Đáp án toán chuyen
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (232.7 KB, 4 trang )
S GIÁO DC VÀ ÀO TO TNH BÌNH PHC
TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
HNG DN GII THI VÀO TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
MÔN TOÁN CHUYÊN NM HC 2010-2011
Câu 1. (1 im)
Cho hàm s
+
= +
−
. Tìm các giá tr ca m hàm s ã cho là hàm s bc
nht ng bin trên
.
Gii
+) Hàm s ã cho là hàm s bc nht và ng bin trên
+
⇔ >
−
≥ ≥
≥
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >
>
− > >
.
+) KL: Vi
>
thì hàm s ã cho là hàm s bc nht ng bin trên
.
Câu 2. (1 im)
Gii h phng trình
+ = +
= −
Gii
+) Ta có h
− + − − = − + − =
− − − =
⇔ ⇔ ⇔
= − = −
= −
− =
− =
= −
+ − =
⇔ ⇔
+ − =
= −
= −
+) Gii h (*): Ta có h (*)
= = =
⇔ ⇔ ⇔
= − − − = + − − =
=
= = −
=
= −
−
+ =
⇔ ⇔ ⇔ = =
−
=
− − =
+
= =
+
=
+) Gii h (**): Ta có h (**)
= − = − = −
⇔ ⇔ ⇔
= − − = − + − =
= −
= − = −
=
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
=
+ − = − + + =
+ + =
+) KL: H phng trình có 4 nghim là:
− − + +
− −
Câu 3. (1 im)
Cho phng trình
− + =
. Tìm giá tr m, bit rng phng trình có hai nghim
tho mãn iu kin
− =
.
Gii
Cách 1
+) Phng trình có hai nghim
⇔ ∆ = − ≥ ⇔ ≤
.
+) Kt hp gi thit và nh lí Viét ta có h:
− = =
+ = ⇔ = =
= =
, (nhn).
+) KL: Vi m = 5 thì phng trình có nghim tho mãn iu kin bài toán.
Cách 2
+) Phng trình có hai nghim
⇔ ∆ = − ≥ ⇔ ≤
.
+) Theo gi thit
− = > = + − = − −
Do ó
(
)
− = ⇔ + − − − − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
, (nhn).
+) KL: Vi m = 5 thì phng trình có nghim tho mãn iu kin bài toán.
Cách 3
+) Phng trình có hai nghim
⇔ ∆ = − ≥ ⇔ ≤
.
+) Theo gi thit
− =
>
.
Do ó
(
)
− = ⇔ − = ⇔ + − = ⇔ + − =
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
, (nhn).
+) KL: Vi m = 5 thì phng trình có nghim tho mãn iu kin bài toán.
Câu 4. (1 im)
Gii phng trình
− + − = −
.
Gii
+) K:
x R
∈
+) Ta có
⇔ − + + − = − ⇔ − + + − =
=
⇔ − − − + = ⇔ − − − = ⇔ − + − = ⇔ = −
=
+) KL: Phng trình ã cho có tp nghim là:
{
}
= −
.
Câu 5. (1 im)
Cho ba s
vi
> >
. Chng minh rng:
− + > − +
.
Cách 1
BT
⇔ − + > − + − + ⇔ − + − − − − ⇔ − − >
,
(luôn úng).
Cách 2
BT
⇔ − + > + + − − + ⇔ + − − >
⇔ + − − > ⇔ − − − > ⇔ − − − > ⇔ − − >
,
(luôn úng).
Câu 6. (3 im)
Cho t giác ABCD ni tip ng tròn ng kính AD. Hai ng chéo AC và BD c!t nhau t"i
E. K# EF vuông góc vi AD. G$i M là trung im ca DE. Chng minh rng:
a) Các t giác ABEF, DCEF ni tip %c.
b) Tia CA là tia phân giác ca góc
.
c) Bn im B, C, M, F cùng thuc mt ng tròn.
Gii
a) Các t giác ABEF, DCEF ni tip %c.
+) Ta có
0
90
ABE
=
(góc ni tip chn na
ng tròn), mt khác
0
90
EFA
=
, (gt). Do ó
ABEF là t giác ni tip.
