Giáo Trình Giải Tích - KHTN - Chương 2

Chương 2
DÃY VÀ CHUỖI SỐ
Dãy số là hàm số có miền xác đònh là tập
¥
các số nguyên tự nhiên.
Người ta thường dùng dãy số làm mô hình cho các hiện tượng rời rạc. Chẳng
hạn khi người ta đo đạc các đại lượng tại những thời điểm cách đều nhau như
sản lượng hàng năm, chỉ số giá tiêu dùng hàng tháng, kết toán năm ...
1. KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT
1.1. Đònh nghóa. Dãy số là một ánh xạ từ
¥
vào
¡
liên kết mỗi
∈
¥n
với
∈ ¡
n
u
; ký hiệu
( )
Φ →
Φ ≡
¥ ¡
a
n
:
n n u
Khi khảo sát dãy số, người ta thường thay
( )

Φan n
bằng ký hiệu
a
n
n u
, trong đó biến
∈
¥n
được gọi là chỉ số.
Dãy số còn được ký hiệu bởi
( )
∈¥
n
n
u
,
( )
n
n
u
,
( )
n
u
,
a
n
n u
hay
1

u
,
2
u
, ...
trong đó
n
u
được gọi là số hạng thứ n của dãy
( )
n
u
và
1
u
là số hạng đầu.
Ví dụ 1. i) Dãy
( )
n
u
xác đònh bởi
=
n
u a
,
∈
¥n
, trong đó a là một hằng
số (nghóa là
n

u
không phụ thuộc vào n). Loại dãy này còn được gọi là dãy hằng.
ii) Dãy
( )
n
u
xác đònh bởi
=
n
u n
,
∈
¥n
.
iii) Dãy
( )
n
u
xác đònh bởi
=
n
1
u
n
,
∈
¥n
.
iv) Dãy
( )

n
u
xác đònh bởi
( )
= −
n
n
u 1
,
∈
¥n
.
v) Dãy
( )
n
u
xác đònh bởi
(
)
= +
n
1
n
n
u 1
,
∈
¥n
.
vi) Dãy

( )
n
u
xác đònh bởi
(
)
+
= +
n 1
1
n
n
u 1
,
∈
¥n
.
vii) Dãy
( )
n
u
cho bởi
=
1
u 1
,
= +
2
u 1 1
,

= + +
3
u 1 1 1
, ... . Ta nói
( )
n
u
xác đònh bằng quy nạp theo n :
=
1
u 1
và với mọi
∈
¥n
,
+
= +
n 1 n
u 1 u
.
viii) Dãy
( )
n
u
xác đònh bằng quy nạp theo n :
=
1
u 2
và với mọi
∈

¥n
,
+
 
= +
 
 n
3
n 1 n
u
1
u u
2
.
18
ix) Lãi kép : Một lượng vốn C đầu tư với lãi suất i trong n năm với tiền lời
được nhập vào vốn mỗi cuối năm. Giá trò của lượng vốn này vào cuối năm thứ
nhất được ký hiệu là
1
x
, cuối năm thứ hai là
2
x
, ..., cuối năm thứ n là
n
x
. Ta
có
( )
= +

1
x C 1 i
;
( )
= +
2
2
x C 1 i
;
...
( )
−
−
= +
n 1
n 1
x C 1 i
;
( ) ( )
−
= + = +
n
n n 1
x x 1 i C 1 i
.
và như vậy, ta nhận được dãy số
( )
n
x
với

( )
= +
n
n
x C 1 i
.
x) Lãi liên tục : Với 1 đồng vốn đầu tư, xét trường hợp chu kỳ tính lãi nhập
vào vốn giảm dần với lãi suất năm 7%, nửa năm
7
2
%
, quý
7
4
%
, tháng
7
12
%
,
tuần
7
52
%
, ngày
7
365
%
... và đặt
1

y
,
2
y
,
4
y
,
12
y
,
52
y
,
365
y
giá trò vốn thu
được vào cuối năm, ta có
= + =
1
y 1 0,07 1,07
;
( )
= + =
2
0,07
2
2
y 1 1,071225
;

