Dai so 11-Chuong I-Luong giac

Đại số 11-Chương I
NHĐ
1

Chương

1








1. Định nghĩa các giá trị lượng giác:

cos
sin
tan
' cot
OP a
OQ a
AT a
BT a





Nhận xét
:

, 1 cos 1; 1 sin 1
a a
      


 tan
a
xác định khi


    
cos 0 ,
2
a a k k Z
,
 cot
a
xác định khi

   
0 ,
sina a k k Z


2.

Hệ thức cơ bản:

sin
2
a
+ cos
2
a
= 1; tan
a
.cot
a
= 1
   
2 2
2 2
1 1
1 tan ; 1 cot
cos sin
a a
a a


3.

Cung liên kết:

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau
cos( ) cos
a a
 

( ) sin
sin a a
 


sin cos
2
a a
 
 
 
 


sin( ) sin
a a
  

cos( ) cos
a a
  


cos sin
2
a a
 
 
 

 


tan( ) tan
a a
  

tan( ) tan
a a
  


tan cot
2
a a
 
 
 
 


cot( ) cot
a a
  

cot( ) cot
a a
  


cot tan
2
a a
 
 
 
 





1.
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
cosin

O

cotang

sin
tang

p
A

M

Q

B

T'

a
T

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Đại số 11-Chương I
NHĐ
2















4.

Công thức cộng:

5. Công thức nhân :

a) Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
a a a a a
     


2
2
2tan cot 1
tan2 ; cot2
2cot
1 tan
a a
a a
a
a


 



b) Công thức hạ bậc:

c) Công thức nhân ba:







6.Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan
2
a
:
Đặt:
tan ( 2 )
2
a
t a k
  
 
thì:
Cung hơn kém


Cung hơn kém
2


sin( ) sin
a a
  


sin cos
2
a a
 
 
 
 


cos( ) cos
a a
  


cos sin
2
a a
 
  
 
 



tan( ) tan
a a
 


tan cot
2
a a
 
  
 
 


cot( ) cot
a a
 


cot tan
2
a a
 
  
 
 


3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
a a a
a a a
a a
a
a
 
 





sin( ) sin .cos sin .cos
a b a b b a
  

sin( ) sin .cos sin .cos
a b a b b a
  

cos( ) cos .cos sin .sin
a b a b a b
  

cos( ) cos .cos sin .sin
a b a b a b
  


tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b

 


tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b

 


Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
x x
x x
x x
   
 
   
   
 
   
 

2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a

a
a
a
a









Đại số 11-Chương I
NHĐ
3


2
2
sin
1
t
a
t


;
2
2

1
cos
1
t
a
t



;
2
2
tan
1
t
a
t




7. Công thức biến đổi :
a) Công thức biến đổi tổng thành tích:

sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
 
 

sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
 
 

cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
 
 

cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
 
  

sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b

 

sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b

 

sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b

 

sin( )
cot cot
sin .
b a
a b
a sinb

 

sin cos 2.sin 2.cos
4 4

a a a a
   
    
   
   
 
sin cos 2sin 2cos
4 4
a a a a
   
     
   
   
 


b) Công thức biến đổi tích thành tổng:

1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b

 
   
 
 
   
 
 
   
 


VẤN ĐỀ 1 : TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Căn thức
 
f x
xác định


0
f x
 

2. Phân thức :


 
g x
f x
xác định



0
f x
 

3. Phân thức và căn thức :


 
g x
f x
xác định


0
f x
 

4. y = sin(f(x)) xác định
( )
f x

xác định.
5. y = cos(f(x)) xác định
( )
f x

xác định.
6. y = tan(f(x)) xác định





  cos 0
f x f x

( )
2
k k Z
  



7. y = cot(f(x)) xác định





    
sin 0 ( )
x f x k k Z
.

Đại số 11-Chương I
NHĐ
4

Baøi 1.

Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:
a/
2
sin
1
x
y
x
 

 

 
b/

cos
y x
c/
tan
6
y x
 
 
 
 


d/



cot
cos 1
x
y
x
e/
1
tan 1
x



VẤN ĐỀ 2 : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1. Nếu hàm số cho có ( hoặc có thể đưa về )
chỉ một trong hai
giá trị lượng giác
sin
hoặc cos
ta áp dụng :




   
   
2 2
1 sin 1; 1 cos 1
0 sin 1; 0 cos 1
0 sin 1; 0 cos 1

f x f x
f x f x
f x f x
     
   
   

2. Nếu hàm số có dạng :


cos sin
  
f x A x B x C
ta làm như sau :

i.
Xác định A, B. Tình
2 2
A B


ii.

 
2 2
2 2 2 2 2 2
cos sin
A B C
f x A B x x
A B A B A B

 
   
 
  
 

(Đặt nhân tử chung)

iii.
Đặt
2 2
2 2
cos
sin
A
A B
B
A B





 







iv.

 
2 2
2 2
cos .cos sin .sin
C
f x A B x x
A B
 
 
   
 

 


 
 
2 2
2 2
2 2
cos
cos
C
A B x
A B
A B x C



 
   
 

 
   

Quay về dạng trước
3. Ta cũng có thể khảo sát hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Baøi 2.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a/ y =
2sin 1
4
x
 
 
 
 

b/
2
1 4cos
3
x
y



c/
2
2sin 2cos 2
y x x
 

d/
2
4sin 4sin 3
y x x
  
e/ y = sinx + cosx f/ y =
3sin2 cos2
x x


i/ y =
sin
5 cos
x
x

j/ y =
sin cos 1
sin cos 3
x x
x x
 
 
k/ y =

cos 2sin 3
2cos sin 4
x x
x x
 
 

Baøi 3.
Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:
a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 c/ y = sinx + cosx
d/ y = tanx + cotx e/ y = sin
4
x f/ y = sinx.cosx
Đại số 11-Chương I
NHĐ
5

g/ y =
sin tan
sin cot
x x
x x


h/ y =
3
3
cos 1
sin
x

x

i/ y =
tan
x




I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1.Phương trình sinx = sin


a)
2
sin sin ( )
2
x k
x k Z
x k

 
  

  

 

  

b)
   
sin . : 1 1.
x a Ñieàu kieän coùnghieäm a



 

 
  

  

arcsin 2
sin ( )
arcsin 2
x a k
x a k Z
x a k

c)
sin sin sin sin( )
u v u v
    

d)
sin cos sin sin
2

u v u v
 
   
 
 


e)
sin cos sin sin
2
u v u v
 
    
 
 



f) Một số công thức thu gọn :

sin 1 2
2
sin 1 2
2
sin 0
x x k
x x k
x x k






   
     
  


2. Phương trình cosx = cos


a/
 

 

 
  

  

2
cos cos ( )
2
x k
x k Z
x k

b/
   

cos . : 1 1.
x a Ñieàu kieäncoùnghieäm a





 
  

  

arccos 2
os ( )
arccos 2
x a k
c x a k Z
x a k

c)
cos cos cos cos( )
u v u v
    


d)
cos sin cos cos
2
u v u v
 

   
 
 


e)
cos sin cos cos
2
u v u v
 
    
 
 



f) Một số công thức thu gọn :

cos 1 2
cos 1 2
cos 0
2
x x k
x x k
x x k

 


  

    
   


2
.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

M'
M
0
π-α
α
a
sin
cos
-α
M'
M
0
α
a
sin
cos
Đại số 11-Chương I
NHĐ
6


3. Phương trình tanx = tan



a)
tan tan ( )
x x k k Z
    
  

b)
tan arctan ( )
x a x a k k Z
    


c)
tan tan tan tan( )
u v u v
    

d)
tan cot tan tan
2
u v u v
 
   
 
 


e)

tan cot tan tan
2
u v u v
 
    
 
 



4. Phương trình cotx = cot


a)
cot cot ( )
x x k k Z
    
  

b)
cot arccot ( )
x a x a k k Z
    



5.Một số điều cần chú ý:
a) Nếu đơn vị là độ thì ta đổi

thành

0
180
. Trong
cùng một công thức nghiệm không
được dùng đồng thời hai đơn vị
.
b) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa
căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
 Phương trình chứa tanx thì điều kiện:
( ).
2
x k k Z
  



 Phương trình chứa cotx thì điều kiện:
( )
x k k Z
 


Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện
( )
2
x k k Z
 


 Phương trình có mẫu số:


sin 0 ( )
x x k k Z
   



cos 0 ( )
2
x x k k Z
    




tan 0 ( )
2
x x k k Z
   



cot 0 ( )
2
x x k k Z
   


c) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong
các cách sau để kiểm tra điều kiện:

1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vô định.

