Bồi dưỡng HSG giải toán trên MTCT

Nguyễn Xuân Phong, gv trường THCS Nguyễn Trãi, TPLX, An Giang
"Kinh nghiệm bồi dưỡng HSG giải toán trên MTCT" Trang 1
Xin giới thiệu một số dạng toán cơ bản giải trên máy tính cầm tay:
* Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức (dạng đơn giản).
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) M
(
)
(
)
( )
( )
2
2
2
2 2
1986 1992 1986 3972 3 .2010
: 649 13.180 13. 2.649.180
1983.1985.1988.1989
- + -
é ù
= + -
ê ú
ë û

b) N
(
)
( )
(
)

( )
3: 0,2 0,1 34,06 33,81 .4
2 4
26: :
2,5. 0,8 1,2 6,84: 28,57 25,15 3 21
é ù
- -
= + +
ê ú
+ -
ë û

Ở dạng toán này, giáo viên chỉ cần hướng dẫn học sinh cách sử dụng biến nhớ,
nhập dữ liệu một cách chính xác, máy sẽ cho kết quả chính xác. Nếu học sinh
không dùng biến nhớ mà nhập số liệu trực tiếp thì rất dễ bị sai.
Kết quả: a) M
2010
=
; b) N
7,5
=


* Dạng 2: Tìm số dư trong phép chia
a
cho
b
.
Bài 2: Tìm số dư trong phép chia
a

cho
b
; biết :
a)
3523127
a
=
và
2047
b
=

b)
221220092212200922122009
a
=
và
2010
b
=

c)
2010
3
a = và
10
b
=

Cơ sở lý luận: Giả sử .

a b q r
= +
(với 0
r b
£ <
). Suy ra:
r a bq
= -

Quy trình ấn phím:
a) Ấn
3523127

¸

2047
= (kết quả:
1721.117245
)
Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa lại
3523127 2047x1721
-
, ấn = (kq 240)
Vậy dư trong phép chia
3523127
cho
2047
là 240.
b) Do số bị chia
a

có quá nhiều chữ số máy tính không thể tính chính xác được,
nên ta thực hiện như sau (số bị chia có không quá 9 chữ số):
Bước 1: Tìm dư trong phép chia
221220092
cho
2010
(kq1502)
Bước 2: Tìm dư trong phép chia
150221220
cho
2010
(kq1860)
Bước 3: Tìm dư trong phép chia
186009221
cho
2010
(kq1811)
Bước 4: Tìm dư trong phép chia
181122009
cho
2010
(kq 909)
Vậy dư trong phép chia
221220092212200922122009
cho
2010
là
909
.
c) Ở bài toán này giá trị của

2010
3
quá lớn máy không tính trực tiếp được, do đó
tôi phải hướng dẫn học sinh dùng đồng dư thức:
Ta có:
4
3 1mod(10)
º
Þ

(
)
502
4 502
3 1 mod(10)
º
Þ

2008
3 1mod(10)
º

Þ

2 2008 2
3 .3 3 mod(10)
º
Þ

2010

3 9mod(10)
º
Vậy dư trong phép chia
2010
3
cho
10
là
9
.

* Dạng 3: Tìm ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất.
Bài 3: Tìm ƯSCLN và BSCNN của hai số
a
và
b
; biết:

391950
a
=
;
309540
b
=

* Cách 1: Rút gọn phân số
Ta có:
391950 195
309540 154

a
b
= = (thực hiện trên máy)
Vậy: ƯSCLN
(
)
, 391950:195 309540:154 2010
a b = = =
BSCNN
(
)
, 391950:154 309540.195 60360300
a b = = =
Nguyễn Xuân Phong, gv trường THCS Nguyễn Trãi, TPLX, An Giang
"Kinh nghiệm bồi dưỡng HSG giải toán trên MTCT" Trang 2
* Cách 2: Sử dụng thuật toán Euclide chạy trên máy tính
Ghi vào màn hình biểu thức:
:
A A B B B A
= - = -

Ấn CALC nhập
391950
A
=
,
309540
B
=

Ấn = = … đến khi màn hình xuất hiện số 0, ấn tiếp dấu = ta sẽ
được kết quả là ƯSCLN của
a
và
b
(kết quả 2010).
Muốn tìm BSCNN của
a
và
b
, ta áp dụng công thức
[ ]
( )
. 391950.309540
, 60360300
, 2010
a b
a b
a b
= = = .
* Dạng 4: Tính chính xác giá trị của biểu thức (trường hợp tràn máy).
Bài 4: Tính chính xác giá trị của các biểu thức sau:
a) A
123456.789456
=

b) B
123456789987654321.41976
=

c) C
3
1038471
=
a) Tính trực tiếp trên máy:
Ấn 123456 x 789456 = (kết quả 9.746307994x10
10
)

