MỘT SỐ DẠNG PT LƯỢNG GIÁC

1

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
DẠNG 1: sin u(x) = sin v(x)
Phương pháp:
ADCT:






2k)x(v)x(u
2k)x(v)x(u
)x(vsin)x(usin ;
Z
k

.
Bài 1/1/1:
Giải các phương trình sau:
1)
7
sinxsin

 2)
2
3
xsin  3)

2
1
xsin 
4)
3
1
xsin  5)
2009
2010
xsin  6)
7
cosxsin


7) 0x3sinxsin


8) 0x3cosxsin


9)
 
2
3
20x3sin
0

Bài 1/1/2:
Giải các phương trình sau:
1)

2
1
xsin  2)
 
2
3
xsinsin  3)


0xsinxsin
2

Bài luyện tập 1/1/1:
Giải các phương trình sau:
1)
 
2
3
30xsin
0
 2)
2
2
5
x4sin 








 3)
2
3
x6
3
sin 









4) 0x4cosx2sin


5) 0x4
3
sin
3
2
x3sin 


















6)
0
6
x5cos
4
3
x7sin 

















7) 0
4
5
x3cos
3
4
x2sin 
















8)

 
2
1
xsinsin  9)
x
1
cosxsin 
DẠNG 2: cos u(x) = cos v(x)
Phương pháp:
ADCT:






2k)x(v)x(u
2k)x(v)x(u
)x(vcos)x(ucos ;
Z
k

.
Bài 1/2/1:
Giải các phương trình sau:
1)
5
cosxcos

 2)

2
2
xcos  3)
2
3
xcos 
4)
2010
2009
xsin  5)
2
x
sin


6)
5
sinxcos



2

7) 0x3cosxcos


8) 0x5sinxcos


9)



2
1
40x2sin
0

Bài 1/2/2:
Giải các phương trình sau:
1)
 
2
1
xcoscos  2)
 
2
3
xsincos  3)


0xsinxcos
2

Bài luyện tập 1/2/1:
Giải các phương trình sau:
1)
2011
xcos

2)

2
3
x6
3
cos 








3) 0x5sinxcos



4)


1xsin8cos

5)
 
2
3
xsincos  6)


xsinxcos

2

7)
 
07x3cos
5
xcos 







 8) 0xsin
2
1
x2xcos
22















DẠNG 3: tan u(x) = tan v(x)
Phương pháp:
ĐK: 





0)x(vcos
0)x(ucos
Z'k;
'k
2
)x(v
'k
2
)x(u
















ADCT:





k)x(v)x(u)x(vtan)x(utan ;
Z
k

.
Bài 1/3/1:
Giải các phương trình sau:
1)
9
tanxtan

 2)
3
1
xtan 
3) 3xtan 
4)
9
cotxtan


 5)
2011
x2tan


6) 0
5
2
cotxtan 


7) xcosxsin

8) x2cos3x2sin  9) 0
2
x
cos2
2
x
sin3 
Bài 1/3/2:
Giải các phương trình sau:
1)


1xcostan


2) 0x3tanxtan




Bài luyện tập 1/3/1:
Giải các phương trình sau:
1) 0
5
3
tanxtan 

 2) 0
7
3
cotx3tan 

 3)
2
x
tan


4) 0xcos5xsin2


5) 0x2cosx2sin3


6) 0
2
x

cos
2
x
sin 
7)


1xcostan


8)




xtancotxtantan



9)


3xsintan 

3

DẠNG 4: cot u(x) = cot v(x)
Phương pháp:
ĐK: 






0)x(vsin
0)x(usin
Z'k;
'k)x(v
'k)x(u







ADCT:





k)x(v)x(u)x(vcot)x(ucot ;
Z
k

.
Bài 1/4/1:
Giải các phương trình sau:
1)

3
1
xcot 
2) 0
7
5
cotxcot 

 3) 0
7
5
tanxcot 


4)


x2tan 5) 2020x3cot

6) 0
5
cotx4tan 


Bài 1/4/2:
Giải các phương trình sau:
1)


3xcoscot  2) 0x3cotxcot




Bài luyện tập 1/4/1:
Giải các phương trình sau:
1)
5
3
xcot  2) 0
5
cotxcot 

 3) 0
7
2
tanx3cot 


4)


3xcoscot  5) 0xtanx3cot


6)




xsin2cotxsincot





DẠNG 5:








)()x(vcos)x(usin
)()x(vcos)x(ucos
)()x(vsin)x(usin
3
2
1
22
22
22

Phương pháp:
+ Áp dụng các công thức hạ bậc, ta có:
+ PT (1) )x(v2cos)x(u2cos
2
)x(v2cos1
2
)x(u2cos1






+ PT (2) )x(v2cos)x(u2cos
2
)x(v2cos1
2
)x(u2cos1





+ PT (3)
 




 )x(v2cos)x(u2cos
2
)x(v2cos1
2
)x(u2cos1

Bài 1/5/1:
Giải các phương trình sau:
1)

2
1
xsin
2
 2)
4
3
xcos
2
 3)
x
3
sin
x
2
sin
22


5)
x
4
cos
x
cos
22

6)
x
4

cos
x
3
sin
22

6)
4
x
cos
3
x
sin
22

Bài luyện tập 1/5/1:
Giải các phương trình sau:

