Đáp án toán chuyen 2011
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (193.12 KB, 4 trang )
HNG DN GII THI TOÁN CHUYÊN
THI VÀO TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
NM HC 2011-2012
Câu 1 (2 im)
Cho biu thc
2 2
2 2
3 4 1 19
:
8 16 4 4
+ + −
= + +
− + − −
x x x x
P
x x x x x x
a) Rút gn P.
Gii
+) iu kin:
− + ≠ ≠
− ≠ ⇔ ≠
≠
+ −
+ + ≠
− −
+) Ta có
( )
2
2
( 3) 4 1 19
:
4 ( 4)
4
+ + −
= + +
− −
−
x x x x
P
x x x x
x
( )
(
)
(
)
2
2
4 4 19
( 3)
:
( 4)
4
+ − + + −
+
=
−
−
x x x x
x x
x x
x
( )
2 2
2
( 3) 16 19
:
( 4)
4
+ − + + −
=
−
−
x x x x x
x x
x
( )
2
( 3) 3
:
( 4)
4
+ +
=
−
−
x x x
x x
x
( )
2
( 3) ( 4)
.
3
4
+ −
=
+
−
x x x x
x
x
2
4
=
−
x
x
+) K
t lu
n:
2
4
=
−
x
P
x
b) Tính giá tr ca P ti
4 2 3 4 2 3
= + − −x
Gii
+) Ta có
( ) ( ) ( )
2 2
4 2 3 4 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 2
= + − − = + − − = + − − =
x
+) Thay x = 2 vào bi
u th
c
ã rút g
n c
a P ta có:
4 4
2
2 4 2
= = = −
− −
P
+) V
y t
i
4 2 3 4 2 3
x = + − − ta có giá tr
c
a P b
ng
2
−
.
Câu 2 (2 im)
a) Gii phng trình:
(
)
2
2 3
2 3 10 15 0
+ − − =
x x x .
Gii
+) Ta có ph
ng trình
(
)
2
2 2 2 2
2 3 5 (2 3) 0 (2 3)(2 5 3) 0
⇔ + − + = ⇔ + − + =
x x x x x x
=
+ =
⇔ ⇔ − + = ⇔
=
− + =
+) KL: Ph
ng trình
ã cho có t
p nghi
m là
=
b) S hc sinh gii Quc gia ca trng trung hc ph thông chuyên Quang Trung, tnh Bình Phc
trong nm hc 2010-2011 là mt s t nhiên
ab
vi a, b tho mãn h phng trình:
3 6 3 2
2 3 34
a b ab
a b ab
+ = +
+ = −
.
Hãy tìm s hc sinh gii ca trng trong nm hc trên.
Gii
Cách 1
+) C
ng v
theo v
hai ph
ng trình c
a h
i
u ki
n ta có:
(
)
(
)
+ = + ⇔ + − = ⇔ − − = −
mà a, b nguyên và
{
}
∈ ≠
nên a, b ch
có tr
ng h
p
− =
− = −
th
a mãn yêu c
u c
a bài toán
=
=
V
y s
h
c sinh gi
i c
a tr
ng n
m h
c 2010-2011 là 53 h
c sinh.
Cách 2
+) Tr
c h
t ta
i gi
i h
ph
ng trình
i
u ki
n:
Ta có h
(
)
3 6 3 2 34 2 3
3 6 3 2 3 6 3 68 4 6
34 2 3 34 2 3
34 2 3
+ = + − −
+ = + + = + − −
⇔ ⇔ ⇔
= − − = − −
= − −
a b a b
a b ab a b a b
ab a b ab a b
ab a b
7 12 71
34 2 3
+ =
⇔
= − −
a b
ab a b
71 12
7
34 2 3
−
=
⇔
= − −
b
a
ab a b
71 12
7
34 2 3
−
=
⇔
= − −
b
a
ab a b
( ) ( )
71 12
7
71 12 2 71 12
34 3
7 7
−
=
⇔
− −
= − −
b
a
b b b
b
( ) ( )
71 12
7
71 12 2 71 12
34 3
7 7
−
=
⇔
− −
= − −
b
a
b b b
b
2
71 12
7
12 68 96 0
−
=
⇔
− + =
b
a
b b
( )
( )
71 12
7
3
8
3
−
=
⇔ =
=
b
a
b n
b l
5
3
=
⇔
=
a
b
53
=
ab
+) KL: S hc sinh gii ca trng trong nm hc trên là 53.
Câu 3 (2 im)
a) Cho a, b, c là ba s dng tho mãn iu kin:
3
+ + ≤
a b c
.
