BAI TAP DAY SO - HAM SO 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (351.91 KB, 12 trang )
Dãy số THPT TANH LINH_0972972977
Vấn đề 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.C là hằng số
limC C⇒ =
.
2.
{ }
1
lim lim 0 ( 1;2;3; )
k
k
n k Z
n
+
= +∞ = ∀ ∈ =
.
3.
lim 0, : 1 lim , : 1
n n
q q q q q q= ∀ < = +∞ ∀ >
.
4.Nếu
lim ;lim
n n
u a v b= =
thì;
a)
( ) ( )
lim lim . .
n n n n
u v a b u v a b± = ± =
b)
0, 0 lim
n
n
n
u
a
v b
v b
≠ ≠ ⇒ =
c)
0 0,lim
n n
u a u a≥ ⇒ ≥ =
.
5.
lim
) lim 0;
lim
n
n
n
n
u a
u
a
v
v
=
⇒ =
= ±∞
lim 0
)lim 0 lim ;
0; *
n
n
n
n
n
u a
u
b v
v
v n N
= >
= ⇒ = +∞
> ∀ ∈
lim
) lim . .
lim 0
n
n n
n
u
c u v
v a
= +∞
⇒ = +∞
= >
6.a) Dãy
( )
n
u
là một cấp số nhân lùi vơ hạn
( )
n
u⇔
là 1 CSN vơ hạn có cơng bội q :
1q <
.
b) Khi đó, tổng:
1
1 2 3
1
n
u
S u u u u
q
= + + + + + =
−
.
Chú ý :
lim
n
n
u a
→+∞
=
thì ta có thể viết limu
n
=a
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính các giới hạn sau (đặt nhân tử chung hoặc chia cho số mũ cao nhất)
1.
nn
nn
2
126
lim
3
3
−
+−
2.
nn
nn
+
+−
2
2
5
21
lim
3.
75
3342
lim
3
23
+−
++−
nn
nnn
4.
( )
+
−
+
2
1
2lim
n
n
5.
53
22
lim
4
2
+
++−
n
nn
6.
73
54
lim
23
2
++
−+
nn
nn
7.
964
2
lim
23
45
++
−−+
nn
nnn
8.
5
237
lim
2
2
+
+−
n
nn
9.
nn
nn
−
−+
2
3
2
123
lim
10.
+
−
+
+
15
51
32
2
lim
2
2
3
n
n
n
n
11.
nnn
nn
3
1173
lim
45
35
−+
−+−
12.
56
2
5
32
lim
nn
n
+
−
13.
( ) ( )
( )
( )
1543
7432
lim
2
2
32
+−
+−
nn
nn
14.
( )
( )
( )
( )
112
3513
lim
3
2
+−
++
nn
nn
15.
( ) ( )
( )
4
22
12
271
lim
+
+−
n
nn
16.
2
2
31
2
lim
n
nn
−
−
17.
1
1
lim
+
+
n
n
18.
2
lim
3 3
+
+
n
nn
Đại số 11 Trang 1 Hồ Văn Hoài Phương
Dãy số THPT TANH LINH_0972972977
19.
32
232
lim
2
4
+−
−+
nn
nn
20.
12
857
lim
3 36
+
+−−
n
nnn
21.
12
lim
4
3
+
++
n
nnn
22.
nnn
nn
−+
++
4 3
2
1
lim
23.
23
11
lim
2
+
+−+
n
nn
24.
( )
1173lim
3
+− nn
25.
22lim
24
++− nnn
26.
12
21
lim
2
+
−+
n
nn
27.
23
11
lim
2
+
+−+
n
nn
Bài 2: Tính giới hạn các dãy sau ( Bằng cách nhân lượng liên hợp )
1.
( )
1213lim −−− nn
2.
( )
nnn −+1lim
3.
(
)
nnn −++ 1lim
2
4.
( )
12lim
2
+−++ nnn
5.
( )
53lim
−−+
nn
6.
(
)
nnn −+− 3lim
2
7.
(
)
1lim
22
+− nnn
8.
12
1
lim
+−+
nn
9.
( )
132lim +−+ nn
10.
(
)
nnn −+1lim
2
11.
(
)
nnn −+ 5lim
2
12.
(
)
nnn ++− 3lim
2
13.
(
)
3 3
1lim nn −+
14.
( )
nna −+lim
15.
( ) ( )
−−+
3
2
3
2
11lim nn
16.
(
)
nnn +−
3 32
lim
17.
(
)
11lim
333
−−+ nnn
18.
−++
nnnnlim
19.
