBDBCAB ).(

22
−=⇒+=+==⇒
Tương tự ta có
ABE∆
đồng dạng với
ABE∆

DCADBDDE
BD
AD
DC
DE
=⇒=⇒
Thay vào ta được điều phải chứng minh
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
1,0 đ
0,25 đ
Lưu ý:
Nếu học sinh có cách giải khác vẫn cho điểm tối đa.
5