Chng minh rng:
1 1 1 3
1 1 1 2
+ + ≥
+ + +
ab bc ca
. D
u b
ng x
y ra khi nào?
Nh
n xét: L
i gi
i cho bài toán này s
g
n gàng và d
nh
n ra n
u ta v
n d
ng các b
t
ng th
c ph
sau:
1) B
t
ng th
c
+ + ≥
+ +
, (*) , v
i x, y, z >0.
2) B
t
ng th
c
+ + ≥ + + , v
i m
i a, b, c.
Trong bài làm hc sinh phi chng minh li các bt ng thc này.
+) Ch
ng minh b
t
ng th
c (*):
V
i x, y, z > 0, áp d
ng b
t
ng th
c Cauchy ta có:
+ + ≥ và
+ + ≥ .
Nhân v
theo v
hai b
t
ng th
c trên ta
c
( )
+ + + + ≥
⇔ + + ≥
+ +
.
+) Ch
ng minh b
t
ng th
c (**):
Ta có (*)
⇔ + + − − − ≥ ⇔ − + − + − ≥
, (
úng).
Gii
+) Áp d
ng b
t
ng th
c (*) ta có:
1 1 1 9
1 1 1 3
+ + ≥
+ + + + + +
ab bc ca ab bc ca
.
ch
ng minh bài toán ta ch
c
n ch
ng minh:
9 3
3
3 2
≥ ⇔ + + ≤
+ + +
ab bc ca
ab bc ca
, (1).
+) Th
t v
y ta có (**)
⇔ + + + + + ≥ + +
(
)
⇔ + + ≥ + +
(
)
+ +
⇔ + + ≤ ≤ =
, (2).
+) T
(1) và (2) ta có bài toán
c ch
ng minh. D
u “=” x
y ra
⇔
= = =
b) Gii phng trình nghim nguyên:
6 3 2
2 2 128
− + =x x y y .(*)
Gii
+) Ta có phng trình
6 6 3 2
2 128
⇔ + − + =
x x x y y
(
)
2
6 3
128
⇔ + − =
x x y
≤
⇔ ≤
. Vì x là s
nguyên nên x ch
có th
nh
n các giá tr
{
}
− −
+) Thay các giá tr
c
a x vào ph
ng trình ta
c các c
p (x; y) nguyên là: (2;16), (2;0), (-2;-16), (-2;0).
+) KL: Nghi
m nguyên c
a ph
ng trình (*) là: (x;y) = (2;16); (2;0); (-2;-16); (-2;0).
Câu 4 (4 im)
Cho tam giác ABC ni tip ng tròn (O) tâm O. ng phân giác trong ca góc A c t (O) ti im
M (khác im A). Tip tuyn k! t" M ca (O) c t các tia AB, AC l#n l$t ti D và E.
a) Chng minh r%ng BC song song vi DE.
Gii
G
i H là giao
i
m gi
!
a OM và BC.
Vì
=
=
OM
⊥
BC.
Mà OM
⊥
DE
BC song song v
i DE, (
pcm).
b) Chng minh r%ng:
∆
AMB
và
∆
MEC
&ng dng;
∆
AMC
và
∆
MDB
&ng dng.
Gii
+) Ta có
=
=
(cùng b
ng n
"
a
s
o cung MC),
=
(ABMC n
i
ti
p
ng tròn)
AMB
∆
và
MEC
∆
#
ng d
ng theo tr
ng h
p (góc – góc).
+) Ta có
= =
(cùng b
ng n
"
a s
o cung BM),
=
(ABMC n
i ti
p
ng
tròn)
AMC
∆
và
MDB
∆
#
ng d
ng theo tr
ng h
p (góc – góc).
D
H
E
M
O
C
B
A
c) Cho AC = CE. Chng minh r%ng:
2
.
=
MA MD ME
.
Gii
+) Ta có
AMB
∆
và
MEC
∆
#
ng d
ng
=
, (1).
+) Ta có
AMC
∆
và
MDB
∆
#
ng d
ng
=
, (2).
L
y (1) chia (2) v
theo v
và áp d
ng AC = CE ta có:
= ⇔ =
, (
pcm).
d) Chng minh:
2
+
>
AB AC
AM
.
Gii
Áp d
ng
nh lí Ptô-lê-mê cho t
giác n
i ti
p ABMC ta có:
+ =
⇔ + =
( )
⇔ + =
M
t khác v
i H là trung
i
m c
a BC ta có tam giác BHM vuông
nh H nên ta có BM > BH
>
>
( )
+
= + >
, (
pcm).
Ht
Phm Vn Quý – Chuyên Quang Trung
