Giai tich 12-ChuongI-Max min

NHĐ
16



Chương I




1. Đònh nghóa:
Giả sử hàm số f xác đònh trên miền D (D  R).
a)
0 0
( ) ,
max ( )
: ( )
D
f x M x D
M f x
x D f x M

  
 

  


b)
0 0
( ) ,

min ( )
: ( )
D
f x m x D
m f x
x D f x m

  
 

  


2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b
f x f b f x f a
 
.
b) Nếu hàm số f nghòch biến trên [a; b] thì
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b
f x f a f x f b
 
.

VẤN ĐỀ 1: TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG BẢNG BIẾN THIÊN

Bài toán 1 : Phương pháp khảo sát trực tiếp :
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
 Tìm miền xác đònh D
 Tính f(x), giải phương trình f(x) = 0

 Xét dấu f(x) và lập bảng biến thiên.
 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một
đoạn [a; b].
 Tính f (x).

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x
1
, x
2
, …, x
n
trên
[a; b] (nếu có).
 Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
).
 So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.




1 2
[ ; ]
max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b
M f x f a f b f x f x f x
 
(lấy số lớn nhất)



1 2
[ ; ]
min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b
m f x f a f b f x f x f x
 
(lấy số nhỏ nhất)
Bài toán 2 : Phương pháp khảo sát gián tiếp :
Bước 1 : Biến đổi hàm số ban đầu về dạng mới để xác đònh ẩn phụ :




y F x



Bước 2 : Đặt


t x


. Điều kiện của ẩn t là D
t
.


y F t


Bước 3 : Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số


y F t

trên D
t

III.

GIÁ TR
Ị LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

C
ỦA HÀM SỐ

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
NHĐ
17

Bài 35.
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2
4 3
y x x
  
b)
3 4
4 3
y x x
 
c)
4 2
2 2
y x x
  

d)
2
2
y x x
  
e)

2
1
2 2
x
y
x x


 
f)
2
2
2 4 5
1
x x
y
x
 



g)
2
1
( 0)
y x x
x
  
h)
2

2
1
1
x x
y
x x
 

 
i)
4 2
3
1
( 0)
x x
y x
x x
 
 


Bài 36.
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
3 2
2 3 12 1
y x x x
   
trên [–1; 5] b)
3

3
y x x
 
trên [–2; 3]
c)
4 2
2 3
y x x
  
trên [–3; 2] d)
4 2
2 5
y x x
  
trên [–2; 2]
e)
3 1
3
x
y
x



trên [0; 2] f)
1
1
x
y
x




trên [0; 4]
g)
2
4 7 7
2
x x
y
x
 


trên [0; 2] h)
2
2
1
1
x x
y
x x
 

 
trên [0; 1]
i)
2
100
y x

 
trên [–6; 8] k)


 
   
 
 
sin2 , ,
2
y x x x

Bài 37.
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
cos2 2sin 1
y x x
  
b)
2
2sin cos 1
y x x
  
c)
2
1
cos cos 1
y
x x


 

d)
2sin 1
sin 2
x
y
x



e)
3 3
sin cos
y x x
 
f)
2
4 2
1
1
x
y
x x


 

g)
2 2

4 2 5 2 3
y x x x x
     
h)
2 2
4 4 3
y x x x x
     


VẤN ĐỀ 2: DÙNG BẤT ĐẢNG THỨC TÌM GTLN, GTNN

Cách này dựa trực tiếp vào đònh nghóa GTLN, GTNN của hàm số.

 Chứng minh một bất đẳng thức.
 Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng thức vừa tìm
được trở thành đẳng thức.

