Chuyên đề: PT, BPT Vô Tỷ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (757.45 KB, 26 trang )
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
1
-
Phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số
Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số là một chủ đề
rộng, hay và tương đối khó. Tuy nhiên, trong giới hạn của một bài giảng ơn
thi đại học, tơi chỉ đề cập đến các nội dung sau:
☞ Phương trình và bất phương trình vơ tỷ.
☞ Ba loại hệ phương trình cơ bản.
☞ Một số phương pháp giải các hệ phương trình đặc biệt.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
2
-
Chủ đề 1. Phương trình và bất phương trình vô tỷ
Loại 1. Phương pháp lũy thừa
A. Tóm tắt lý thuyết
Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình
vơ tỷ - phương pháp lũy thừa. Sau đây là các quy tắc cấn nhớ khi sử dụng phương pháp
này
I. Một số phép biến đổi tương đương phương trình vô tỷ
f(x) g(x)
f(x) g(x)
f(x) 0
.
2
f(x) g (x)
f(x) g(x)
g(x) 0
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
3
-
II. Một số phép biến đổi tương đương bất phương trình vô tỷ
f(x) g(x)
f(x) g(x)
g(x) 0
.
f(x) g(x)
f(x) g(x)
g(x) 0
.
2
g(x) 0
f(x) 0
f(x) g(x)
g(x) 0
f(x) g (x)
.
2
g(x) 0
f(x) 0
f(x) g(x)
g(x) 0
f(x) g (x)
.
2
g(x) 0
f(x) g(x) f(x) 0
f(x) g (x)
.
2
g(x) 0
f(x) g(x) f(x) 0
f(x) g (x)
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
4
-
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình
3
x 2x 5 2x 1 1
.
Giải
Ta có
1
2
3
x 2x 5 2x 1
2x 1 0
3 2
1
2
x 4x 2x 4 0 2
x 3
.
2
2
x 2 x 2x 2
x 2
x 1 3
x 1 3
. Ta thấy
x 1 3
khơng thỏa mãn điều kiện
3
. Vậy tập nghiệm của
1
là
1;1 3
.
Ví dụ 2. [ĐHD06] Giải phương trình
2
2x 1 x 3x 1 0 1
.
Giải
Ta có
1
2
2x 1 x 3x 1
2
2
2
2x 1 x 3x 1 2
x 3x 1 0 3
.
3
2
x 3x 1 0
3 5 3 5
2 2
x 4
.
2
4 3 2
x 6x 11x 8x 2 0
2
2
x 1 x 4x 2 0
x 1
x 2 2
x 2 2
.
Ta thấy
x 2 2
khơng thỏa mãn điều kiện
4
nên tập nghiệm của
1
là
1;2 2
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
5
-
Ví dụ 3. Giải phương trình
2x 1 x 4 x 5 2 x 4 1
.
Giải
Điều kiện:
x 4
. Ta có
1
3x 3 2 2x 1. x 4 3x 3 2 x 5. 2 x 4
2 2x 1. x 4 2 x 5. 2 x 4
2x 1. x 4 x 5. 2 x 4
2x 1 x 4 2 x 5 x 4
9x 36 0
x 4
.
Ta thấy
x 4
thỏa mãn điều kiện để
1
có nghĩa
1
có nghiệm duy nhất
x 4
.
Ví dụ 4. Giải phương trình
x 7 4x 1 5x 6 2 2x 3 (1)
.
Giải
Điều kiện:
3
2
x
.
Ta có
(1)
x 7 2 2x 3 5x 6 4x 1
2 2
9x 5 4 2x 11x 21 9x 5 2 20x 19x 6
2 2
2 2x 11x 21 20x 19x 6
2 2
4 2x 11x 21 20x 19x 6
2
12x 63x 78 0
2
4x 21x 26 0
25
13
4
x 2
x
.
Thử lại ta thấy chỉ
13
4
x
là nghiệm của
(1)
. Vậy
(1)
có nghiệm duy nhất
13
4
x
.