4

1)
1
x
sin
2

2)
4
1
xcos

2
 3)
x
4
sin
x
3
sin
22


4)
x
3
cos
x
2
cos
22

5)
x
5
cos
x
sin
22

6)
8

x
cos
6
x
sin
22

7)















4
x
cos
5
2
x5sin
22

DẠNG 6:








)()x(vcot)x(utan
)()x(vcot)x(ucot
)()x(vtan)x(utan
3
2
1
22
22
22

Phương pháp:
+ Khi 2 vế của phương trình có nghĩa, ta có:
+ PT (1)






)x(vtan)x(utan

)x(vtan)x(utan
Zk;
k)x(v)x(u
k)x(v)x(u







+ PT (2)






)x(vcot)x(ucot
)x(vcot)x(ucot
Zk;
k)x(v)x(u
k)x(v)x(u








+ PT (3)
























2
)x(vtan)x(vcot)x(utan
)x(v
2
tan)x(vcot)x(utan














k
2
)x(v)x(u
k)x(v
2
)x(u

Bài 1/6/1:
Giải các phương trình sau:
1)
3
1
xtan
2
 2)
3
x

cot
2

3)
x
3
tan
x
tan
22


4)
x
3
cot
x
2
cot
22

5)
4
x
cot
3
x
tan
22
 6)

8
x
cot
6
x
tan
22

Bài luyện tập 1/6/1:
Giải các phương trình sau:
1)
3
x
2
tan
2

2)
1
x
3
cot
2

3)
x
4
tan
x
2

tan
22


4)
x
2
cot
x
cot
22

5)
3
x
cot
2
x
tan
22
 6)
6
x
cot
8
x
cot
22

Chú ý:

Các bước giải phương trình lượng giác tổng quát
Bước 1: Đặt điều kiện của x để 2 vế của pt có nghĩa
Bước 2: Biến đổi phương trình lượng giác tổng quát tương đương với pt
lượng giác cơ bản

tìm ẩn x
Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm
Bài 1/6/2.
Giải các phương trình sau:

5

1) 0
x49
1x2cos
22



2) 01
3
x
sin2xtan 






 3) 0

x5cos.x2cos
x7cos

Chú ý:
Các cách kiểm tra điều kiện khi giải pt lượng giác:
+ Cách 1: Thay trực tiếp cung nghiệm vào điều kiện

tính k

n
0

+ Cách 2: Biểu diễn điểm ngọn của cung điều kiện và cung nghiệm trên
đường tròn lượng giác và loại các điểm trung nhau.
+ Cách 3: Giải phương trình các tham số nguyên
Bài luyện tập 1/6/2.
Giải các phương trình sau:
1) 0x2sinx
9
2
2


2) 0
x2
x)1x(cos



3) 0

xcos
3xsin2



4)
0
xsin
)4xcos3)(1x(cos



6) 0
x
5
cos
x8sinx12sin



7) 0
x
sin
x
5
cos
)xtanx2)(tanxcosx5(sin






Bài luyện tập 1/6/3:
Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm:
1)
m
3
m
x
sin
2


2)
6
m
5
m
x
cos
2




3)
m
m
x
sin

22



BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH THEO HÀM SỐ y = sin u(x)
DẠNG 1:
0
C
u
sin
B
u
sin
A
2



,


0A


Phương pháp:
+ Đặt sinu = t, với


1;1t




+ Giải PT:
t
0
C
t
.
B
At
2





+ Giải PT: sinu = t

x
Bài 2/1/1.
Giải các phương trình sau:
a)
0
2
x
sin
2
x
sin
2

2



b)
0
1
x
sin
x
cos
2




c)
x
2
cos
2
x
sin
3
x
cos
2
2





Chú ý:
Các hằng đẳng thức cần nhớ:
x
cos
x
sin
44


x
cos
x
sin
2
1
22


x2sin
2
1
1
2

4
x4cos1
1



4
x4cos3


x
cos
x
sin
66


x
cos
x
sin
3
1
22


x2sin
4
3
1
2

2
x4cos1
.

4
3
1


8
x4cos35


x
cos
x
sin
88




xcosxsin2xcosxsin
44
2
44


6



xcosxsin2xcosxsin21
44

2
22

1
x
cos
x
sin
4
x
cos
x
sin
2
2244




1
x2sinx2sin
8
1
24

1
2
x4cos1
2
x4cos1

8
1
2











x
cos
x
sin
1010





xcosxsinxcosxsinxcosxsinxcosxsin
46646644







)xcosx(sinxcosxsinxcosxsin31xcosxsin21
22442222

1
x
cos
x
sin
5
x
cos
x
sin
5
2244




1
x2sin
4
5
x2sin
16
5
24


1
2
x4cos1
.
4
5
2
x4cos1
16
5
2











x5sin = xsin)xsinx3(sin)x3sinx5(sin





xsinxsinx2cos2xsinx4cos2





xsin)1x2cos2x4cos2(





xsin
x5sin
 1x2cos2x4cos2



,


0xsin


x
5
cos
= xcos)xcosx3(cos)x3cosx5(cos





xcosxcosx2cos2xcosx4cos2




xcos)1x2cos2x4cos2(





xcos
x5cos

1
x2cos2x4cos2



,


0xcos


Bài 2/1/2.
Giải các phương trình sau:
a)
5
x

cos
x
sin
x
2
sin
2
44



b) xsin
2
x
cos
2
x
sin2
44








b)
4
5

x2sinxcosxsin
66

Bài 2/1/3.
Giải các phương trình sau:
a) 0
xcos
xcos2xsin51
2


b)