Bài 38.
Giả sử


( ; ; ) / 0, 0, 0, 1
D x y z x y z x y z
      
. Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức:

1 1 1
x y z
P

x y z
  
  
.
HD:
1 1 1
3
1 1 1
P
x y z
 
   
 
  
 

Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
 
1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 9
1 1 1
x y z
x y z
 
       
 
  
 

 P 

3
4
. Dấu “=” xảy ra  x = y = z =
1
3
. Vậy
3
min
4
D
P

.
Bài 39.
Cho D =
5
( ; )/ 0, 0,
4
x y x y x y
 
   
 
 
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:

4 1
4
S
x y
 

.
NHĐ
18

HD:
 
1 1 1 1 1
4 25
4
x x x x y
x x x x y
 
        
 
 

4 1
4( ) 25
4
x y
x y
 
  
 
 

 S  5. Dấu “=” xảy ra  x = 1, y =
1
4
. Vậy minS = 5.

Bài 40.
Cho D =


( ; )/ 0, 0, 1
x y x y x y
   
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:

2 2
1
1 1
x y
P x y
x y x y
    
  
.
HD:
2 2
1
(1 ) (1 ) 2
1 1
x y
P x y
x y x y
       
  
=
1 1 1

2
1 1x y x y
  
  
.
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
 
1 1 1
(1 ) (1 ) ( ) 9
1 1
x y x y
x y x y
 
       
 
  
 


1 1 1 9
1 1 2
x y x y
  
  

 P 
5
2
. Dấu “=” xảy ra  x = y =
1

3
. Vậy minP =
5
2
.
Bài 41.
Cho D =


( ; )/ 0, 0, 4
x y x y x y
   
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:

2 2
2
3 4 2
4
x y
P
x
y
 
 
.
HD:
2
1 1
2
4 8 8 2

x y y x y
P
x
y
 

     
 
 
(1)
Theo bất đẳng thức Cô–si:
1 1
2 . 1
4 4
x x
x x
  
(2)

3
2 2
1 1 3
3 . .
8 8 8 8 4
y y y y
y y
   
(3)
 P 
9

2
. Dấu “=” xảy ra  x = y = 2. Vậy minP =
9
2
.

VẤN ĐỀ 3: DÙNG MIỀN GIÁ TRỊ TÌM GTLN, GTNN

Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.

 Gọi y
0
là một giá trò tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau
có nghiệm:
0
( ) (1)
(2)
f x y
x D






 Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông
thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m
 y
0
 M (3)

 Vì y
0
là một giá trò bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:
min ( ) ; max ( )
D D
f x m f x M
 


Bài 42.
Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)
2
2
1
1
x x
y
x x
 

 
b)
2
2
2 7 23
2 10
x x
y
x x

 

 
c)
2sin cos 1
sin 2cos 3
x x
y
x x
 

 

NHĐ
19

d)
2sin cos 3
2cos sin 4
x x
y
x x
 

 



VẤN ĐỀ 4: DÙNG GTLN, GTNN GIẢI PT, HỆ PT, BẤT PT

Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có
min ( ) ; max ( )
D D
f x m f x M
 
.
1) Hệ phương trình
( )f x
x D






có nghiệm  m    M.
2) Hệ bất phương trình
( )f x
x D






có nghiệm  M  .
3) Hệ bất phương trình
( )f x
x D







có nghiệm  m  .
4) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  m  .
5) Bất phương trình f(x)
  đúng với mọi x  M  .

Bài 43.
Giải các phương trình sau:
a)
4 4
2 4 2
x x
   
b)
3 5 6 2
x x
x
  
c)
5 5
1
(1 )
16
x x
  

Bài 44.
Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)
2
2 1
x x m
  
b)
2 2 (2 )(2 )
x x x x m
      

c)
3 6 (3 )(6 )
x x x x m
      
d)
7 2 (7 )(2 )
x x x x m
      

Bài 45.
Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  R:
a)
2
2 1
x x m
  
b)
2

2 9
m x x m
  
c)
4
4 0
mx x m
  

Bài 46.
Cho bất phương trình:
3 2
2 1 0
x x x m
    
.
a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2].
b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].
Bài 47.
Tìm m để các bất phương trình sau:
a)
3 1
mx x m
   
có nghiệm. b)
( 2) 1
m x m x
   
có nghiệm x  [0; 2].
c)

2 2
( 1) 1
m x x x x
    
nghiệm đúng với mọi x  [0; 1].