Nhận xét:
Hai phương trình:
f(x) g(x)
và
2 2
f (x) g (x)
nói chung là
khơng tương đương. Vì lý do này mà trong ví dụ nói trên, sau khi thu
được kết quả cuối cùng, ta phải thử lại.
Việc quyết định khi nào bình phương hai về của phương trình là
quan trọng. Trong ví dụ nói trên, động tác bình phương được thực hiện
sau khi chuyển vế. Nhờ thế mà sau khi bình phương, ta giản ước được
9x 5
ở hai vế.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
6
-
Ví dụ 5. Biện luận số nghiệm của phương trình
3
x x m 1 x 1
.
Giải
Ta có
1
3 2
x x m x 2x 1
1 x 0
3 2
x x 3x m 1 2
x 1
.
Do đó số nghiệm của
1
bằng số nghiệm thõa mãn
x 1
của
2
nên bằng số điểm chung
của đường thẳng
y m 1
với đồ thị hàm số
3 2
f x x x 3x
(
x 1
).
Ta có
2
f ' x 3x 2x 3
.
f '(x) 0
1 10
x
3
.
Bảng biến thiên của hàm
f(x)
:
x
1 10
3
1 10
3
1
f ' x
0
0
29 20 10
27
1
f x
29 20 10
27
Kết luận:
*
29 20 10
27
m 1
56 20 10
27
m
:
1
vơ nghiệm.
*
29 20 10
27
m 1
56 20 10
27
m
:
1
có một nghiệm (
1 10
3
x
).
*
29 20 10
27
1 m 1
56 20 10
27
m 0
:
1
có hai nghiệm.
*
29 20 10
27
m 1 1
56 20 10
27
0 m
:
1
có ba nghiệm.
*
29 20 10
27
m 1
56 20 10
27
m
:
1
có hai nghiệm.
*
29 20 10
27
m 1
56 20 10
27
m
:
1
có một nghiệm.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
7
-
Ví dụ 6. [ĐHB06] Tìm
m
để phương trình sau đây có hai nghiệm phân biệt
2
x mx 2 2x 1 1
.
Giải
Ta có
1
2
2
x mx 2 2x 1
2x 1 0
2
1
2
3x 4 m x 1 0 2
x
.
2
là phương trình bậc hai có
2
4 m 12 0 m
2
ln có hai nghiệm phân
biệt
1
x
,
2
x
. Theo định lý Vi-ét thì
m 4
1 2
3
1
1 2
3
x x
3
x x
.
1
có hai nghiệm phân biệt
2
có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng
1
2
1
1
2
1
2
2
x
x
1
1
2
1
2
2
x 0
x 0
1 1
1 2
2 2
1 1
1 2
2 2
x x 0
x x 0
1 2
1 1
1 2 1 1
2 4
x x 1 0
4
x x x x 0
.
Thay
3
vào
4
ta thu được
m 4
3
1 1 m 4 1
3 2 3 4
1 0
. 0
m 1 0
2m 9 0
9
2
m 1
m
9
2
m
.
Ví dụ 7. [ĐHA05] Giải bất phương trình
5x 1 x 1 2x 4 1
.
Giải
ĐK:
5x 1 0
x 1 0
2x 4 0
x 2
. Ta có:
1
5x 1 2x 4 x 1
2
5x 1 3x 5 2 2x 6x 4
2
2x 6x 4 x 2
(do
x 2
x 2 0
)
2 2
2x 6x 4 x 4x 4
2
x 10x 0
0 x 10
Kết hợp với điều kiện để
1
có nghĩa ta có tập nghiệm của
1
là
2;10
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
8
-
Ví dụ 8. [ĐHA04] Giải bất phương trình
2
2 x 16
7 x
x 3 1
x 3 x 3
.
