mot so dang toan on he lop 7

¤n tËp hÌ Líp 7 lªn 8 N¡M 2011
Chuyªn ®Ò 1 :
C¸c phÐp tÝnh trªn tËp hîp sè h÷u tØ.
I. Những kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa: Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng
b
a
với a, b
∈
Z; b
≠
0.
Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là Q.
2. Các phép toán trong Q.
a) Cộng, trừ số hữu tỉ:
Nếu
)0,,,(;
≠∈==
mZmba
m
b
y
m
a
x
Thì
m
ba
m
b
m

a
yx
+
=+=+
;
m
ba
m
b
m
a
yxyx
−
=−+=−+=− )()(
b) Nhân, chia số hữu tỉ:
* Nếu
db
ca
d
c
b
a
yxthì
d
c
y
b
a
x
.

.
;
====
* Nếu
cb
da
c
d
b
a
y
xyxthìy
d
c
y
b
a
x
.
.
.
1
.:)0(;
===≠==
Thương x : y còn gọi là tỉ số của hai số x và y, kí hiệu
):( yxhay
y
x
• Chú ý:
+) Phép cộng và phép nhân trong Q cũng có các tính chất cơ bản như phép

cộng và phép nhân trong Z
+) Với x
∈
Q thì




<−
≥
=
0
0
xnêux
xnêux
x
Bổ sung:
* Với m > 0 thì

mxmmx <<−⇔<




−<
>
⇔>
mx
mx
mx




=
=
⇔=
0
0
0.*
y
x
yx
0
0*
<≥⇔≤
>≤⇔≤
zvoiyzxzyx
zvoiyzxzyx
II. Bài tập
Bài 1. Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí
a)
14
17
9
4
7
5
18
17
125

11
++−−
b)
1
2
1
2
3
1
3
4
1
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1 −−−−−−+−+−+−
Bài làm.
1
a)
125
11
2
1
2

1
125
11
9
4
18
17
7
5
14
17
125
11
=−+=






−−






−+
b)
11114

4
1
4
3
3
1
3
2
2
1
2
1
4)33()22()11(
=−−−=






+−






+−







+−++−++−++−
Bµi 2 TÝnh:
A = 26 :






−
×−
+
+×
−
)15,2557,28(:84,6
4)81,3306,34(
)2,18,0(5,2
)1,02,0(:3
+
3
2
:
21
4
Bài làm

2
1
7
2
7
13
2
26
2
7
2
13
:26
2
7
2
1
5
30
:26
2
7
42,3:84,6
425,0
25,2
1,0:3
:26
=+×=+=+







+=
+






×
+
×
=A
*Bµi tËp luþªn
Bài 1: Thực hiện phép tính :
1 1 6 12 2 3 5
) ; ) ; ) ; ) 0,75
39 52 9 16 5 11 12
− − − − − − −
+ + − +a b c d
;
5 1 5 1
e) 12 5
7 2 7 2
× − ×
Bµi 2 : Thực hiện phép tính
a)

1 1
3 4
+
b)
2 7
5 21
−
+
c)
3 5
8 6
−
+
d)
15 1
12 4
−
−
e)
16 5
42 8
−
−
f )
1 5
1
9 12
 
− − −
 ÷

 
g)
4
0,4 2
5
 
+ −
 ÷
 
h)
7
4,75 1
12
− −

i)
9 35
12 42
 
− − −
 ÷
 
k)
1
0,75 2
3
−
m)
( )
1

1 2,25
4
− − −
n)
1 1
3 2
2 4
− −
o)
2 1
21 28
−
−
p)
2 5
33 55
−
+
q)
3 4
2
26 69
−
+
r)
7 3 17
2 4 12
−
+ −

s)
1 5 1
2
12 8 3
−
 
− −
 ÷
 
t)
1 1
1,75 2
9 18
−
 
− − −
 ÷
 
u)
5 3 1
6 8 10
 
− − − +
 ÷
 

v)
2 4 1
5 3 2
   

+ − + −
 ÷  ÷
   
x)
3 6 3
12 15 10
 
− −
 ÷
 
Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a)
3
1,25. 3
8
 
−
 ÷
 
b)
9 17
.
34 4
−
c)
20 4
.
41 5
− −
d)

6 21
.
7 2
−

e)
1 11
2 .2
7 12
−
f)
4 1
. 3
21 9
 
−
 ÷
 
g)
4 3
. 6
17 8
   
− −
 ÷  ÷
   
h)
( )
10
3,25 .2

13
−

i)
( )
9
3,8 2
28
 
− −
 ÷
 
k)
8 1
.1
15 4
−
m)
2 3
2 .
5 4
−
n)
1 1
1 . 2
17 8
 
−
 ÷
 

Bµi 4. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a)
5 3
:
2 4
−
b)
1 4
4 : 2
5 5
 
−
 ÷
 
c)
3
1,8:
4
 
−
 ÷
 
d)
17 4
:
15 3
e)
12 34
:
21 43

−
f)
1 6
3 : 1
7 49
   
− −
 ÷  ÷
   
g)
2 3
2 : 3
3 4
 
−
 ÷
 
h)
3 5
1 : 5
5 7
 
−
 ÷
 
i)
( )
3
3,5 : 2
5

 
− −
 ÷
 
2
k)
1 4 1
1 . . 11
8 51 3
 
− −
 ÷
 
m)
1 6 7
3 . .
7 55 12
 
− −
 ÷
 
n)
18 5 3
. 1 : 6
39 8 4
   
− −
 ÷  ÷
   
o)

2 4 5
: 5 .2
15 5 12
 
−
 ÷
 
p)
1 15 38
. .
6 19 45
   
− −
 ÷  ÷
   
q)
2 9 3 3
2 . . :
15 17 32 17
   
−
 ÷  ÷
   
4. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: ( tÝnh nhanh nÕu cã thÓ )
a)
1 1 1 7
24 4 2 8
 
−
 

− − −
 ÷
 
 
 
b)
5 7 1 2 1
7 5 2 7 10
 
   
− − − − −
 ÷  ÷
 
   
 
c)
1 3 1 1 2 4 7
2 5 9 71 7 35 18
       
− − − + − + − − + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
d)
1 2 1 6 7 3
3 5 6
4 3 3 5 4 2
     
− + − − − − − +
 ÷  ÷  ÷
     

e)
1 2 1 3 5 2 1
5 2 2 8
5 9 23 35 6 7 18
     
+ − − − − + − + −
 ÷  ÷  ÷
     
f)
1 3 3 1 2 1 1
3 4 5 64 9 36 15
 
− − − + − − +
 ÷
 
g)
5 5 13 1 5 3 2
1 1
7 67 30 2 6 14 5
     
− − − + + + − + − −
 ÷  ÷  ÷
     
h)
3 1 1 3 1 1
: : 1
5 15 6 5 3 15
− −
   
− + −

 ÷  ÷
   
i)
3 5 2 1 8 2
: 2 :
4 13 7 4 13 7
   
− + − +
 ÷  ÷
   
k)
1 13 5 2 1 5
: :
2 14 7 21 7 7
   
− − − +
 ÷  ÷
   
m)
2 8 1 2 5 1
12. : 3 . .3
7 9 2 7 18 2
 
− + −
 ÷
 
n)
3 3 3
13 4 8
5 4 5

 
+ −
 ÷
 
p)
1 5 1
11 2 5
4 7 4
 
− +
 ÷
 
q)
5 5 5
8 3 3
11 8 11
 
+ −
 ÷
 
u)
1 9 2
.13 0,25.6
4 11 11
−
−
v)
4 1 5 1
: 6 :
9 7 9 7

   
− + −
 ÷  ÷
   
5.Thùc hiÖn phÐp tÝnh
a)
2 1 3
4.
3 2 4
 
− +
 ÷
 
b)
1 5
.11 7
3 6
 
− + −
 ÷
 
c)
5 3 13 3
. .
9 11 18 11
   
− + −
 ÷  ÷
   
d)

