Tài liệu Đề thi HSG môn Toán lớp 8, năm học 2010-2011

UBND THÀNH PHỐ CAO LÃNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 8
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Năm học: 2010 – 2011
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 16/01/2011.
Chú ý: - Đề thi này gồm 01 trang.
- Học sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi khi làm bài.
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Câu 1. (3 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
6
– x
4
– 2x
3
+ 2x
2
.
b) x
k+3
– x
k
+ x – 1 .
Câu 2. (3 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau là số nguyên:
3
146
3
+
++
=
x

xx
A
Câu 3. (3 điểm) Tìm x, biết:
a)
.)45()45(
20102011
−=−
xx
b)
⋅
++
=
++
++++
351
777
91
999
3212212 xxxxxx
Câu 4. (3 điểm)
a) Cho hai đa thức: P(x) = x
2
+ 2mx + m
2
và Q(x) = x
2
+ (2m + 1)x + m
2

với

Rm
∈
. Tìm m khi P(1) = Q(-1).
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
203610
24
+−=
xxB
.
Câu 5. (4điểm)
Cho hình bình hành ABCD có BD = 3AD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB và CD. Trên BD lấy hai điểm E và F sao cho BE = EF = FD.
a/ Chứng minh rằng MENF là hình chữ nhật.
b/ Hình bình hành ABCD phải có thêm điều kiện gì để MENF là hình vuông?
Câu 6. (4 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A < 120
o
. Dựng ngoài tam giác ấy các tam giác đều
ABD và ACE.
a) Chứng minh rằng BE = CD.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. Tính góc BIC ?
– Hết –
Đề chính thức
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 8, NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn: Toán
(Hướng dẫn chấm gồm có: 03 trang)
Chú ý: Thí sinh có cách giải khác nhưng đảm bảo đúng kết quả vẫn được hưởng điểm tối đa.
Câu Lời giải Điểm
1

(3đ)
a) x
6
– x
4
– 2x
3
+ 2x
2
= x
2
(x
4
– x
2
– 2x + 2) = x
2
[(x
4
– 2x
2
+ 1) + (x
2
– 2x + 1)]
= x
2
[(x
2
– 1)
2

+ (x – 1)
2
]
= x
2
(x – 1)
2
[(x+1)
2
+ 1]
= x
2
(x – 1)
2
(x
2
+ 2x + 2)
b) x
k+3
– x
k
+ x – 1 = x
k
(x
3
– 1) + (x – 1)
= x
k
(x – 1) (x
2

+ x + 1) + (x – 1)
= (x – 1)[x
k
(x
2
+ x + 1) + 1]
= (x – 1)(x
k+2
+ x
k+1
+ x
k
+ 1)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
2
(3đ)
Ta có:
3
31
153
3
146
2
3
+

−+−=
+
++
=
x
xx
x
xx
A
Nếu tồn tại giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức A là số nguyên
thì x
2
– 3x +15 có giá trị nguyên và
3
31
+
x
cũng có giá trị nguyên.
Khi đó: x + 3 là ước của 31.
Tập hợp các ước của 31 là:
{ }
31;31;1;1
−−
- Nếu x + 3 = – 1 thì x = – 4.
- Nếu x + 3 = 1 thì x = – 2.
- Nếu x + 3 = – 31 thì x = – 34.
- Nếu x + 3 = 31 thì x = 28.
Vậy với x = – 4; x = – 2; x = – 34; x = 28 thì giá trị của biểu thức A là
số nguyên.
0,5đ

0,5đ
0,5đ
1đ
0,5đ
3
(3đ)
a)
20102011
)45()45(
−=−
xx

⇔
(5x – 4)
2011
– (5x – 4)
2010
= 0

⇔
(5x – 4)
2010
(5x – 5) = 0

⇔
5x – 4 = 0 hoặc 5x – 5 = 0

⇔
x =
5

4
hoặc x = 1.
b)
351
777
91
999
3212212
++++
++
=
++
xxxxxx

⇔
351
)771(7
91
)199(9
322
++
=
++
xx

⇔
9
x
= 49
x

⇔

1
49
9
=






x


⇔
0
49
9
49
9






=







x
⇔
x = 0.
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
4
(3đ)
a) Khi: P(1) = Q(-1); ta được:
1 + 2m + m
2
= 1 – 2m – 1 + m
2

2m + 2m = – 1
4m = – 1
⇒
m = -
1
4

0,5đ
0,5đ
0,5đ
b)
203610
24
+−=
xxB

( )
( )
201120115
2011251020112510
2
2
2424
≥+−=
++−=++−=
x
xxxx
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 2011.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
5
(4đ)
2
2
1
1

N
M
C
B
E
F
A
D
a/
∆
BME =
∆
DFN (c.g.c)
⇒
ME = NF và
11
ˆˆ
FE
=

⇒

22
ˆˆ
FE
=
nên ME // NF
Vậy tứ giác MENF là hình bình hành.
Ta lại có: Tứ giác AMND là hình bình hành
⇒

AD = MN
Mà BD = 3AD nên BD = 3 MN
Mặt khác BD = 3 EF nên MN = EF
Vậy MENF là hình chữ nhật
b/ Hình chữ nhật MENF là hình vuông
⇔
MN
⊥
EF
⇔
MN
⊥
BD
⇔
AD
⊥
BD (vì MN // AD)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,75đ
0,5đ
0,5đ
6
(4đ)


K

a) Hai tam giác ADC và ABE có:
AD = AB (vì ∆ ABD đều).
DÂC = BÂE (= 60
o
+ BÂC)
AC =AE (vì ∆ ACE đều )
Vậy ∆ ADC = ∆ ABE (c-g-c). Suy ra CD = BE.
b/ Từ ∆ ADC = ∆ ABE ta có:
EBACDA
ˆˆ
=
.
Gọi K là giao điểm của AB và CD.
Xét hai tam giác AKD và IKB, Chúng có hai góc bằng nhau từng đôi một:
BKIDKA
ˆˆ
=
(đối đỉnh)
KBIKDA
ˆˆ
=
(Vì
EBACDA
ˆˆ
=
).
Vậy hai góc còn lại của hai tam giác ấy bằng nhau:
BIKDAK

ˆ
ˆ
=

Mà
DAK
ˆ
= 60
o
Vậy
BIK
ˆ
= 60
O
. Ta suy ra
CIB
ˆ
=
BIK
ˆ
180
0
−
= 120
o

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
- Hết -
B
C
E
A
D
I