0
x2sin
x2sinxcosxsin2
44



Bài luyện tập 2/1/1:
Giải các phương trình sau:
1)
3
x
2
sin
7
x

2
cos
3
2


2)
3
x
cos
2
x
sin
4
24



3) xsin4
4
3
xcosxsinx2cos
22
 4)
x
2
cos
x
cos
x

sin
2
x
2
cos
x
2
sin
44




7

5)




x2sin3xcosxsin2xcosxsin4
4466
 6)
4
5
xsin
2
x
cos
2

x
sin
66

7) 1
1x2sin
)2x(sinxsin3)xsin2x(cosxcos




DẠNG 2:
0
D
u
sin
C
u
sin
B
u
sin
A
23




,



0A


Phương pháp:
+ Đặt sinu = t, với


1;1t



+ Giải PT:
t
0
D
Ct
Bt
At
23






+ Giải PT: sinu = t

x
Bài 2/2/1.

Giải các phương trình sau:
a)
x
cos
8
5
x
sin
x
sin
4
23



b)
x
cos
3
x
2
cos
9
1
x
sin
7
x
sin
3

23





c) )x2cosx3(sin4)1x(sin5



d)
x
2
sin
x
cos
3
x
2
cos
x
sin
8
x
cos
2




Bài luyện tập 2/2/1:
Giải các phương trình sau:
a)
x
2
cos
x
sin
x
sin
2
3


b) x2cosx3sin3xsin




c) 02xsinx3sin



d)
x
2
sin
x
cos
x

2
cos
x
sin
2
x
cos
2




DẠNG 3: 0C
usin
1
.BucotA
2
 ,


0A


Phương pháp:
+ Điều kiện Zk,ku0usin






+ Đặt 1t1
u
sin
1
ucot)0t(,t
usin
1
2
2
2

+ PT


0CBt1tA
2
 ?x?t





Bài 2/3/1:
Giải phương trình: xcot7
xsin
5
2

Bài luyện tập 2/3/1:

Giải phương trình:
1) x2cot24
x2sin
1
2
 2) 9
2
x
sin
3
2
x
cot5
2
 3) 5
3
x
sin
1
3
x
cot
2

DẠNG 4: 0C
usin
1
usinB
usin
1

usinA
2
2














 ,


0A


Phương pháp:
+ Điều kiện 0usin



8

+ Đặt








2t
usin
1
usint
usin
1
usin
2t
usin
1
usint
usin
1
usin
2
2
2
2
2
2

+ PT


?x?t0CBt2tA
2



Bài 2/4/1:
Giải phương trình:
a) 02
xsin
2
xsin
xsin
4
xsin
2
2
 b) 1
xsin
1
xsin
xsin
1
xsin2
2
2









Bài luyện tập 2/4/1:
Giải các phương trình sau:
a)
4
11
xsin
xsin
1
x
sin
1
xsin
2
2
 ; b) 12xsin2
xsin
3
xsin
9
xsin4
2
2

DẠNG 5:









edusincusinbusinausin





,


dcba




Phương pháp:
+ PT





ecdusin)dc(usinabusin)ba(usin

22

+ Đặt tusin)ba(usin
2

+ PT




?tecdtabt






Bài 2/5/1.
Giải phương trình sau:






156xsin4xsin2xsinxsin







Bài luyện tập 2/5/1:
Giải các phương trình sau:
1)






123x2sin2x2sin1x2sinxcosxsin





2) 81
2
x
sin3
2
x
sin2
2
x
sin
2
x
sin 






















3) 15)5x)(sin3x(sinxcos
2

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH THEO HÀM SỐ y = cos u(x)
DẠNG 1. PT:
0
C
u
cos

B
u
cos
A
2



,


0A


Phương pháp:
+ Đặt cosu = t, với


1;1t



+ Giải PT:
t
0
C
t
.
B
At

2





+ Giải PT: cosu = t

x
BÀI 3/1/1.
Giải các phương trình sau:
a)


03xcos132xcos4
2
 b)
4
x
sin
5
x
cos
5
x
cos
9
22





c)
x
2
cos
3
1
x
cos
2
x
sin
5
2




Bài 3/1/2.
Giải các phương trình sau:

9

a) 023
2
x
cos3xcos  b)
x
sin

8
6
x
2
cos
x
2
sin
22




c)
4
x
2
sin
x
cos
2
x
2
cos
x
4
cos
22






d)
x
cos
4
x
cos
3
x
3
sin
3
x
6
cos
32




Bài 3/1/3.
Giải các phương trình sau:
a)
x
8
cos
x
cos

x
sin
44


c)
x
2
cos
x
2
sin
x
cos
x
sin
4466




c)
xcos
x5cos
xcosxsin
66
 d)
xsin
x5sin
5x2sin2

2

e)
2
x
2
cos
4
x
cos
x
sin
x
cos
x
sin
4466






Bài luyện tập 3/1/1:
Giải các phương trình sau:
1) 0)xcos2(xcosxsin2x2cos
2

2)
1

x
2
sin
x
4
cos
x
sin
2
x
sin
4
224





3)
6
x
2
cos
3
x
4
cos
x
2
sin

x
cos
4
x
sin
8
2244






4)
x
cos
4
x
cos
3
x
3
sin
3
x
6
cos
32





5) 3xsin)5x2cos2(xcos)5x2cos2(
44

6)
x
2
cos
x
2
sin
x
cos
x
sin
4466




7)
x
3
cos
x
sin
3
1
x

cos
11
x
cos
23





8) 01)3x2(sinxsin2)3x2(sinxsin2
24

9) 0
2
3x
sin)xcos(1 


 10)
5
x
tan
2
x
2
cos
2
2




11)
x
4
cos
x
cos
x
sin
1010


12) 2)1x2sin(3)2x4cos(





13) 4
xsin
x5sin
xcosxsin
66
 14)
xcos
x5cos
xcosxsin
66


15)
0
xcos
9x2cos3xsin6x2sin4
22


16) 0
4
3
xcos2x2sin
22

DẠNG 2:
0
D
u
cos
C
u
cos
B
u
cos
A
23





,


0A


Phương pháp:
+ Đặt cosu = t, với


1;1t



+ Giải PT:
t
0
D
Ct
Bt
At
22






+ Giải PT: cosu = t


x
Bài 3/2/1.
Giải các phương trình sau:
a)
x
2
sin
x
sin
1
x
cos
5
x
2
cos
4
x
sin
2





b)


x3cosx2cos31xcos2





Bài luyện tập 3/2/1.
Giải các phương trình sau:
a)
x
sin
5
8
x
cos
7
x
cos
23





10

b)
x
3
cos
1
x
cos

11
x
sin
3
x
cos
23





c)
xcos
1
6xcos8xsin2x2cos3
2

DẠNG 3: 0C
ucos
1
.ButanA
2
 ,


0A


Phương pháp:

+ Điều kiện Zk,k
2
u0ucos 


+ Đặt 1t1
ucos
1
utan)0t(,t
ucos
1
2
2
2

+ PT


0CBt1tA
2
 ?x?t





Bài 3/3/1:
Giải phương trình: 0
2
5

xcos
2
xtan
2
1
2

Bài luyện tập 3/3/1.
Giải các phương trình sau:
1) 4
x2cos
4
x2tan3
2
 2) 2
2
x
cos
2
2
x
tan
2

DẠNG 4: 0C
ucos
1
ucosB
ucos
1

ucosA
2
2














 ,


0A


Phương pháp:
+ Điều kiện 0ucos


+ Đặt









2t
ucos
1
ucost
ucos
1
ucos
2t
ucos
1
ucost
ucos
1
ucos
2
2
2
2
2
2

+ PT



?x?t0CBt2tA
2



Bài 3/4/1:
Giải phương trình:
7
xcos
1
xcos
xcos
1
xcos2
2
2








Bài luyện tập 3/4/1:
Giải các phương trình sau:
a) 1
xcos
1
xcos

xcos
1
xcos2
2
2








b) 02
xcos
2
xcos
xcos
4
xcos
2
2



11

DẠNG 5:









educoscucosbucosaucos





,


dcba




Phương pháp:
+ PT





ecducos)dc(ucosabucos)ba(ucos
22


+ Đặt tucos)ba(ucos
2

+ PT




?tecdtabt






Bài 3/5/1.
Giải phương trình sau:




724xcos2xcosxsin
2

Bài luyện tập 3/5/1.
Giải các phương trình sau:
1)







156xcos4xcos2xcosxcos






2)




95xcos3xcosxsin
2

Đáp số:
1) 1xcos


và 63xcos 
2)
4
x
cos
4
x
cos

2



và
6
x
cos
4
x
cos
2


. Pt vô nghiệm.
Bài luyện tập 3/5/2.
Tìm m để phương trình sau có nghiệm x.
0
2
m
3
x
sin
x
cos
2
2






BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH THEO HÀM SỐ y = tan u(x)
DẠNG 1:
0
C
u
tan
B
u
tan
A
2



,


0A


Phương pháp:
+ Đặt tanu = t, với Rt


+ Giải PT:
t
0
C

t
.
B
At
2





+ Giải PT: tanu = t

u

x
BÀI 4/1/1.
Giải các phương trình sau:
a) 03xtan2xtan3
2
 b)
xcos5
3
5xtan4
2

c)
x
sin
2
2

5
3xtan2
2


DẠNG 2: 0CucotButanA



,


0B,A


Phương pháp:
+ Đặt tanu = t
t
1
ucot  ,


0t


+ PT

?t0BCtAt0C
t
1

.BAt
2

Bài 4/2/1:
Cho phương trình: 01mxcotmxtan2





a) Giải pt khi
1
m



b) Tìm m để pt có nghiệm
Bài luyện tập 4/2/1:

