Bài tập Bất đẳng thức

B Ấ T Đ Ẳ NG TH Ứ C – TÓM T Ắ T LÝ THUY Ế T – BÀI T Ậ P RÈN LUY Ệ N VÀ NÂNG CAO
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
A, B là các số thực. Bất đẳng thức là các mệnh đề: .
 Chứng minh 1 bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.
I. Tính Chất:

2

II. Các Hệ Quả


III. Bất Đẳng Thức Chứa Trị Tuyệt Đối
Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi
. Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi
4.
5. Với

IV. Bất Đẳng Thức CauChy (Cô-si):
1. Bất đẳng thức Cô Si cho 2 số không âm:
www.locdo.net hay www.locdo.net/forum Page 1
B Ấ T Đ Ẳ NG TH Ứ C – TÓM T Ắ T LÝ THUY Ế T – BÀI T Ậ P RÈN LUY Ệ N VÀ NÂNG CAO
: hay: hay: .
Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a = b.
Hệ quả 1: Khái niệm liên quan
Nếu a > 0, b > 0 và S = a + b không đổi M là GTLN của hàm số y = f(x) trên txđ D
Thì tích ab lớn nhất bằng khi a = b =
Hệ quả 2: Khái niệm liên quan
Nếu a > 0 và b > 0 và P = ab không đổi m là GTNN của hàm số y = f(x) trên txđ D
Thì tổng a + b nhỏ nhất bằng khi
2. Bất đẳng thức Cô Si cho 3 số không âm:
: hay: hay: a.b.c

Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a = b = c.
3. Bất đẳng thức Cô Si cho n số không âm :
:
hay:
hay:
Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi
V. Bất Đẳng Thức Bunhiacốpxki:
1. Bất đẳng thức Svac-xơ: (Schwartz):
Với 4 số a,b,x,y tùy ý: .
Dấu “=” xãy ra khi: hoặc x = y = 0
2. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki (Bouniakowski):
Với 4 số tùy ý a,b,x,y ta có:
Dấu “=” xãy ra khi: hoặc x = y = 0
www.locdo.net hay www.locdo.net/forum Page 2
B Ấ T Đ Ẳ NG TH Ứ C – TÓM T Ắ T LÝ THUY Ế T – BÀI T Ậ P RÈN LUY Ệ N VÀ NÂNG CAO
Với 6 số a,b,c,x,y,z tùy ý ta có:
Dấu “=” xãy ra khi: hoặc x = y = z = 0
B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN:
 Phương pháp biến đổi tương đương:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
Giải: Ta có

Vậy:
Đẳng thức xãy ra khi
*Vận dụng:
* Nhận xét: nếu chuyển vế thì được 1 hằng đẳng thức?
Đẳng thức xãy ra khi:

Ví dụ 2: Cho 3 số a,b,c tùy ý. Chứng minh rằng: (1)
Giải: Ta có:

(1)
Vậy
* Nhận xét:
Nếu tách và gộp nhóm hợp lý ta được các hằng đẳng
thức và là các bình phương
Ví dụ 3: Chứng minh với mọi a,b,c thuộc , ta có: (1)
Giải: ta có:(1)
( luôn đúng với mọi a,b,c)
Vậy:
Nhận xét:
khi chuyển vế ta được biểu thức:
là 3
hằng đẳng thức
Ví dụ 4: Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác.
Chứng minh: (1).
Giải: Ta có: (1) ⇔
Nhận xét: sử dụng
hằng đẳng thức
phân tích thành
thừa
* Lưu ý:
Bất đẳng thức
www.locdo.net hay www.locdo.net/forum Page 3
B Ấ T Đ Ẳ NG TH Ứ C – TÓM T Ắ T LÝ THUY Ế T – BÀI T Ậ P RÈN LUY Ệ N VÀ NÂNG CAO
( luôn đúng)
Vậy:
trong tam giác.
Bài tập cùng phương pháp:
Bài tập 1: Chứng minh các số thực a,b,c,d tùy ý, ta có:
a)

b)
c)
d)
Bài tập 2: Chứng minh với 2 số thực a,b thỏa , ta có:
a)
b)
Bài tập 3: Cho các số thực a,b,c,d sao cho Chứng minh
a)
b)
Bài tập 4: Chứng minh rằng: với mọ i a,b,c thỏa a + b + c ≠ 0
Bài tập 5: Chứng minh rằng:
a)
b)
Bài tập 6: Chứng minh với 2 số thực không âm a,b ta có:
www.locdo.net hay www.locdo.net/forum Page 4
B Ấ T Đ Ẳ NG TH Ứ C – TÓM T Ắ T LÝ THUY Ế T – BÀI T Ậ P RÈN LUY Ệ N VÀ NÂNG CAO
Bài tập 7: Cho
Bài tập 8: Cho . Chứng minh rằng:
Bài tập 9: Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình:
www.locdo.net hay www.locdo.net/forum Page 5