2 3 16 3
. .
3 11 9 11
− −
   
+
 ÷  ÷
   
e)
1 2 7 2
. .
4 13 24 13
−
     
− − −
 ÷  ÷  ÷
     
f)
1 3 5 3
. .
27 7 9 7
−
     
+ −
 ÷  ÷  ÷
     
g)
1 3 2 4 4 2
: :
5 7 11 5 7 11

   
− + + − +
 ÷  ÷
   


*N©ng cao
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
a)
7 3 3 2 3 4 4 4 3 3 2 2
2
5 2 5 5 4
2 2
2 .9 6 3.6 3 5 .20 (5 5 ) 3 39
; ) ; ) ; ) ; ) (2,5 0,7) ; )
6 .8 13 25 .4 125
7 91
b c d e f
+ + − +
−
−
+
1
Bµi 2 . Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
2
1 1 1 1 1 2 1 2 2
a. 1 .2 1 . b. . 4 .
2 3 3 2 9 145 3 145 145
7 1 1 1 2 1
c. 2 : 2 : 2 2 : 2

12 7 18 7 9 7
7 3 2 8 5 10 8
d. : 1 : 8 . 2
80 4 9 3 24 3 15
+ − +
 
− − +
 ÷
 
− −
     
− − − − +
 ÷  ÷  ÷
     

Bµi 3 . Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a,
20052004432
3
1
3
1

3
1
3
1
3
1
3

1
++++++=B
b, A=1+5+5
2
+5
3
+5
4
+…+5
49
+5
50

c, A=(
2 2 2 2
1 1 1 1
1).( 1).( 1) ( 1)
2 3 4 100
− − − −

3
d, A=2
100
-2
99
+2
98
-2
97
++2

2
-2
Chuyên đề 2:Các bài toán tìm x ở lớp 7
A.Lý thuyết:
Dạng 1: A(x) = m (m Q) hoặc A(x) = B(x)
Cách giải:
Quy tắc : Muốn tìm x dạng: A(x) = B(x)
-Ta thực hiện các phép tính ở từng vế (nếu có).
-Chuyển các số hạng chứa x sang một vế,các số hạng không chứa x( số hạng đã
biết ) chuyển sang vế ngợc lại.
-Tiếp tục thực hiện các phép tính ở từng vế (nếu có).Đa đẳng thức cuối cùng về
một trong các dạng sau:
1. x có một giá trị kiểu: ax = b ( a

0) x=
2. x không có giá trị nào kiểu: ax = b ( a = 0)
3. x có vô số giá trị kiểu: ax = b ( a = 0, b = 0)
Sau đây là các ví dụ minh hoạ:
Dạng 2: |A(x)| = B ; ( B 0)
Cách giải:
Công thức giải nh sau:
|A(x)| = B ; ( B 0)
Dạng 3 :|A(x)| = B(x)
Cách giải:
Công thức giải nh sau:
1. |A(x)| = B(x) ; (B(x) 0)
2. |A(x)| = B(x) ; (B(x) <0) x không có giá trị nào.
Dạng 4: + |B(x)| =0
Cách giải:
Công thức giải nh sau:

+ |B(x)| =0
Dạng5: |A(x)| = |B(x)|
Cách giải:
|A(x)| = |B(x)|
Dạng 6: |A(x)| |B(x)| = c (c 0 ; c Q)
Cách giải:
Ta tìm x biết: A(x) = 0 (1) giải (1) tìm đợc x
1
= m .
Và tìm x biết: B(x) = 0 (2) giải (2) tìm đợc x
2
= n.
Rồi chia khoảng để phá dấu GTTĐ ( dấu giá trị tuyệt đối)
TH
1
: Nếu m > n x
1
> x
2
; ta có các khoảng sau đợc xét theo thứ tự trớc sau: x<
x
2
; x
2
x < x
1
; x
1
x .
+ Với x< x

2
ta lấy 1 giá trị x = t (t khoảng x< x
2
;t nguyên cũng đợc) thay
vào từng biểu thức dới dấu GTTĐ xem biểu thức đó dơng hay âm để làm
căn cứ khử dâú GTTĐ để giải tiếp.
+Với:x
2
x < x
1
hoặc x
1
x ta cũng làm nh trên.
4
TH
2
: Nếu m < n x
1
< x
2
; ta có các khoảng sau đợc xét theo thứ tự trớc sau:
x< x
1
; x
1
x < x
2
; x
2
x .

+ Với x< x
1
ta lấy 1 giá trị x = t (t khoảng x< x
1
;t nguyên cũng đợc) thay
vào từng biểu thức dới dấu GTTĐ xem biểu thức đó dơng hay âm để làm
căn cứ khử dâú GTTĐ để giải tiếp.
+Với:x
1
x < x
2
hoặc x
2
x ta cũng làm nh trên
Chú ý:
1. Nếu TH
1
xảy ra thì không xét TH
2
và ngợc lại ;vì không thể cùng một lúc xảy
ra 2 TH
2. Sau khi tìm đợc giá trị x trong mỗi khoảng cần đối chiếu với khoảng đang xét
xem x có thuộc khoảng đó không nếu x không thuộc thì giá trị x đó bị loại.
3. Nếu có 3;4;5Biểu thứccó dấu GTTĐ chứa x thì cần sắp xếp các
x
1
;x
2
;x
3

;x
4
;x
5
;Theo thứ tự rồi chia khoảng nh trên để xét và giải.Số khoảng
bằng số biểu thức có dấu GTTĐ+1
Dạng 7:(biểu thức tìm x có số mũ) Dạng
n
= m hoặc
A(x) = m
n

B. Bài tập:
DNG 1 :
Bi 1. Tỡm x, bit:







=

13
11
28
15
42
5
13
11
x
;
a)






=







13
11
28
15
42

5
13
11
x

12
5
42
5
28
15
13
11
28
15
42
5
13
11
=
+=
+=+
x
x
x
Bi 2. Tìm x, biết:
a.

=+
3
1
5
2
3
1
x
b.