( )
= + ≈
4
0,07
4
4
y 1 1,071859
;
( )
= + ≈
12
0,07
12
12
y 1 1,072290
;
( )
= + ≈
52
0,07
52
52
y 1 1,072458
;
( )
= + ≈
365
0,07
365
365

y 1 1,072501
.
Tổng quát, khi một năm được chia thành n chu kỳ đều nhau với lãi suất
trên mỗi chu kỳ là
7
n
%
và tiền lời được nhập vào vốn sau từng chu kỳ thì giá
trò vốn nhận được cuối năm là
( )
= +
n
0,07
n
n
y 1
.
Ta nhận được dãy số
( )
n
y
.
1.2. Đònh nghóa.
19
i) Dãy số
( )
n
u
được gọi là tăng khi
∀ ∈

¥n
,
+
≤
n n 1
u u
và được gọi là tăng
ngặt khi
∀ ∈
¥n
,
+
<
n n 1
u u
.
Dãy số
( )
n
u
được gọi là giảm khi
∀ ∈
¥n
,
+
≤
n 1 n
u u
và được gọi là giảm
ngặt khi

∀ ∈
¥n
,
+
<
n 1 n
u u
.
Một dãy là tăng hay là dãy giảm được gọi là một dãy đơn điệu. Tương tự,
một dãy là tăng ngặt hay là dãy giảm ngặt được gọi là dãy đơn điệu ngặt.
ii) Dãy số
( )
n
u
được gọi là bò chận trên khi
∃ ∈ ¡A
,
∀ ∈
¥n
,
≤
n
u A
,
nghóa là tồn tại số thực A lớn hơn mọi
n
u
. Ta nói A là một chận trên của dãy
số
( )

n
u
.
Dãy số
( )
n
u
được gọi là bò chận dưới khi
∃ ∈ ¡B
,
∀ ∈
¥n
,
≥
n
u B
. Ta nói
B là một chận dưới của
( )
n
u
.
Dãy số
( )
n
u
được gọi là bò chận khi nó vừa bò chận trên, vừa bò chận dưới.
Chẳng hạn, với số thực
>
b 0

bất kỳ, dãy số
=
n
u nb
, với
∈
¥n
là một
dãy tăng ngặt vì với mọi
∈
¥n
,
( )
+
= + > =
n 1 n
u n 1 b nb u
,
bò chận dưới bởi 0 vì
>
n
u 0
, với mọi
∈
¥n
. Tuy nhiên, nó không bò chận trên.
Để chứng minh điều này, ta dùng phép chứng minh phản chứng. Giả sử
( )
n
u

bò
chận trên với một chận trên là M. Xét các tập con của
¡
,
{ }
= ∈ ¥
n
A u n
và
{ }
= ∈ ∀ ∈ ≤¥¡
n
B M n ,u M
.
Dễ thấy rằng chúng là các tập con không rỗng của
¡
và
∀ ∈ ∈ ≤x A, y B, x y
.
Do tiền đề đầy đủ của
¡
, tồn tại số thực
α ∈
¡
sao cho
∀ ∈ ∈ ≤ α ≤x A, y B, x y
.
Điều này cho thấy
( )
+ = + ≤ αnb b n 1 b

,
với mọi
∈
¥n
, và do đó
≤ α −
nb b
, với mọi
∈
¥n
.
Điều này cho thấy
α − ∈
b B
. Vô lý vì
α − < α
b
. ª
Do dãy
( )
∈¥n
nb
không là dãy bò chận, nghóa là mọi số thực
∈
¡a
đều
không là một chận trên của nó, ta được kết quả quan trọng sau
1.3. Đònh lý Archimède. Cho
>b 0
. Ta có

