ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN 2010 - 2011 TỈNH CAO BẰNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
CAO BẰNG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao ñề)
ðỀ BÀI
(ðề gồm 01 trang)

Câu I (5 ñiểm) : Cho hàm số
2
12
+
+
=
x
x
y
có ñồ thị
)(H

a) Chứng minh rằng ñường thẳng
m
x
y
+
−
=
luôn cắt ñồ thị
)(
H

tại hai ñiểm phân biệt
,
A .B
Tìm
m ñể khoảng cách
AB
ngắn nhất.
b) Tìm
t
ñể phương trình
t
u
u
=
+
+
2
sin
1sin2
(ẩn là
u
) có nghiệm trên [0; π].
Câu II (4 ñiểm) :
a) Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của hàm số
)2)(2(22 xxxxy +−−++−=
b) Cho tam giác
ABC
có các góc
CBA
,,

thỏa mãn
0
2
5
2cos32cos32cos =+++ CBA
. Xác
ñịnh các góc
.,,
CBA

Câu III (3 ñiểm) : Cho hệ phương trình





+=+
=−+−−+
yxxy
yxkyx
1
1)1(1
22
(
k
là tham số)
a) Giải hệ phương trình khi
0
=
k

b) Tìm
k
ñể hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Câu IV (2 ñiểm) : Cho hình chóp
ABCDS
.
có ñáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi
,
M N
lần lượt là trung
ñiểm của các cạnh
,
SA
.
SD
Mặt phẳng
)(
α
chứa
MN
cắt các cạnh
,
SB SC
lần lượt tại
,
Q

.
P
ðặt
x
SB
SQ
=
, tìm
x
ñể
8
3
.
.
=
ABCDS
MNPQS
V
V
.
Câu V (4 ñiểm) : Cho lăng trụ tam giác
,,,
. CBAABC
có
ñộ
dài c
ạ
nh bên b
ằ

ng
,2a
ñ
áy
ABC
là tam giác
vuông t
ạ
i
,
A
3, aACaAB ==
và hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
ñỉ
nh
,
A
trên m
ặ
t ph
ẳ
ng
)(ABC
là trung
ñ
i

ể
m c
ủ
a c
ạ
nh
.BC
Tính theo
a
th
ể
tích kh
ố
i chóp
ABCA
.
,
và tính
cosin
c
ủ
a góc gi
ữ
a hai
ñườ
ng th
ẳ
ng
,
AA

và
,,
CB
.

Câu VI

(2 ñiểm)

:
Cho dãy s
ố

)(
n
u
xác
ñị
nh nh
ư
sau:





≥+=
=
+
1,

2010
1
2
1
1
nu
u
u
u
n
n
n
. Tính








+++
+
+∞→
13
2
2
1
lim
n

n
n
u
u
u
u
u
u
.

Hết

Họ và tên thí sinh:………………………………………… Số báo danh:……………………
H
ọ tên, chữ kí của giám thị 1:………………………………………………………………….
ð
ề chính thức