+) Ta có
0
90
DCE
=
(góc ni tip chn na
ng tròn), mt khác
0
90
EFD
=
, (gt). Do ó
DCEF là t giác ni tip.
b) Tia CA là tia phân giác ca góc
.
+) Theo câu (a) t giác DCEF ni tip
=
ECF EDF
, (cùng chn cung EF), (1).
+) Mt khác trong ng tròn ng kính AD
ta có
BCA EDF
=
, (cùng chn cung AB), (2).
T (1) và (2)
ECF BCE CA
=
là tia phân giác
ca góc
.
c) Bn im B, C, M, F cùng thuc mt
ng tròn.
Chú ý:
Khi M là trung im ca ED ta có M chính là tâm ca ng tròn ngoi tip ca t giác DCEF,
do ó ta có ME = MD = MF = MC. Vn dng kt qu này ta có mt s li gii (vn tt) sau:
Cách 1
+) Ta có
BFA BEA CEM MCE
= = =
và
= =
MFD MDF BCA
.
+) Xét t giác BCMF có:
(
)
0
180
+ = + + = + + =
BFM BCM BFM BCE ECM BFM MFD BFA
pcm.
Cách 2
+) Ta có
2
BFC BFE CFE BAC BDC BDC
= + = + =
, (1).
+) Mt khác ta có
2
BMC MCD MDC MDC
= + =
, (2).
T (1) và (2)
BFC BMC
=
BCMF ni tip, (pcm).
Cách 3
+) Ta có
2
FMB MFD MDF MDF
= + =
, (1).
+) Mt khác ta có
2 2
= + = =
BCF BCA ACF BCA BDF
, (2).
T (1) và (2)
BMF BCF
=
BCMF ni tip, (pcm).
Câu 7. (1 im)
Xác nh các s nguyên a, b sao cho ng th&ng
= +
i qua im
, c!t tr'c tung
t"i im có tung là mt s nguyên dng, c!t tr'c hoành t"i mt im có hoành là mt
s nguyên dng.
Gii
+) ng thng
= +
ct trc hoành ti im có hoành bng
b
a
−
, ct trc tung ti im có
tung bng b. Theo gi thit ta có
*
*
*
*
b N
k N
a
b
k N
b ka N
a
∈
∈
⇔
− = ∈
= − ∈
là s nguyên âm.
+) ng thng qua
+ = ⇔ − = ⇔ − =
. Vì a là s nguyên âm, k là s
nguyên dng nên ta có:
= − = − = −
− = − = =
− = ⇔ ⇔
= − = − = −
− = − = =
+) KL: Có hai ng thng tho mãn bài toán là
3 15
y x
= − +
và
7
y x
= − +
.
Câu 8. (1 im)
N(m h$c 2009 – 2010 tr ng trung h$c ph) thông chuyên Quang Trung, t*nh Bình Phc có
s h$c sinh gi+i Quc gia là mt s t, nhiên có hai ch- s. D,a vào các thông tin sau, hãy tìm
s h$c sinh gi+i trong n(m h$c trên ca nhà tr ng. Bit s t, nhiên này có ch- s hàng n v
ln hn ch- s hàng ch'c. Nu vit s t, nhiên ó theo th t, ng%c l"i ta %c mt s t,
nhiên mi có hai ch- s; s này là s nguyên t và nu em s này cng vi s ban .u thì
%c kt qu là mt s chính phng.
Gii
+) Gi s cn tìm là
ab
vi
b a
>
,
{1;2;3;4;5;6;7;8}, {2;3;4;5;6;7;8;9}
a b
∈ ∈
.
+) Theo gi thit ta có:
+ =
, vi
∈
+) Ta có
+ = ⇔ + + + = ⇔ + =
. Vi iu kin ca a, b
a + b = 11.
Vì b > a nên ch có các cp (a; b) sau tho mãn (2; 9), (3; 8); (4; 7), (5; 6). Vì
nên
ch còn cp s (3; 8) tho mãn bài toán.
+) Kt lun: N m hc 2009 – 2010 trng trung hc ph! thông chuyên Quang Trung, tnh Bình
Phccó 38 hc sinh gi"i quc gia.
Ht
GV: Ph"m V(n Quý, Tr ng THPT chuyên Quang Trung
