Đáp án toán chung

S GIÁO DC VÀ ÀO TO TNH BÌNH PHC
TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG

HNG DN GII  THI VÀO TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
MÔN TOÁN CHUNG NM HC 2010-2011

Câu 1. (1 im)
Phát biu nh lí v s o góc ni tip trong mt ng tròn.
Áp dng: Trong mt ng tròn cho cung bng
0
60
. Hi góc ni tip chn cung ó bng bao nhiêu
.

Gii
nh lí Trong mt ng tròn, góc ni tip có s o bng mt phn hai s o cung b chn.
Áp dng Trong mt ng tròn cho cung bng
0
60

góc ni tip chn cung ó có s o bng
0
30
.

Câu 2. (2 im)
a) Cho hàm s 3
= +
y x b
. Xác nh hàm s bit  th hàm s i qua im A(2; 2).
b) Gii h phng trình:

2 3
6
+ =


− =

x y
x y

Gii
a) Cho hàm s 3
= +
y x b
. Xác nh hàm s bit  th hàm s i qua im A(2; 2).
+)  th hàm s i qua im A(2; 2)


2 6 4
b b
= + ⇔ = −
.
+) KL: Hàm s tho mãn bài toán là y = 3x – 4 .
b) Gii h phng trình
2 3
6
x y
x y
+ =



− =


+) Ta có h phng trình
2 3 2 3 3
3 9 3 3
x y x y y
x x x
+ = + = = −
  
⇔ ⇔ ⇔
  
= = =
  

+) KL: H phng trình có mt cp nghim là
3
3
x
y
=


= −



Câu 3. (2 im)
Cho phng trình

2
3 5 0
+ + =
x x m
, (1).
a) Gii phng trình (1) vi m = –1.
b) Tìm m  phng trình có nghim kép.
Gii
a) Gii phng trình (1) vi m = –1.
+) Vi m = –1 phng trình tr thành:
2
3 5 1 0
x x
+ − =

+)
Ph

ng trình có
∆
= 25 + 12 = 37 > 0. Do

ó ph

ng trình có hai nghi

m là
5 37
6
x

− −
= ,
5 37
6
x
− +
= .
+) KL: Khi m = – 1 thì phng trình
có hai nghi

m là
5 37
6
x
− −
= ,
5 37
6
x
− +
= .
b) Tìm m  phng trình có nghim kép.
Phng trình có nghim kép
25
0 25 12 0
12
m m⇔ ∆ = ⇔ − = ⇔ =

KL: Vi
25

12
m =
thì phng trình ã cho có nghim kép.
Câu 4. (1,5 im)
Mt x ng phi sn xu!t xong 3000 cái thùng "ng d#u trong mt thi gian quy nh.  hoàn
thành sm k ho$ch, m%i ngày x ng ã sn xu!t &c nhiu hn 6 thùng so vi s thùng phi sn
xu!t trong mt ngày theo k ho$ch. Vì th 5 ngày trc khi ht h$n, x ng ã sn xu!t &c 2650
cái thùng. Hi theo k ho$ch, m%i ngày x ng phi sn xu!t xong bao nhiêu cái thùng.
Gii
+) Gi x là nng xut theo k hoch, n v thùng/ngày, iu kin x là s nguyên dng.
+) Khi ó s ngày hoàn thành theo k hoch là
3000
x
.
+) Theo gi thit ta có nng xut thc t là x + 6 và s ngày hoàn thành thc t là
2650
6
x
+

Do ó ta có phng trình:
2
3000 2650
5 3000 18000 2650 5 30
6
x x x x
x x
= + ⇔ + = + +
+

=

⇔ − − = ⇔

= −


  
   
  
 
 
 

+) KL: Theo k hoch, mi ngày xng phi sn xut xong 100 cái thùng.

Câu 5. (2,5 im)
Cho tam giác ABC vuông t$i A. ng tròn (O; R) ng kính AB ct BC t$i D. Tip tuyn c'a
ng tròn (O) t$i D ct AC P.
a) Ch(ng minh rng t( giác AODP ni tip.
b) Ch(ng minh tam giác PDC cân.
c) Khi

0
30
=ACB
. Tính din tích hình gii h$n b i PA, PD và cung nh AD c'a ng tròn (O)
theo bán kính R.
Gii

a) Ch(ng minh rng t( giác AODP ni tip.
Xét t giác AODP ta có:
+ Tam giác ABC vuông nh A



  
=
, (1).
+) Vì PD là tip tuyn ca (O)



  
=

, (2).
T (1) và (2)

t giác AODP ni tip.
b) Ch(ng minh tam giác PDC cân.
+) Ta có




    
+ =
(vì tam giác ABC vuông nh A), (3)
+) Ta có




     
+ =
(vì



  
=
), (4)
+) Ta có tam giác OBD cân nh O




    

=
, (5).
T (3), (4) và (5)



    

=

tam giác PDC cân 
nh P.

c) Khi

0
30
=ACB
. Tính din tích hình gii h$n b i PA, PD và cung nh AD c'a ng tròn (O)
theo bán kính R.
+) Ta có







0 0 0 0
30 60 120 60
=

=

= + =

=ACB ABC AOD OBD ODB AOP
. Xét tam giác vuông AOP ta
có:


  
        
= = =
.
+) Gi S là din tích cn tìm, S
1
là din tích t giác AODP, S
2
là din tích hình qut OAD cha im H.
Ta có
 
  
= −
.
+) Ta có



   
     
   
     
                       
∆ ∆
= + = + = + = =
, (vdt).
+) Ta có
 


 
 

π π
= =
, (vdt).
Vy
(
)



 
 

 



   
π
π
−
= − = − =
, (vdt).

Câu 6. (1 im)
Cho a, b, c là các s thuc o$n
[
]
1; 2
−
tho
0
+ + =
a b c
. Ch(ng minh rng:
2 2 2
6
+ + ≤
a b c
.
Gii
+) Vì a, b, c là các s thuc on
[
]
1; 2
−
và

0
a b c
+ + =

luôn có hai s cùng ln hn hoc bng
không (hoc cùng nh hn hoc bng không). Gi s! hai s ó là a và b ta thy: Nu
 
 
≥ ≥

 
 

∈
, nu
 
 
≤ ≤

 
 

∈
. Nói cách khác ta có
 
 
∈
.
+) Ta có
2 2 2 2 2 2 2 2

( ) 2 2 2
+ + = + + + = + +
a b c a b a b a b ab

+) Vì
 
   
   
∈

≤ ≤
. Mt khác
  
  
∈

≤


2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 6
+ + = + + ≤ + + =
a b c a b ab
. Du “=” xy ra



  

  



  

  


=
= =

⇔ = ⇔


= = −


=


Khi
  !"#$#%& 
  
= = −

=
.
+) KL:
2 2 2
6
a b c

+ + ≤
, du “=” xy ra khi hai trong ba s bng –1 và s còn li bng 2.


Ht







GV: Ph$m V)n Quý, Trng THPT chuyên Quang Trung