12

Giải các phương trình:
1) 5xcot2xtan3


2) 1xcot6xtan




DẠNG 3:
0
D
u
tan
C
u
tan
B
u
tan
A
23




,


0A


Phương pháp:
+ Đặt tanu = t ,


Rt


+ PT


?
t
0
D
Ct
Bt
At
23







Bài 4/3/1:
Giải phương trình:
0
8
x
tan
2
x
tan
x
tan
23






Bài luyện tập 4/3/1:
Giải phương trình:
a)
0
4
x
tan
3
x
tan
x
tan
2
23





b) 4xtanxtan
xcos
1
2
2


DẠNG 4:
0
u
cot
D
C
u
tan
B
u
tan
A
2




,


0D,A


Phương pháp:
+ Đặt tanu = t
t
1
ucot  ,



0t


+ PT

?t0DCtBtAt0
t
1
.DCBtAt
232

Bài 4/4/1:
Giải phương trình:
0
6
x
cot
2
x
tan
3
x
tan
2





Bài luyện tập 4/4/1.

Giải các phương trình sau:
1)
4
x
cot
3
x
tan
2


2) 5xcot2xtan
xcos
1
2

3)
4
x
cot
2
x
tan
x
tan
2



4) 6xcotxtan

xcosxsin
1
22
22

5)
x
cos
1
xcotxtan
2
 6) 05xcot2xtan
x2cos1
2



DẠNG 5: 0u2cosCu2sinButanA



,


0A


Phương pháp:
+ Đặt tanu = t,



Rt


2
t
1
t2
u2sin

 ;
2
2
t
1
t1
u2cos


 &
2
t
1
t2
u2tan


+ PT ?t0
t
1

t1
C
t
1
t2
.BAt
2
2
2






Bài 4/5/1:
Giải phương trình: xtan3x2cos3x2sin2



Bài luyện tập 4/5/1.
Giải các phương trình sau:
1) xtan3x2cosx2sin4



2)
2
x
cot1xcosxsin2 

13

3) xtan3x2cos3x2sin2


4)
1
xsin31xcos2 
5) xcot
x2sin
1
4
9
xtan2 
BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH THEO HÀM SỐ y = cot u(x)
DẠNG 1:
0
C
u
cot
B
u
cot
A
2



,



0A


Phương pháp:
+ Đặt cotu = t, với Rt


+ Giải PT:
t
0
C
t
.
B
At
2





+ Giải PT: cotu = t

u

x
Bài 5/1/1.
Giải các phương trình sau: 03xcot2xcot3

2

Bài luyện tập 5/1/1:
Giải các phương trình sau:
a)
5
x
cos
5
7
5xcot3
2

 b)
x
cos
2
2
5
4xcot
2


DẠNG 2:
0
D
u
cot
C
u

cot
B
u
cot
A
23




,


0A


Phương pháp:
+ Đặt cotu = t ,


Rt


+ PT


?
t
0
D

Ct
Bt
At
23







Bài 5/2/1:
Giải phương trình: 02
2
x
cot5
2
x
cot2
2
x
cot
23

Bài luyện tập 5/2/1:
Giải các phương trình:
a) 4xtanxcot3
xsin
1
2

 b) 3xcot
xsin
1
3
2

c)
3
x
sin
2
8
3
x
cot3
3
x
cot
2
3

DẠNG 3:
0
u
tan
D
C
u
cot
B

u
cot
A
2




,


0D,A


Phương pháp:
+ Đặt cotu = t
t
1
utan  ,


0t


+ PT

?t0DCtBtAt0
t
1
.DCBtAt

232

Bài 5/3/1:
Giải phương trình:
0
3
x
tan
2
x
cot
4
x
cot
2





Bài luyện tập 5/3/1.
Giải các phương trình sau:

14

1) 06xcotxtan3
x2cos1
2



2)
x
sin
2
2xcotxtan
2

DẠNG 4:







2
u
cot
2
u
tan.DCutanBucot.A
22
,


0D,A


Phương pháp:

+ Ta có: 2
usin
ucos2
2
2
u
cot
2
u
tan
2
u
cot
2
u
tan
22
22

















+ Đặt cotu = t 2t42ucot4
2
u
cot
2
u
tan
2222

+ PT

?t)2t4(DC
t
1
BAt
2

Bài 5/4/1.
Giải phương trình sau: 9xcot2xtan
2
x
cot
2
x
tan
22


Bài luyện tập 5/4/1.
Giải các phương trình sau:
1) 01xcot5
2
x
cot
2
x
tan
22
 2)
05xcot3
2
x
cos
1
2
x
sin
1
22


3) 0
1
2
x
sin
1

2
x
cot
2
x
tan
2


 4) x2cos)1x(tan2



Bài luyện tập 5/4/2.
Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm x
1) 03mxcotmxtan2




2) 0m53xtan
x
cos
2
2

3) 0m3
2
x
cos8xsin45

22

4)
0
m
3
9
x
4
cos
x
2
sin
x
cos
8
x
sin
4
242







BÀI 6. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO sin u(x) & cos u(x)
DẠNG 1. CucosBusinA