(
)
3
322
32lim nnnn −−++
Bài 3: Tính giới hạn của các dãy số sau
2
12
lim/1
+
+
n
n
4
13
lim/2
2
2
+
+
n
n
23
15
lim/3
+
−
n
n
nnn
nn
−+
++
2
2
2
32
lim/4
1
32
lim/5
2
++
+
nn
nn
)3)(23(
)12)(1(
lim/6
++
−+
nn
nn
13
2
lim/7
2
2
++
+
nn
nn
13
2
lim/8
24
3
++ nn
n
)2)(1(
)3)(2(
lim/9
++
+
nn
nnn
Bài 4 : Tính giới hạn của các dãy số sau
1
12
lim/1
2
2
+
−
n
n
2
52
lim/2
2
+−
+
nn
n
23
2
lim/3
2
3
−+
−
nn
nn
(
)
nnn +−
3
32
lim/4
23
12
lim/5
3
2
−
++
n
nn
(
)
nnn −−
3
23
2lim/6
Bài 5 : Tính giới hạn của các dãy số sau
nn
n
32
1
lim/1
2
2
−
+
4
32
)1(
)2()1(
lim/2
−
++
nn
nn
(
)
1lim/3
22
+−+ nnn
3
32
3lim(/4 nnn −+
)
2
1112
lim/5
2
3
−
+−
n
nn
42
1
lim/6
22
+−+ nn
Đại số 11 Trang 2 Hồ Văn Hoài Phương
Dãy số THPT TANH LINH_0972972977
Bài 6: Tính các giới hạn sau :
2 2 3 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
3 2
1. (2 3 1) 2. ( 3) 3. (3 5) 4.
2 3
3 2 5 7 4 1 1
5. 6. 7. 8.
2 3 3 6 2 2
5 3 1 (2 1)( 2) 5 5 1 ( )(
9. 10. 11. 12.
7 4 3 2 3 1 (5 2)( 4)
n
lim n n lim n n l im n n n lim
n
n n n n n
lim lim lim lim
n n n n n n
n n n n n n n n
lim lim lim lim
n n n n n n
+
+ − − − + − + +
+
− − − − +
+ − + −
+ + − + + − +
+ − − + + −
3
2 1)
3 1
n
n n
−
+ −
33 3 2 2
2 2 2
2 2 2 3
2
3
3
2 1 2 3 5 1 1 3 2
13. 14. 15. 16.
3 7 6 9 2 3 1
3 4 1 2 3 1 2 3
17. 18. 19.
3 3 2 2.3 5.2
27 3
3.5 2.3 7.5 2.7 7
20. 21. 22.
5 5.3 5 5.7
n n
n n
n n n n
n n n n
n n n n n n n n n
lim lim lim lim
n n n n n n n
n n n n n
lim lim lim
n n
n n
lim lim lim
+ + + + + − − +
+ + + + + − +
+ − + + + − +
− + +
− +
− −
+ −
1 1
1 2 1 2
1 1 1 1 1
1 2
1 1
.3 2.6 ( 2) 5
23.
5.3 5.6 3 5
4.3 7 ( 3) 5 2 3 4 ( 3) 5
24. 25. 26. 27.
2.5 7 ( 3) 5 1 2 3 4 3 5
5 7 1
28. 29. ( 2 1) 30. ( 3 5
3 7 3.2
n n n n
n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n n n
n n
n n n
lim
lim lim li m lim
lim lim n n lim n n
+ +
+ + +
+ + + + +
+ +
+ +
+ − −
− +
+ − − + − − +
+ − + + + + +
+ +
+ − + + −
+ +
2 2
2
2 2
2 2
3
3 2
2 2
3 3
3 3
3 3 2
2 2
1)
2 1 3
31. ( 2 1 1) 32. 33.
1
2 3 2 1
34. 35. 36. ( 8 3 1 1 2 )
1 2 2
2 2 3 1
37. ( 27 1 2 ) 38. 39.
1 1
n n n n n n
lim n n n lim l im
n n n n n
n n n n n n
lim lim lim n n n
n n n n
n n n n n
lim n n n lim lim
n n n n
−
+ − − + − +
+ − − +
+ − + −
− + − − + +
+ − + −
+ − + −
− + + − +
− − −
+ − − −
Bài 7*: Tính các giới hạn sau :
2 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1 1 1
1.lim( ) 2.lim( )
1.3 2.4 ( 2) 1.3 3.5 (2 1)(2 1)
1 1 1
3.lim(1 )(1 ) (1 ) 4.lim(1 2 3 )
2 3
5.lim(3 9 27 3 ) 6.lim(1 2 3 )
7.lim(1 3 5 (2 1)) 8.lim(2 5 8 (3 1))
9.l
n
n n n n
n
n
n
n n
+ + + + + +
+ − +
− − − + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + − + + + + −
2 2 2 2
2 2 2 2
im(1 3 5 (2 1) ) 10.lim(1.2 2.5 3.8 (3 1))
1 1 1
11.lim( ) 12.lim(1 2 3 )
1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2)
( 1)
13.lim(1 3 6 10 )
2
n n n
n
n n n
n n
+ + + + − + + + + −
+ + + + + + +
+ +
+
+ + + + +
Bài 8*: Tính các giới hạn sau
1.
2
21
lim
n
n+++
2.
23
2 42
lim
2
−+
+++
nn
nn
3.
23
21
lim
3
222
++
+++
nn
n
Đại số 11 Trang 3 Hồ Văn Hoài Phương
Dãy số THPT TANH LINH_0972972977
4.
23
21
lim
34
333
+++
+++
nnn
n
5.