Baøi 4.
Giải các phương trình:
1)
sin 2 1
6
x
 
  
 
 

2)


tan 2 1 3
x  
3)
 
0
3
cot 3 10
3
x  

4)
cos 2 0

6
x
 
 
 
 

5)
cos 4 1
3
x
 
 
 
 

6)
cos 1
5
x
 
  
 
 


i s 11-Chng I
NH
7

7)
sin 3 0
3
x





8)
sin 1
2 4
x





9)
3
sin
2 3 2
x






10)

1
cos 2
6 2
x





11)

0
2
cos 15
2
x
12)




1 2cos3 3 cos 0
x


Baứi 5.
Gii cỏc phng trỡnh:
1)

sin 3 1 sin 2
x x

2)


tan 2 1 cot 0
x x

3)
cos3 sin2
x x


4)
2
cot 1
x

5)
1
cos
2
x

6)
2 2
sin cos

4
x x






7) cos cos 2
3 6
x x





8)
2
1
sin
2
x

9)
sin3 sin 0
4 2
x
x

10)


0
sin 120 cos2 0
x x

11)

2
cos2 cos 1 0
x x
12)

2
cos2 6sin 2 0
x x

Baứi 6.
Tỡm nghim ca phng trỡnh trong cỏc khong ó cho :
1)
1
sin 2 , 0
2
x x

2)

3
cos 5 ,
2
x x



3)


0 0 0
tan 2 15 1, 180 90
x x
4)
1
cot 3 , 0
2
3
x x




II. PHNG TRèNH BC HAI I VI MT HM S LNG GIC

Nu t:
2
sin sin : 0 1.
t x hoaởc t x thỡ ủieu kieọn t



Baứi 7.
Gii cỏc phng trỡnh sau:
1) 2sin
2
x + 5sinx + 1 = 0 2) 4cos
5
x.sinx 4sin
5
x.cosx = sin
2
4x
3)


2
tan 1 3 tan 3 0
x x

4)
3
4cos 3 2 sin2 8cos
x x x


5) tan
2
x + cot
2
x = 2 6) 4sin
2
x 4cosx 1 = 0
7)


2
4sin 2 3 1 sin 3 0
x x

8) cot
2
2x 4cot2x + 3 = 0
Baứi 8.
Gii cỏc phng trỡnh sau:
1) cos2x + 9cosx + 5 = 0 2)
3
cos
x

+ tan
2
x = 9
3) 4cos
2
(2 6x) + 16cos
2
(1 3x) = 13 4) 4sin
2
3x +


2 3 1 cos3 3
x
= 4
5) 9 13cosx +
2
4
1 tan
x

= 0 6)
2
1
sin
x
= cotx + 3
Dng t iu kin
2
sin 0

asin x b x c


t = sinx
1 1
t


2
cos cos 0
a x b x c


t = cosx
1 1
t


2
tan tan 0
a x b x c


t = tanx
( )
2
x k k Z

2
cot cot 0
a x b x c


t = cotx
( )
x k k Z




Đại số 11-Chương I
NHĐ
8

7)
2
1
cos
x
+ 3cot
2
x = 5 8) cos2x – 3cosx =
2
4cos
2
x

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX
DẠNG: a sinx + b cosx = c (1)

1) Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b

ta được:
(1) 
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
 
  

2) Đặt:
 
2 2 2 2
sin , cos 0, 2
a b
a b a b
 
  
 
 
   

phương trình (1) trở thành :
2 2
sin .sin cos .cos
c
x x
a b
 

 


2 2
cos( ) cos (2)
c
x
a b
   

 

3) (2)
2 ( )
x k k Z
    
  

4) Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
2 2 2
2 2
1 .

c
a b c
a b
   


Lưu ý:

Nhận dạng phương trình
:  Phương trình chứa sin, cos
 Góc (cung) của sin, cos là giống nhau,
 Số mũ của sin , cos là 1
 Trước khi giải phương trình ta
kiểm tra điều kiện có nghiệm