=
5
3
4
1
7
3
x
KQ: a) x =
5
2

; b) -
140
59
*Bài tập luyện
Bi 1: Tìm x biết
3 2 5 2 2 13 3 5
; ) ; )
10 15 6 5 3 20 5 8
x b x c x


+ = + = + =
ữ ữ

Bi 2:Tìm x biết

3 31 2 3 4 11 5
) : 1 ; ) 1 ; ) 0,25
8 33 5 7 5 12 6
a x b x c x

= ì + = ì + =
* Nâng cao
5
Tìm x, biết
a) x+ (x+ 1) +( x+ 2)+ …+(x+2003) = 2004
b)
1 3 3
2 3 .
3 2 2

x x
   
+ − = −
 ÷  ÷
   
c)
3 2 2 5
: 1 5 2
2 3 3 3
x
 
− − =
 ÷
 
d)
7 2 4 6
2 : 3 1 7
2 5 5 5
x
 
− + =
 ÷
 
D¹ng 2
Bài 1: ×m x biÕt
a)|x–1,7|=2,3;
b)
15,275,3
15
4

−−=−−+
x

Gi¶i







−=
=
⇔






−=+
=+
⇔
=+
+−=+
−=−+
−−=−−+
15
28
3

4
6,1
5
4
6,1
5
4
6,1
15
4
75,315,2
15
4
15,275,3
15
4
15,275,3
15
4
x
x
x
x
x
x
x
x
a) x – 1,7 = 2,3
x- 1,7 = -2,3
x= 2,3 + 1,7

x = -2,3 + 1,7
x = 4
x = -0,6
Bµi 2 : T×m x
a)
3 1 1 7
0; ) 3 ; ) 5
4 3 2 3
x c x d x+ − = = + =

b)
25,1
=−
x
e)
0
2
1
4
3
=−+
x
Bµi 3 T×m x
6
1
a. x 5,6 b. x 0 c. x 3
5
3 1
d. x 2,1 d. x 3,5 5 e. x 0
4 2

1 5 1
f. 4x 13,5 2 g. 2 x
4 6 3
2 1 3 2 1
h. x i. 5 3x
5 2 4 3 6
1 1 1
k. 2,5 3x 5 1,5 m. x
5 5 5
= = =
= − − = + − =
− − = − − =
− + = − + =
− + + = − − − =
* Bµi tËp n©ng cao:
Bài 1:T×m x
a)
3 4 3 5 0x y− + + =
b)
19 1890
2004 0
5 1975
x y z+ + + + - =
c)
9 4 7
0
2 3 2
x y z+ + + + + £
d)
3 1

0
4 5
x y x y z+ + - + + + =
e)
3 2 1
0
4 5 2
x y z+ + - + + £
Bµi 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau:
a)
3
4
A x= -
; b)
1,5 2B x= + -
;c)
1
2 107
3
A x= - +
; M=5 -1
d)
1 1 1
2 3 4
B x x x= + + + + +
; e) D = + ; B = + ;
g) C= x
2
+ -5
h) A =3,7 + ; i) B = -14,2 ; k) C = + +17,5

n) M = +
*D¹ng 3
Bài 1:T×m x
a) (x – 2)
2
= 1 ; b) ( 2x – 1)
3
= -27; c)
16
1
2
n
=

Bài 2: Tính x
2
nếu biết:
x 3 ; x 8= =
* Bµi tËp n©ng cao:
Bµi 1:T×m x biÕt
a)
3
=
b)
2
=
c)
x+2
=
x+6

vµ x∈Z
Bµi 2 : Tìm x, biết :
a)
2
x 4; (x 1) 1; x 1 5= + = + =
7
Bài 3 : Tỡm x, bit
a)
( ) ( )
2 2
2 3 0x y + =
b) 5
(x-2).(x+3)
=1
b) -(x-y)
2
=(yz-3)
2
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a; A =
2
; B =
2
+
2
C= x
2
+ -5
DNG 4: TNH CHT CA DY T S BNG NHAU.
Bi 1: Tỡm hai s x, y bit :

a)
3 5
x y
=
v x + y = 16 b) 7x = 3y v x y = 16.
c)
2 3 4
a b c
= =
v a + 2b 3c = -20 d)
,
2 3 5 4
a b b c
= =
v a b + c = 49.:
Bi 2:
2 9
) ; )
27 36 4
x x
a b
x

= =

*Nâng cao
1, a .
1 60
15 1
x

x

=

b.
2 1 3 2 2 3 1
5 7 6
x y x y
x
+ +
= =
2) Tìm x biết :
1 2 3 4
2009 2008 2007 2006
x x x x
+ = +

3, Tìm các số a
1
, a
2
, ,a
9
biết:
9
1 2
a 9
a 1 a 2
9 8 1

= = ììì=
và a
1
+ a
2
+ + a
9
= 90
( )
2 4
4,
1 7
2 3 3
5, 3 2 :1 2 : 2
5 7 5
31 2 9
6,
23 4
3 2
7,
8 3
1,64
8,
8,51 3,11
3 2 3 1
9,
5 7 5 3
2 1
18

10,
1
5
2
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x
+
=
+
=

=
+
+
=


=

+
=

+

=
Chuyên đề 3 : tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau
8
I Tóm tắt lý thuyết:
2/ Bài tập:
Bµi tËp
Bài 1: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
a)
x 0,15
3,15 7,2
=
; b)
2,6 12
x 42
- -
=
; c)
11 6,32
10,5 x
=
; d)
41
x
10
9
7,3
4
=

;
e) 2,5:x = 4,7:12,1
Bài 2: Tìm x trong tỉ lệ thức:
a)
x 1 6
x 5 7
-
=
+
; b)
2
x 24
6 25
=
; c)
x 2 x 4
x 1 x 7
- +
=
- +
Bài 3: Tìm hai số x, y biết:
x y
7 13
=
và x +y = 40.
Bài 4 : Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
a c
b d
=
(Với b,d ≠ 0) ta suy ra được :

a a c
b b d
+
=
+
.
Bài 5 : Tìm x, y biết :
a)
x 17
y 3
=
và x+y = -60 ;b)
x y
19 21
=
và 2x-y = 34 ; c)
2 2
x y
9 16
=
và x
2
+ y
2

=100
Bài 6 : Ba vòi nước cùng chảy vào một cái hồ có dung tích 15,8 m
3
từ lúc không
có nước cho tới khi đầy hồ. Biết rằng thời gian chảy được 1m

3
nước của vòi thứ
nhất là 3 phút, vòi thứ hai là 5 phút và vòi thứ ba là 8 phút. Hỏi mỗi vòi chảy
được bao nhiêu nước đầy hồ.
9
+ Tỉ lệ thức là một đẳng thức giữa hai tỉ số:
a c
b d
=
hoặc a:b = c:d.
- a, d gọi là Ngoại tỉ. b, c gọi là trung tỉ.
+ Nếu có đẳng thức ad = bc thì ta có thể lập được 4 tỉ lệ thức :
a c a b b d c d
; ; ;
b d c d a c a b
= = = =
+ Tính chất:
a c e a c e a c e c a
b d f b d f b d f d b
+ + - - -
= = = = =
+ + - - -
=…
+ Nếu có
a b c
3 4 5
= =
thì ta nói a, b, c tỉ lệ với ba số 3; 4; 5.
+ Muốn tìm một thành phần chưa biết của tỉ lệ thức, ta lập tích theo đường chéo
rồi chia cho thành phần còn lại:

Từ tỉ lệ thức
x a m.a
x
m b b
= Þ =
…
HD : Gọi x,y,z lần lượt là số nước chảy được của mỗi vòi. Thời gian mà
các vòi đã chảy vào hồ là 3x, 5y, 8z. Vì thời giản chảy là như nhau nên :
3x=5y=8z
Bài 7 : Ba học sinh A, B, C có số điểm mười tỉ lệ với các số 2 ; 3 ; 4. Biết rằng
tổng số điểm 10 của A và C hơn B là 6 điểm 10. Hỏi mỗi em có bao nhiêu điểm
10 ?
**Bµi tËp n©ng cao
Bµi;1T×m c¸c sè tù nhiªn a vµ b ®Ĩ tho¶ m·n
28
29
56
75
=
+
+
ba
ba
vµ (a, b) = 1
Bµi:2: T×m c¸c sè tù nhiªn a, b, c, d nhá nhÊt sao cho:
5
3
=
b
a

