ĐẠI SỐ 9, tiết 57- Hệ thức Viet và ứng dụng

Phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
•
Nếu ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
•
Nếu ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép
x
1
= x
2
=
•
Nếu ∆ < 0 phương trình vô nghiệm
2
b b
; x
2a 2a
− + ∆ − − ∆
=
b
2a
−
Nêu công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)

2.Từ công thức nghiệm, hãy tính tổng và tích 2 nghiệm
của phương trình bậc hai một ẩn ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
1 2
b b 2b b
x x
2a 2a 2a a
− + ∆ − − ∆ − −
+ = + = =
2
1 2
2
2 2
2 2
b b b
x .x .
2a 2a 4a
b b 4ac 4ac c
4a 4a a
− + ∆ − − ∆ − ∆
= =
− +
= = =
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm thì dù
đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép ta đều có:
Đó là hệ thức mà Vi-et,nhà Toán học người Pháp phát hiện
vào đầu thế kỷ XVII và thành định lí mang tên ông

Nếu x
1
,x
2

là hai nghiệm của phương
trình ax
2
+ bx + c= 0 (a≠0) thì
1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a

+ = −




=


?2 Cho ph ¬ng tr×nh :2x
2
-5x +3 = 0(1)

a/Xác định a,b,c rồi tính a+b+c
b/ Chứng tỏ x
1
=1 là một nghiệm của (1)
c/ Dùng định lí Vi-et để tính x
2
2x
2
-5x +3 = 0(1)
a/a = 2;b =-5; c =3 ; a+b+c = 2-5+3 = 0
b/ Thay x=1 vào (1)có: 2.1-5.1+3 = 0
nên x =1 là một nghiệm của (1)
c/ Áp dụng định lí Vi-et ta có:
x
1
. x
2
= mà x
1
=1 nên x
2
=
c 3
a 2
=
3
2
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có :

•
a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm :
x
1
= 1 và x
2
=
c
a
TỔNG QUÁT:
GIẢI:
Nếu x
1
,x
2

là hai nghiệm của phương
trình ax
2
+ bx + c= 0 (a≠0) thì
1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a

+ = −





=


?3 Cho ph ¬ng tr×nh :3x
2
+7x +4 = 0 (2)
a/Xác định a,b,c rồi tính a-b+c
b/ Chứng tỏ x
1
=-1 là một nghiệm của (2)
c/ Dùng định lí Vi-et để tính x
2
3x
2
-7x +4 = 0(2)
a/a = 3;b =7; c =4 ; a-+b+c = 3-7+4 = 0
b/ Thay x = -1 vào (2)có:
3(-1)+7(-1)+4 = 0
nên x =-1 là một nghiệm của (2)
c/ Áp dụng định lí Vi-et ta có:
x
1
. x
2
= mà x
1

= -1 nên x
2
=
c 4
a 3
=
4
3
−
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có :
•
a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm :
x
1
= 1 và x
2
=
a
c
TỔNG QUÁT:
GIẢI:
•
a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm :
x
1
= -1 và x
2
=

a
c
−
Giả sử hai số cần tìm có tổng bằng
S và tích bằng P. Gọi một số là x thì số
kia là S - x. Theo giả thiết ta có ph ơng
trình
x(S x) = P hay x
2
- Sx + P= 0. (1)
Nếu = S
2
- 4P 0,
thì ph ơng trình (1) có nghiệm . Các
nghiệm này chính là hai số cần tìm
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
Nu hai s cú tng bng S v tớch
bng P thỡ hai s ú l hai nghim ca
phng trỡnh bc hai x
2
- Sx + P = 0
Vớ d 1: Tỡm hai s, bit tng ca
chỳng bng 27, tớch ca chỳng bng
180.

39 ==
Gii: Hai s phi tỡm l nghim ca
phng trỡnh x

2
- 27x + 180 = 0
= 27
2
- 4.1.180 = 729-720 = 9;
12
2
327
15
2
327
21
=

==
+
= x;x
Hai s cn tỡm l 15 v 12
Vớ d 2:Tớnh nhm nghim ca phng
trỡnh x
2
- 5x + 6 = 0
Gii:Vỡ 2+3 = 5 v 2.3 = 6 nờn x
1
=2 v
x
2
=3 l hai nghim ca phng trỡnh ó
cho
Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x

1
và x
2
là hai nghiệm
(nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ
trống ( ).
a/ 2x
2
- 17x+1= 0, Δ = x
1
+x
2
= ; x
1
.x
2
=
b/ 5x
2
- x- 35 = 0, Δ = x
1
+x
2
= x
1
.x
2
=
c/ 8x
2

- x+1=0, Δ = x
1
+x
2
= ; x
1
.x
2
=
d/ 25x
2
+ 10x+1= 0, Δ = x
1
+x
2
= ; x
1
.x
2
=
281
17
2
1
2
701
1
5
-7
-31

0
2
5
−
1
25
Khụng cú Khụng cú
Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của
phương trình:
a/ x
2
– 7x+12= 0 (1)
b/ x
2
+7x+13=0 (2)
a/ Δ =(7)
2
– 4.1.12 = 49 – 48 =1 > 0. Vì : 3 + 4 = 7 và 3. 4 = 12
nên x
1
=3, x
2
= 4 là hai nghiệm của phương trình (1)
b/ Δ =(-7)
2
– 4.1.13 = 49 – 52 = -3 < 0.
Vậy: Phương trình (2) vô nghiệm.
x
1
= 1; x

2
= -2
x
1
= 1; x
2
= -2
B
B
C
C
D
D
Phương trình vô nghiệm
x
1
= -1; x
2
= -2
x
1
= -1; x
2
= -2
A
A


C
C

Nghiệm của phương trình 5x
2
– 15x+10 = 0 là:
Nghiệm của phương trình 5x
2
– 15x+10 = 0 là:
TRẮC NGHIỆM
x
1
= 1; x
2
= 2
François Viète (sinh 1540 - mất 13/02/1603)
tại Pháp.
-
Ông là người đầu tiên dùng chữ để kí hiệu
các ẩn, các hệ số của phương trình và dùng
chúng để biến đổi và giải phương trình nhờ
cách đó mà nó thúc đẩy Đại số phát triển
mạnh.
-
Ông là người phát hiện ra mối liên hệ giữa
các nghiệm và các hệ số của phương trình.
- Ông là người nổi tiếng trong giải mật mã.
- Ông còn là một luật sư, một chính trị gia nổi
tiếng.
1.Cho phương trình 2x
2
- 3x + 1 = 0
Gọi x

1
, x
2
là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình;
hãy tính giá trị các biểu thức:
a/ ; b/
c/ ; d/
2.Gọi x
1
và x
2
là hai nghiệm của phương trình (k - 1) x
2
- 2kx + k - 4 = 0. Hãy
tìm một hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc tham số k
1 2
1 1
x x
+
1 2
1 2
1 x 1 x
x x
− −
+
2 2

1 2
x x+
1 2
2 1
x x
x 1 x 1
+
+ +
•
Làm bài tập 28; 29; 30; 33sgk
•
Chuẩn bị ‘‘Luyện tập’’
3.Tìm giá trị của m để phương trình x
2
– mx + m + 1 = 0 có nghiệm x
1
, x
2

thỏa mãn x
1
x
2
+ 2 (x
1
+ x
2
) - 19 = 0
CHÚC
CÁC

EM
HỌC
TỐT