Giải
ĐK:
2
x 16 0
x 3 0
x 4 2
. Ta có:
1
2
2 x 16 x 3 7 x
2
2 x 16 10 2x
2 2
10 2x 0
10 2x 0
2 x 16 100 40x 4x
2
x 5
x 5
x 20x 66 0
x 5
x 5
10 34 x 10 34
x 10 34
(thỏa mãn
2
).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
10 34;
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
9
-
C. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau
1)
2
x x x 2 3
. Đáp số:
1
.
2)
2
x 2 x 3x 1 0
. Đáp số:
3
.
3)
3
3x x x 1 2
. Đáp số:
1
.
4)
3 2
x x 6x 28 x 5
. Đáp số:
1 13
2
1;
.
5)
4 3
x 4x 14x 11 1 x
. Đáp số:
2;1
.
6)
4 3 2
x 5x 12x 17x 7 6 x 1
. Đáp số:
2 3
.
Bài 2. Giải các phương trình sau
1)
x 3 3x 1 2 x 2x 2
. Đáp số:
1
.
2)
3 3 3
x 1 x 1 x 2
. Đáp số:
0
,
1
.
3)
3 3
3
x 1 x 3 2
.
4)
3 3
3 3
2x 1 1 x x
. Đáp số:
0
,
1
,
3
1
2
.
Bài 3. Giải và biện luận theo
m
các phương trình
1)
2
x 1 x m
.
2)
x m x m m
.
Đáp số: 1)
m 1
0 m 1
: vơ nghiệm,
1 m 0
m 1
:
2
m 1
x
2m
. 2)
m 0
0 m 2
: vơ nghiệm,
m 0
:
x 0
,
m 2
:
2
m 4
x
4
.
Bài 4. Biện luận theo
m
số nghiệm của phương trình
2
1 x x m
.
Đáp số:
m 2
m 1
: vơ nghiệm,
m 2
:
1
nghiệm,
2 m 1
:
2
nghiệm.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
10
-
Bài 5. [ĐHB07] Chứng minh với mọi
m 0
, phương trình
2
x 2x 8 m x 2
có hai
nghiệm phân biệt.
Bài 6. Giải các bất phương trình sau
1)
x 9 2x 4 5
. Đáp số:
x 0
.
2)
2
x 1 2(x 1)
. Đáp số:
x 1
1 x 3
.
3)
2
2x 5 x 4x 3
. Đáp số:
14
1 x
5
.
4)
2 2 2
x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4
. Đáp số:
x 1
x 4
.
5)
(x 1) 2x 1 3(x 1)
. Đáp số:
1 x 2
.
6)
2x
2x 2
2x 1 1
. Đáp số:
1
x 0
2
.
Bài 7. Giải và biện luận theo
m
các bất phương trình sau
1)
m 2 x x m
. Đáp số:
m 1
:
x m 1
,
m 1
:
x m
m 2 x m 1
.
2)
x m x 2
. Đáp số:
9
2 m
4
:
x m
,
9
m
4
:
9 5
x
4 2
,
m 2
:
x 2
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
11
-
Loại 2. Phương pháp ẩn phụ
A. Tóm tắt lý thuyết
Dùng ẩn phụ là một phương pháp thơng dụng để giải phương trình nói chung và phương
trình vơ tỷ nói riêng. Đối với phương trình vơ tỷ, phương pháp này có thể được phân loại
như sau
☞ Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ.
☞ Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn
cũ.
☞ Đặt một ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa cả ẩn mới
và ẩn cũ.
☞ Đặt hai ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa hai ẩn phụ.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
12
-
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải các phương trình
1)
2 2
x x 11 31 1
.
2)
2
x 5 2 x 3 x 3x 1
.
Giải
1) Đặt
2
t x 11 2
2 2
t 11 3
x t 11
. Phương trình
1
trở thành:
2
t 11 t 31 4
2
t t 42 0
t 6
t 7
.
* Nghiệm
t 7
của
4
khơng thỏa mãn điều kiện
3
nên khơng sinh ra nghiệm
x
của
1
.
* Thay
t 6
vào
2
ta có
2
x 11 6
2
x 11 36
2
x 25
x 5
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
1
.
2)
1
2 2
x 3x 3 x 3x 10 0
.