;
21
12
=
c
b
;
11
6
=
d
c
Bµi;3:Chøng minh r»ng nÕu
d
c
b
a
=
th×
dc
dc
ba
ba
35
35
35
35
−
+
=

−
+
(gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Ịu
cã nghÜa).
Bµi;5: BiÕt
c
bxay
b
azcx
a
cybz −
=
−
=
−
Chøng minh r»ng:
z
c
y
b
x
a
==
Bµi:6:Cho tØ lƯ thøc
d
c
b
a
=
. Chøng minh r»ng:

22
22
dc
ba
cd
ab
−
−
=
vµ
22
22
2
dc
ba
dc
ba
+
+
=






+
+
Bµi:7:T×m x, y, z biÕt:

32
yx
=
;
54
zy
=
vµ
16
22
−=− yx
Bµi; 8:T×m x, y, z biÕt
216
3
64
3
8
3 zyx
==
vµ
122
222
=−+ zyx
Bµi;9: CMR: nÕu
d
c
b
a
=

th×
bdb
bdb
aca
aca
57
57
57
57
2
2
2
2
−
+
=
−
+
(Gi¶ sư c¸c tØ sè ®Ịu cã nghÜa).
Bµi:10: Cho
d
c
b
a
=
. Chøng minh r»ng:
2
2
)(
)(

dc
ba
cd
ab
+
+
=
Bµi:11:BiÕt
c
bxay
b
azcx
a
cybz −
=
−
=
−
Chøng minh r»ng:
z
c
y
b
x
a
==
Bµi:12:Cho a, b, c, d kh¸c 0 tho¶ m·n: b
2

= ac ; c

2
= bd.
Chøng minh r»ng:
d
a
dcb
cba
=
++
++
333
333
10
Bài;13: Cho a, b, c khác 0 thoả mãn:
ac
ca
cb
bc
ba
ab
+
=
+
=
+
Tính giá trị của biểu thức:
222
cba
cabcab
M

++
++
=
Bài:14: Tìm tỉ lệ ba đờng cao của tam giác biết rằng nếu cộng lần lợt độ dài từng
cặp hai cạnh của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5 : 7 : 8.
Bài:15: Tìm x, y, z biết rằng: 4x = 3y ; 5y = 3z và 2x - 3y + z =6
Bài:16: Cho tỉ lệ thức:
d
c
b
a
=
. Chứng minh rằng ta có:
dc
dc
ba
ba
20032002
20032002
20032002
20032002

+
=

+
Bài:17: Tìm x, y biết rằng 10x = 6y và
282
22
= yx

Bài:18:Cho biết
d
c
b
a
=
. Chứng minh:
dc
dc
ba
ba
20052004
20052004
20052004
20052004
+

=
+

Bài:19: Cho a, b, c là ba số khác 0 và a
2


= bc. Chứng minh rằng:
b
c
ab
ca
=

+
+
22
22
Ôn tập chơng I
Bi 1: Thc hin phộp tớnh:
a)
1 1
3 4
+
b)
2 7
5 21

+
c)
3 5
8 6

+
d)
15 1
12 4


e)
16 5
42 8

f)
1 5
1
9 12


ữ

g)
4
0,4 2
5

+
ữ

h)
7
4,75 1
12

i)
9 35
12 42


ữ

k)
1

0,75 2
3

m)
( )
1
1 2,25
4

n)
1 1
3 2
2 4

o)
2 1
21 28


p)
2 5
33 55

+
q)
3 4
2
26 69

+

Bi 2: Thc hin phộp tớnh:
a)
7 3 17
2 4 12

+
b)
1 5 1
2
12 8 3



ữ

c)
1 1
1,75 2
9 18



ữ

d)
5 3 1
6 8 10

+
ữ

e)
2 4 1
5 3 2

+ +
ữ ữ

f)
3 6 3
12 15 10


ữ

Bi 3. Thc hin phộp tớnh:
a)
3
1,25. 3
8


ữ

b)
9 17
.
34 4

c)

20 4
.
41 5


d)
6 21
.
7 2

e)
1 11
2 .2
7 12

f)
4 1
. 3
21 9


ữ

g)
4 3
. 6
17 8


ữ ữ

h)
( )
10
3,25 .2
13

i)
( )
9
3,8 2
28


ữ

11
k)
8 1
.1
15 4
−
m)
2 3
2 .
5 4
−
n)
1 1
1 . 2

17 8
 
−
 ÷
 
Bài 4. Thực hiện phép tính:
a)
5 3
:
2 4
−
b)
1 4
4 : 2
5 5
 
−
 ÷
 
c)
3
1,8 :
4
 
−
 ÷
 

d)
17 4

:
15 3
e)
12 34
:
21 43
−
f)
1 6
3 : 1
7 49
   
− −
 ÷  ÷
   

g)
2 3
2 : 3
3 4
 
−
 ÷
 
h)
3 5
1 : 5
5 7
 
−

 ÷
 
i)
( )
3
3,5 : 2
5
 
− −
 ÷
 
k)
1 4 1
1 . . 11
8 51 3
 
− −
 ÷
 
m)
1 6 7
3 . .
7 55 12
 
− −
 ÷
 
n)
18 5 3
. 1 : 6

39 8 4
   
− −
 ÷  ÷
   
o)
2 4 5
: 5 .2
15 5 12
 
−
 ÷
 
p)
1 15 38
. .
6 19 45
   
− −
 ÷  ÷
   
q)
2 9 3 3
2 . . :
15 17 32 17
   
−
 ÷  ÷
   
Bài 5. Thực hiện phép tính :

a.
( ) ( ) ( ) ( )
4,2 15,6 35 5,8 4,6− + − + + − + −
b.
( ) ( )
11,2. 3,5 8,8. 3,5− + −
c.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
17,3 . 6,9 8,5 .7,6 8,8. 6,9 8,5 . 10,7− − + − + − + − −
d.
( ) ( ) ( )
53,4 68,3 11,8 18,3 26,6− − − − − + −
e.
( ) ( ) ( )
35,8 . 72,5 33,2 .72,5− − − −
Bài 1. Tính .
1/
0
4
3






−
2/
4
3

1
2






−
3/
( )
3
5,2
4/ 25
3
: 5
2
5/ 2
2
.4
3
6/
5
5
5
5
1
⋅







7/
3
3
10
5
1
⋅






8/
4
4
2:
3
2






−

9/
2
4
9
3
2
⋅






10/
23
4
1
2
1






⋅







11/
3
3
40
120
12/
4
4
130
390
13/
27
3
:9
3

14/ 125
3
:9
3
;15/ 32
4
: 4
3
;16/ (0,125)
3
. 512 ;17/(0,25)
4

. 1024
Bài 2:Thực hiện tính:
12
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
0 2
3 20 0
2
2 2 2
2 2 3
0
2 2
4 2
0
2
3 2
6 1
1/ 3 : 2
7 2
2 / 2 2 1 2
3/ 3 5 2
1
4 / 2 8 2 : 2 4 2

2
1 1
5/ 2 3 2 4 2 : 8
2 2
−
−
   
− − +
 ÷  ÷
   
− + + − + −
− − + −
 
+ − − × + −
 
 
   
+ − × + − ×
 ÷
 
   
2/ Bài tập.
Bài 1. Thực hiện phép tính ( tính nhanh nếu có thể )
a)
1 1 1 7
24 4 2 8
 
