Bài tập lớp 10 chương 1: Vecto ( tổ 4)

Bài 25: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là
trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho
CN
= 2
NA
. K là
trung điểm của MN. Chứng minh:
a).
AK
=
4
1
AB
+
6
1
AC
b).
KD
=
4
1
AB
+
3
1
AC
.
Bài 26 : Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và
OC. Chứng minh rằng:
a)

AM
=
2
1
OB
-
OA
b)
BN
=
2
1
OC
-
OB
c)
MN
=
2
1
(
OC
-
OB
).
Bài 27: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Chứng minh rằng :
a)
AB
= -

3
2
CM
-
3
4
BN
b)
AC
= -
3
4
CM
-
3
2
BN
c)
MN
=
3
1
3
1
−BN
CM
.
Bài 28: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của
B qua G
a) Chứng minh:

AH
=
3
2
AC
-
3
1
AB
và
CH
= -
3
1
(
AB
+
AC
).
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh:
MH
=
6
1
AC
-
6
5
AB
Bài 29: Cho hình bình hành ABCD, đặt

AB
=
a
,
AD
=
b
. Gọi I là trung
điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ
BI
,
AG

theo
a
,
b
.
Bài 30: Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ
CB
,
BD
theo các
vectơ
AB
và
AF
Bài 31: Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC.
Hãy phân tích vectơ
AM

theo các vectơ
OCOBOA ,,
Bài 32: Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt
lấy các điểm M, N, P sao cho
=MB
3
MC
,
NA
= 3
CN
,
+PA
PB
=
0
a) Tính
PM
,
PN
theo
AB
,
AC
b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng
Bài 33: Cho tam giác ABC. Gọi A
1
, B
1
, C

1
lần lượt là trung điểm của BC,
CA, AB
a) Chứng minh:
AA
1 +
BB
1 +
CC
1 =
0
b) Đặt
BB
1
=
u
,
CC
1
=
v
. Tính
ABCABC ,,
theo
u
và
v
Bài 34: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI =
3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC
a) Tính

AFAI ,
theo
AB
và
AC
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính
AG
theo
AI
và
AF
Bài 35: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng
của G qua B
a) Chứng minh:
HA
- 5
HB
+
HC
=
0
b) Đặt
AG
=
a
,
AH
=
b
. Tính

ACAB,
theo
a
và
b


Bài 25: Giải

A
K
D
M
B
C
N
a) Chứng minh:
AK
=
4
1
AB
+
6
1
AC
Điểm K là trung điểm của MN (gt)
AN
+
AM

= 2
AK
=>
AK
=
2
1
(
AN
+
AM
)
Nhưng theo giả thiết, ta có:

AM
=
2
1
AB
và
AN
=
3
1
AC
=>
AK
=
2
1

(
2
1
AB
+
3
1
AC
)
=
4
1
AB
+
6
1
AC
b) Chứng minh:
KD
=
4
1
AB
+
3
1
AC
Ta có:
KD
=

AD
-
AK
=
2
1
(
AB
+
AC
) – (
4
1
AB
+
6
1
AC
)
=
4
1
AB
+
3
1
AC
Bài 26 Giải

N

M
O
C
A
B
a) Chứng minh:
AM
=
2
1
OB
-
OA
Theo giả thiết:
2
1
OB
=
OM

Ta có:
2
1
OB
-
OA
=
OM
-
OA

=
AM
b) Chứng minh:
BN
=
2
1
OC
-
OB
Theo giả thiết:
2
1
OC
=
ON
Ta có:
2
1
OC
-
OB
=
ON
-
OB
=
BN
c) Chứng minh:
MN

=
2
1
(
OC
-
OB
).
Ta có:
2
1
(
OC
-
OB
) =
2
1
OC
-
2
1
OB
=
ON
-
OM
=
MN
Bài 27 Giải

N
M
A
B
C
a) C/m:
AB
= -
3
2
CM
-
3
4
BN
.
Gọi G là giao điểm của 2 đường trung tuyến BN, CM tức là trực tâm của
tam giác ABC
Ta có:
GB
-
GA
=
AB
(1)
Mặt khác:
GA
+
GB

+
GC
=
0
=>
GA
+
GB
= -
GC
(2)
Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được:






=+
=−
GCGAGB
ABGAGB
 2
GB
=
AB
-
GC

AB

= 2
GB
+
GC
= 2.
3
2
.
BN
+
3
2
CM
= -
3
4
BN
-
3
2
CM

b) C/m:
AC
= -
3
4
CM
-
3

2
BN
Ta có:
GC
-
GA
=
AC
(1)
Lại có:
GA
+
GB
+
GC
=
0

GA
+
GC
= -
GB
(2)
Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được
2
GC
=
AC
-

GB

AC
= 2
GC
+
GB
= 2.
3
2
CM
+
3
2
BN
= -
3
4
CM
-
3
2
BN
c) C/m:
MN
=
3
1
3
1

−BN
CM

Ta có:
MN
=
GN
-
GM
mà
GN
=
3
1
BN
;
GM
=
3
1
CM
=>
MN
=
3
1
3
1
−BN
CM

Bài 28 Giải

G
M
A'
B
A
C
H
a) Chứng minh:
AH
=
3
2
AC
-
3
1
AB
và
CH
= -
3
1
(
AB
+
AC
).