 
2 2 2
a b c
(tổng bình
phương hệ số của sin và cos

hệ số tự do bình phương).
Ví dụ :
Giải phương trình
sinx – 6cosx = 1 (1)

Giải

 
sinx – 6cosx 6

1 6 6
sinx – cos
37 37 37
x

 
 







 








  

 





   






 

 

 




   


 


 



 


 

 
1
sin
6
37
(*) 1 sin sinx+cos cos
6
37
cos
37
6
cos
37
6
arcsin 2
37
,
6
arcsin 2
37
Cho x
x
x k
k Z
x k


Đại số 11-Chương I
NHĐ
9

Nhận xét :
 Để ý ở (*)
 
      
   
6 6 6
cos cos cos
37 37 37
khi đó
 
   
 
   

   

 
   



  


 


 
  

   
   
  
 
6
1 sin sinx+cos cos
37
cos cos
2
,
2
2 2
2
x
x
x k
k Z
x k
x k
x k

Ví dụ :
Giải phương trình


 
cos 3sin 2 2
x x

Giải

 
1 3 2
2 cos sin (**)
2 2 2
2
cos cos sin sin
3 3 2
2
cos cos
3 2 4
2
3 4
,
2
3 4
2
12
,
7
2
12
x x
x x
x
x k
k Z
x k
x k
k Z
x k

 
 
 

 





  
  
 


   





 


  

 


  





 

 


 



Nhận xét:
 Nếu ở bước (**) ta đưa về phương trình theo sin nên lưu ý dấu
 
1 3 2
2 cos sin (**)
2 2 2
2
sin cos cos sin
6 6 2
2
cos sin sin cos
6 6 2
2
sin
6 2
x x
x x

x x
x
 
 

  
  
   
 


  





 

 Ở bước (**) ta còn có thể biến đổi như sau :
 
1 3 2
2 cos sin (**)
2 2 2
5 5 2
sin cos cos sin
6 6 2
5 2
sin
6 2

x x
x x
x
 

  
  
 


  





 

 
1 3 2
2 cos sin (**)
2 2 2
2
cos cos sin sin
3 3 2
2
cos
3 2
x x
x x

x
 

  
   
 
 
     
 
 
 
 
 
   
 


  





 

Đại số 11-Chương I
NHĐ
10

Baøi 9.

Giải các phương trình sau:
1)
cos 3sin 2
x x 
2)
6
sin cos
2
x x 
3)
3 cos3 sin3 2
x x 

4) 3sinx – 2cosx = 2 5) 3sinx + 2cosx = 2 6) 3sin6x -4cos6x = 5
Baøi 10.
Giải các phương trình sau:
1)
3sin2 sin 2 1
2
x x
 
  
 
 

2) cosx –
3sin 2cos
3
x x
 

 
 
 


3)
3 cos2 sin2 2sin 2 2 2
6
x x x
 
   
 
 

4)
2
4 2 1 0
x x
  
sin cos

5)
2
2 2 1 0
x x
   
sin cos
6)
2
2sin 3 sin2 3

x x
 

Baøi 11.
Giải các phương trình sau:
1)
2sin2 3cos2 13sin14
x x x
 

2) (3cosx – 4sinx – 6)
2
+ 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)
Baøi 12.
Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm .
Baøi 13.
Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm.

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
DẠNG: a sin
2
x
+ b sin
x
.cos
x
+ c cos
2
x
= d (1)

 Cách 1:
 Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?
Lưu ý
: cosx = 0
x k x


2
sin 1
2
    

 Khi
cos 0
x

, chia hai vế phương trình (1) cho
2
cos 0
x

ta được:

2 2
.tan .tan (1 tan )
a x b x c d x
   

 Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t :

2
( ) . 0
a d t b t c d
    

 Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

1 cos2 sin2 1 cos2
(1) . . .
2 2 2
x x x
a b c d
 
   

.sin2 ( ).cos2 2
b x c a x d a c
     
(đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x )