−
 
− − −

 ÷
 
 
 
b)
5 7 1 2 1
7 5 2 7 10
 
   
− − − − −
 ÷  ÷
 
   
 
c)
1 3 1 1 2 4 7
2 5 9 71 7 35 18
       
− − − + − + − − + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
d)
1 2 1 6 7 3
3 5 6
4 3 3 5 4 2
     
− + − − − − − +
 ÷  ÷  ÷
     
e)

1 2 1 3 5 2 1
5 2 2 8
5 9 23 35 6 7 18
     
+ − − − − + − + −
 ÷  ÷  ÷
     
f)
1 3 3 1 2 1 1
3 4 5 64 9 36 15
 
− − − + − − +
 ÷
 
g)
5 5 13 1 5 3 2
1 1
7 67 30 2 6 14 5
     
− − − + + + − + − −
 ÷  ÷  ÷
     
Bài 2. Thực hiện phép tính sau bằng cách hợp lí nhất :
a)
2 1 3
4.
3 2 4
 
− +
 ÷

 
b)
1 5
.11 7
3 6
 
− + −
 ÷
 
c)
5 3 13 3
. .
9 11 18 11
   
− + −
 ÷  ÷
   
d)
2 3 16 3
. .
3 11 9 11
− −
   
+
 ÷  ÷
   
e)
1 2 7 2
. .
4 13 24 13

−
     
− − −
 ÷  ÷  ÷
     
f)
1 3 5 3
. .
27 7 9 7
−
     
+ −
 ÷  ÷  ÷
     
g)
1 3 2 4 4 2
: :
5 7 11 5 7 11
   
− + + − +
 ÷  ÷
   
h)
3 1 1 3 1 1
: : 1
5 15 6 5 3 15
− −
   
− + −
 ÷  ÷

   
i)
3 5 2 1 8 2
: 2 :
4 13 7 4 13 7
   
− + − +
 ÷  ÷
   
k)
1 13 5 2 1 5
: :
2 14 7 21 7 7
   
− − − +
 ÷  ÷
   
m)
2 8 1 2 5 1
12. : 3 . .3
7 9 2 7 18 2
 
− + −
 ÷
 
n)
3 3 3
13 4 8
5 4 5
 

+ −
 ÷
 
p)
1 5 1
11 2 5
4 7 4
 
− +
 ÷
 

q)
5 5 5
8 3 3
11 8 11
 
+ −
 ÷
 
u)
1 9 2
.13 0,25.6
4 11 11
−
−
v)
4 1 5 1
: 6 :
9 7 9 7

   
− + −
 ÷  ÷
   
13
2/ Bài tập.
Bài 1: Tìm x biết :
a)
2 3
x
15 10
−
− − =
b)
1 1
x
15 10
− =
c)
3 5
x
8 12
−
− =
d)
3 1 7
x
5 4 10
−
− = +

e)
5 3 1
x
8 20 6
 
− − = − − −
 ÷
 
f)
1 5 1
x
4 6 8
−
 
− = − +
 ÷
 
g)
1 9
8,25 x 3
6 10
−
 
− = +
 ÷
 
Bài 2: Tìm x biết :
2 4 21 7
a. x b. x
3 15 13 26

14 42 22 8
c. x d. x
25 35 15 27
−
= = −
− − −
= =
Bài 3. Tìm x biết :
( )
8 20 4 4
a. : x b. x : 2
15 21 21 5
2 1 14
c. x : 4 4 d. 5,75 : x
7 5 23
 
= − − =
 ÷
 
 
− = − − =
 ÷
 
e.
( )
4
1
5:1
5
2

=−






−
x
g.
20
4
1
9
4
1
2 =−x
2/ Bài tập :
Bài 1: Tìm x, biết:
1
a. x 5,6 b. x 0 c. x 3
5
3 1
d. x 2,1 d. x 3,5 5 e. x 0
4 2
1 5 1
f. 4x 13,5 2 g. 2 x
4 6 3
2 1 3 2 1
h. x i. 5 3x

5 2 4 3 6
1 1 1
k. 2,5 3x 5 1,5 m. x
5 5 5
= = =
= − − = + − =
− − = − − =
− + = − + =
− + + = − − − =
Hướng dẫn.
- Biến đổi về dạng
ax+b m=
(m là hằng số)
+ Nếu m < 0 thì không tìm được giá trị nào của x(vì
0x ≥
)
14
+ Nếu m > 0 thì
ax + b= m
ax+b
ax + b =-m
m

= ⇔


từ đây tìm x (bài toán đã biết cách giải)
+ Nếu m = 0 thì
ax+b 0 ax +b =0= ⇔
từ đây dễ dàng tìm được x.

*Bài 3:Tìm x, biết:
( )
   
− = + =
 ÷  ÷
   
   
− = − =
 ÷  ÷
   
 
− = − + = −
 ÷
 
2 2
2 2
3
3
1 4 3
h. x i. x 0
2 9 4
1 3 1 2 1
m. x 4 n. x
2 4 5 3 16
1
p. 2x 1 8 q. x 27
2
Hướng dẫn:
Biến đổi về dạng : Hai vế là hai lũy thừa có cùng cơ số
A

2
= m
2
(trong đó A là biểu thức chứa biến ; m là 1 số)

A m
A m
=

⇔

= −


*Bài 4:Tìm x, biết :
a.
( ) ( )
x 3 x 5− +
là số dương
b.
3 1
x x
4 2
  
− +
 ÷ ÷
  
là số âm
c.
x 0,5

x 1
−
+
là số âm
Hướng dẫn:
Sử dụng quy tắc về dấu khi nhân hai số mà tích mang dấu dương(lớn hơn 0);
khi chia số a cho số b mà thương mang dấu âm (nhỏ hơn 0)

Tìm x trong các tỉ lệ thức sau :
( ) ( )
( )
4 8
a. x : 2,5 0,003 : 0,75 b. 3 : 40 0,25 : x
5 15
5 2 4
c. : x 20 : 3 d. : 0,4 x :
6 3 5
3 2 1 3 2
e. x :1 2 : 0,5 f. 0,75x : 3 4 : 2
4 7 5 8 3
4 1 3
g. 0,125 : 3,5x : 3 h. 2x : 0,5 :8
5 5 4
1 1 2 1 4 5 1
i. 2 : 5 1 : 0,25x k. 1 x : 3 : 2
5 2 3 2 5 19 4
x 0,75
m. n. 4,25
6,75 5,5
= =