Ta có:
AH
=
3
2
(
AH
+
HC
) -
3
1
(
AH
+
HB
)
=
3
2
AH
+
3
2
HC
-
3
1
AH
-

3
1
HB
=
3
1
AH
+
3
2
HC
-
3
1
HB
=
3
1
AH
+
3
2
(
HA
+
AC
) -
3
1
(

HA
+
AB
)
=
3
1
AH
+
3
2
HA
+
3
2
AC
-
3
1
HA
-
3
1
AB

AH
=
3
2
AC

-
3
1
AB
Ta có: 3
CH
= 2
CH
+
GC
+
CH
+
CG

= 2
CH
+
GH
+
HA
= 2
CH
+
BG
+
HA
=
BG
+

GA
+
CH
+
HA
=
CABA +
3
CH
= -
AB
-
AC
=>
CH
= -
3
1
(
AB
+
AC
).
Bài 29 Giải

G
B'
I'
I
A

B
D
C
• Phân tích các vectơ
BI
,
AG
theo
a
,
b
.
Ta có:
CI
= -
2
1
a

BI
=
CI
+
BC
= -
2
1
a
+
b

Ta có:
CH
= -
4
1
a

BH
=
CH
+
BC
= -
4
1
a
+
b

BG
=
3
2
BH
=
3
2
(-
4
1

a
+
b
) = -
6
1
a
+
3
2
b

AG
=
AB
+
BG
=
a
-
6
1
a
+
3
2
b
=
6
5

a
+
3
2
b
Bài 30 Giải

C
D
B
A
E
F
• Phân tích các vectơ
BC
,
BD
theo các vectơ
AB
và
AF
Xét lục giác ABCDEF, có
góc A + góc F
1
= 180
o
=>AB // FC nên
AB
↑↑

FC
và 2
AB
=
FC
=>
BC
= -
AB
+
AF
+ 2
AB
=
AB
+
AF
=>
BD
=
CD
+
BC
=
BC
+
AF
=
AF
+

AB
+
AF
= 2
AF
+
AB
Bài 31 Giải

M
O
C
B
A


• Phân tích vectơ
AM
theo các vectơ
OCOBOA ,,
Ta có:
AM
=
2
1
(
AC
+
AB
)

=
2
1
(
OAOC −
+
OAOB −
)
=
2
1
(
OC
+
OB
- 2
OA
)
=
2
OBOC +
-
OA
Bài 32 Giải

P
A
B
C
M

N
a) Tính
PM
,
PN
theo
AB
,
AC

PB
=
2
1
AB

BC
=
BA
+
AC
= -
AB
+
AC

BM
- 3
BC
= -

2
3
(
AB
-
AC
)

PM
=
PB
+
BM
=
2
1
AB
-
2
3
(
AB
-
AC
)
=
2
1
AB
-

2
3
AB
+
2
3
AC
= -
AB
+
2
3
AC
Bài 33 Giải

A1
B1
C1
A
B
C
a) Chứng minh:
AA
1 +
BB
1 +
CC
1 =
0
Gọi G là giao điểm của các đường trung tuyến AA

1
, BB
1
, CC
1
. Tức G là
trọng tâm của
∆
ABC
⇒

GA
+
GB
+
GC
=
0
Ta có:
AA
1
=
GA
1
-
GA
(1)

BB
1

=
GB
1
-
GB
(2)

CC
1
=
GC
1
-
GC
(3)
Cộng vế theo vế (1), (2), (3), được

AA
1 +
BB
1 +
CC
1
=
GA
1
+
GB
1
+

GC
1
– (
GA
+
GB
+
GC
)
=
2
1
(
GA
+
GB
+
GC
) =
0
b) Đặt
BB
1
=
u
,
CC
1
=
v

. Tính
ABCABC ,,
theo
u
và
v
Ta có:
CB1
=
GB1
+
GC
=
3
1
−
u
3
2
−
v

BC
=
BB
1
+
CB1
= u
3

1
−
u
3
2
−
v
=
3
2
u
3
2
−
v
Ta có:
AC1
=
1BC
=
3
2
u
3
2
−
v

AC
=

CC
1
+
AC1
= v +
3
2
u
3
2
−
v
=
3
2
u
3
1
−
v
Ta có:
AB1
=
GB1
+
GA
=
3
1
−

u
3
2
−
v

⇒
AB
1
=
3
1
u +
3
2
v

AB
=
AB
1
+
BB1
=
3
1
u +
3
2
v – u

=
3
2
−
u +
3
2
v
Bài 35 Giải

G
A1
C1
A
B
C
H
b) Đặt
AG
=
a
,
AH
=
b
. Tính
ACAB,
theo
a
và

b
Ta có:
HG
=
HA
+
AG
= -
b
+
a

BG
=
2
1
HG
=
2
1
(-
b
+
a
)

AB
=
AG
+

GB
=
a
-
2
1
(-
b
+
a
)
=
a
+
2
1
b
-
2
1
a
=
2
1
a
+
2
1
b
Gọi M là trung điểm của AC

Ta có:
AM
=
AB
+
BM
=
AB
+
2
3
BG
=
2
1
a
+
2
1
b
+
2
3
.
2
1
(-
b
+
a

)
=
2
1
a
+
2
1
b
-
4
3
b
+
4
3
a
=
4
5
a
-
4
1
b

AC
= 2
AM
= 2(

4
5 ba −
)=
2
5
a
-
2
1
b