20
∀ ∈ ∃ ∈ >¥¡a , n ,na b
.
Đặc biệt, bằng cách lấy
= ∈
¡a x
bất kỳ,
= >
b 1 0
và lấy
=
a 1
,
= ε >
b 0

bất kỳ, ta được
1.4. Hệ quả.
i)
∀ ∈ ∃ ∈ >¥¡x , n ,n x
;
ii)
∀ε > ∃ ∈ < ε¥
1
0, n ,
n
.
Ví dụ 2. Dãy số
( )
n

u
, xác đònh bởi
=
1
n
n
u
, là dãy giảm ngặt và là dãy bò
chận, với 0 là một chận dưới và 1 là một chận trên.
Dãy
( )
n
u
, xác đònh bởi
( )
= −
n
n
u 1
, không là dãy đơn điệu nhưng là dãy bò
chận với một chận dưới là
−1
và một chận trên là 1.
2. DÃY HỘI TỤ
2.1. Đònh nghóa. Dãy số
( )
n
u
được gọi là hội tụ khi tồn tại số thực a sao cho
khoảng cách giữa

n
u
và a đủ nhỏ khi số nguyên n đủ lớn.
Chẳng hạn, với dãy số
=
1
n
n
u
, bằng cách dùng đònh lý Archimède, ta
chứng minh được rằng khoảng cách giữa
n
u
và số 0,
− =
1
n
n
u 0
, sẽ đủ nhỏ khi
n đủ lớn. Do vậy,
( )
n
u
là dãy hội tụ.
Chính xác hơn,
( )
n
u
là dãy hội tụ khi

∃ ∈ ∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ − < 
0 0 n
a , 0, n , n n , u a
. (1)
Điều này có nghóa là với mỗi
ε
dương (đủ nhỏ), ta tìm được một số nguyên tự
nhiên
0
n
(có thể thay đổi theo từng
ε
), sao cho với mọi số nguyên n, nếu
≥
0
n n
thì
− < ε
n
u a
. Bấy giờ, ta viết
→+∞
=
n
n
lim u a
hay [
→
n
u a

khi
→ +∞n
]
Ta còn nói rằng dãy
( )
n
u
hội tụ về a và a được gọi là giới hạn của dãy
( )
n
u
.
Xuất phát từ nhận xét rằng
i) Nếu
( )
n
u
là dãy hội tụ với giới hạn
u
thì dãy
( )
n
a
, xác đònh bởi
= −
n n
a u u
, cũng là dãy hội tụ và có giới hạn là
0
.

21
ii) Nếu
( )
n
a
và
( )
n
b
là các dãy hội tụ với cùng giới hạn là
0
thì các dãy
( )
n
u
,
( )
n
v
,
( )
n
w
, xác đònh bởi
= +
n n n
u a b
,
= α
n n

v a
(
α ∈
¡
cố đònh),
= ⋅
n n n
w a b
, cũng là các dãy ho65u tụ về
0
.
iii) Nếu
( )
n
a
là dãy hội tụ về
0
và
≤
n n
b a
, với mọi
∈
¥n
, thì dãy
( )
n
b

cũng hội tụ về

0
.
ta suy ra kết quả sau
2.2. Mệnh đề. Nếu
→+∞
=
n
n
lim u u
và
→+∞
=
n
n
lim v v
thì
i)
( )
→+∞
+ = +
n n
n
lim u v u v
,
ii)
( )
→+∞
α = α
n
n

lim u u
, với mọi
α ∈
¡
,
iii)
( )
→+∞
⋅ = ⋅
n n
n
lim u v u v
.
iv) Hơn nữa, nếu
≠
v 0
và
≠
n
v 0
, với mọi
∈
¥n
, thì
→+∞
=
n
n
n
u

u
lim
v v
.
v) Nếu
≤ ≤
n n n
u v w
, với mọi
∈
¥n
, và
→+∞ →+∞
= =
n n
n n
lim u lim w a
thì
→+∞
=
n
n
lim v a
.
Chứng minh. Đặt
= −
n n
a u u
và
= −

n n
b v v
. Ta được hai dãy
( )
n
a
và
( )
n
b

cùng hội tụ về 0. Ta suy ra
i)
( ) ( )
+ − + = + →
n n n n
u v u v a b 0
và do đó
+ → +
n n
u v u v
.
ii)
α − α = α →
n n
u u a 0
kéo theo
α → α
n
u u