Ấn tiếp
-
9 . 746 x
10
x
10 = (kết quả 3079936)
Vậy A
97463079936
=

Đây là dạng tính tràn máy đơn giản, máy tính CASIO Fx570ES có thể xử lý
chính xác đến 15 chữ số nên ta áp dụng cách này để giải.
b) Ấn 123456789987654321 x 41976 = (kết quả 5.182222217x10
21
)
Trường hợp này kết quả B có 22 chữ số nên máy sẽ không tính chính xác được.
Ta có thể thực hiện như sau:
Ta chia số
{
{

123
123
Nhãm 4 N hãm1
N h ãm3
Nhãm 2
123 45678 99876 54321
thành các nhóm, mỗi nhóm có 5 chữ số theo thứ
tự từ phải sang trái, nhóm cuối cùng có thể ít hơn 5 chữ số)
Bước 1: tính 54321 x 41976 = (kết quả 2280178296)

Bước 2: tính 22801 + 99876 x 41976 = (kết quả 4192417777)

Bước 3: tính 41924 + 45678 x 41976 = (kết quả 1917421652)

Bước 4: tính 19174 + 123 x 41976 = (kết quả 5182222)
Vậy B
=
5182222216521777778296

c) Biến đổi: C
(
)
= = +
3
3 3
1038471 1038.10 471


= + + +
3 9 2 6 2 3 3

1038 .10 3.1038 .471.10 3.1038.471 .10 471

Kết hợp giữa giấy và máy tính, ta có:

=
3 9
1038 .10
1 118 386 872 000 000 000

=
2 6
3.1038 .471.10
1 522 428 372 000 000

=
2 3
3.1038.471 .10
690 812 874 000

=
3
471
104 487 111
Vậy C
= =
3
1038471
1 119 909 991 289 361 111
Nguyễn Xuân Phong, gv trường THCS Nguyễn Trãi, TPLX, An Giang
"Kinh nghiệm bồi dưỡng HSG giải toán trên MTCT" Trang 3

* Dạng 5: Tìm ước của một số tự nhiên. Hợp số, số nguyên tố.
Bài 5:
a) Tìm tập hợp các ước dương của 180.
b) Trong các số sau, số nào là số nguyên tố, số nào là hợp số?
2011; 11579
c) Tìm tập hợp C các số là bội của 113 nhưng nhỏ hơn 1000.

Quy trình ấn phím:
a) Ghi vào màn hình biểu thức:
1:180
X X X
= + ¸

Ấn CALC , nhập
0
X
=


Ấn = = … đến khi nào thương nhỏ số chia (giá trị của
X
) thì
dừng; ta chọn các kết quả thương là số nguyên, khi đó thương và số
chia đều là ước của 180.
Kết quả: Ư(180)
{
}
1;180;2;90;3;60;4;45;5;36;6;30;9;20;10;1
8;12;15
=

b) Ghi vào màn hình biểu thức:
2: 2011
X X X
= + ¸

Ấn CALC , nhập
1
X
=


Ấn = = … đến khi nào thương nhỏ số chia (
X
) thì dừng. Trong
quá trình ấn dấu = nếu số cần kiểm tra (số
2011
) chia hết cho bất cứ
số
X
nào thì ta dừng ngay và kết luận đó là hợp số.
Kết quả:
2011
;
11579
là các số nguyên tố.
Chú ý: với cách giải ở câu a) và câu b), giáo viên có thể áp dụng rất hiệu quả đối
với bài toán phân tích số tự nhiên (lớn hơn 1) thành tích các thừa số nguyên tố.

c) Ấn 0 = , ấn tiếp + 113 (lúc này màn hình hiện Ans + 113)

Ấn = = … ta sẽ tìm được các bội của 113.
Kết quả: C
{
}
0;113;226;339;452;565;678;791;904
=

* Dạng 6: Tìm chữ số thập phân thứ
n
sau dấu phẩy trong phép chia
a
cho
b
.
Bài 6: Tìm chữ số thập phân thứ
2010
sau dấu phẩy trong phép chia:
a) 5 cho 19 b) 789 cho 61

Quy trình ấn phím: (máy tính phải ở chế độ Norm 2)
a) Ấn 5
¸
19 = (kết quả:
0.263157894
)
Ta ghi kết quả
5
0,263157894
19

