Tuyển chọn bài tap lượng giác hay!!!
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (304.11 KB, 17 trang )
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1 Nguyễn Công Mậu
LỜI NÓI ĐẦU:
Kính thưa các đồng nghiệp cùng bạn đọc:
Tôi viết chuyên đề giải PTLG này nhằm trao đổi cùng đồng nghiệp để tham khảo.
Bên cạnh đó giúp cho các em học sinh đã học xong chương trình THPT tự học để có thể
tự ôn luyện vào các trường đại học theo nguyện vọng của mình.
Nếu nói một chuyên đề PTLG thì phải giới thiệu tất cả các dạng phương trình và
cách giải hoặc thuật toán của từng dạng.Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy và nghiên
cứu cách cho đề của các đề thi đại học từ những năm gần đây bản thân tôi rút ra được
kinh nghiệm:
+Số chuyên đề của một học sinh phải học quá nhiều, do vậy vấn đề về thời gian
dành để ôn luyện cho mỗi chuyên đề phải được tính đến.
+Dạy và ôn như thế nào để phù hợp với xu thế ra đề của Bộ Giáo dục.
Do vậy tài liệu này tôi đã tích lũy từ nhiều năm, các bài tập được biên soạn chỉ
ngang tầm với các đề thi đại học đã diễn ra hoặc mức độ chênh lệch nhau không đáng
kể.Tài liệu này được viết theo các nội dung chính say đây:
A.Ôn lý thuyết:Không trình bày phần lý thuyết nhằm tránh tài liệu quá dài.
B.Sơ đồ hệ thống cách giải các phương trình lượng giác trong các đề thi đại học.
(Sau mỗi bài giải hoặc ví dụ,bạn hãy thử xem đối chiếu lại với sơ đồ !)
C.Ôn tập cách giải các phương trình thường gặp đã nâng cao.Trong phần này có ví
dụ và có lời giải hoặc hướng dẫn cách giải.Cuối của mỗi mục có phần bài tập hoàn toàn
tương tự , do vậy tôi không ghi cách giải. Riêng phần PTLG đẳng cấp bậc n tôi đã biên
soạn các ví dụ theo hai cách giải để bạn đọc thấy được ưu điểm của mỗi cách.Số bài tập
tương tự mục này nhiều hơn so với những nội dung khác.
D.Phần bài tập để rèn luyện chung cho chuyên đề-phần này tôi biên soạn tương
ứng với mức độ các đề thi đại học từ 2002-2009 . Các em học sinh có thể nghiên cứu đáp
án các đề thi đại học từ 2002-2009 để giải nó (nếu không giải được).(Nếu các em là học
sinh có yêu cầu bài giải phần này thì có thể liên hệ theo email:
hoặcsố điện thoại: 0984-003114.
E.Nội dung các đề thi đại học các khối từ 2003-2009 để dễ so sánh với các bài tập ở
phần D.
F.Nghiên cứu thêm những gợi ý về cách giải các phương trình lượng giác.
Tôi hy vọng rằng, nếu đọc kỹ về cách giải PTLG cùng với sơ đồ hệ thống các em
học sinh có thể tự học tốt về chuyên đề này.
Chúc tất cả chúng ta thành công và cũng mong đồng nghiệp và các em học sinh
thông cảm cho bản thân tôi trong quá trình biên soạn tài liệu này không sao tránh khỏi
những sai sót. Chào thân ái!
A. ÔN LÝ THUYẾT:
Ôn :giá trị lượng giác các góc đặc biêt, giá trị lượng giác của các cung góc có
liên quan đặc biêt. Các công thức cơ bản, công thức lượng giác…
Ôn : Phương trình lượng giác cơ bản và cách giải.
OÂN LUYỆN PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2 Nguyễn Công Mậu
B. SƠ ĐỒ HỆ THỐNG CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002- 2009.
(ẩn phụ)
C.ÔN TẬP CÁCH GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP.
VÍ DỤ-CÁCH GIẢI –GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN VÀ BÀI TẬP.
I. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác:
Phương trình dạng : a.f
2
(x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác.
Và a, b, c là các hệ số a
0.
Cách giải: + Đặ t = f(x) ( nếu f(x) là sinx hoặc cosx thì
1t
)
+ Giải phương trình at
2
+ bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện.