Đặt
2
t x 3x 2
2 2
t 0 3
x 3x t
. Phương trình
1
trở thành
2
t 3t 10 0 4
t 2
t 5
* Nghiệm
t 5
của
4
khơng thỏa mãn điều kiện
3
nên khơng sinh ra nghiệm
x
của
1
.
* Thay
t 2
vào
2
ta có
2
x 3x 2
2
x 3x 4
2
x 3x 4
x 1
x 4
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
1; 4
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
13
-
Ví dụ 2. Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm:
2 2 2
x 2x 2m 5 2x x m 1
.
Giải
* Đặt
2
t 5 2x x 2
2 2
x 2x 5 t
. Phương trình
1
trở thành:
Khi đó phương trình trở thành:
2 2
t 2mt m 5 0 3
t m 5
.
* Trước hết, ta tìm điều kiện để
2
có nghiệm.
Xét hàm
2
f x 5 2x x
. Ta có
2
f x 6 x 1
. Ta thấy
f x 0 x
, dấu bằng xảy
ra
x 1 6
;
f x 6 x
, dấu bằng xảy ra
x 1
. Do đó tập giá trị của hàm
f
là
0; 6
, thành thử
2
có nghiệm
t 0; 6
.
* Vậy
1
có nghiệm
2
có nghiệm
t 0; 6
0 m 5 6
0 m 5 6
5 m 6 5
5 m 6 5
.
Chú ý:
Điều kiện phương trình
f x m *
có nghiệm:
☞
*
có nghiệm
đường thẳng
y m
có điểm chung với đồ thị
hàm số
y f x
.
☞
*
có nghiệm
m
thuộc tập giá trị của hàm số
y f x
.
Trong ví dụ trên, ta dùng điều kiện thứ hai để tìm điều kiện phương
trình có nghiệm. Về việc tìm tập giá trị của hàm số
y f x
, ta có thể dùng
khẳng định sau: Nếu
f
đạt giá trị nhỏ nhất là
m
tại
a
, đạt giá trị lớn nhất là
M
tại
b
và
f
liên tục trên đoạn với hai đầu mút
a
,
b
thì tập giá trị của
f
là
m;M
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
1
4
-
Ví dụ 3. Giải phương trình
2 2
2 1 x x 2x 1 x 2x 1 1
.
Giải
Đặt
2
t x 2x 1 2
,
1
trở thành:
2
2 1 x t t
t t 2 1 x 0
t 0
t 2 1 x 0 t 2 1 x
.
Thay
t 0
vào
2
ta có
2
x 2x 1 0
2
x 2x 1 0
x 1 2
.
Thay
t 2 1 x
vào
2
ta có
2
x 2x 1 2 1 x
2 2
2 1 x 0
x 2x 1 4x 8x 4
2
x 1
3x 10x 5
5 10
3
x 1
x
5 10
3
x
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
5 10
3
1 2,
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
15
-
Ví dụ 4. Giải phương trình
3 3
3 3
x 35 x x 35 x 30 1
.
Giải
Đặt
3
3
t 35 x
3 3
t 35 x
3 3
x t 35 2
.
Thay
3
3
t 35 x
vào
1
, ta có
xt x t 30 3
.
Ta có hệ gồm hai phương trình
2
và
3
:
3 3
x t 35
xt x t 30
3
x t 3xt x t 35
xt x t 30
3
x t 125
xt x t 30
(thay phương trình dưới vào phương trình trên)
x t 5
xt x t 30
x t 5
xt 6
(thay phương trình trên vào phương trình dưới)
Ta có
2
T 5T 6 0
T 2
T 3
. Do đó, hệ nói trên tương đương với
x 2
t 3
x 3
t 2
.
Vậy tập nghiệm của
1
là
2;3
.
Chú ý: Đònh lý Vi-ét đảo
Xét hệ
x y S
(1)
xy P
và phương trình
2
t St P 0 (2)
.
Khi đó:
(1)
có nghiệm
(2)
có nghiệm.
