TONG HOP 21 DE THI HOC SINH GIOI TOAN 9 C DAP AN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (634.16 KB, 81 trang )
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
môn toán 9
Thi gian lm bi: 150 phỳt
Đề số 1
Cõu 1: Cho biu thc
3
1 1
1 1 1
x x
A
x x x x x
= + +
+
a, Rỳt gn A
b, Tỡm x A > 0
c, Tớnh Giỏ tr ca A khi
3
5
9 2 7
x =
Cõu 2: Cho (p):
2
y x=
(d):
3 2y x=
a, Tỡm hai to giao im ca (p) v (d)
b, Tớnh din tớch tam giỏc to bi hai to giao im v gc to .
Cõu 3: Gii h phng trỡnh:
1
2
5
6
2
3
x y
xyz
y z
xyz
x z
xyz
+
=
+
=
+
=
Cõu 4: Cho
ABC
cú ba gúc nhn ni tip (O;R). V AI vuụng gúc vi BC, BE vuụng
gúc vi AC. AI ct BE ti H.
a, Chng minh rng
ã
ã
CHI CBA=
b, Chng ming
CO EI
c, Khi
ã
0
60ACB =
Chng minh
CH CO
=
Cõu 5: Cho
ABC
cú
à
0
90A =
;
AB BC
<
. AM l ng trung tuyn ca tam giỏc.
ã
AMB
=
;
ã
ACB
=
.
Chng minh
2
1 sin (sin cos )
+ = +
Hết
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
1
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
hớng dẫn chấm đề số 1
Cõu 1: (3)
a, iu kin: x > 1 0,5
2 1A x x=
1,5
b, A > 0 khi
1 2x<
2,0
c, A = 7 2,0
Cõu 2:
a, A(1;1), B(2;4) 1,0
b,
1
AOB
S
=
(vdt) 1,0
Cõu 3: H phng trỡnh cú hai nghim:
(x; y; z) = (1; 2; 3) v (x; y; z) = (-1; -2; -3) 2,0
Cõu 4:
a,
ã
ã
CHI CBA=
2,0
b, K ng kớnh CD
ã
ã
DAB BCD=
ã
ã
DAB ABE=
ã
ã
ABE ABF=
ã
ã
ACE HIE=
ã
ã
HIE BCD=
cú
AI BC IE CO
3,0
c,
CH CE
HCE DCB
CD BC
=
1
2
CH BC
=
3,0
Cõu 5:
1
sin . sin
2
AH AM BC
= =
sin . sin cosAH AC BC
= =
sin 2sin cos
=
2
1 sin (sin cos )
+ = +
2,0
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
2
H . O
F
E
I
D
A
C
B
A
C
M
H
B
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
môn toán 9
Thi gian lm bi: 150 phỳt
Đề số 2
Cõu 1(5,0 im): Cho biu thc P =
(
)
+
+
+
2 x 3
x x 3 x 3
x 2 x 3 x 1 3 x
a) Rỳt gn P
b) Tớnh giỏ tr ca P khi x =
14 6 5
c) Tỡm GTNN ca P
Cõu 2(4,0 im):
Bng th, hóy bin lun s nghim ca phng trỡnh:
x x 1 m
+ =
Cõu 3 (3,0 im):
Tỡm s cú hai ch s bit rng phõn s cú t s l s ú, mu s l tớch ca hai
ch s ca nú cú phõn s ti gin l
16
9
v hiu ca s cn tỡm vi s cú cựng cỏc ch s
vi nú nhng vit theo th t ngc li bng 27.
Cõu 4(6,0 im): Cho hai ng trũn (O) v (O) tip xỳc ngoi ti A. Gi AB l ng
kớnh ca ng trũn (O), AC l l ng kớnh ca ng trũn (O), DE l tip tuyn
chung ca hai ng trũn, D (O), E (O), K l giao im ca BD v CE.
a) T giỏc ADKE l hỡnh gỡ? Vỡ sao?
b) Chng minh AK l tip tuyn chung ca hai ng trũn (O) v (O)
c) Gi M l trung im ca BC. Chng minh rng MK vuụng gúc vi DE.
Cõu 5(2,0 im): Gii phng trỡnh :
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x+ + + + + =
.
Hết
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
3
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
hớng dẫn chấm đề số 2
Cõu: Ni dung c bn: im
1
a) KX:
x 0, x 9
P =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
+ +
+
=
+
+
2
x x 3 2 x 3 x 3 x 1
x 8
x 1
x 1 x 3
b)
(
)
= = => = =
2
x 14 6 5 5 3 x 5 3 3 5
P =
58 2 5
11
c)
+ +
= = = + = + +
+ + + +
x 8 x 1 9 9 9
P x 1 x 1 2
x 1 x 1 x 1 x 1
=>
=P 2 9 2 4
Du = xy ra khi
+ = <=> =
+
9
x 1 x 4
x 1
Vy min P = 4 khi x = 4
0.5
1.0
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
2
*Xột ba trng hp:
Vi x
0 thỡ y = -x x +1 = -2x + 1
Vi 0 < x < 1 thỡ y = x x + 1 = 1
Vi x
1 thỡ y = x + x 1 = 2x -1
Vy y =
2x 1 nếu x 0
1 nếu 0 < x < 1
2x - 1 nếu x 1
+
th hm s : y =
x x 1+
l ng nột m trờn hỡnh v
*ng thng y = m cựng phng
vi Ox, cy Oy trờn im cú tung m.