+ Giải phương trình f(x) = t.
Ví dụ 1) Giải phương trình :
2
2cos4 6 s 1 3cos2
0
cos
x co x x
x
(1)
Ví dụ 2) Giải phương trình :
1
cos1
sin2)1cos2(cos1
x
xxx
(2)
Ví dụ 3) Giải phương trình :
2
3 2 3(1 ).cotcosx cosx x
(3)
Ví dụ 4) Giải phương trình :
6 6 2
sin 2 1x cos x cos x
(4)
Ví dụ 5) Tìm các nghiệm trên khoảng
0;
của phương trình :
PTLG cho trước
PT còn một cung
Còn 1 HSLG
PTĐẠI SỐ
Còn 2 hàm
sin và côsin
PTLG cơ bản
PTLG THƯỜNG GẶP
PT còn hai cung
Áp dụng:
(asinu + bcosu)
PTcơ bản
Sinf(x)=sing(x)
Hoặc
cosf(x)=cosg(x)
P.T.Tích
Cần chú ý sự xuất
hiện các biểu thức:
a.sinx +b.cosx với:
a,b =
2;3;1
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 3 Nguyễn Công Mậu
sin3 cos3
7 4 cos2
2sin 2 1
x x
cosx x
x
(5)
Ví dụ 6) Cho phương trình :
cos2 (2 1)sin 1 0 (*)x m x m
.
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng
;2
.
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1) +Đk
mx
2
.
(1)
02cos312cos1(312cos22
2
xxx
kx
k
x
x
x
xx
6
2
2
1
2cos
12cos
012cos32cos2
2
Họ
2
k
x
thỏa ĐK khi k = 2h
hx
Vậy (1) có 3 họ nghiệm là:
Zkhkxhx ,;
6
;
.
Ví dụ 2) + ĐK :
21cos mxx
(2)
0sin2)sin1(2cos1sin2coscos21
22
xxxxxx
2sin
2
2
sin02sin2sin2
2
xxxx
(loại)
2
4
5
2
4
4
sin
2
2
sin
kx
kx
x
Ví dụ 3) +ĐK :
mx
(3)
x
x
xx
2
2
sin
cos
)cos1(322cos3
x
x
xx
2
2
cos1
cos
)cos1(322cos3
02coscos6
cos1
cos3
2cos3
2
2
xx
x
x
x
2)
3
2
arccos(
2
3
3
2
cos
2
1
cos
kx
kx
x
x
(Thỏa các ĐK)
Ví dụ 4) +Biến đổi:
4
1
2cos
4
3
2sin
4
3
1)cos(sincossin3)cos(sin
)(cossincossin
2
22222322
32
3
266
x
xxxxxxx
xxxx
(4)
012cos42cos32cos
4
1
2cos
4
3
22
xxxx
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 4 Nguyễn Công Mậu
2
3
1
arccos
2
1
3
1
2cos
12cos
kx
kx
x
x
Ví dụ 5) *Giải PT(5):
+ĐK : sinx
2
12
2
12
5
2
1
mx
mx
+Ta có
)cossin1)(cos(sin4)cos(sin3cos3cos4sin4sin33cos3sin
33
xxxxxxxxxxxx
)12sin2)(cos(sin)1cossin4)(cos(sin xxxxxxx
xx
x
xx
cossin
12sin2
3cos3sin
(5)
)sin21(4sin72cos4)coscos(sin7
2
xxxxxx
3sin
2
1
sin03sin7sin2
2
xxxx
(loại)
2
6
5
2
6
2
1
sin
kx
kx
x
*Chọn nghiệm trên khoảng
;0
ta được hai nghiệm của phương trình là:
6
5
;
6
xx
Ví dụ 6) (*)
01sin)12(sin21
2
mxmx
0sin)12(sin2
2
mxmx
1;1;sin;0)12(2)(
2
txtmtmttf
a)Khi m=2:
2
2
1
0252)(
2
tttttf
(loại)
2
6
5
2
6
2
1
sin
2
1
kx
kx
xt
b)Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng
;2
:
Khi
012; tx
.