= − − =
 
= − − =
 ÷
 
= − − =
− = − =
−
= −
( )
5
: 0,8x : 1,2,5
6
= −
Hướng dẫn:
- Đổi các số đã biết về cùng 1 loại.
- Viết đẳng thức đã cho dưới dạng
a c
b d
=
.
15
- Vận dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức để suy ra a.d = b.c
- Từ đẳng thức trên suy ra :
.b c
a
d
=
(
.a d

b
c
=
; …)
Giải mẫu ý a)
=
=
⇔ =
⇒ =
=
a. x : 2,5 0,003: 0,75
x 0,003
hay
2,5 0,75
x.0,75 2,5.0,003
2,5.0,003
x
0,75
x 0,01
2/ Bài tập:
Bài 1. Tìm x và y biết rằng :
x y x y
a. và x + y = -24 b. và x - y = 15
3 5 5 8
c. 7x = 4y và x + y = 22 d. 5x = 2y và y - x = 18
= =
2 2
x 6 x y
e. và x - y = 13 f. và x + 2y = 38
y 7 3 8

x y x y
g. và xy = 24 h. và x y 116
4 6 2 5
= =
= = + =
Bµi giải mẫu:
a)
x
ó à x + y = -24 ên
3 5
y
Ta c v n=
theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x 24
12
3 5 3 5 2
y x y+ −
= = = =
− −
Vậy x = 3.12 = 36
y = 5.12 = 60
Bài 2. Tìm x, y và z biết :
x y z
a. và x y z 27
2 3 4
x y z
a. và x y z 12
3 4 5
c. x : 4 y : 5 z : 6 và x y z 28

d. x : y : z 3 : 5 : 7 và x y z 25
= = + + =
= = − + =
= = − − =
= − + = −
Hướng dẫn: Áp dụng kiến thức phần mở rộng của tính chất dãy tỉ số bằng nhau .
Cách trình bày như bài 1.
Chuyªn ®Ò 4:: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
I/ HÖ thèng lý thuyÕt
1/ Nêu quy tắc cộng hai số nguyên ( cùng dấu ; khác dấu )
2/ Nêu quy tắc nhân dấu , chia dấu ( cùng dấu , khác dấu )
3/ Nêu quy tắc chuyển vế ; quy tắc bỏ dấu ngoặc
4/ Đơn thức là gì ? Hai đơn thức đồng dạng? Nêu quy tắc cộng hai đơn thức
đồng dạng ?
16
5/ Nêu quy tắc nhân hai đơn thức ?
6/ Đa thức là gì ? Nêu quy tắc cộng trừ hai đa thức ?
Các dạng toán : Nêu các bước làm từng dạng toán sau
Dạng 1: Tính hay thu gọn biểu thức ; cộng trừ đa thức một biến
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức
Dạng 3:Tìm nghiệm của đa thức f (x )
Dạng 4: Tìm bậc của đa thức , hệ số cao nhất , hệ số tự do của đa thức một
biến
Dạng 5 : Kiểm tra xem x =a có là nghiệm của đa thức P (x ) hay không ?
Dạng 6: Chứng minh đa thức không có nghiệm ?
II/ BAØI TAÄP CÔ BAÛN
Bài tập 1: Tính giá trị của biểu thức sau tại x = 1; y = -1; z = 3
a) (x
2
y – 2x – 2z)xy b)

2
2
2x y
xyz
y 1
+
+
Bài 2: Thu gọn các đơn thức:
a)
2 2
1
xy .(3x yz )
3
 
−
 ÷
 
b) -54y
2
. bx ( b là hằng số) c)
2
2 2 3
1
2x y x(y z)
2
 
− −
 ÷
 
Bài 3: Cho hai đa thức :

5 2 4 3
1
f (x) x 3x 7x 9x x
4
= − + − −

4 5 2 2
1
g(x) 5x x x 3x
4
= − + + −
a) Hãy thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên.
b) Tính f(x) + g(x) và f(x) - g(x)
Bài 4: Cho đa thức f(x) = -15x
3
+ 5x
4
– 4x
2
+8x
2
– 9x
3
– x
4
+ 15 – 7x
3

a) Thu gọn đa thức trên.
b) Tính f(1) ; f(-1)

đơn thức: Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số.
A =
3 2 3 4
5 2
. .
4 5
x x y x y
   
−
 ÷  ÷
   
; B=
( )
5 4 2 2 5
3 8
. .
4 9
x y xy x y
   
− −
 ÷  ÷
   
đa thức : Bài tập áp dụng : Thu gọn đa thức, tìm bậc, hệ số cao nhất.
2 3 2 3 2 2 3 2 2 3
15 7 8 12 11 12A x y x x y x x y x y
= + − − + −
5 4 2 3 5 4 2 3
1 3 1
3 2
3 4 2

B x y xy x y x y xy x y
= + + − + −
giá trị của đa thức ( biểu thức):
Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Tính giá trị biểu thức
a. A = 3x
3
y + 6x
2
y
2
+ 3xy
3
tại
1 1
;
2 3
x y= = −
b. B = x
2
y
2
+ xy + x
3
+ y
3
tại x = –1; y = 3
Bài 2 : Cho đa thức
17
P(x) = x

4
+ 2x
2
+ 1;
Q(x) = x
4
+ 4x
3
+ 2x
2
– 4x + 1;
Tính : P(–1); P(
1
2
); Q(–2); Q(1);
C ộ ng, tr ừ đ a th ứ c nhi ề u bi ế n:
Bài tập áp dụng:
Bài 1 : Cho đa thức :
A = 4x
2
– 5xy + 3y
2
; B = 3x
2
+ 2xy - y
2
Tính A + B; A – B
Bài 2 : Tìm đa thức M,N biết :
a. M + (5x
2

– 2xy) = 6x
2
+ 9xy – y
2
b. (3xy – 4y
2
)- N= x
2
– 7xy + 8y
2
C ộ ng tr ừ đ a th ứ c m ộ t bi ế n :
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Cho đa thức
A(x) = 3x
4
– 3/4x
3
+ 2x
2
– 3
B(x) = 8x
4
+ 1/5x
3
– 9x + 2/5
Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x);
Bài 2: Cho các đa thức P(x) = x – 2x
2
+ 3x
5

+ x
4
+ x
Q(x) = 3 – 2x – 2x
2
+ x
4
– 3x
5
– x
4
+ 4x
2
a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.
b) Tính P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x).
c) Chứng minh rằng x = 0 là nghiệm của P(x) nhưng khơng là nghiệm của Q(x)
nghi ệ m c ủ a đ a th ứ c 1 bi ế n :
Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Tìm nghiệm của đa thức f(x) = x
4
+ 2x
3
– 2x
2
– 6x - x
4
+2x
2
-x
3

+8x-x
3
-2
Bài 2 : Tìm nghiệm của các đa thức sau.
f(x) = 3x – 6; h(x) = –5x + 30 g(x)=(x-3)(16-4x)
Bài 3 : Cho đa thức P(x) = mx – 3. Xác định m biết rằng P(–1) = 2
Bài 4 : Cho đa thức Q(x) = -2x
2
+mx -7m+3. Xác định m biết rằng Q(x) có
nghiệm là -1.
*Bµi tËp lun
BÀI 1: Tính giá trò của biểu thức: A = 4x
2
- 3x -2 tại x = 2 ; x = -3 ; B = x
2

+2xy-3x
3
+2y
3
+3x-y
3
tại x = 2 ; y = -1
x
2
+2xy+y
2
tại x= 2; y = 3; C= 3x
2
-2x- 5 tại x= 5/3

BÀI 2: Tính: a)
yxyxyxA
222
2
5
5,04 +−=
b)
xyxyyxyxB 45,12
4
3
3232
+−+=

BÀI 3: Trong các đơn thức sau: a, b là các hằng số, x, y là các biến:
yxaxA
2
5
4
.
3
1
=
;
33
2)(
4
3
aybxB −=
;
33

)(
4
1
.)( byxyaxC −−=
; D=
)
15
4
.(
8
3
32
xyzxy −
E =
4226
.
5
12

4
1
yxyx
18
a) Thu gọn các đơn thức trên
b) Xác đònh hệ số của mỗi đơn thức
c) Xác đònh bậc của mỗi đơn thức đối với từng biến và bậc của mỗi đa
thức
BÀI 4: Cho A = x
3
y B = x