Da vo th ta kt lun:
Nu m < 1 thỡ phng trỡnh vụ nghim.
Nu m = 1 thỡ phng trỡnh cú nghim : 0
x 1
.
Nu m > 1 thỡ phng trỡnh cú 2 nghim .
1.0
1.0
1.0
1.0
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
4
1
O
-1
1
2
-1
x
y
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
3
Gi s cn tỡm l
xy
vi
, ;1 , 9x y x y Z
.
Theo gi thit:
( )
10 16
3
9
90 9 16
10 10 27
x y
x y
xy
x y xy
x y y x
+
=
=
+ =
+ + =
Gii hpt ta c:
1 2
3
9;
16
x x= =
(loi). Suy ra
6y =
.
Vy s cn tỡm l :96.
1.0
1.0
0.75
0.25
4
a) Theo tớnh cht gúc ngoi ca tam giỏc : O
1
= 2B, O
1
= 2C
m O
1
+ O
1
= 1800 nờn B+C=90
0
, suy ra K=90
0
. Ta li cú
D = E = 90
0
nờn t giỏc ADKE l hỡnh ch nht.
b) A
1
+A
2
=D
1
+D
2
=90
0
nờn KA BC. Vy AK l tip tuyn
ca (O) v (O).
c) K
1
+ E
1
= C + EKA = 90
0
nờn MK DE.
2.0
2.0
2.0
5
Vit li phng trỡnh di dng :
2 2 2
3(x 1) 4 5(x 1) 16 6 (x 1)+ + + + + = +
.
V trỏi ca phng trỡnh khụng nh hn 6, cũn v phi khụng ln
hn 6.
Vy ng thc ch xy ra khi c hai v u bng 6, suy ra x = -1.
1.0
1.0
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
5
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
môn toán 9
Thi gian lm bi: 150 phỳt
Đề số 3
Bài 1. (3đ)
Cho biểu thức:
1
1
1
1
1
2
++
+
+
+
=
xxx
x
xx
x
A
1. Tìm
x
để biểu thức
A
có nghĩa. Hãy rút gọn
A
2. Tính
A
khi
2833 =x
3. Chứng minh rằng:
3
1
<A
Bài 2. (4đ)
Giải các phơng trình, hệ phơng trình sau
1.
1111
423
+=++++ xxxxx
2.
=+
=+
=+
14
14
14
yxz
xzy
zyx
Bài 3. (6,5đ)
1. Cho
, , ,a b c d
là bốn số nguyên dơng bất kì, chứng minh rằng số
a b c d
A
a b c a b d b c d a c d
= + + +
+ + + + + + + +
không phải là một số nguyên
2. Giả sử
yx,
là những số không âm thay đổi thoả mãn điều kiện
1
22
=+ yx
a. Chứng minh rằng
21 + yx
3. Cho
cba ,,
là ba số dơng. Chứng minh rằng:
+
+
+
+
+
++
accbbacba 2
1
2
1
2
1
3
111
Bài 4. (3,5đ) Cho
ABC
đều cạnh
a
. Điểm
Q
di động trên cạnh
AC
, điểm
P
di động
trên tia đối của tia
CB
sao cho
2
.AQ BP a=
. Đờng thẳng
AP
cắt đờng thẳng
BQ
tại
M
a. CM tứ giác
ABCM
nội tiếp đợc
b. Tìm giá trị lớn nhất của
MA MC
+
theo
a
Bài 5. (3đ) Cho tam giác
ABC
nội tiếp đờng tròn
( )
O
, điểm
M
thuộc cung
BC
không
chứa
A
. Gọi
MKMIMH ,,
theo thứ tự là các đờng vuông góc kẻ từ
M
đến
ACABBC ,,
.