=
Ấn tiếp 5
-
19 x 0 . 263157894 = (kết quả:
0.000000014
)
Ấn tiếp 14
¸
19 = (kết quả:
0.736842105
)
Ta ghi 9 chữ số thập phân tiếp theo của phép chia là
736842105

Nguyn Xuõn Phong, gv trng THCS Nguyn Trói, TPLX, An Giang
"Kinh nghim bi dng HSG gii toỏn trờn MTCT" Trang 4
n tip 14
-
19 x 0 . 736842105 = (kt qu:
0.000000005
)
n tip 5
á
19 = (kt qu:
0.263157894
)
Ta thy chu k ó xut hin.
Do ú:
( )
5

0, 263157894736842105
19
= chu k cú 18 ch s
. Ly 2010 chia cho 18 ta c s d l 12. Nh vy ch s cn tỡm chớnh
l ch s ng v trớ th 12 trong chu k, ú l s 6.
Vy ch s thp phõn th
2010
sau du phy trong phộp chia 5 cho 19 l s 6.
b) Thc hin tng t cõu a), ta cng cú kt qu ch s cn tỡm l s 6.

* Dng 7: Tớnh giỏ tr biu thc cú cha bin
Bi 7:
a) Tớnh giỏ tr biu thc sau chớnh xỏc n 7 ch s thp phõn:
A
2 3 2 2 2 2
4 2 2 3
5 4 7
2 3 4 3
x y xy z x yz x y
x z x yz xy z xyz
- + +
= +
+ -
vi
0,6; 1,314; 1,123
x y z
= = =

b) Tớnh giỏ tr biu thc sau chớnh xỏc n 9 ch s thp phõn:
B

5 4 2
3 2
3 2 3 1
4 3 5
x x x x
x x x
- + - +
=
- + +
vi
19,05
x
=

c) Tớnh chớnh xỏc giỏ tr ca biu thc:
C
2 2
2
1,9
0,3 25 9
x xy y y
y x x
- - +
=
- + -
vi
2 1
;
7 3
x y

= - =

Quy trỡnh n phớm: (s dng tớnh nng ca phớm CALC )
a) Ghi vo mn hỡnh biu thc:

2 3 2 2 2 2
4 2 2 3
5 4 7
2 3 4 3
X Y XY M X YM X Y
X M X YM XY M XYM
- + +
+
+ -

n CALC nhp
0.6; 1.314; 1.123
X Y M
= = =

n = , ta c kt qu
0.01645608104
-

Vy A
0,0164561
ằ -


b), c) thc hin tng t nh cõu a), ta tớnh c:

B
265,578997039
ằ

C
3083
69828
= -
* Dng 8: Tỡm d trong phộp chia a thc cho nh thc
nh lý: S d trong phộp chia a thc
(
)
P x
cho
ax b
+
l
b
P
a
ổ ử
-
ỗ ữ
ố ứ
.
Chng minh: Gi s
(
)
(
)

(
)
.
P x ax b Q x r
= + +

ị
.
b b b
P a b Q r
a a a
ộ ự
ổ ử ổ ử ổ ử
- = - + - +
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ờ ỳ
ố ứ ố ứ ố ứ
ở ỷ


ị

b
r P
a
ổ ử
= -
ỗ ữ
ố ứ

Bi 8:
a) Tỡm d trong phộp chia a thc
(
)
3 2
3 2 1
P x x x x
= - + -
cho
4 19
x
+
.
b) Vi giỏ tr no ca
m
thỡ a thc
(
)
4 3 2
4 3 2
Q x x x x x m
= - + - +
chia ht cho
2 3
x
-
.
Nguyễn Xuân Phong, gv trường THCS Nguyễn Trãi, TPLX, An Giang
"Kinh nghiệm bồi dưỡng HSG giải toán trên MTCT" Trang 5
Giải

a) Dư trong phép chia đa thức
(
)
3 2
3 2 1
P x x x x
= - + -
cho
4 19
x
+
là:

19 11863
4 64
P
æ ö
- = -
ç ÷
è ø

Vậy số dư là
11863
64
r = -
b)
(
)
4 3 2
4 3 2

Q x x x x x m
= - + - +
chia hết cho
2 3
x
-
khi và chỉ khi:

3 75 75
0 0
2 16 16
Q m m
æ ö
- = Û - + = Û =
ç ÷
è ø

Vậy
75
16
m =

* Dạng 9: Tìm
x
(giải phương trình)
Bài 9: Tìm giá trị của
x
dưới dạng phân số từ phương trình sau:
4
1 1