Trong trường hợp
(2)
có nghiệm
1
t
và
2
t
thì:
1
2
2
1
x t
y t
(1)
x t
y t
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
16
-
Ví dụ 5. [ĐHA09] Giải phương trình
3
2 3x 2 3 6 5x 8 0 1
.
Giải
Đk:
6 5x 0
6
5
x
.
Đặt
3
u 3x 2 2a
2
v 6 5x 2b
v 0
.
Ta có
2
3
2
u 3x 2
v 6 5x
3
2
5u 15x 10
3v 18 15x
3 2
5u 3v 8
3 2
5u 3v 8 0 3
.
Thay
2
vào
1
, ta được
2u 3v 8 0
2
3
v u 4 4
.
Thay
4
vào
3
, ta có:
2
3
2
3
5u 3 u 4 8 0 3
3 2
4
3
5u u 8u 16 8 0
3 2
15u 4u 32u 40 0
2
u 2 15u 26u 20 0
2
u 2 0
15u 26u 20 0 ' 131 0
u 2
.
Thay
u 2
vào
2a
, ta được
3
3x 2 2
3x 2 8
x 2
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
x 2
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
17
-
C. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
1)
2
1 x 1 x 2 1 x 4
. ĐS:
0
.
1)
2
3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2
.
2)
2 2
x x 2 x x
.
3)
2 2 2
x x 4 x x 1 2x 2x 9
.
4)
3
3 2
x 3x 2 x 2 6x 0
ĐS:
2
,
2 2 3
.
5)
3 x 6 x 3 3 x 6 x
. ĐS:
0
,
3
.
6)
2 2
5x 10x 1 7 2x x
.
7)
2 2
2x x 5x 6 10x 15
.
8)
2
7x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x
. ĐS:
6
7
;6
.
9)
5 1
5 x 2x 4
2x
2 x
. ĐS:
3 3
2 2
0; 2 2;
.
10)
2
x
1 x 1 x 2
4
. ĐS:
1;1
Bài 2. Cho phương trình
3 x 6 x (3 x)(6 x) m
.
1) Giải phương trình với
m 3
.
2) Tìm
m
để phương trình có nghiệm.
ĐS: 1)
3
,
6
. 2)
6 2 9
m 3
2
.
Bài 3. Tìm
m
để bất phương trình
2
m x 2x 2 1 x 2 x 0
có nghiệm
x 0;1 3
.
ĐS:
2
m
3
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
18
-
Bài 4. Tìm
m
để bất phương trình
2
(2 x)(4 x) x 2x m
nghiệm đúng với mọi
x 2;4
.
ĐS:
m 4
.
Bài 5. Giải các phương trình
1)
2
2x x 1 x 2 x x 1
. ĐS:
0
.
2)
2
x 2x x 3 2x x 3 9
. ĐS:
1
.
3)
2
1
x 2x x 3x 1
x
. ĐS:
1 5
2
.
4)
3
2 4 2
x x x 2x 1
. ĐS:
1 5
2
.
Bài 6. Giải các phương trình sau:
1)
2 2
1 1 x 2x
. ĐS:
3
2
.
2)
3
3 2 2
x 1 x x 2 1 x
. ĐS:
2
2
,
1 2 2 2
2
.
3)
2 3
1 x 4x 3x
. ĐS:
1
2
,
2 2
4
.
Bài 7. Giải các phương trình sau:
1)
3 2
5 x 1 2 x 2
. ĐS:
5 37
2
.
2)
2 2
5x 14x 9 x x 20 5 x 1
. ĐS:
5 61
2
,
8
.
3)
2 3
2x 5x 2 4 2 x 21x 20
ĐS:
9 193
4
,
17 3 73
4
.
4)
2 3
2 x 3x 2 3 x 8
ĐS:
x 3 13
.
Bài 8. [ĐHA07] Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm:
4
2
3 x 1 m x 1 2 x 1
.
ĐS:
1
1 m
3
.
Bài 9. Giải các phương trình:
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
19
-
1)
3 3
12 x 14 x 2
.