2
y
2
C = xy
3
Chứng minh rằng: A.C + B
2
– 2x
4
y
4
= 0
BÀI 5: Cho hai đa thức: A = 15x
2
y – 7xy
2
–6y
3
B = 2x
3
–12x
2
y +7xy
2
a) Tính A + B và A - B
b) Tính giá trò của đa thức A + B , A – B với x = 1, y = 3
Bài 6: Cho đa thức A = x
2
-2y+xy+1; B = x
2

+ y- x
2
y
2
–1
Tìm đa thức C sao cho : a. C = A + B b. C+A = B
BÀI 7: Cho hai đa thức: f(x) =
1
3
1
42
235
=−−− xxxx
g(x) =
4326
23 xxxxx +−+−
a) Tính f(x) + g(x) sau khi sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần
của biến
b) Tính f(x) - g(x)
BÀI 8: Cho đa thức f(x) = 2x
3
+ x
2
- 3x – 1
g(x) = -x
3
+3x
2
+ 5x-1
h(x) = -3x

3
+ 2x
2
– x – 3
a) Tính P(x) = f(x)- g(x); R(x) = P(x) + h(x)
b) Tìm nghiệm của đa thức R(x)
BÀI 9: Cho đa thức f(x) = x
3
-2 x
2
+7x – 1
g(x) = x
3
-2x
2
- x -1
Tính f(x) - g(x); f(x) + g(x);
BÀI 10: Tính giá trò của biểu thức A = xy+x
2
y
2
+x
3
y
3
+……… + x
10
y
10
tại x = -1; y

= 1
BÀI 11: Cho các đa thức A = -3x
2
+ 4x
2
–5x +6
B = 3x
2
- 6x
2
+ 5x – 4
a) Tính C = A + B; D = A – B; E = D – C b) Tính giá trò của các
đa thức A, B, C, D, E tại x = 1
BÀI 12: Tìm nghiệm của các đa thức
a) -3x + 12
b)
3
1
2 −x
c)
3
2
6 +− x
d)
3
3
2
+− x
e) (x – 3)(x + 2)
f) (x – 1)(x

2
+ 1)
g) ( 5x+5)(3x-6)
19
h) x
2
+ x
g) x
2
– 1
i) x
2
+ 2x + 1
k) 2x
2
+ 3x – 5
l) x
2
- 4x + 3
m) x
2
+ 6x + 5
n) 3x(12x - 4) - 9x(4x -3) = 30
p) 2x(x - 1) + x(5 - 2x) = 15
BÀI 13: Chứng tỏ rằng hai đa thức sau không có nghiệm
a) P(x) = x
2
+ 1
b) Q(x) = 2y
4

+ 5
c) H(x) = x
2
+2x+2
d) D(x) = (x-5)
2
+1
BÀI 14: Cho đa thức: f(x) = x
3
+ 2x
2
+ ax + 1
Tìm a biết rằng đa thức f(x) có một nghiệm x = -2
Bài 15: Thu gọn các đơn thức sau :
a./
( )
2
3 2 2
1
3 .
3
x y z xy
 
− −
 ÷
 
b./
( )
2
2 2

1
. 2
6
axy x yz−
c./
2
3 2 4
1 1
.5
2 2
x y x y
 
−
 ÷
 

d./
2 2 3
1
2 . ( 3 )
4
x y xy xy−
Bài 16: Cho các đa thức sau :
P(x) = x
2
+ 5x
4
- 3x
3
+ x

2
+ 4x
4
+ 3x
3
- x+ 5
Q(x) = x- 5x
3
- x
2
- x
4
+ 4x
3
- x
2
+ 3x – 1
a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm của biến.
b) Tính P(x) +Q(x) và P(x) - Q(x)
Bài 17: Cho các đa thức :
P(x) = 3x
5
+ 5x- 4x
4
- 2x
3
+ 6 + 4x
2
Q(x) = 2x
4

- x + 3x
2
- 2x
3
+
4
1
- x
5

a) Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm của biến.
b) Tính P(x) + Q(x) ; P(x) - Q(x)
c)Chứng tỏ rằng x = -1 là nghiệm của P(x) nhưng khơng phải là nghiệm của Q(x)
Bài 18: Tìm nghiệm của đa thức:
a) 4x -
2
1
; b) (x-1)(x+1) c) x
2
- 3x + 2.
Bài 19: Cho các đa thức :
A(x) = 5x - 2x
4
+ x
3
-5 + x
2
B(x) = - x
4
+ 4x

2
- 3x
3
+ 7 - 6x
C(x) = x + x
3
-2
a)Tính A(x) + B(x) ; b) A(x) - B(x) + C(x)
c)Chứng tỏ rằng x = 1 là nghiệm của A(x) và C(x) nhưng khơng phải là nghiệm
của B(x).
Bµi 20: Thu gän c¸c ®a thøc sau
20
a, x(4x
3
- 5xy + 2x) g, (x
2
- xy + y
2
)2x + 3y(x
2
- xy + y
2
)
b, - 2y(x
2
- xy + 1) h, 5x(4x
2
- 2x+1) – 2x(10x
2
- 5x - 2)

c, (x - 2)(x + 2) i, 5x(x-4y) - 4y(y -5x)
d, x
2
(x + y) + 2x(x
2
+ y) e, x
2
(x + y) - y(x
2
- y
2
)

*BAØI TAÄP NAÂNG CAO
Câu 1: Tìm nghiệm của đa thức sau:
a/ x
2
-4 b/ x
2
+ 9 c/ ( x- 3) ( 2x + 7 ) d/ |x| +x e/ |x| - x
Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a/ (x – 3,5)
2
+ 1 b/( 2x – 3)
4
– 2
Câu 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
a/
2
- x

2
: b/ -( x -
3
)
2
+ 1
Câu 4: Cho P(x) = 100x
100
+99x
99
+ 98x
98
+ … + 2x
2
+ x . Tính P(1)
Câu 5: Cho P(x) = x
99
– 100x
98
+100x
97
– 100x
96
+… +100x – 1
Tính P(99)
HÌNH HỌC
LÝ THUYẾT:
1/ Thế nào là hai đường thẳng song song? Phát biểu định lý của hai đường
thẳng song song
21

2/ Nêu dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song?
3/ Phát biểu định lý về tổng ba góc trong một tam giác , Tính chất góc ngồi
của tam giác
4/ Phát biểu các trường hợp bằng nhau của hai tam giác , của hai tam giác
vng?
5/ Phát biểu định lý quan hệ giữa ba cạnh của tam giác ? Các bất đẳng thức
tam giác
6 Phát biểu định lý quan hệ giữa đường vng góc và đường xiên, đường
xiên và hình chiếu
7/ Phát biểu định lý quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
8/ Nêu định, nghĩa tính chất các đường đồng quy của tam giác
9/ Nêu định nghĩa, tính chất , dấu hiệu nhận biết tam giác cân, tam giác đều,
tam giác vng
10/ Phát biểu định lý pitago ( thuận , đảo)
11/ Phát biểu tính chất tia phân giác của một góc.
12/ Phát biểu tính chất đường trung trực của đoạn thẳng
BÀI TẬP
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1 : Cho hình vẽ sau
biết
µ
µ
µ
= = =
0 0 0
A 140 ,B 70 ,C 150
.
Chứng minh rằng Ax // Cy
Bài 2 : Với hình vẽ sau.
Biết