Chứng minh rằng
MK
AC
MI
AB
MH
BC
+=
Hết
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
6
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
hớng dẫn chấm đề số 3
Bài 1. (4đ)
1. (2đ)
A
có nghĩa khi và chỉ khi
1
0
01
0
x
x
x
x
(0,5đ)
* Rút gọn
1
1
1
1
1
2
++
+
+
+
=
xxx
x
xx
x
A
=
( )( )
1
1
1
1
11
2
++
+
+
++
+
xxx
x
xxx
x
(0,25đ)
=
( )( ) ( )
( )( )
11
1112
++
+++++
xxx
xxxxx
(0,25đ)
=
( )( )
( )
( )( )
111
1
11 ++
=
++
=
++
xx
x
xxx
xx
xxx
xx
(0,75đ)
2.(1đ) Theo giả thiết
( )
1241242833
2
=== xx
(0,5đ)
Do đó
2433
124
11242833
124
=
++
=A
(0,5đ)
3.(1đ) Ta có
0
3
1
3
1
<< AA
hay
0
3
1
1
<
++ xx
x
(0,25đ)
( ) ( )
( )
( )
0
13
1
13
12
13
13
2
<
++
=
++
+
=
++
xx
x
xx
xx
xx
xxx
, đúng (0,5đ)
Vì
( ) ( )
01;013
2
>>++ xxx
, vì
1x
Kết luận: Với
10 x
thì
3
1
<A
(0,25đ)
Bài 2. (3,5đ)
1.(1,5đ) ĐK:
1
01
01
01
4
23
+++
x
x
xxx
x
(0,5đ)
Đặt
1;1
23
+++== xxxbxa
với
0,0 ba
Ta có
( )
( )
baxxxxx .111
234
=+++=
Khi đó PT đã cho trở thành:
( )( )
10111 ==+=+ abaabba
hoặc
1
=
b
(0,25đ)
* Với
1
=
a
thì
211 == xx
(thoả mãn) (0,25đ)
* Với
1
=
b
thì
( )
011111
22323
=++=+++=+++ xxxxxxxxx
0
=
x
(loại) hoặc
01
2
=++ xx
(vô nghiệm) (0,25đ)
KL: PT đã cho có nghiệm duy nhất
2=x
(0,25đ)
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
7
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
2.(2đ) ĐK:
4
1
4
1
4
1
014
014
014
z
y
x
y
x
z
(0, 5đ)
Ta có
=+
=+
=+
=+
=+
=+
14222
14222
14222
14
14
14
yxz
xzy
zyx
yxz
xzy
zyx
(0,25đ)
Cộng theo từng vế ba pt của hệ trên và biến đổi ta đợc:
( ) ( ) ( )
0142414241424 =++ zzyyxx
(0,25đ)
( ) ( ) ( )
0114214114214114214 =+++++ zzyyxx
(0,25đ)
( ) ( ) ( )
0114114114
222
=++ zyx
(0,25đ)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
114
114
114
114
114
114
0114
0114
0114
z
y
x
z
y
x
z
y
x
=
=
=
=
=
=
2
1
2
1
2
1
24
24
24
z
y
x
z
y
x
(tmđk) (0,25đ)
KL: Hệ pt có nghiệm duy nhất
( )
=
2
1
;
2
1
;
2
1
;; zyx
(0,25đ)
Bài 3. (6,0đ)
1.(2,5) Vì
, , ,a b c d
dơng nên
;
dcba
a
cba
a
+++
>
++
;
dcba
b
dba
b
+++
>
++
;
dcba
c
dcb
c
+++
>
++
;
dcba
d
dca
d
+++
>
++
(0, 5đ)
Cộng tất cả các BĐT cùng chiều trên ta đợc
a b c d
A
a b c a b d b c d a c d
= + + +
+ + + + + + + +
+
+++
>
dcba
a
dcba
b
+++
+
dcba
c
+++
+
dcba
d
+++
=
1=
+++
+++
dcba
dcba
(1) (0,5đ)
Mặt khác, ta có BĐT
zy
zx
y
x
+
+
<
với
yx <
và
0,, >zyx
(*)
Thật vậy, ta xét hiệu
( )
( )
( )
0<
+
=
+
+
=
+
+
zyy
yxz
zyy
yzxyxzxy
zy
zx
y
x
(vì
yx <
) (0,25đ)
Bây giờ ta áp dụng BĐT (*) ta có các BĐT
;
dcba
da
cba
a
+++
+
<
++
;
dcba
cb
dba
b
+++
+
<
++
;
dcba
ac
dcb
c
+++
+
<
++
;
dcba
bd
dca
d
+++
+
<
++
(0, 5đ)
Cộng các BĐT cùng chiều trên ta đợc
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
8
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
a b c d
A
a b c a b d b c d a c d
= + + +
+ + + + + + + +
+
+++
+
<
dcba
da
+
+++
+
dcba
cb
dcba
ac
+++
+
dcba
bd
+++
+
+
=
( )
2
2
=
+++
+++
dcba
dcba
(2) (0,5đ)
Kết hợp (1) và (2) ta đợc
21 << A
hay A không phải là số nguyên (0,25đ)
2.(1,5đ) a. Trớc tiên ta chứng minh BĐT
( )
( )
22
2
2 yxyx ++
Thật vậy, ta xét hiệu
( )
( ) ( )
02222
2
2222
2
22
=+=++ yxyxyxyxyxyx
, đúng hay
( )
( )
22
2
2 yxyx ++
.