2)
3
24 x 12 x 6
. ĐS:
24
,
88
,
3
.
3)
3
x 3 x 3
. ĐS:
1
.
4)
4 4
x 17 x 3
. ĐS:
1
,
16
.
5)
2 2
3 3
3
2 x 7 x 2 x 7 x 3
. ĐS:
1
,
6
.
6)
3 3
3
x 1 x 3 2
.
7)
3
1 1
x x 1
2 2
.
8)
3
2 2
1 x 2 1 x 3
.
9)
3
3 3
x x 16 x 8
. ĐS:
8
,
56 3010
7
.
10)
4 4 4
x x 1 2x 1
. ĐS:
0
.
Bài 10. Với giá trị nào của
a
thì phương trình:
3 3
1 x 1 x a
có nghiệm.
ĐS:
0 a 2
.
Bài 11. Giải các phương trình sau
1)
2
x 2 2 x
.
2)
3
3
x 1 2 2x 1
. ĐS:
1
,
1 5
2
.
3)
2
x 3
2x 4x
2
. ĐS:
3 17
4
,
5 13
4
.
4)
3
3
x 1
2x 1
2
. ĐS:
1
2
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
20
-
Loại 3. Phương trình và bất phương trình tích
A. Nội dung phương pháp
Phần này đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vơ tỷ bằng cách đưa phương
trình, bất phương trình cần giải về phương trình, bất phương trình tích.
Nhân tử chung có thể thấy ngay hoặc nhận được sau một số phép biến đổi đơn giản. Việc sử
dụng biểu thức liên hợp đơi khi cho ta lời giải bất ngờ.
Về biểu thức liên hợp, ta cũng cần biết:
☞ Biểu thức liên hợp của
a b
là
a b
:
a b a b a b
.
☞ Biểu thức liên hợp của
3 3
a b
là
2 2
3 3 3
a ab b
:
2 2
3 3 3 3 3
a b a ab b a b
.
… .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình
2
x 3 2x x 1 2x x 4x 3 1
.
Giải
1
x 3 2x x 1 2x x 3 x 1
(ĐK:
x 1
)
x 3 1 x 1 2x x 1 1 0
x 1 1 2x x 3 0
x 1 1 0
2x x 3 0
x 1 1
x 3 2x
2
x 1 1
2x 0
x 3 4x
x 0
x 1
.
Ta thấy cả
2
giá trị
0
và
1
đều thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghĩa. Vậy tập
nghiệm của phương trình là
0;1
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
21
-
Ví dụ 2. [ĐHD02] Giải bất phương trình
2 2
x 3x 2x 3x 2 0 1
.
Giải
Đk:
2
2x 3x 2 0
1
2
x
x 2
.
1
2
2
x 3x 0
2x 3x 2 0
hoặc
2
2
x 3x 0
2x 3x 2 0
1
2
x 0
x 3
x 2
x
hoặc
1
2
x 0
x 3
x
x 2
1
2
x 0
x 3
x 2
x
hoặc
1
2
x
x 3
.
Kết hợp với điều kiện để
1
có nghĩa, ta có tập nghiệm của
1
là:
1
2
; 2 3;
.
Ví dụ 3. Giải phương trình
3
x x 2 0 1
.
Giải
Đk:
x 0
.
Ta có
1
3
x 1 x 1 0
2
x 1
x 1 x x 1 0
x 1
2
1
x 1 x x 1 0
x 1
x 1 0
(do
2
1
x x 1
x 1
=
2
1
2
1 3
x 0
4
x 1
x 0
)
x 1
(thỏa mãn điều kiện để
1
có nghĩa).
Vậy
1
có nghiệm duy nhất
x 1
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
22
-
Ví dụ 4. [ĐHB10] Giải phương trình
2
3x 1 6 x 3x 14x 8 0 1
.
Giải
Đk:
3x 1 0
6 x 0
1
3
x 6 2
.