µ
µ
µ
+ + =
0
A B C 360
.
Chứng minh rằng Ax // Cy
Bài 3 : Tính số đo x của góc O ở hình sau :
Bài 4 : Cho tam giác nhọn ABC, Kẻ AH vuông góc BC. Tính chu vi của tam
giác ABC biết
AC = 20cm, AH = 12cm, BH = 5cm
Bài 5 : Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông cân có cạnh huyền
bằng:
a) 2cm
b)
2 cm
Bài 6: Cho hình vẽ sau trong đó
AE BC⊥
.
Tính AB biết AE = 4m, AC = 5m, BC = 9m.
22
9
5
4
B
C
A
E
y

x
C
B
A
b
a
140
0
35
0
x
I
B
C
E
D
A
Bài 6: Cho tam giác ABC vng tại A . Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho
AC =AD . Trêntia đối của tia BA lấy điểm M bất kỳ . Chứng minh rằng :
a/ BA là tia phân giác của góc CBD. b/ ∆MBD = ∆MBC
Bài 7:Cho tam giác ABC có
>B
ˆ
C
ˆ
, Đường cao AH
a/ Chứng minh AH <
2
1
( AB + AC )

b/ Hai đường trung tuyến BM , CN cắt nhau tại G Trên tia đối của tia MB
lấy điểm E sao cho ME =MG . Trên tia đối của tia NC lấy điểm F sao cho NF =
NG . Chứng minh : EF= BC
c/Đường thẳng AG cắt BC tại K Chứng minh
>BKA
ˆ
CKA
ˆ
Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = AC. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm trên
cạnh AC sao cho
AD = AE.
a) Chứng minh rằng BE = CD.
b) Gọi O là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng
BOD COD.∆ = ∆
Bài 9 : Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB. Đường thẳng qua D và
song song với BC cắt AC ở E, đường thẳng qua E và song song với AB cắt BC ở
F. Chứng minh rằng :
a) AD = EF.
b)
ADE EFC.∆ = ∆
c) AE = EC.
Bài 10: Cho góc x0y , M là điểm nằm trên tia phân giác0z của góc x0y. Trên các
tia 0x và 0y lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB. Chứng minh rằng:
a/ MA =MB
b/ Đường thẳng chứa tia phân giác Oz là đường trung trực của đoạn thẳng
AB
c/ Gọi I là giao điểm của AB và 0z . Tính OI biết AB = 6cm OA = 5cm.
Bài 11: Cho góc nhọn x0y. Trên hai cạnh 0x và 0y lần lượt lấy hai điểm A và B
sao cho OA = OB . Tia phân giác của góc x0y cắt AB tại I.
a/ Chứng minh OI ⊥ AB.

b/ Gọi D là hình chiếu của điểm A trên 0y. C là giao điểm của AD với OI
.Chứng minh:BC ⊥0x
c/Giả sử
yx0
ˆ
= 60
0
, OA = OB = 6cm . Tính độ dài đoạn thẳng OC
Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH . Biết AB = 5cm BC =6cm
a/ Tính độ dài các đoạn thẳng BH , AH.
b/ Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng ba điểm A, G,
H thẳng hàng
c/ Chứng minh :
=GBA
ˆ

GCA
ˆ
23
Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi G là trọng tâm , I là điểm nằm trong
tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh :
a/ Ba điểm A ,G ,I thẳng hàng
b/ BG < BI < BA
c/
=GBI
ˆ

GCI
ˆ
d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho tổng các độ dài BM + MC có giá trị

nhỏ nhất
Bài 14: Cho điểm M nằm trong tam giác ABC . Chứng minh rằng tổng MA +MB
+MC lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tam giác ABC
Lưu ý : Ơn cả phần đề cương hình học ở học kỳ I
BÀI 15: Cho hai đoạn thẳng AB & AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
ch/m rằng:
a) ∆AOC= ∆BOD
b) AD=BC & AD//BC
BÀI 16: Cho góc xOy. Gọi Oz là tia phân giác của nó. Trên tia Ox lấy điểm A,
trên Oy lấy điểm B sao cho OA =OB. M là một điểm bất kỳ trên Oz (M ≠ O).
Chứng minh: tia OM là phân giác của AMB và đường thẳng OM là trung
trực của đoạn AB
BÀI 17: Cho góc xOy. Trên tia phân giác Oz của góc xOy lấy điển M (M ≠ O).
Qua M vẽ MH ⊥ Ox (H ∈ Ox) và MK ⊥ Oy (K∈ Oy). Chứng minh: MH = MK
BÀI 18: Cho ∆ ABC vuông tại A.Đường phân giác BE. Kẻ EH ⊥ BC ( H ∈BC)
Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh :
a) ∆ABE = ∆ HBE
b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
c) EK = EC
d) AE < EC
Bµi tËp n©ng cao
BÀI 19: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Các tia phân giác của góc B, C
Cắt AB và AC tại E, F
a) Chứng minh: BE = CF
b) Gọi T là giao điểm của BE và CF. Chứng minh AI là phân giác của góc
A
BÀI20: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên
tia đối của tia CB lấy điểm, N sao cho
BM = CN
a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân

b) Kẻ BH ⊥ AM (H ∈ AM). Kẻ CK ⊥ AN (K ∈ AN). Chứng minh rằng
BH = CK
c) Chứng minh rằng AH = AK
d) Gọi O là giao điểm của BH và CK. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì
sao?
24
e) Khi BÂC = 60
0
và BM = CN = BC, hãy tính số đo các góc của ∆AMN
và xác đònh dạng của ∆OBC.
BÀI 21: Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 20 cm, AC = 15 cm, BC = 25 cm,
AH là đường cao
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
b) Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH, biết AH = 12 cm
BÀI 22: Cho tam giác ABC cân tại A. Có đường cao AD. Từ D kẻ DE ⊥ AB,
DF ⊥AC. Trên tia đối của tia DE lấy điểm M sao cho DE = DM.
Chứng minh :
a) BE = CF
b) AD là đường trung trực của đoạn thẳng EF
c) Tam giác EFM là tam giác vuông
d) BE // CM
Bài 23: Cho ∆ ABC vuông tại A. Trên cạnh BC ta lấy điểm E sao cho BE = BA.
Tia phân giác của góc B cắt AC ở D.
a) So sánh độ dài DA và DE
b) Tính số đo BÊD
Bài 24: ∆ ABC vuông tại A. trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm
D sao cho MD = MA.
a) Chứng minh : ∆ AMC = ∆ BMD
b) C/ m Góc ABD = 90
0

c) Chứng minh : AM =
1
2
BC
Bài 25: ∆ ABC vuông tại C có Â = 60
0
. Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E.
Kẻ EK vuông góc với AB ( ( D
∈
AB ), Kẻ BD vuông góc tai AE ( D
∈
AE ).
Chứng minh
a) AC = AK và AE vuông góc CK
b) KA =KB
c) EB > AC
d) Ba đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm.

BÀI 26: Cho tam giác ABC có BÂ= 60
0
. vẽ phân giác BD. Từ A kẻ đường thẳng
vuông góc với BD, cắt BD tại H và cắt BC tại E.
a) Tính số đo góc BAH. Chứng minh Tam giác ABE là tam giác đều
b) Chứng minh:  DBA =  DBE
c) Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt đường thẳng BC tại F. Chứng
minh :  ABF là tam giác cân
BÀI 27: Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.
a) Chứng minh DEI = DFI
b) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì?
25