(
0
B
A
22


với u = u(x))
Phương pháp 1.
Chia 2 vế cho 0BA
22

+ PT

222222
BA
C
ucos
BA
B
usin
BA
A







22
BA
C
)usin(


với 

cos
BA
A
22
và 

sin
BA
B
22


15



22
BA
C
)ucos(



với 

sin
BA
A
22
và 

cos
BA
B
22

Bài 6/1/1.
Giải các phương trình sau:
a) 2xcos3xsin  b) 2x2cosx2sin2



c) 3x3cosx3sin3 
Chú ý 1: Dùng các hằng đẳng thức sau để biến để pt về dạng tích.

a
cos
.
2
a
2
cos

1
2


;


2
acosasina2sin1 
a
sin
.
2
a
2
cos
1
2


;


2
acosasina2sin1 




asinacosasinacosasinacosa2cos

22

Bài 6/1/2.
Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng tích:
a) 2xcos2xsin3


b)
1
xcosxsin2



c)
1
xcos3xsin


d) 3xcosxsin3




Chú ý 2: Đặt
2
u
tant 

2
t1

t2
usin

 ;
2
2
t1
t1
ucos


 ;
2
t1
t2
utan

 ;
t
1
2
u
cot 
Bài 6/1/3.
Giải các phương trình sau:
a)
2
x
tan3xcosxsin4  b)
2

x
cot1xcosxsin2 
c) xcot2x2cos2x2sin2





Bài luyện tập 6/1/1.
Giải các phương trình sau:
1)
1
xcosxsin3  2) 1x4cos3x4sin 
3) 3x2cos3x2sin


4)
1
x3cosx3sin2



5) 4
2
x
cos
2
x
sin4  6) 1
3

x
cos2
3
x
sin 
7)
2
x
tan3xcos3xsin2  8)
1
xsin31xcos2 
9)
1
xsin3xcosxsin2 
DẠNG 2:






)2(vcosBAucosBusinA
)1(vsinBAucosBusinA
22
22
,


0BA
22


Phương pháp.
+ PT (1) vsinucos
BA
B
usin
BA
A
2222







vsinusin





Trong đó:
 




2;0;sin
BA

B
;cos
BA
A
2222


16

+ PT (2) vsinucos
BA
B
usin
BA
A
2222







vcosucos





Trong đó:

 




2;0;cos
BA
B
;sin
BA
A
2222

Bài 6/2/1.
Giải các phương trình sau:
a) x3sin2xcos3xsin  b) x3cos5x2cosx2sin2 
c) xsin4x5sin2x3cos3xsin3
3

DẠNG 3: vcosDvsinCucosBusinA



,


0DCBA
2222

Phương pháp.

Chia cả hai vế cho 0DCBA
2222
 , ta có:
+ PT ucos
DC
D
usin
DC
C
ucos
BA
B
usin
BA
A
22222222



















vsinusin
Trong đó:
 




2;0;sin
BA
B
;cos
BA
A
2222

 




2;0;cos
DC
D
;sin
DC
C

2222

Bài 6/3/1.
Giải các phương trình sau:
a) x2cos2x2sin2xcosxsin3 
b)


x5cosx3cos3x5sinx3sin 
Bài luyện tập 6/3/1.
Giải các phương trình sau:
1) x3cos2x3sin2x2cos3x2sin 
2)


x8cosx6cosx8sinx6sin3 
3)


x6cosx2sinx2cosx6sin3 
4)


x5sinx7cosx7sinx5cos3 
5)








3
x
cos
2
x
cos3
3
x
sin
2
x
sin
DẠNG 4:




CucosBusinA






,


R,,C,B,A;0BA

22

Phương pháp.
+ PT




Csin.ucoscos.usinBsin.ucoscos.usinA














CucossinBsinAusincosBcosA











CucosFusinE




[chia 2 vế cho 0FE
22
 ]
Bài 6/4/1.

17

Giải các phương trình sau:
a)
1
6
xcos
3
xsin 
















 b) 3
6
x2sin2x2cos2x2sin 








c) 2
32
x
cos2
2
x
cos
2
x
sin4 









Bài luyện tập 6/4/1.
Giải các phương trình sau:
1) 2
6
xsin2xcosxsin2 








2) 2
4
x4sin2xcosxsin
44










3) x4cos1
4
x4sin2xcosxsin
66








 ;
4)
x
2
tan
1
x
4
sin
2
x
cos
x
sin
66






5) x4sinx4cos
6
7
6
xcos
6
xsin
66


















6)
2
x
cot1
6
xsin2 








7) xtan2
3
xcos4
6
x2sin2
2


















8)
2
x
cot1
6
xcos2 








9) 2xsin3
3
xcos
6
xsin2 

















10) 1xsin2x2cosx2sin4
2

11) 2xcosxsin1x4sin2
44

DẠNG 5:




EucosDusinCucosBusinA



,



RF,E,C,B,A


Phương pháp.
+ PT


EucosBDucos.usinBCADusin.C.A
22


 
E
2
u2cos1
BD
2
u2sin
BCAD
2
u2cos1
.C.A 










BDACE2u2cosACBDu2sinBCAD








[chia 2 vế cho
   
22
ACBDBCAD  ]
Bài 6/5/1.
Giải các phương trình sau:
a)




1
xsin2xcosxcosxsin3



b)
1
xsin4
6

x2sin2
2










18

c)
1
x2sin
6
xsin4
2








 d)
1

x2sin
3
xcos
6
xsin4 
















Bài luyện tập 6/5/1.
Giải các phương trình sau:
1) 1
3
xcosxcos2xsin4
2









 2)
1
x2sin3
3
xcos4
2









3)
1
3
xcos.xcos2xsin4
2









 4) 1x2sin3xsin2
2

5) 3x2cos
3
xcos4
6
xsin4
22

















DẠNG 6: Tìm điều kiện để pt: CucosBusinA



có nghiệm.
Phương pháp:
+ PT: CucosBusinA


có nghiệm

222
C
B
A



+ PT: CucosBusinA


vô nghiệm

222
C
B
A



Bài 6/6/1.
Tìm m để phương trình sau có nghiệm.

a)
1
m2xcosmxsin



b)
4
x
cos
m
2
x
2
cos
2
x
2
sin
m
4
2




Đáp số: b)










 ;1
4
3
;m
DẠNG 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: CucosBusinAy




Phương pháp:
+ Ta có: CucosBusinAy





ucosBusinACy



(*)
+ PT (*) có nghiệm



2
22
CyBA 

Max y và min y
Bài 6/7/1.
Tìm Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
a) 2xcos4xsin3y



b)
3xcosxsin
1xcosxsin
y




c)




xsin4xcos3xcos4xsin3y



d)
xcos41

x2sin
y
2


Bài 6/7/2.
Tìm x để hàm số
xcos3
1xsin
y


 nhận giá trị nguyên
Bài 6/7/3.
Cho hàm số:
2xcosxsin
1kxcosk2
y



 (k là tham số)
a) Tìm GTLN – GTNN của hàm số
b) Tìm k để giá trị lớn nhất của y đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài luyện tập 6/7/1.
Tìm Tìm GTLN và GTNN của hàm số:

19

1) x2cosx2sinxsin4y

2
 2) x2sin2)xcos2xsin3(y
2

3)
xcos5
xsin
y


4)
xcos41
x2sin
y
2


5)
xsin21
3
xsinxsin2
y
2










 6)
x2cos2
6
x2sin2
y










7) x2sin
3
xsin4y
2








 8) 1

3
x2cos2xcos4y
2









9)
















3

xcosxcos4
3
xsinxsin2y
10)
















6
xsin4
3
xcos2xsiny

BÀI 7. PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG CẤP THEO sin u(x) & cos u(x)
Dạng 1.
D
u
cos

.
C
u
cos
.
u
sin
.
B
u
sin
.
A
22



(
0
C
A
22


; u = u(x))
Phương pháp 1:
+ Khi cosu = 0 thì sin
2
u = 1 PT là: A = D
+ Khi 0cos


u
thì chia hai vế cho
u
cos
2

PT

)utan1.(DCutan.Butan.A
22
 đặt
u
tan
t


Phương pháp 2:
PT

D
2
u2cos1
Cu2sin
2
1
.B
2
u2cos1
.A 






CAD2u2cos)AC(u2sin.B






(Chia hai vế cho
 
2
2
ACB  )
Bài 7/1/1.
Giải các phương trình sau:
a)
2
x
cos
x
cos
x
sin
5
x
sin

2
22





b) 4
2
x
cos
2
x
cos
2
x
sin33
2
x
sin2
22

Bài luyện tập 7/1/1.
Giải các phương trình sau:
1)
2
x
cos
x
cos

x
sin
x
sin
6
22



2)
3
x
cos
3
x
2
sin
x
sin
22





3)


0
2

x
cos938xsin4
2
x
sin3
22
 4)
2
1
4
x
cos2
2
x
sin
4
x
sin
22

5) 2
3
x
cos4
3
x
cos
3
x
sin

3
x
sin3
22
 6) 2
x
1
cos4
x
2
sin
2
1
x
1
sin3
22

7)
2
5
xsinxcos4xcosxsin34
22
 8)
xcos
1
xcos6xsin4 
DẠNG 2:
0
u

cos
.
F
u
sin
.
E
u
cos
D
u
sin
.
u
cos
.
C
u
cos
.
u
sin
.
B
u
sin
.
A
3223









20

Phương pháp:
+ Khi cosu = 0 thì sin
2
u = 1 PT là: (A + E) sinu = 0
+ Khi 0ucos

thì chia hai vế cho
u
cos
3
.
pt

0)utan1(F)utan1(utan.EDutanCutan.Butan.A
2223

Đặt
u
tan
t



?t0)t1(F)t1(t.EDCtBtAt
2223

Bài 7/2/1.
Giải các phương trình sau:
a)
0
x
sin
2
x
cos
3
x
cos
x
sin
3
x
sin
23





b)
x
sin

x
cos
x
cos
x
sin
.
x
2
cos
3




c)