.
iii)
− = + + →
n n n n n n
u v uv a b ub va 0
cho
→
n n
u v uv
.
iv) Do
−
− =
n n n
n n
u ub va
u
v v v v
và với n đủ lớn, ta có thể giả sử
≥
v
n
2
v
, ta suy ra
− ≤ − →
n
n n
2
n

u
u 2
ub va 0
v v
v
.
Từ đó suy ra
→
n
n
u
u
v v
khi
→ +∞n
.
v) Do
22
{ }
− ≤ − − ≤ − + − →
n n n n n
v a max u a , w a u a w a 0
ta suy ra
→
n
v a
khi
→ +∞n
. ª
Áp dụng mệnh đề 2.2, ta nhận được một số dãy hội tụ thường dùng sau

2.3. Đònh lý.
a) Nếu
>p 0
thì
→+∞
=
p
n
1
lim 0
n
.
b) Nếu
>p 0
thì
→+∞
=
n
n
lim p 1
.
c)
→+∞
=
n
n
lim n 1
.
d) Với mọi
α ∈ ¡

và
>p 0
, ta có
( )
α
→+∞
=
+
n
n
n
lim 0
1 p
.
e) Nếu
<x 1
thì
→+∞
=
n
n
lim x 0
.
Chứng minh. a) Với mọi
ε >
0
, ta có
(
)
ε

− = < ε ⇔ > ⇔ >
ε
1/p
p
1
p p
1 1 1
0 n n
n n
.
Do vậy, ứng với mỗi
ε > 0
, ta chọn
∈ ¥
0
n
sao cho
(
)
ε
>
1/p
1
0
n
(hệ quả 1.4,
i)). Khi đó
∀ ≥
0
n n

,
− < ε
p
1
0
n
nên do đònh nghóa,
→+∞
=
p
1
n
n
lim 0
.
b) Khi
=p 1
,
=
n
p 1
với mọi n, và do vậy, hiển nhiên
→+∞
=
n
n
lim p 1
.
Khi
>p 1

, bằng cách đặt
= − ≥
n
n
u p 1 0
, ta có
( )
=
= + = ≥ =
∑
n
n
k k 1
n n n n n n
k 0
p 1 u C u C u nu
.
Do
≤ ≤ →
p
n
n
0 u 0
ta suy ra
→+∞
=
n
n
lim u 0
và do đó

→+∞
=
n
n
lim p 1
.
Khi
< <0 p 1
, bằng cách đặt
= >
1
p
q 1
, ta được
= →
n
1
n
q
p 1
.
c) Đặt
= − ≥
n
n
x n 1 0
. Do
( )
( )
=

−
= + = ≥ =
∑
n
n
k k 2 2 2
n n n n n n
k 0
n n 1
n 1 x C x C x x
2
,
23
với mọi
≥n 2
, ta suy ra
≤ ≤ = →
−
−
n
1/2 1
n
2 1 2
0 x 0
n 1
1
n
khi
→ +∞n
. Từ đó suy ra

→+∞
=
n
n
lim n 1
.
d) Chọn
∈ ¥
0
k
sao cho
> α
0
k
(hệ quả 1.4, i)). Vì
( )
( ) ( ) ( )
=
− − − +
+ = ≥ =
∑
0 0 0
n
n
k k k
0
k k
n n
0
k 0

n n 1 n 2 ... n k 1
1 p C p C p p
k !
,
với mọi
≥
0
n k
, ta suy ra
( )
( ) ( ) ( )
α α
≤ = ≤
− − − +
+
0
0
n
n k
0
k !
n n
0 x
n n 1 n 2 ... n k 1
p
1 p
( ) ( )
−α
−
= →

 
− − −
 
 
0 0
0
0
k k
k 1
1 2
n n n
k !
1 1
0
p n
1 1 ... 1
khi
→ +∞n
. Suy ra
( )
α
→+∞
=
+
n
n
n
lim 0
1 p
.

e) Trường hợp
=
x 0
thì hiển nhiên. Khi
< <0 x 1
, bằng cách chọn
∈ ¡p

sao cho
−
= ⇔ = >
+
1 x
1
x p 0
1 p
x
và dùng d), ta suy ra
( )
 