Đẳng thức xảu ra khi và chỉ khi
yx =
(0,25đ)
áp dụng
( )
( )
22
22
2
=++ yxyx
(vì
1
22
=+ yx
). Suy ra
2+ yx
(1) (0,5đ)
Ta lại có:
( ) ( )
( ) ( )
yyxxyyxx +=+ 11
22
Vì
0, yx
và
1
22
=+ yx
nên
10;10 yx
. Do đó
( ) ( )
01;01 yyxx
Suy ra
1
22
=++ yxyx
(2) (0,5đ)
Từ (1) và (2) ta có
21 + yx
(0,25đ)
3.(2đ) Với
0,, >zyx
, ta có
3
3 xyzzyx ++
;
3
3111
xyz
zyx
++
Suy ra
( )
zyxzyxzyx
zyx
++
++
++++
9111
9
111
(*) (0,25đ)
(Chú ý là đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
zyx ==
)
áp dụng (*) ta có
babba 2
9111
+
++
;
cbccb 2
9111
+
++
;
acaac 2
9111
+
++
(0,5đ)
Cộng từng vế ba BĐT cùng chiều trên ta đợc:
+
+
+
+
+
++
accbbacba 2
1
2
1
2
1
9
111
3
(0,25đ)
+
+
+
+
+
++
accbbacba 2
1
2
1
2
1
3
111
(0,25đ)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
cba
==
Bài 4. (4đ)
1.(2đ) Theo giả thiết
2
.AQ BP a=
suy ra
BP
AB
AB
AQ
=
;
0
60== ABPBAQ
(0,75đ)
Vậy
( )
cgcBAPAQB ~
. Suy ra
CAMBAPAQB +==
0
60
(0,75đ)
Mà
QBCQCBQBCAQB +=+=
0
60
Do đó
MBCMAC =
(hai góc cùng chắn một cung).Nên tứ giác
ABCM
nội tiếp(0,5đ)
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
9
A
B
PC
Q
M
E
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
2. (2đ) Trên
MB
lấy điểm
E
sao cho
MAME =
(0,25đ)
Do
0
60== ACBAME
, vì thế tam giác
AME
là tam giác đều
Suy ra
AMAE =
và
0
60=MAE
, từ đó
( )
EACMACBAE ==
0
60
Lại có
aACAB
==
nên
( )
cgcCAMBAE =
, suy ra
CMBE
=
(0,5đ)
Vậy
MBEBMEMCMA =+=+
(0,25đ)
Do đó
MA MC+
lớn nhất khi và chỉ khi
MB
lớn nhất khi và chỉ khi
MB
là đờng kính đờng
tròn ngoại tiếp tam giác đều
ABC
(0,25đ)
Gọi
h
và
R
lần lợt là chiều cao và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác đều
ABC
thì
2
3a
h =
và
3
3
2
3
.
3
2
3
2 aa
hR ===
. Do đó
3
32
2
a
RMB ==
(0,5đ)
Vậy giá trị lớn nhất của
MA MC
+
=
3
32a
(0,25đ)
Bài 5. (2,5đ)
Giả sử
ABAC
. Ta có
MK
AK
MI
AI
MK
KCAK
MI
BIAI
MK
AC
MI
AB
+=
+
+
=+
(1) (0,5đ)
(Vì
MK
KC
MI
BI
MCKgMBIgMCKMBI === cotcot
) (0,25đ)
Do
MCBMAB =
(cùng chắn cung
MB
) nên
MCBgMABg = cotcot
, (0,25đ)
Suy ra
MH
CH
MI
AI
=
(2) (0,5đ)
Do
MBCMAC =
(cùng chắn cung
MC
) nên
MBCgMACg = cotcot
, (0,25đ)
Suy ra
MH
BH
MK
AK
=
(3) (0,5đ)
Từ (1), (2), (3) suy ra
MH
BC
MH
BH
MH
CH
MK
AC
MI
AB
=+=+
(0,25đ)
***********************************************
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
10
A
K
B
C
H
M
I
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
môn toán 9
Thi gian lm bi: 150 phỳt
Đề số 4
Bài 1 ( 3 điểm ): Cho biểu thức:
P=
x
x
x
x
xx
xx
+
+
+
3
3
1
)3(2
32
3
1) Rút gọn biểu thức P
2) Tính giá trị của P với x = 14-6
5
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 2 ( 3 điểm ): Giải phơng trình:
1)
1
1
1
12
1
23
1
=
++
+
+++
+
+++ xxxxxx
2)
12428
1
4
2
36
=
+
yx
yx
Bài 3 ( 3 điểm ):
1) Cho biểu thức A =
204
2
+ xx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của A
2) Cho (x+
3
2
+x
)(y+
3
2
+y
) = 3. Tìm giá trị của biểu thức P = x + y
Bài 4 ( 3 điểm ):
1) Chứng minh rằng:
5
2
< 1 +
50
1
4
1
3
1
2
1
++++
< 10
2
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x
2
+ y
2
+ z
2
Biết x + y + z = 2007
Bài 5 ( 3 điểm ): Cho a, b, c lần lợt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Chứng minh rằng:
bc
aA
Sin
2
2
Bài 6 ( 5 điểm ): Cho tam giác đều ABC có cạnh 60 cm. Trên cạnh BC lấy điểm D sao
cho BD = 20 cm. Đờng trung trực của AD cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở E, F. Tính
độ dài các cạnh của tam giác DEF.