6
xsin2x3cos
Bài luyện tập 7/2/1.
Giải các phương trình sau:
1)
x

3
sin
x
cos
2
3

2) xsin2xcosxcos.x2cos



3)
x
cos
x
sin
x
cos
x
sin
33



4)
x
cos
6
x
3

sin
x
2
sin
x
sin
3



5) xsin2
4
xsin2
3








 6) )x2cos21(xcos6x2cosxsin



7)
0
x
cos

x
sin
x
sin
3
x
cos
3
x
sin
4
233




; 8) x3cos
3
xcos8
3









9) 0

2
x
cos
2
x
sin
2
x
cos
2
x
sin3
2
x
cos3
2
x
sin
2233

BÀI 8. PT ĐỐI XỨNG (NỬA ĐỐI XỨNG) THEO sin u(x) và cos u(x)
DẠNG 1:


Cucosusin.BucosusinA



(với u = u(x))
Phương pháp:

+ Đặt ucosusint


;


2;2t 

2
1t
ucosusin
2


+ PT 0C2BAt2BtC
2
t1
BAt
2
2


 ?t



Bài 8/1/1:
Giải các phương trình sau:
a)



2xcosxsinxcosxsin2



b)
1
x
cos
x
sin
3
x
cos
x
sin
33




c) 2xcosxsinx3cosx3sin




d)
3
10
xcos

1
xsin
1
xcosxsin 
e)
1
xcos1xsin1  g) x2sin1xcosxsin 
Bài luyện tập 8/1/1:
Giải các phương trình sau:
1)


xcosxsin6xcosxsin6



2)


0x2sin21xcosxsin3





3)
x
cos
x
sin

2
x
cos
x
sin
33




4)
x
cos
x
sin
1
x
cos
x
sin
33




5)
1
xcos2xsin2x3cosx3sin





6) x2sin21xcosxsin





21

7)
x
2
sin
1
x
cos
x
sin
33



8)




2xcos1xsin1





9)
x
cos
4
x
sin
4
5
x
cos
x
sin
33




10) xsin21
2
x
cos
2
x
sin 
11) x4sin
2
3

1x2cosx2sin
33
 12) x4sin21x2cosx2sin 
13)
x
cos
x
sin
x
2
sin
x
cos
x
sin
33




13) 2xcos1xsin1 
14)




30xcotxtanx3cosx3sin3




15) 1xcos1xsin1 
16) xcosxsinxcos1xsin1 
17)
0
x
3
cos
x
3
sin
x
2
sin
4
x
cos
x
sin
33






18)
 
0xcotxtan
xcos
1

xsin
1
x2sin22 







19)


1xsin8x2sin3xcosxsin3
2

DẠNG 2:


Cucosusin.BucosusinA



(với u = u(x))
Phương pháp:
+ Đặt ucosusint


;



2;2t 

2
t1
ucosusin
2


+ PT 0C2BAt2BtC
2
1t
BAt
2
2


 ?t



Bài 8/2/1:
Giải các phương trình sau:
a)


4x2sinxcosxsin4




b)
1
x
2
sin
x
sin
x
cos
33




e) 1xcos1xsin1  d) x2sin41xcosxsin 
Bài luyện tập 8/2/1:
Giải các phương trình sau:
1) 1xcosxsin2xsinxcos



2)
2
x
cos
x
sin
x
sin
x

cos
33





3)
0
1
x
4
sin
x
2
cos
x
2
sin
33




4) 1x2sin2xcosxsin 
5) 2xcosxsinxcosxsin  6) 1xcos1xsin1 
BÀI 9. PT ĐỐI XỨNG (NỬA ĐỐI XỨNG) THEO tan u(x) và cot u(x)
DẠNG 1: C)ucotu(tanB)ucotu(tanA
22
 (với u = u(x))

Phương pháp:
+ Đặt
u
cot
u
tan
t


; 2t 

2
t
u
cot
u
tan
222




+ PT


0CA2BtAtCBt2tA
22
 ?t



Bài 9/1/1:
Giải các phương trình sau:
a)




2xcotxtan4xcotxtan3
22

b)
1
x
cot
x
tan
x
cot
x
tan
2233





c) 4xcot3xtan3 

22

Bài luyện tập 9/1/1:
Giải các phương trình sau:
1)


8xcotxtan4x2cot
2
 2) 21xcot21xtan2 
3)
2
x
2
cot
x
cot
x
tan
244



4)
2
x
2
cot
x
cot
x

tan
233




5) x2cot3
x2sin
1
xcotxtan
222
 6) 3
x2sin
1
xcotxtan
33

7)
6
x
cot
x
tan
x
cot
x
tan
x
cot
x

tan
2233







8)
 
1xcotxtan4xtan3
x
sin
3
2
2

DẠNG 2: C)ucotu(tanB)ucotu(tanA
22
 (với u = u(x))
Phương pháp:
+ Đặt
u
cot
u
tan
t



; 2t 

2
t
u
cot
u
tan
222




+ PT


0CA2BtAtCBt2tA
22
 ?t



Bài 9/2/1:
Giải các phương trình sau:
a)


xcotxtan3xcotxtan
22


b) 1
x
2
sin
1
xcotxtan
2

Bài luyện tập 9/2/1:
Giải các phương trình sau:
a)
 
7
x
cos
1
x
sin
1
xcotxtan2
22

b)
x
cos
1
x
sin
1
2xcotxtan3

22



==================== THE END =======================