211
21
lim
2
333
++
+++
nn
n
( )
4
1
21
2
2
333
+
=+++
nn
n
6.
12
)12( 31.
lim
2
++
−+++
nn
nn
7.
n
n
++
++
++
++
5
1
5
1
5
1
1
3
2
3
2
3
2
1
lim
2
2
8.
+
+++
)1(
1
3.2
1
2.1
1
lim
nn
9.
+
+++
)22(2
1
6.4
1
4.2
1
lim
nn
Vấn đề 2: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.a) C là hằng số
0
lim
x x
C C
→
⇒ =
b)
0
0
lim
x x
x x
→
=
2.a)
lim ;
k
x
x k Z
+
→+∞
= +∞ ∈
b)
lim
k
x
x
→−∞
= +∞
,
∀
k là số lẻ
lim
k
x
x
→−∞
= −∞
,
∀
k là số chẵn.
3.Giới hạn một bên:
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
⇔
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
+ −
→ →
= =
.
4.Nếu
( ) ( )
0 0
lim ;lim
x x x x
f x a g x b
→ →
= =
thì
a)
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim . .
x x
f x g x a b f x g x a b
→∞ →∞
± = ± =
b)
( )
( )
( )
0, 0 lim
x
f x
a
g x b
g x b
→∞
≠ ≠ ⇒ =
c)
( ) ( )
0 0,lim
x
f x a f x a
→∞
≥ ⇒ ≥ =
.
* Chú ý : 4. Vẫn đúng khi
;x x→ −∞ → +∞
…
5.Giới hạn vơ cực:
a) Giới hạn của tích f(x).g(x) b) Giới hạn của thương
f(x)
g(x)
6. Các dạng vô đònh:
Khi tìm giới hạn của hàm số, ta có thể gặp một số trường hợp sau đây. Ta cần tìm:
1/
)(
)(
lim
)(
0
xv
xu
x
xx
∞→
→
mà
0)(lim)(lim
)()(
00
==
∞→
→
∞→
→
xvxu
x
xx
x
xx
.
2/
)(
)(
lim
)(
0
xv
xu
x
xx
∞→
→
mà
∞==
∞→
→
∞→
→
)(lim)(lim
)()(
00
xvxu
x
xx
x
xx
.
3/
[ ]
)().(lim
)(
0
xvxu
x
xx
∞→
→
mà
0)(lim
)(
0
=
∞→
→
xu
x
xx
và
∞=
∞→
→
)(lim
)(
0
xv
x
xx
.
4/
[ ]
)()(lim
)(
0
xvxu
x
xx
−
∞→
→
mà
+∞==
∞→
→
∞→
→
)(lim)(lim
)()(
00
xvxu
x
xx
x
xx
hoặc
−∞==
∞→
→
∞→
→
)(lim)(lim
)()(
00
xvxu
x
xx
x
xx
.
Đại số 11 Trang 4 Hồ Văn Hoài Phương
0
lim ( )
x x
f x
→
0
lim ( )
x x
g x
→
Dấu của g(x)
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→
a
±∞
tùy ý 0
a > 0 0 + +
∞
- -
∞
a < 0 + -
∞
- +
∞
0
lim ( )
x x
f x
→
0
lim ( )
x x
g x
→
[ ]
0
lim ( ). ( )
x x
f x g x
→
a > 0
+
∞
+
∞
-
∞
-
∞
a < 0
+
∞
-
∞
-
∞
+
∞
Dãy số THPT TANH LINH_0972972977
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính các giới hạn: (thay giá trị vào )
1)
2
3
lim
3
2
1
+
−
−→
x
x
x
2)
5
3
72
34
lim
+
−
→
x
x
x
3)
3
2
4
2
2
232
lim
+−
++
−→
xx
xx
x
4)
6
lim
3
2
3
−−
→
xx
x
x
5)
72
15
lim
1
+
−
→
x
x
x
6)
622
35
lim
23
2
2
+++
++
−→
xxx
xx
x
Bài 2: Tính các giới hạn (Phân tích thành nhân tử)
1.
253
103
lim
2
2
2
−−
−+
→
xx
xx
x
2.
ax
ax
nn
ax
−
−
→
lim
3.
2
1
)(
)(
lim
ax
axnaax
nnn
ax
−
−−−
−
→
4.
2
1
)1(
1
lim
−
−+−
→
x
nnxx
n
x
5.
−
−
−
→
3
1
1
3
1
1
lim
x
x
x
6.
−
−
−
→
x
x
n
n
x
1
1
1
lim
1
7.
( )
h
xhx
h
3
3
0
lim
−+
→
8.
x
x
x
−
−
→
1
1
lim
1
9.
3
152
lim
2
3
−
−+
→
x
xx
x
10.
5
152
lim
2
5
+
−+
−→
x
xx
x
11.
6)5(
1
lim
3
1
−+
−
→
xx
x
x
12.
6
293
lim
3
23
2
−−
−−+
→
xx
xxx
x
13.
xx
xx
x
4
43
lim
2
2
4
+
−+
−→
14.