Hết
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
11
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
hớng dẫn chấm đề số 4
Bài Nội dung Điểm
Bài 1
3
điểm
1) Điều kiện để giá trị biểu thức P xác định: x
0; x
9
Rút gọn:
P =
3
3
1
)3(2
)3)(1(
3
+
+
+
x
x
x
x
xx
xx
=
)1)(3(
)1)(3()3(23
2
+
++
xx
xxxxx
=
)1)(3(
33181223
+
+
xx
xxxxxxx
=
1
8
)1)(3(
)8()8(
)1)(3(
2483
+
+
=
+
++
=
+
+
x
x
xx
xxxx
xx
xxxx
0,5
0,25
0,5
0,25
2) x = 14 -6
5
= = (
5
- 3)
2
=> x = 3 -
5
Khi đó P =
11
5258
54
5622
153
85614
=
=
+
+
0,25
0,5
3) P =
1
8
+
+
x
x
=
=
+
+=
+
+
1
9
1
1
91
x
x
x
x
1+x
+
1
9
+x
- 2
2
9
- 2 = 4
( áp dụng BĐT Côsi cho hai số dơng
1+x
;
1
9
+x
)
Dấu " = " sảy ra <=>
1+x
=
1
9
+x
<=> x = 4 thoả mãn đk
Vậy min P = 4 khi x = 4
0,5
0,25
Bài 2
3
điểm
1) Giải phơng trình:
1
1
1
12
1
23
1
=
++
+
+++
+
+++ xxxxxx
đk: x
0
<=>
1
)1)(1(
1
)12)(12(
12
)23)(23(
23
=
+++
+
+
+
+++++
++
+
+++++
++
xxxx
xx
xxxx
xx
xxxx
xx
0,5
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
12
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
<=> (
3+x
-
2+x
) + (
2+x
-
1+x
) + (
1+x
-
x
) = 1
<=>
3+x
=
x
+ 1
<=> x + 3 = x + 2
x
+ 1
<=> 2
x
= 2
<=>
x
= 1
<=> x = 1 thoả mãn đk. Vậy pt có nghiệm x = 1
2) đk để phơng trình
12428
1
4
2
36
=
+
yx
yx
(1) có
nghiệm là: x > 2; y > 1
(1) <=>
028
1
)1(4
2
)2(436
22
=
+
+
+
y
y
x
x
<=>
0
1
)12(
2
)226(
2
2
=
+
y
y
x
x
(2)
Với x > 2; y > 1 =>
01
02
0)12(
0)226(
2
2
y
x
y
x
(3)
Từ (2) và (3) =>
=
=
0)12(
0)226(
2
2
y
x
<=>
=
=
0)12(
0)226(
y
x
<=>
=
=
12
226
y
x
<=>
=
=
5
11
y
x
Thử lại: x = 11; y = 5 là nghiệm của pt
Vậy pt có 1 nghiệm duy nhất (x,y) = (11,5)
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
1) A =
204
2
+ xx
A =
41616)2(16)44(
22
=+=++ xxx
A = 4 <=> x - 2 = 0 <=> x = 2
Vậy Min A = 4
0,5
0,5
0,5
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
13
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
2) Xét biểu thức (x+
3
2
+x
)(y+
3
2
+y
) = 3 (1)
Nhân 2 vế của (1) với (x-
3
2
+x
)
0 ta đợc:
-3(y+
3
2
+y
) = 3(x-
3
2
+x
)
<=> -(y+
3
2
+y
) = (x-
3
2
+x
) (2)
Nhân 2 vế của (1) với (y-
3
2
+y
)
0 ta đợc:
-3(x+
3
2
+x
) = 3(y-
3
2
+y
)
<=> -(x+
3
2
+x
) = (y-
3
2
+y
) (3)
Lấy (2) cộng với (3) ta đợc:
-(x+y) = x+y => x+y = 0
Vậy A = x+y = 0
0,5
0,5
0,5
Bài 4
3
điểm
1) 5
2
< 1 +
50
1
4
1
3
1
2
1
++++
< 10
2
đặt S = 1 +
50
1
4
1
3
1
2
1
++++
ta có: S >
50
1
50
1
50
1
50
1
++++
=
50
1
.50 = 5
2
(1)
Mặt khác ta có: 1 =
12
2
<
01
2
+
;
; ;
12
2
22
2
2
1
+
<=
4950
2
502
2
50
1
+
<=
Cộng 2 vế ta đợc:
S <
01
2
+
+
4950
2
12
2
+
++
+
= 2{(
1
-
0
)+(
2
-
1
)+ +(
50
-
49
)} = 2
50
= 10
2
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: 5
2
< S < 10
2
(đpcm)
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x
2
+ y
2
+ z
2
Biết x + y + z = 2007
áp dụng BĐT Bu nhiacôpxki ta có:
(x+y+z)
2
(x
2
+y
2
+z
2
).(1+1+1)
<=> x
2
+y
2
+z
2
(x+y+z)
2
/3 = 2007/3 = 669
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là: 669
0,5
0,25
0,25
Bài 5
Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM
Ax và CN
Ax
0,5
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
14
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
3
điểm
Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có:
Sin MAB = Sin
AB
BMA
=
2
=> BM = c.sin
2
A
SinNAC = sin
2
A
=
AC
CN
=> CN = b.sin
2
A
Do đó BM + CN = sin
2
A
(b+c)
Mặt khác ta có BM + CN
BD + CD = BC = a
=> sin
2
A
(b+c)
a, vì sin
2
A
< 1
Do b+c
2
bc
nên
bc
cb
2
11
+
Hay sin
2
A
bc
a
2
( đpcm)
0,5
0,5
0,5
1
Bài 6
5
điểm
GT: Tam giác ABC: AB = BC = AC = 60 cm, BD = 20 cm
KL: DE = ?; DF = ?; EF = ?
