03. Cách xát định số nghiệm dương của pt bậc hai

Thủ thuật thứ 03: Cách tìm số nghiệm dương của tam thức bậc hai (phương trình
bậc hai).
A. Phương pháp:
Nếu phương trình bậc hai
2
0
ax bx c
  

( 0)
a

có
0
 
.( Nghiệm
1 2
x x

được xem là hai
nghiệm).
Khi đó số nghiệm dương của phương trình bậc hai đó đúng bằng số lần đổi dấu của
a
,
b
,
c
theo
thứ tự đó.
Ví dụ:
2

4 5 1 0
x x
  
có
0, 0, 0
a b c
  
nên
0
 
và
, ,
a b c
đổi dấu 2 lần
( )
  
. Do đó mà
được 2 nghiệm dương.
Chứng minh cho phương pháp này:
a. Nếu
a
và
c
ngược dấu thì
. 0
a c

. Do vậy phương trình có một nghiệm âm và một nghiệm
dương. Dù
b

như thế nào thì vẫn đổi dấu 1 lần.
b. Nếu
a
và
c
cùng dấu thì
0
P ac
 
nên nếu phương trình này có nghiệm thì sẽ có hai
nghiệm cùng dấu.
+ Khi
b
cùng dấu:
0
b
S
c

 
nên sẽ có 2 nghiệm âm.
Như vậy,
, ,
a b c
không đổi dấu lần nào và không có nghiệm dương.
+ Khi
b
cùng dấu:
0
b

S
c

 
nên sẽ có 2 nghiệm dương.
Như vậy,
, ,
a b c
đổi dấu hai lần và sẽ có hai nghiệm dương.
B.Áp dụng:
(Tự cho bài tập bất kì rồi giải xem).


C. Bình loạn:
- Ứng dụng của phương pháp này này là nhẩm nghiệm dương để kiểm tra lại kết quả, và phương pháp
này ứng dụng chủ yếu để kiểm tra khi giải phương trình trùng phương
4 2
0
ax bx c
  
.
- Chú ý trường hợp
0
 
thì không xét được, lúc này
a
và
c
cùng dấu. Đây là trường hợp dễ bị sai
nhất của học sinh.