2012
65
lim
2
2
4
+−
+−
−→
xx
xx
x
15.
6
23
lim
2
23
2
−−
++
−→
xx
xxx
x
16.
32
1
lim
2
4
1
−+
−
→
xx
x
x
17.
6
44
lim
2
23
2
−−
++
−→
xx
xxx
x
Bài 3: Tính các giới hạn (Nhân lượng liên hợp có một căn bậc hai )
1.
.
2
35
lim
2
2
−
−+
→
x
x
x
2.
7
29
lim
4
7
−
−+
→
x
x
x
3.
x
x
x
−
−
→
5
5
lim
5
4.
2
153
lim
2
−
−−
→
x
x
x
5.
11
lim
0
−+
→
x
x
x
6.
xx
x
x
336
1
lim
2
1
++
+
−→
7.
x
xx
x
11
lim
2
0
−++
→
8.
25
34
lim
2
5
−
−+
→
x
x
x
9.
( )
x
xxx
x
+−+−
→
121
lim
2
0
10.
4102
3
lim
3
−+
−
→
x
x
x
11.
1
23
lim
3
1
−
−−
→
x
xx
x
12.
x
x
n
x
11
lim
0
−+
→
(n
∈N, n ≥ 2
13.
6
22
lim
6
−
−−
→
x
x
x
14.
23
2423
lim
2
2
1
+−
−−−−
→
xx
xxx
x
15.
1
132
lim
2
1
−
+−
→
x
xx
x
16.
2
583
lim
3
2
−
+−
→
x
xx
x
17.
32
1
lim
2
1
−+
−
→
xx
x
x
Bài 4: Tính các giới hạn (Nhân lượng liên hợp có hai căn bậc hai )
1.
x
xx
x
−−+
→
55
lim
0
2.
x
xx
x
−−+
→
11
lim
0
3.
1
12
lim
1
−
−−
→
x
xx
x
4.
x
axa
x
−+
→0
lim
(a >
0)
5.
x
xxx
x
11
lim
2
0
++−+
→
6.
23
2423
lim
2
2
1
+−
−−−−
→
xx
xxx
x
7.
23
2423
lim
2
3 2
3
1
+−
−−−−
→
xx
xxx
x
Đại số 11 Trang 5 Hồ Văn Hoài Phương
Dãy số THPT TANH LINH_0972972977
8.
x
axa
x
33
0
lim
−+
→
9.
1
12
lim
2
3 2
3
1
−
+−+−
→
x
xxx
x
10.
x
xxx
x
+−+−
→
131
lim
2
0
Bài 5: Tính các giới hạn (Nhân lượng liên hợp có căn bậc ba)
a)
x
x
x
141
lim
3
0
−+
→
b)
2
24
lim
3
2
−
−
→
x
x
x
c)
x
x
x
3
11
lim
3
0
+−
→
d)
11
lim
3
0
−+
→
x
x
x
e)
3 3
x 0
1 x 1 x
lim
x
→
+ − −
f)
3 2
3
2
x 1
x 2 x x 1
lim
x 1
→
− + − +
−
Bài 6: Tính các giới hạn (Nhân lượng liên hợp cả tử và mẫu )
1.
x
x
x
−−
+−
→
51
53
lim
4
2.
314
2
lim
2
−+
+−
→
x
xx
x
3.
1
lim
2
1
−
−
→
x
xx
x
4.
23
1
lim
2
3
1
−+
+
−→
x
x
x
5.
1
1
lim
4
3
1
−
−
→
x
x
x
6.
39
24
lim
2
2
0
−−
−−
→
x
x
x
7.
3
527
lim
9
−
−+
→
x
x
x
8.
3
64
4
8
lim
x
x
x
−
−
→
9.