Đạt DE = AE = x, DF = AF = y. Kẻ DI
AB, DK
AC.
Ta có BI = BD.cos60
0
= 20.
2
1
= 10
DI =
22
BIBD
=
22
1020
=
300
= 10
3
Ta có: EI = 50 - x, áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông
DEI ta có: ED
2
= EI
2
+ ID
2
= (50 - x)
2
+ (10
3
)
2
=> x
2
= 2500 - 100x + x
2
+300 <=> 100x = 2800 => x = 28
Ta có: CK = CD. cos60
0
= 40.
2
1
= 20; DK =
22
CKDC
=
22
2040
=
1200
= 20
3
.
Ta có: FK = 40 - y; áp dụng định lí pitago trong tam giác vuông
DFK ta có: DF
2
= DK
2
+ FK
2
= (40-y)
2
+ (20
3
)
2
<=> y
2
= 1600 - 80y + y
2
+ 1200 <=> 80y = 2800 => y = 35
Kẻ EK
AF, ta có: AH = EA. cos60
0
= 28.
2
1
= 14.
HF = y-14 = 35 - 14 = 21
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
15
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
EH = x.sin60
0
= 28.
2
3
= 14
3
Suy ra: EF =
22
HFEH +
=
22
21)314( +
=
1029
= 7
21
.
Vậy: DE = 28, DF = 35, EF = 7
21
.
0,25
0,25
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
16
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
môn toán 9
Thi gian lm bi: 150 phỳt
Đề số 5
Bài 1( 4,5điểm): Cho biểu thức: A =
22
1
22
1
4
+
+
+
x
x
a). Tìm điều kiện củ x để biểu thức A xác định.
b). Rút gọn gọn biểu thức A.
c). Tính giá trị của A khi x = 25.
d). Tìm các giá trị của x để A =
3
1
Bài 2(4 điểm): Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22
học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh
trên các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chỉ trở đợc không quá 32 ngời, hỏi ban đầu có bao
nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan?
Bài 3 (4 điểm): Cho tam giác MNP cân tại M Các đờng cao MD và NE cắt nhau tại H.
Vẽ đờng tròn (O) đờng kính MH. Chứng minh rằng:
a).E nằm trên đờng tròn (O).
b). Bốn điểm M, N, D, E cùng thuộc một đờng tròn.
c). DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có góc A bằng 15
0
; góc B bằng 45
0
trên tia đối của
tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2BC.
a). Tính góc ADB.
b). Tính khoảng cách từ D đến AC, nếu biết BC = 3 cm.
Bài 5 (3,5 điểm): Cho hai số thực a,b thoã mãn a > b và ab = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: Q =
ba
ba
+
22
.
Hết
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
17
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
hớng dẫn chấm đề số 5
Bài 1 (4,5 điểm):
a). (1 điểm) Biểu thức A đợc xác định :
4
0
4
4
0
)5,0(
02
04
x
x
x
x
x
diem
x
x
dinhXacx
(0,5 điểm)
b). (1,5 điểm): Rút gọn biểu thức A
A =
22
1
22
1
4
+
+
+
x
x
=
( ) ( )( )
22
2
)2)(2(
2
2)2( +
+
+
+
+
+ xx
x
xx
x
xx
x
(0,5 điểm)
=
)2)(2(
22
+
+++
xx
xxx
(0,25 điểm)
=
)2()2(
)2(
+
+
xx
xx
( 0,5 điểm)
=
2x
x
(0,25 điểm)
c). ( 0,5 điểm): Khi x = 25 thì A =
3
5
225
25
=
(0,5 điểm).
d). (1,5 điểm): A =
3
1
2x
x
=
3
1
(0,25 điểm)
23 += xx
(0,25 điểm)
24 =x
(0,25 điểm)
2
1
=x
(0,25 điểm)
x=
4
1
( T/m điều kiện) (0,25 điểm)
Vậy với x=
4
1
thì A =
3
1
. (0,25 điểm).
Bài 2(4 điểm) :
Gọi số ô tô ban đầu là x (x
Z, x>1). (0,25 điểm)
Thì số học sinh sẽ là : 22x + 1 (0,25 điểm)
Khi đó ta có :
N
x
x
+
1
122
(0,5 điểm).
22 +
1
23
x
N
(0,5 điểm).
1
23
x
Z
(0,5 điểm).
Suy ra x - 1 là ớc số của 23. (0,5 điểm).
Vì x > 1 nên (x - 1)
{ }
23;1
{ }
24;2 x
. (0,5 điểm).
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
18
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
Vì mỗi ô tô chỉ chở không quá 32 học sinh nên x = 24. (0,5 điểm).
Vậy số ô tô là 24 , số học sinh là 529 em. (0,5 điểm).