Baøi 14.
Giải các phương trình sau:
1)
2 2
3sin 8sin .cos 4cos 0
x x x x
  

2) 2cos
2
x – 3sinx.cosx + sin
2
x = 0
3)
x x x x
2 2
5sin 2 3sin .cos 3cos 5
  

4)
2 2
1
sin sin2 2cos
2
x x x
  

5)
2 2
4sin 3 3sin .cos 2cos 4
x x x x
  

6)
4 2 2 4
3cos 4sin cos sin 0
x x x x
  

Đại số 11-Chương I
NHĐ
11

V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
a.(sinx  cosx) + b.sinx.cosx + c = 0

 Đặt:
cos sin 2.cos ; 2.
4
t x x x t
 
   
 
 




2 2
1
1 2sin .cos sin .cos ( 1).
2
t x x x x t
      

 Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình
này tìm t thỏa

2.
t 
Suy ra x.

Lưu ý dấu :

cos sin 2 cos 2 sin
4 4
x x x x
   
    
   
   
 


cos sin 2 cos 2 sin
4 4
x x x x
   
     
   
   
 


Baøi 15.
Giải các phương trình:
1) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 2)



2 cos sin 3sin2 2
x x x
  

3)


3 sin cos 2sin2 3
x x x
   
4)


sin2 4 cos sin 4
x x x
  

5)
 
2sin2 3 3 sin cos 8 0
x x x
   
6)


3 sin cos 2sin2 3
x x x
   

7) sin2x +
2 sin 1
4
x
 
 
 
 

8)
cos sin sin
x x x
  
2 2
3 2 1


VI. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC

Baøi 16.
Giải các phương trình sau:
1) sin
2
x = sin
2
3x 2) sin
2
x + sin
2
2x + sin

2
3x =
3
2

3) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x = 1 4) cos
4
x + 2sin
6
x = cos2x
5)

sin cos sinx x x

 



  






 
2 2
21
4 6 10
2

6)

sin sin sin sin
x x x x
  
2 2 2 2
3 4 5 6

7)

sin sin sin
 
2 2 2
2 4 6
x x x

8) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2

4x = 2
Baøi 17.
Giải các phương trình sau:
1) sin
6
x + cos
6
x =
1
4
2) sin
8
x + cos
8
x =
1
8

3) sin
3
x + cos
3
x = cos2x 4)

sin cos sinx x x
   
4 4
3
2 2 0
2

5)
sin cos sin cos
x x x x
  
3 3
1
6)
sin cos cosx x x
  
8 8
1
4 0
8

Baøi 18.
Giải các phương trình sau:
1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0
Đại số 11-Chương I
NHĐ
12
3) sin2x = 1 +
2
cosx + cos2x
4) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0
5) sin7x + cos
2
2x = sin
2
2x + sinx

6) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x
7)





cos cos cos sinx x x x
   
2
1 2 2 2 0

8)
sin cos sin
x x x cox x
   
9 6 3 2 2 8

9)


cos sin cos cos sin cos sin
x x x x x x x
   
2 2
2 2 2
10)
sin tan cos cot sin tan cot
    
x x x x x x x

2 2
2 1

11)

sin cos cos sin x x x x
3 3
2
8

Baøi 19.
Giải các phương trình sau:
1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sinx + sin2x + sin3x = 0
Baøi 20.
Giải các phương trình sau:
1)

sin .sin7 sin3 .sin5
x x x x

2)

sin5 .cos3 sin9 .cos7
x x x x

3) cosxcos3x – sin2xsin6x – sin4xsin6x =0
Baøi 21.
Giải các phương trình sau:
1)

cos sin
cos cos



x x
x x
1 2 2
1 2

2)
cos sin sin
 
x x x
1 1 2
2

3)
cot
sin
 
x
x
2
4
1
3

4)
sin sin sin

   
x x x
2
2 2 2 1

5)


cos sin cos
sin
  


x x x
x
2
2 3 2 2 1
1
1 2

6)
cos sin
cos sin
   x x
x x
1 1 10
3

7)
cos sin sin cos

  
x x x x
1 1 1
1

8)
sin cos sin
  
x x x
1 2

9)
sin cos sin cos
   
x x x x
2

10)
sin cos cos sin
   
x x x x
2 2
3 5 2 2 4 2 0

11)


sin cos cos    x x x
2
3 2 2 2 2 3 1 4 3

12) cos cos

 



  





 
x x
3 2 2
4