1
1
lim
3
1
−
−
→
x
x
x
Bài 7: Tính các giới hạn: (
0
0
)
37
4
lim/20
11
lim/19
23
7118
lim/18
34
472
lim/17
32
372
lim/16
1
313
lim/15
4
22
lim/14
12
32
lim/13
23
24
lim/12
)1(
54
lim/11
23
24
lim/10
6
22
lim/9
1
65
lim/8
3
34
lim/7
9
3
lim/6
3
34
lim/5
8
4
lim/4
20
16
lim/3
1
23
lim/2
4
6
lim/1
2
20
2
2
23
1
1
3
1
2
2
2
2
1
2
23
1
2
56
1
2
23
2
23
2
2
1
2
3/8
2
3
2
3
3
2
2
2
2
4
23
3
1
2
2
2
−+
−+−+
+−
+−+
+−
−++
+−
−+
−
+−+
−
−+
−−
−+
+−
++−
−
+−
+−
++−
−+
−+−
−
−+
−
+−
−
+
−
+−
+
−
−+
−
+−−
+−
−
−+
→→→→
→→→→
→→
→
→→−→→
−→→→→
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
x
xx
x
x
xx
xx
xx
xxx
x
xxx
xx
xxx
xx
xxx
x
xx
x
xx
x
x
x
xx
x
x
xx
x
xxx
xx
x
xx
x
x
x
x
xx
xxxx
xx
x
xxxx
xxxx
Bài 8: Tính các giới hạn:
33
276
lim/7
22
2
lim/4
1
1
lim/1
23
24
3
2
2
2
3
1
+++
−−
−+−
−
−
−
−→
→
→
xxx
xx
xx
x
x
x
x
x
x
33
3 2
0
1
2
23
1
232
11
lim/8
45
32
lim/5
43
42
lim/2
+−+
−−
+−
−+
−−
++−
→
→
−→
xx
x
xx
xx
xx
xxx
x
x
x
314
2
lim/9
23
2423
lim/6
11
lim/3
2
2
2
1
2
0
−+
+−
+−
−−−−
++−+
→
→
→
x
xx
xx
xxx
x
xxx
x
x
x
Bài 9 : Tính các giới hạn:
Đại số 11 Trang 6 Hồ Văn Hoài Phương
Dãy số THPT TANH LINH_0972972977
23
1
lim/10
3
11
lim/9
2
321
lim/8
1
12
lim/7
23
1
lim/6
51
53
lim/5
62
23
lim/4
)1)(1(
lim/3
3
34
lim/2
11
lim/1
2
3
1
3
04
2
2
3
1
2
3
14
2
2
2
23
2
3
2
3
3
0
−+
+−−
−
−+
−
+−+−
−+
−
−−
+−
++
++
++
−+
−
+−−−
−→→→
→→→
−→→→→
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x
x
x
x
xx
xx
xxx
xx
x
xx
x
x
xxx
xxx
xxxx
Bài 10 : Tính các giới hạn:( Tính các giới hạn bằng cách thêm, bớt lượng liên hợp)
Cách thêm lượng liên hợp: Giả sử
)(
)(
)(
xg
xf
xF =
có giới hạn là 0/0. phân tích
)(
)(
)(
)(
)(
21
xg
cxf
xg
cxf
xf
−
+
+
=
.
Gọi
),1( ni
i
=
α
là nghiệm của g(x). Giải hệ
0)(
1
=+ cf
i
α
và
0)(
2
=− cf
i
α
tìm c.
2
122
lim/7
2
66
lim/6
1
39
lim/5
7169
lim/4
3
51
lim/3
11
lim/2
23
7118
lim/1
2
1
2
3
2
3
1
0
3
3
3
0
2
3
2
−−
−−+
−+
++−
−
++−
−+++
−
+−+−−+
+−
+−+
−→−→→
→→→→
xx
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
xxx
xxxx
Bài 11: Tính các giới hạn sau:
1.
x
xx
x
3
0
812
lim
−−−
→
2.
23
2423
lim
2
3
2
1
+−
−−−−
→
xx
xxx
x
3.
1
75
lim
2
3 23
1
−
+−−
→
x
xx
x
4.
23
2423
lim
2
2
3
1
+−
−−−−
→
xx
xxx
x
5.
1
57
lim
2
3
1
−
−−+
→
x
xx
x
6.
x
xx
x
3
0
5843
lim
+−+
→
7.
x
xx
x
7121
lim
3
0
+−+
→
Bài 12: Tính các giới hạn: (
∞
∞
)
1)
12
32
lim/10
13
14
lim/9
1
32
lim/8
53
734
lim/7
16
83
lim/6
)43(
)41)(12)(2(
lim/5
53
132
lim/4
1
12
lim/3
2
1
lim/2
32
1
lim/1
3
22
3
3
2
2
3
4
2
3
2
2
3
25
2
32
+−
+
−
+
+−
++
+−
−+
+−
−+
+
−+−
+−
++
+
++
−
++−
+
+
∞→∞→∞→
∞→∞→∞→
∞→∞→+∞→−∞→
xx
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
xxx
xx
xx
x
xx
x
xx
x
x
xxx
xxx
xxxx
5/
3 2
4 3 2
x
2x 3x 4x 1
lim
x 5x 2x x 3
→−∞
− + −
− + − +
6/
2
2
x
x x 1
lim
2x x 1
→+∞
+ −
+ +
7/
( ) ( )
( ) ( )
2 3
3 2
x
2x 3 4x 7
lim
3x 1 10x 9
→+∞
− +
+ +
8/
( ) ( )
( )
20 30
50
x
2x 3 3x 2
lim
2x 1
→−∞
− +
+
9/
2
2
x
x 2x 3x
lim
4x 1 x 2
→−∞
+ +
+ − +
10/
x
5x 3 1 x
lim
1 x
→−∞
+ −
−
Bài 13 : Tính các giới hạn:
xx
xxx
x
−++
++++
∞→
214
4132
lim/1
2
2
1
12419
lim/2
22
−
++−++
∞→
x
xxxx
x
ĐS:
−
5
1
/1
−1
1
/2
Bài 14 : Tính các giới hạn: (
∞−∞
)
Đại số 11 Trang 7 Hồ Văn Hoài Phương
Dãy số THPT TANH LINH_0972972977
+−
+
+−
++−+−
+−−+
−
−
−
−+−−−−−+
→−∞→
+∞→→∞→
←∞→∞+∞→
65
1
23
1
lim/8)11(lim/7
)1(lim/6)3(lim/5
1
3
1
1
lim/4
)(lim/3)34412(lim/2)(lim/1
22
2
22
2
3
32
3
1
22
3
23
xxxx
xxxx
xxxxx
xx
xxxxxxxxx
xx
xxx
xxx
Bài 15: Tính các giới hạn sau (x → ∞)
Chú ý: Khi x → -∞ mà chia cho x thì phải chú ý hoặc dấu của x khi ra khỏi căn hoặc trị tuyệt đối
1.