Ta có
1
2
3x 1 4 1 6 x 3x 14x 5 0
3 x 5
x 5
x 5 3x 1 0
3x 1 4 1 6 x
3 1
x 5 3x 1 0
3x 1 4 1 6 x
x 5 0
(do
3 1
3x 1 0
3x 1 4 1 6 x
1
3
x : x 6
)
x 5
(thỏa mãn
2
).
Vậy
1
có nghiệm duy nhất
x 5
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
23
-
C. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình
1)
3
2
3 3
x 1 x 2 1 x 3x 2
. ĐS:
0
,
1
.
2)
3 3
2 2
3 3
x 1 x x x x
. ĐS:
1
.
3)
4
3 2
4
x 1 x 1 x x
. ĐS:
0
,
1
.
4)
3 2 2 2
x x 3x 3 2x x 3 2x 2x
. ĐS:
0
.
Bài 2. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
1)
4 1 5
x x 2x
x x x
. ĐS:
2
.
2)
2 2
4
2x x 6 x x 2 x
x
. ĐS:
1
.
3)
2 2
2x x 9 2x x 1 x 4
. ĐS:
0
.
4)
2 2
x 2x 3 x 6x 11 3 x x 1
. ĐS:
2 x 3
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
24
-
Loại 4. Một số phương pháp đặc biệt
A. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHD05] Giải phương trình
2 x 2 2 x 1 x 1 4 1
.
Giải
Đk:
x 1 0
x 1 2
.
Ta có
2
x 2 2 x 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1
Do đo
1
2 x 1 1 x 1 4
x 1 2
x 1 4
x 3
(thõa mãn
2
).
Vậy
1
có nghiệm duy nhất
x 3
.
Ví dụ 2. Giải phương trình
4x
x 3 4 x 1
x 3
.
Giải
Đk:
x 0 2
.
1
x 3 4x 4 x. x 3 0
2
x 3 2 x 0
x 3 2 x 0
x 3 2 x
x 3 4x
x 1
(thỏa mãn
2
).
Vậy
1
có nghiệm duy nhất
x 1
.
Ví dụ 3. Giải phương trình
2
4x 1 4x 1 1
.
Giải
ĐK:
2
4x 1 0
4x 1 0
1
4
1
2
1
2
x
x
x
1
x
2
.
Đặt
2
f x 4x 1 4x 1
.Ta có
2
2 4x 1
f ' x 0 x
2
4x 1
4x 1
f
đồng biến
trên
1
2
;
. Do đó nếu
1
có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Ta thấy
1
x
2
là nghiệm
của
1
nên
1
có nghiệm duy nhất
1
x
2
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
-
25
-
Ví dụ 4. [ĐHA10] Giải bất phương trình
2
x x
1 1
1 2 x x 1
.
Giải
Ta thấy
2
2
3 31
2 4 4
x x 1 x x
. Do đó
2
3
4
1 2 x x 1 1 2. 0 x
.
Điều kiện để
1
có nghĩa:
x 0 2
.
1
2
x x 1 2 x x 1
2
2 x x 1 x x 1
2
2
x x 1 0
2 x x 1 x x 1
1 5
2
2 2
x
2x 2 x 1 x x 1 2 x 1 x
1 5
2
2
x 3
x x 1 2 x 1 x 0 4
.
Ta có
4
2
x x 1 0
2
x x 1 0
x x 1 0
x 1 x
2
1 x 0
x 1 x
2
x 1
x 3x 1 0
3 5
2
x 1
x
3 5
2
x
(thõa mãn
2
,
3
).
Vậy
1
có nghiệm duy nhất
3 5
2
x
.
Ví dụ 5. Giải phương trình
2 x
x 1 x 1
3 1 x
.
Giải
Đk:
0 x 1
.
Ta thấy:
2
VP 1 1 2 x 1 x 1
VP 1 1
.
Lại có:
3 3
VT 1 1
3
3 1 x
.
Do đó
1
VT 1 VP 1 1
x 1
.
Vậy
1
có nghiệm duy nhất
x 1
.