− = = = = →
 
+
 
+
n
0
n
n n
n

1 n
x 0 x x 0
1 p
1 p
và do đó
→+∞
=
n
n
lim x 0
. ª
Chú ý. a) Khi
( )
n
u
là một dãy hội tụ, giới hạn
∈
¡a
của nó là duy nhất.
Để chứng minh tính chất này (tính duy nhất của giới hạn), ta chứng minh
rằng nếu dãy
( )
n
u
có hai giới hạn thì chúng phải bằng nhau.
b) Nếu
( )
n
u
là một dãy hội tụ với giới hạn

∈
¡a
thì nó là dãy bò chận,
nghóa là tồn tại
>
A 0
sao cho
≤
n
u A
, với mọi
∈
¥n
.
Từ đó, bằng suy luận đảo đề, ta suy ra rằng : Nếu
( )
n
u
là dãy không bò
chận thì nó không là dãy hội tụ. Ta nói
( )
n
u
là một dãy phân kỳ.
24
Chẳng hạn, dãy
( )
n
u
xác đònh bởi

=
2
n
u n
,
∈
¥n
, không là dãy bò chận
do với mọi số thực
∈ ¡A
, hệ quả 1.4, i) khẳng đònh sự tồn tại số nguyên
∈ ¥
0
n
sao cho
>
0
n A
. Khi đó, với mọi
≥
0
n n
, ta có
= ≥ >
2
n
u n n A
.
Từ đó, ta kết luận rằng
( )

n
u
là một dãy phân kỳ. ª
Nhận xét rằng
n
u
lấy giá trò đủ lớn khi giá trò của n đủ lớn. Dãy như vậy
còn được gọi là “hội tụ” về
+∞
. chính xác hơn, ta có đònh nghóa sau
2.4. Đònh nghóa. Ta nói dãy
( )
n
u
tiến về
+∞
khi n tăng ra
+∞
khi
∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ >¥
0 0 n
A 0, n , n n ,u A
.
Bấy giớ, ta viết
→+∞
= +∞
n
n
lim u
hay [

→ +∞
n
u
khi
→ +∞n
]
Dãy
( )
n
u
được gọi là tiến về
−∞
khi n tăng ra
+∞
khi
∀ < ∃ ∈ ∀ ≥ <¥
0 0 n
A 0, n , n n ,u A
.
Ký hiệu
→+∞
= −∞
n
n
lim u
hay [
→ −∞
n
u
khi

→ +∞n
].
2.5. Mệnh đề. Nếu
→+∞
=
n
n
lim u 0
và
≠
n
u 0
,
∀ ∈
¥n
, thì
→+∞
= +∞
n
1
u
n
lim
. Hơn
nữa, nếu
>
n
u 0
,
∀ ∈

¥n
thì
→+∞
= +∞
n
1
u
n
lim
và nếu
<
n
u 0
,
∀ ∈
¥n
thì
→+∞
= −∞
n
1
u
n
lim
. Ngược lại, nếu
→+∞
= +∞
n
n
lim u

thì
→+∞
=
n
1
u
n
lim 0
.
Chứng minh. Với mỗi
>
A 0
, tồn tại
∈ ¥
0
n
sao cho
<
1
n
A
u
và do đó
>
n
1
u
A
, với mọi
≥

0
n n
. Điều này chứng tỏ rằng
→+∞
= +∞
n
1
u
n
lim
.
Ngược lại, nếu
→+∞
= +∞
n
n
lim u
thì ứng với mỗi
ε >
0
, tồn tại
∈ ¥
0
n
sao
cho, với mọi
≥
0
n n
, ta có

ε
>
1
n
u
và do đó
< ε
n
1
u
. Điều này có nghóa là
→+∞
=
n
1
u
n
lim 0
. ª
Ví dụ 3. i) Nếu
<p 0
thì
→+∞
= +∞
p
1
n
n
lim
. Thật vậy, bằng cách đặt

= − >q p 0
, ta có
25