32
3
662
13
lim
xx
xx
x
−−
++
∞→
2.
−+
+∞→
xxx
x
lim
3.
( ) ( )
( )
60
4020
12
2332
lim
+
+−
∞→
x
xx
x
4.
( )
21lim
22
−−+
+∞→
xxx
x
5.
( ) ( )
n
nn
x
x
xxxx 11
lim
22
−+−−−
+∞→
6.
( )
2317lim
22
+−−+−
+∞→
xxxx
x
7.
( )
xxxx
x
914lim
22
−−+−
+∞→
8.
(
)
3612lim
22
+−−+−
+∞→
xxxx
x
9.
(
)
274lim
2
+−±−
+∞→
xxx
x
10.
(
)
34412lim
2
++±+
+∞→
xxx
x
11.
−++
+∞→
xxxx
x
3333lim
12.
(
)
xxxx
x
−−−
∞→
3 23
2lim
13.
(
)
13lim
3
23
+−+−
∞→
xxxx
x
14.
(
)
xx
x
−−
+∞→
1lim
2
15.
( )( )
( )
xbxax
x
−++
+∞→
lim
16.
−−−++
+∞→
xxxxxx
x
lim
17.
(
)
2lim
2
+−+
+∞→
xxx
x
18.
( )
xxxx
x
22lim
2
3
23
−−+
+∞→
19.
( )
11.
1
lim
−−+
+∞→
xxx
x
20.
( )
xxxxx
x
++−+
+∞→
22
22lim
21.
( )
xxx
x
+−−+
+∞→
122lim
22.
( )
13.lim −−+
+∞→
xxx
x
23.
( )
13.2lim
−−+−
+∞→
xxx
x
24.
(
)
34.lim
22
−−+
+∞→
xxx
x
25.
( )
7252lim −−+
+∞→
xx
x
26.
(
)
xxx
x
−+
∞→
3
23
6lim
Bài 16 : Tìm các giới hạn sau
1)
11
32
lim
2
2
+−+
+++
−∞→
xx
xxx
x
2)
xx
xxx
x
−++
++++
+∞→
214
1432
lim
2
2
3)
1
12419
lim
22
+
++−++
−∞→
x
xxxx
x
4)
3
3
2
1
32
lim
+−
++
−∞→
xx
xx
x
5)
2
lim
2
+−
+∞→
xx
xx
x
6)
x
xx
x
32
1
lim
2
−
−+
−∞→
7)
)(lim
2
xxx
x
−+
+∞→
. 8)
)11(lim +−−
−∞→
xx
x
9)
)11(lim +−−
+∞→
xx
x
10)
)(lim
2
xxx
x
+−
+∞→
11)
)(lim
2
xxx
x
+−
−∞→
12)
)(lim
2
xxxx
x
−+
+∞→
13)
)34432(lim
2
++−−
+∞→
xxx
x
14)
)(lim
2
xxxx
x
++
−∞→
15)
xx
x
+−
−∞→
2
2
2
lim
Đại số 11 Trang 8 Hồ Văn Hoài Phương
Dãy số THPT TANH LINH_0972972977
Bài 17: Tìm các giới hạn sau (giới hạn một bên)
a)
)25(lim
5
xx
x
+−
−
→
b)
3
1
lim
3
−
+
→
x
x
c)
x
xx
x
−
−+
−
→
3
3
lim
2
3
d)
12
32
lim
2
2
1
−−
−+
+
→
xx
xx
x
e)
)
4
1
2
3
(lim
2
2
−
−
−
+
→
xx
x
f)
)
132
5
21
23
(lim
2
2
1
+−
+
−
+
+
→
xxx
x
x
g)
|1|
23
lim
2
)1(
+
++
+
−→
x
xx
x
h)
2
|2|
lim
2
−
−
→
x
x
x
i)
−
+
−
→
32
12
.
)1(
2
lim
2
1
x
x
x
x
k)
)23)(1(
5
lim
2
1
+−−
−
→
xxx
x
l)
1x
1x1x
lim
2
1x
−
−+−
+
→
m)
x 3
3 x
lim
3 x
+
→
−
−
n)
x 3
3 x
lim
3 x
−
→
−
−
o)
x 0
x 2 x
lim
x x
+
→
+
−
p)
x 2
2x 1
lim
x 2
+
→
+
−
q)
x 2
2x 1
lim
x 2
−
→
+
−
t)
( )
( )
2
2
x 3
2x 5x 3
lim
x 3
−
→ −
+ −
+
u)
3
x 3
3 x
lim
27 x
−
→
−
−
v)
3
2
x 2
x 8
lim
x 2x
+
→
−
−
x)
x 2
8 2x 2
lim
x 2
+
→−
+ −
+
y)
x 0
2 x 3x
lim
3 x 2x
+
→
−
−
Vấn đề 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x
o
⇔
o
o
x x
lim f (x) f (x )
→
=
.
2. Hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) là liên tục tại điểm
∈
0
x
(a; b) ⇔
)(lim xf
o
xx
−
→
và
)(lim
0
xf
xx
+
→
tồn tại và
)()(lim)(lim
0
00
xfxfxf
xxxx
==
+−
→→
.
3. f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
⇔ f(x) liên tục trên khoảng
( )
;a b
,
( ) ( ) ( ) ( )
lim , lim
x a x b
f x f a f x f b
+ −
→ →
= =
.
4. a) Hàm số đa thức ( bậc n ); liên tục trên R ;
b) Hàm số phân thức và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
5. Nếu
( )
f x
liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
, và
( ) ( )
. 0f a f b <
thì ;
( ) ( )
0 0
; : 0x a b f x∃ ∈ =
.
Nói cách khác: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì PT f(x) = 0 có ít nhất một
nghiệm trên khoảng (a; b).
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Xét sự liên tục của các hàm số sau
1.f(x) =
≥−
<+−
1 xkhi 32x
1 x khi 4x3x
2
tại x
o
= 1 15.f(x) =
=
≠
−−
−−
2 xkhi
3
11
2 xkhi
2xx
6xx
2
3
tại x
o
= 2
2.f(x) =
sin x
khi x 1
x 1
khi x 1
π
≠
−
−π =
tại x
o
= 1 16.f(x) =
2
2
x 3x 2
khi x 1
x 1
x
khi x 1
2
− +
≥
−
− <
tại x
o
= 1
Đại số 11 Trang 9 Hồ Văn Hoài Phương
Dãy số THPT TANH LINH_0972972977
3.f(x) =
2
4 x
khi x 2
x 2
1 2x khix 2
−
<
−
− >
tại x
o
= 2 17.f(x) =
3
3
x khi x 0
2
x 1 1
khi x 0
1 x 1
+ ≤
+ −
≥
+ −
tại x
o
= 0
4.f(x) =
3
2
1 cosx
khi x 0
sin x
1
khi x 0
6
−
≠
=
tại x
o
= 0 18.
=
≠
−
−
=
2x nếu4
2xnếu
2
4
)(
2
x
x
xf
tại x
0
= 2.
5.
=
≠
−
−−
=
2x nếu1
2xnếu
x
x
xf
2
321
)(
tại x
0
= 2. 19.
≥−
<
=
0x nếu
0xnếu
x
x
xf
1
)(
2
tại x
0
= 0.
6.
>
≤−
=
-2x nếux
-2xnếu
3
2
34
)(
x
xf
tại x
0
= - 2. 20.
≤+
>
−
−+
=
12
1
1
2
)(
2
xx
x
xx
xf
nếu
xnếu
tại x
0
= 1
7.
=
≠
−
−
=
4,6
4,
4
16
)(
2
x
x
x
xf
nếu
xnếu
tại x
0
= 4 21.
≤
>
−
−−
=
21
2,
2
321
)(
x
x
x
xf
x
tại x
0
= 2
8.
=−
≠
+−
−
=
12
1
23
22
)(
2
2
x
xx
x
xf
nếu
xnếu
tại x
0
= 1 22.
≤+
>
−
=
1,1
1,
3
1
)(
2
xx
xx
xf
nếu
xnếu
tại x
0
= 1.
9.
−
+−
−
=
1
23
2
)(
2
2
x
xx
x
xf
)1(
)1(
≥
<
x
x
tại x
0
= 1. 23.
−
−
−
=
2
4
21
)(
2
x
x
x
xf
)2(
)2(
<
≥
x
x
tại x
0
= 2.
10.
−+
−+
=
11
11
2
3
)(
3
x
x
xf
)0(
)0(
>
≤
x
x
tại x
0
= 0. 24.
−
−
=
5
1
1
)(
2
x
x
xf
)1(
)1(
=
≠
x
x
tại x
0
= 1.
11.
−
−−
=
x
x
xf
2
321
1
)(
)2(
)2(
≠
=
x
x
tại x
0
= 2. 25.
−
=
x
x
xf
cos1
1
)(
)0(
)0(
≠
=
x
x
trên toàn trục số
12.f(x) =
≥+
<−+
1 xkhi a2x
1 x khi 1x2x3
2
tại x
0
= 1 26.f(x) =
=
≠
−
−+
1 xkhi a
1 x khi
1x
3x2x
2
3
tại x
0
= 1
13.f(x) =
1 cos4x
khi x 0
x.sin 2x
x a
khi x 0
x 1
−
<
+
≥
+
tại x
o
= 0 27.f(x) =
1 x 1 x
khi x 0
x
4 x
a khi x 0
x 2
− − +
<
−
+ ≥
+
tại x
o
= 0
Đại số 11 Trang 10 Hồ Văn Hoài Phương
Dãy số THPT TANH LINH_0972972977
14.f(x) =
−≥−
−<−−
2 xkhi x 1
2 x khi 7x3x
2
trên TXĐ 28.f(x) =
>−
≤≤
+
+
<
−
−+
5 x khi 43x
5x2 khi
2x
32x
2 xkhi
4x
10x3x
2
2
trên TXĐ
Bài 2: Tìm tham số (m, a) để hàm số liên tục tại điểm đã chỉ
1.