Bài 3 (4 điểm):
M
O
E
H
N D P
a). Tam giác HME là tam giác vuông tại E nên nội tiếp đờng tròn đờng kính MH. Từ
đó E
đờng tròn (O). (1 điểm)
b). Các tam giác MDN và MEN là các tam giác vuông có chung cạnh huyền MN nên 4
điểm M,N,D,E cùng thuộc một đờng tròn đờng kính MN. (1 điểm).
c). Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O):
Ta có : ENP = DMP ( vì cùng phụ với góc MPN). (1) (0,25 điểm)
Vì OM = OE nên tam giác OME cân , suy ra: OME = OEM (2) (0,25 điểm)
Tam giác NEP vuông tại E, có ED là đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền NP
nên: DN = DE. Suy ra tam giác DNE là tam giác cân. Suy ra DNE = DEN (3) (0,5 điểm)
Từ (1), (2), và (3) Suy ra : OEM = DEN . (0,25 điểm)
Lại có: OEM + HEO = 90
o
, Nên OEH + HED = 90
o
Suy ra DE
OE ( 0,5 điểm)
Suy ra DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). ( 0,25 điểm).
Bài 4 ( 4 điểm):
H
B C D
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
19
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
a). Tính góc ADB: ( 3 điểm)
Kẻ DH
AC , nối B với H :
Xét tam giác ABC ta có: góc ACB = 180
0
- (A + B) = 120
0
(0,25 điểm)
Suy ra góc HCD = 60
0
. (0,25 điểm)
Tam giác HCD vuông tại H có góc HCD = 60
0
nên góc HDC = 30
0
. (0,25 điểm)
Suy ra HC =
2
1
CD =
2
1
.2BC = BC. (0,25 điểm)
Suy ra tam giác HCB cân
góc HBC = 30
0
. (0,25 điểm)
Tam giác HBD có góc HBC = góc HDC = 30
0
tam giác HBD cân (0,25 điểm)
HB = HD (1) (0,25 điểm)
Tam giác HAB có: góc HAB = góc HBA = 15
0
tam giác HAB cân. (0,25 điểm)
HA = HB (2). (0,25 điểm)
Từ (1) và (2)
HA = HD (0,25 điểm)
Tam giác HAD vuông cân
góc HDA = 45
0
. (0,25 điểm)
Góc ADB = góc ADH + góc HDB = 45
0
+ 30
0
= 75
0
(0,25 điểm)
b). Tính khoảng cáh từ D đến AC: ( 1 điểm)
Vì DH
AC nên DH chính là khoảng cách từ D đến AC. (0,25 điểm)
Xét tam giác vuông HDC ta có : CD = 2 BC = 2 . 3 = 6 ( cm). (0,25 điểm)
DH = CD . cos C = 6 . cos60
0
= 3
3
(cm). (0,5 điểm)
Bài 5 ( 3,5 điểm):
Ta có : Q =
( )
ba
abba
ba
ba
+
=
+ 2
2
22
( 0,5 điểm)
= a - b +
ba
4
. ( 0,5 điểm)
Vì a > b nên a - b > 0 . áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Q = (a - b) +
ba
4
( )
( )
ba
ba
4
.2
= 4. ( 0,5 điểm)
Dấu bằng xảy ra
=
=
2.
4
ba
ba
ba
( 0,5 điểm)
=
=
2.
2
ba
ba
( 0,5 điểm)
=
+=
=
+=
13
13
13
13
b
a
b
a
( 0,5 điểm)
Vậy Giá trị nhỏ nhất của Q đạt đợc là: Q
min
=4. ( 0,5 điểm)
(Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
20
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
môn toán 9
Thi gian lm bi: 150 phỳt
Đề số 6
Câu 1(4điểm): Cho biểu thức B =
65
92
+
xx
x
-
2
3
+
x
x
-
x
x
+
3
12
a. Xác định x để B có nghĩa.
b. Rút gọn B.
c. Tìm x để B là số nguyên.
Câu 2 (1điểm):
Tìm các giá trị của m để 2 đờng thẳng y = (m 1)x + 2 (m
1)
Và y = (3 m)x + 1 (m
3) song song với nhau.
Câu 3(2điểm): Cho hệ phơng trình:
=
+=
mymx
mmyx
2
64
Giải và biện luận hệ phơng trình trên.
Câu 4(3điểm): Cho hai đờng tròn (O) và (O
) cắt nhau tại A và B. Các tiếp tuyến tại A
của các đờng tròn (O) và (O
) cắt đờng tròn(O
) và (O) theo thứ tự tại C và D. Gọi P và
Q lần lợt là trung điểm của các dây cung AD và AC.
Chứng minh rằng:
a.
AD
AC
=
BD
AB
b.
BPD =
AQB
c. Tứ giác APBQ nội tiếp
Hết
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
21
(1)
(2)
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
hớng dẫn chấm đề số 6
Câu 1(4 điểm):
a. Ta có: x - 5
x
+ 6 = (
x
- 3)(
x
- 2).
Điều kiện: x
0 x
0
x
3
x
9 (1điểm).
x
2 x
4
b. B =
)2)(3(
92
xx
x
-
2
3
+
x
x
+
3
12
+
x
x
(0,25điểm).
=
)2)(3(
)2)(12()3)(3(92
+++
xx
xxxxx
=
)2)(3(
242992
+++
xx
xxxxx
(0,25điểm).
=
)2)(3(
)1)(2(
+
xx
xx
=
3
1
+
x
x
(1điểm).
c/ Vì B =
3
1
+
x
x
= 1+
3
4
x
Nên B
z ( B nguyên) thì
x
- 3 phải là ớc của 4
x
-3
=
1;
2;
4.