1 4
1 1
2 3
1 1
3 2
4 2
x x
+ =
+ +
+ +
+ +

Quy trình ấn phím: (dùng tính năng của phím SHIFT SOLVE)
Nhập phương trình vào máy
Ấn SHIFT SOLVE (màn hình hiện Solve for X)
Nhập X một giá trị tùy ý rồi ấn = , ta được kết quả
8.605894448
-

Ấn tiếp ALPHA X = ta được kết quả
12556
1459
-
Vậy
12556
1459
x = -
* Ở bài toán này nếu học sinh không biết tính năng của phím SHIFT SOLVE thì
sẽ giải bài toán lâu hơn. Chẳng hạn đưa phương trình về dạng:

1 1 1 1
4 4 4 4:
x x x x
x x
A B B A B A B A
æ ö æ ö
+ = Û - = Û - = Û = -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø

Nhập biểu thức
1 1
4
B A
æ ö
¸ -
ç ÷
è ø
vào máy, ta cũng tính được
12556
1459
x = -
* Dạng 10: Dãy truy hồi
Bài 10.1: Cho dãy số
1 2 1 1
1; 1;
n n n
u u u u u
+ -
= = = + (với

2,3,4,
n
=
).
Hãy tính giá trị của
15 19
,
u u
.
Quy trình ấn phím:
Ghi vào màn hình biểu thức:
1: : 1:
X X A B A X X B A B
= + = + = + = +

Ấn CALC nhập
2; 1; 1
X B A
= = =

Ấn = = … ta sẽ tính được các giá trị của
1
n
u
+
(giá trị của các biến
,
A B
).
Lưu ý giá trị của

X
là giá trị của biến đếm.
Kết quả:
15 19
610; 4181
u u= =

Nguyễn Xuân Phong, gv trường THCS Nguyễn Trãi, TPLX, An Giang
"Kinh nghiệm bồi dưỡng HSG giải toán trên MTCT" Trang 6
Bài 10.2: Cho dãy số
1 2 1 1
13; 20;
n n n
u u u u u
+ -
= = = + (với
2,3,4,
n
=
).
Hãy tính giá trị của
15 19
,
u u
.
Quy trình ấn phím:
Ghi vào màn hình biểu thức:
1: : 1:
X X A B A X X B A B
= + = + = + = +

Ấn CALC nhập
2; 20; 13
X B A
= = =

Ấn = = … ta sẽ tính được các giá trị của
1
n
u
+
với mọi
2
n
³
.
Kết quả:
15 19
10569; 72441
u u= =

Bài 10.3: Cho dãy số
1 2 1 1
3; 20; 3
n n n
u u u u u
+ -
= = = - (với
2,3,4,
n

=
).
Hãy tính giá trị của
20 25
,
u u
.
Quy trình ấn phím:
Ghi vào màn hình biểu thức:
1: 3 : 1: 3
X X A B A X X B A B
= + = - = + = -

Ấn CALC nhập
2; 20; 3
X B A
= = =

Ấn = = … ta sẽ tính được các giá trị của
1
n
u
+
với mọi
2
n
³
.
Kết quả:
20 25

736972324; 90641603811
u u= =

Bài 10.4: Cho dãy số
(
)
n
u
được xác định như sau:
1 2 2 1
3; 5; 2
n n n
u u u u u
+ +
= = = + với mọi
n
nguyên dương. Tính giá trị của
25
u
và tổng (ký hiệu là
25
S
) của 25 số hạng đầu tiên
của dãy số đó.
Giải

1 2 2 1
3; 5; 2
n n n
u u u u u

+ +
= = = + ;
1 2

n n
S u u u
= + + +

Ta có:
1 1
3
S u
= =
;
2 1 2
8
S u u
= + =
;
3 1 2 3 2 3
S u u u S u
= + + = +
;
4 3 4
S S u
= +
; …
Quy trình ấn phím:
Ghi vào màn hình biểu thức:
1: 2 : : 1: 2 :

X X A B A C D A X X B A B D C B
= + = + = + = + = + = +

Ấn CALC , nhập
2; 5; 3; 8
X B A D
= = = =

Ấn = = …, ta sẽ tính được các giá trị của
2
;
n n
u S
+

(Biến
X
là biến đếm; các biến
,
A B
là giá trị của
2
n
u
+
; các biến
,
C D
là giá trị của
n

S
)
Kết quả:
25
44739243
u = ;
25
89478483
S =


Long Xuyên, tháng 12 năm 2010
Người thực hiện





Nguyễn Xuân Phong
(Trường THCS Nguyễn Trãi, TPLX)