Đề thi HSG toán 9 huyện Hải Hậu

Phòng GD&ĐT Hải Hậu kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp
huyện
----------*----------

Năm Học: 2008 - 2009
Môn Toán lớp 9
Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
Đề bài
Bài 1 (
5 điểm
) Cho biểu thức
A =
a
a
a
a
aa
a

+


+

+

3
12
2
3

65
92
với
9,4,0

aaa
.
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tìm giá trị của
a
để A< 1.
c, Tìm giá trị nguyên của
a
để A có gía trị là một số nguyên.
Bài 2 (
4 điểm
) Cho hệ phơng trình



+=+
=
12
2
ayx
ayax
a, Giải hệ phơng trình khi
2
=
a

.
b, Tìm
a
để hệ có nghiệm thoả mãn
1
=
yx
.
Bài 3 (
3 điểm
) Cho bốn số thực
dcba ,,,
thoả mãn đồng thời:
7
=+++
dcba
và
13
2222
=+++
dcba
. Hỏi
a
có thể nhận giá trị lớn nhất là bao
nhiêu?
Bài 4 (
4 điểm
) Từ điểm K bất kì trên đờng tròn tâm O đờng kính AB =
2R. Vẽ KH vuông góc với tiếp tuyến Bx của đờng tròn. Giả sử góc KAB
bằng

độ ( 0 <

< 90 ).
a, Tính KA, KB, KH theo R và

.
b, Tính KH theo R và 2

.
c, Chứng minh rằng: cos 2

= 1 2sin
2

cos 2

= 2 cos
2

- 1
Bài 5 (
4 điểm
)Cho đờng tròn tâm O bán kính R, A là điểm cố định trên
đờng tròn. Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy điểm M bất kì trên Ax, vẽ tiếp tuyến
thứ hai MB với đờng tròn (B là tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của MA,
BI cắt đờng tròn ở K, tia MK cắt đờng tròn ở C. Chứng minh rằng:
a, Tam giác MIK đồng dạng với tam giác BIM.
b, BC song song với MA.
c, Khi điểm M di động trên Ax thì trực tâm H của tam giác

MAB thuộc đờng tròn cố định.
======================================
Họ và tên thí sinh:..............................................
Số báo danh:.........................
Phòng GD&ĐT Hải Hậu hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi
cấp huyện
----------*----------

Năm Học 2008 - 2009
Môn Toán lớp 9
Bài 1( 5 điểm )
a, ( 2 điểm )
Với a
0

và a

4 ; a

9 thì
A =
)3)(2(
)2)(12()3)(3(92

+++
aa
aaaaa

0,5đ
=

)3)(2(
242992

+++
aa
aaaaa
0,5đ
=
)3)(2(
2


aa
aa
0,25đ
=
)3)(2(
)2)(1(

+
aa
aa
0,5đ
=
3
1

+
a
a

0,25đ
b, (1 điểm)
Với a
0

và a

4 ; a

9 thì
A < 1


3
1

+
a
a
< 1

0
3
31
<

++
a
aa

3
4

a
< 0
0,5đ


03
<
a



3
<
a


a < 9
0,25đ
Kết hợp với điều kiện ta có
90 < a
và a

4
0,25đ
c, (2 điểm)
Ta có A =
3

4
1

+
a
0,5đ
Với a nguyên, a
0

và a

4 ; a

9 thì A có giá trị nguyên khi và
chỉ khi
3

a
là ớc của 4
0,25đ
Do đó
3

a
nhận các giá trị
;1


2

;
4

;1

0,5đ
Từ đó a nhận giá trị : 1; 4; 16; 25; 49
0,5đ
Vì a

4 nên a nhận các giá trị 1; 16; 25; 49
0,25đ
Bài 2 (4 điểm)
a, (2 điểm)
Thay a =
2
vào hệ phơng trình đợc:





+=+
=
122
222
yx
yx
0,25đ

+=+
=
22224
222
yx
yx

0,25đ





=−
+=−
222
223)42(
yx
x
0,25®
T×m ®îc
42
223
−
+
=

x
0,5®
T×m ®îc
42
232
−
+
=
y
0,5®
KL
0,25®
b, (2 ®iÓm)
Tõ x – y = 1
⇒
y = x – 1 thay vµo hÖ PT ®îc



+=−+−
=−−
1)1(2
)1(2
axx
axax
0,25®



+=−

−=−
2
2)2(
ax
axa

⇒
a
2
+ a - 6 = 0
0,5®
(a – 2)(a + 3) = 0
0,5®
T×m ®îc a= -3; 2
0,5®
KL
0,25®
Bµi 3 (3 ®iÓm)
Tõ a +b+c+d = 7
⇒
b+c+d = 7 – a
0,25®
(b+c+d)
2
= b
2
+ c
2
+ d
2

+ 2bc +2cd + 2bd
0,25®
mµ (b – c )
2

0
≥
; (c - d )
2

0
≥
;(d - b )
2

0
≥
;

⇒
b
2
+ c
2
≥
2bc; c
2
+ d
2
≥

2cd; d
2
+ b
2
≥
2bd;
0,75®
Tõ ®ã (b+c+d)
2

≤
3(b
2
+ c
2
+ d
2
)
0,5®
⇒
(7 - a)
2

≤
3(13 – a
2
)
0,25®
(a – 1)(a-
2

5
)
≤
0
0,5®
T×m ®îc 1
≤
a
≤

2
5

0,25®
do ®ã a cã thÓ nhËn gi¸ trÞ lín nhÊt lµ
2
5
0,25®
Bµi 4 (4 ®iÓm)
a, (1,5 ®iÓm)
LËp luËn ®Ó cã
∠
AKB = 90
0
(0,25®);
∠
KAB =
∠
KBH (0,25®);
XÐt

∆
AKB vu«ng t¹i H cã
KA = AB cos
α
= 2R cos
α
(0,25®);
KB = AB sin
α
= 2R sin
α
(0,25®);
XÐt
∆
KHB vu«ng t¹i H cã
KH = KB sin
α
(0,25®) = 2R sin
2
α
(0,25®);
b, (1 ®iÓm)
α
x
H
K
C
O
B
A

Vẽ KO; KC

AB xét

KCO vuông tại C có OC = OK cos2

(0,5đ);
Lập luận có KH = CB (0,25đ) = R - Rcos2

= R(1 - cos2

) (0,25đ);
c, (1,5 điểm)
Theo câu a có KH = 2R sin
2

theo câu b có KH = R(1 - cos2

)
(0,25đ);
nên 2R sin
2

= R(1 - cos2

) (0,25đ) do đó cos2

= 1 - 2sin
2

(0,25đ);
Mặt khác áp dụng định lí Pitago vào tam giác AKB vuông tại K chứng
minh đợc
sin
2

+ cos
2


= 1 nên sin
2

= 1 - cos
2


(0,25đ);
Từ đó có cos2

= 1 2(1 cos
2

) = 2 cos
2

- 1 (0,5đ);
Bài 5 (4 điểm)
a, (2 điểm)
Chứng minh đợc

IAK đồng dạng với

IBA (0,5đ)

IA
2
= IK.IB , mà I là trung điểm của AM
nên IM
2
= IK.IB (0,5đ)
Chứng minh đợc

MIK đồng dạng với

BIM (1đ)
b, (1điểm)
Từ câu a



IMK =

MBI , lại có

MBI =

BCK(0,5đ);

IMK =

BCK

BC // MA(0,5đ);
c, (1 điểm)
H là trực tâm của

MAB

tứ giác AOBH là hình thoi (0,5đ);

AH = AO =R

H

(A;R) cố định
================================================
=
Chú ý:
1.Trong mỗi bài và mỗi câu HS có thể làm cách khác và lập luận
chặt chẽ thì đúng đến đâu cho điểm tơng ứng đến đó.
2. Điểm của toàn bài thi không làm tròn.
C
K
I
O
B
x

M
A