Tìm đợc các giá trị thích hợp của x là: 1;4;16;25;49 (1,5 điểm).
Câu 2 (1điểm).
Để y = (m-1)x + 2 và y = (3 - m)x + 1.
Là song song với nhau thì ta có:
m-1 = 3 m vì 2
1.
2m = 4
m = 2.
Vậy với m = 2 thì thoả mãn bài ra ( 1 điểm).
Câu 3(2điểm):
Từ (2) suy ra: y = mx 2m Thay vào (1) ta đợc
4x m(mx 2m) = m +6.
(4 m
2
)x = - 2m
2
+ m +6.
- (4 m
2
)x = - (2m +3)(m 2).
(m
2
4)x = (2m +3)(m 2) (3). (0,25 điểm)
* Nếu m
2
4
0
m
2 thì x =
2
32
+
+
m
m
Khi đó y = mx 2m = m(
2
32
+
+
m
m
) 2m = -
2+m
m
Hệ có nghiệm duy nhất (
2
32
+
+
m
m
;-
2+m
m
) ( 1 điểm)
+ Nếu m = 2 thì (3) thoả mãn với mọi x
Khi đó y = mx 2m = 2x 4
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
22
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
Hệ có vố số nghiệm (x, 2x 4) với x
R.
+ Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4( vô lí).
Hệ vô nghiệm ( 0,5 điểm)
Câu 4 (3 điểm):
a. Xét
ABC và
DBA.
Có
BAC =
ADB ;
DAB =
ACB
ABC ~
DBA.
AD
AC
=
BD
AB
(1 điểm).
b. Xét
BDP và
BAQ có
BAC =
ADB.
AD
AC
=
BD
AB
PD
AQ
=
BD
AB
BDP ~
BAQ ( c.g.c).
BDP =
BAQ ( 1điểm).
c.
APD +
BPD = 180
0
( Kề bù).
Mà
BPD =
AQB
APB +
AQB = 180
0
Tứ giác APBQ nội tiếp
*****************************************
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
0.
D
B
C
p q
Q
0.
A
23
(1 điểm)
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
môn toán 9
Thi gian lm bi: 150 phỳt
Đề số 7
Câu 1 (6 điểm): Cho biểu thức
A =
+
+ )1)(1(
2
1
1
.
a1
a
-1:1
aa
a
a
a) Tìm điều kiện của a để A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) với giá trị nào của a thì A có giá trị nguyên.
Câu 2(4 điểm): Cho hàm số: y =
m
x
+
2
có đồ thị là (D
m
) và hàm số: y =
1x
có đồ thị là
(T).
a) Với m = 2 . Vẽ (T) và (D
-2
) trên cùng hệ trục toạ độ.
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
x + 2m - 2
012
2
=+ xx
Câu 3(3 điểm): Giải hệ phơng trình:
=+
=+
26
2
33
yx
yx
Câu 4(2 điểm): Giải phơng trình:
5168143 =++++ xxxx
Câu 5: ( 6 điểm): Cho hai đờng tròn ( O;R) và (O; r) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến
chung ngoài BC, B
(O), C
(O).
a) Tính số đo góc BAC
b) Tính BC.
c) Gọi D là giao điểm của CA với đờng tròn tâm O, ( D A). Chứng minh rằng ba điểm
B,O,D thẳng hàng.
d) Tính BA,CA
****Hết***
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
24
*****Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Toán*****
Hớng dẫn chấm đề số 7
Câu 1:
Ta có: A =
+
+ )1)(1(
2
1
1
.
a1
a
-1:1
aa
a
a
A =
)1)(1(
21
.
a1
a1
:1
+
+
+
+
aa
aaa
(0,5 điểm)
A =
)1)(1(
)1(
.
a1
1
:1
2
+
+ aa
a
(0,5 điểm)
a) Biểu thức A có nghĩa khi:
+
+
1
0
1
0
01
01
01
0
a
a
a
a
a
a
a
a
(*) ( 1 điểm)
b) Với điều kiện (*), ta có:
A =
)1)(1(
)1(
.
a1
1
:1
2
+
+ aa
a
(1 điểm)
A =
1
1
)1)(1(
)1()1(
2
+
=
+
+
a
a
aa
aa
(1 điểm)
c) Ta có:
A =
1
1
+
a
a
= 1 -
1
2
+a
(0,5 điểm)
Biểu thức A có giá trị nguyên khi:
2
)1( +a
(0,5 điểm)
hay a+1 = {1;-1;2;-2} => a = {0;-2;1;-3}
Kết hợp với điều kiện (*) => a = 0 (1 điểm)
Câu 2:
Với m = - 2 ta có hàm số: y =
2
2
x
(0,25 điểm)
Ta lại có: y =
1x
=
<+
11
11
neuxx
xneux
(0,25 điểm)
Từ đó ta có đồ thị sau:
2
-2
-5
5
(T)
(D-2)
(Dm)
1
y
x
0
1
(1 điểm)
Giáo viên : Đỗ Tuán Long Trờng THCS Định Bình
25