−
−
+
=
1
1
2
)(
3
x
x
ax
xf
)1(
)1(
<
≥
x
x
tại x
0
= 1. 9.
+−−
+
−
+
=
x
xx
x
x
a
xf
11
2
4
)(
)0(
)0(
<
≥
x
x
tại x
0
= 0.
2.
−
−+
+
=
2
223
4
1
)(
3
x
x
ax
xf
)2(
)2(
>
≤
x
x
liên tục trên R. 10.
+−
−
+
=
23
24
3
2
)(
2
3
2
xx
x
ax
xf
)2(
)2(
>
≤
x
x
liên tục trên R.
3.
=
≠
−
−+
=
1,
1,
1
2
)(
2
xm
x
x
xx
xf
tại x=1 11.
x 2 2
khi x 0
f (x)
x
m 1 khi x 0
+ −
≠
=
+ =
tại x=0
4.
2
7 10
i x 2
( )
2
4 khi x =2
x x
kh
f x
x
a
− +
≠
=
−
−
tại x = 2 12.
2
7 6
, khi x 1
f(x) =
1
2 1, khi x 1
+ +
≠ −
+
− = −
x x
x
a
trênTXĐcủa nó.
5.
4
x 8x
ˆ
ne u x < 2
f(x) =
x 2
ˆ
ax +1 ne u x 2
−
′
−
′
≥
trên TXĐ của nó. 13.
( )
=
≠
−
−−
=
3
3
3
426
xkhim
xkhi
x
x
xf
tại
3=x
6.f(x) =
≤+
>
−
−−
12
1
1
12²3
xkhiax
xkhi
x
xx
tại x =1 14.f(x) =
=
≠
−
+−
2
2
2
65²
xkhia
xkhi
x
xx
trênTXĐ của nó
.7.f(x) =
≥+
<
−
+−
32
3
3
127²
xkhibx
xkhi
x
xx
trên TXĐ của nó 15.f(x) =
3
3x 2 2
khi x 2
x 2
1
ax + khi x 2
4
+ −
>
−
≤
liên tục trên R
8.f(x) =
sin(x )
3
khi x
1 2cos x 3
a khi x
3
π
−
π
≠
−
π
=
liên tục trên R 16.f(x) =
>−
≤≤+
<
3 xkhix 4
3x1 khi bax
1 x khi x
2
liên tục trên R
Bài 3: Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm
Đại số 11 Trang 11 Hồ Văn Hoài Phương
Dãy số THPT TANH LINH_0972972977
a) x
3
– 2x – 7 = 0 b) x
5
+ x
3
– 1 = 0 c) x
3
+ x
2
+ x + 2/3 = 0
d) x
3
– 6x
2
+ 9x – 10 = 0 e) x
5
+ 7x
4
– 3x
2
+ x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0
Bài 4: Chứng minh rằng phương trình
a) x
3
– 3x
2
+ 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) b) 2x
3
– 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
c) x
3
+ 3x
2
– 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1) d) x
3
– 3x
2
+ 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
e) 2x
2
+ 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1) f)* x
5
– 5x
4
+ 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong [0;5]
Bài 5: Cho 3 số a,b,c khác nhau .CMR phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0. Có 2 nghiệm
phân biệt
Bài 6: Cho f(x) = ax
2
+ bx + c thoả 2a + 6b + 19c = 0. CMR ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm trong [0;]
Bài 7: Cho f(x) = ax
2
+ bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0
a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2)
b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) khơng thể cùng dấu
c)Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
Bài 8: Cho f(x) = ax
2
+ bx + c thoả mãn : = 0
a)Chứng minh rằng af() < 0 với a ≠ 0
b)Cho a > 0 , c < 0 ,chứng minh rằng f(1) > 0
c)Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
Bài 9: Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) ∈ [a;b] ∀ x ∈ [a;b]. Chứng minh rằng phương trình: f(x) =
x có nghiệm x ∈ [a;b]
Bài 10: Chứng minh rằng: các phương trình sau ln ln có nghiệm:
a) cosx + m.cos2x = 0 b) m(x – 1)
3
(x + 2) + 2x + 3 = 0
c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0 d) (m
2
+ m + 1)x
4
+ 2x – 2 = 0
Bài 11: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và α , β là hai số dương bất kỳ. CMR PT f(x) = có nghiệm trên [a;b]
Bài 12: Cho phương trình x
4
– x – 3 = 0. CMR phương trình có nghiệm x
o
∈ (1;2) và x
o
>
Đại số 11 Trang 12 Hồ Văn Hoài Phương