Vậy ta phải có :
01
0)1(0)1().0(
0
2
1
0)1(;0)0(;0
01
01
01
21
21
21
m
m
fff
S
afaf
tt
tt
tt
0;1 m
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 5 Nguyễn Công Mậu
1) Giải phương trình :
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
cos
x x x
x
2) Giải phương trình :
2
cos 2 3 2 2 1
1
1 sin 2
x sinx cos x
x
3) Giải phương trình :
2
5 2 3(1 ).tansinx sinx x
4) Giải phương trình :
8 8 2
17
sin 2
16
x cos x cos x
5 Tìm các nghiệm trên khoảng
0;2
của phương trình :
cos3 sin3
5 3 cos2
1 2sin 2
x x
sinx x
x
6) Cho phương trình :
cos2 (2 1)cos 1 0 (*)x m x m
.
a) Giải phương trình khi m = 3/2.
b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng
3
;
2 2
.
II. Phương trình bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung:
Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b
0
+ Điều kiện phương trình có nghiệm : a
2
+ b
2
c
2
.
+ Cách giải :
- Chia 2 vế phương trình cho
2 2
a b
ta được :
2 2 2 2 2 2
cosasinx b x c
a b a b a b
- Đặt
2 2 2 2
sin
a b
cos
a b a b
và đặt
2 2
sin
c
a b
ta có phương trình:
sin( ) sinx
Ví dụ 1: Giải phương trình :
xxxx 2cos34cos26sin32cos4
3
(1)
Ví dụ 2: Giải phương trình :
3 1
8sinx
cosx sinx
(2)
Ví dụ 3: Giải phương trình :
0sincos2cos2sin xxxx
(3)
Ví dụ 4: Giải phương trình :
82cos2sin3cos3sin9 xxxx
(4)
Ví dụ 5: Giải phương trình :
3
2 cos2 0cos x x sinx
(5)
Ví dụ 6: Giải phương trình :
3 3
sin x cos x sinx cosx
(6)
Ví dụ 7: Giải phương trình : 4
4 4
(sin ) 3sin 4 2x cos x x
(7)
Ví dụ 8: Giải phương trình :
xxxx sin3cos)cos3(sin3
(8)
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: (1)
xxxx 4cos26sin32cos32cos4
3
xxxxxx 4cos6sin
2
3
6cos
2
1
4cos26sin36cos
xx 4cos
3
6cos
.
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 6 Nguyễn Công Mậu
Ví dụ 2: + ĐK :
Zm
m
xx
x
x
2
02sin
0cos
0sin
+ (2)
xxxxxxxx cossin3)3cos(cos2cossin3sin2sin4
xxxxx 3cos
3
cos3cossin
2
3
cos
2
1
Ví dụ 3: (3)
01coscos2)sincossin2(
2
xxxxx
0)1cos)(sin1cos2(
0)1)(cos1cos2()1cos2(sin
xxx
xxxx
1)
4
sin(2
2
1
cos
xx
Ví dụ 4: (4)
09cos2cos3cossin6sin9
2
xxxxx
0)3)(cos3cos2()cos23(sin3 xxxx
03sin3cos0)3sin3)(cos3cos2( xxxxx
sinsinsincoscos
10
3
sin
10
3
cos
10
1
xxxx
10
3
sin;
10
1
cos;
2
cos)cos(
x
Ví dụ 5: (5)
0)sin1()1(coscos20sin1cos2cos2
223
xxxxxx
0)sin1()1)(cossin1)(sin1(2 xxxx
0)12sincos2sin2)(sin1(
01)cos1)(sin1(2)sin1(
xxxx
xxx
0)cos(sin)cos(sin2)sin1(
2
xxxxx
0cossin
0sin1
0)2cos)(sincos)(sinsin1(
xx
x
xxxxx
Ví dụ 6: (6)
xxxxxx cossin)cossin1)(cos(sin
xxxxxxxx cossin)cos(sincossincossin
0)cossinsin2(cos0)cos(sincossincos2
2
xxxxxxxxx
0)2sin2cos3(cos0)2sin
2
1
2
2cos1
2(cos
xxxx
x
x
0cos x
Ví dụ 7: + Biến đổi :
xxxxx 4cos
4
1
4
3
)4cos1(
4
1
12sin
2
1
1cossin
244
+ (7)
2
1
4sin
2
3
4cos
2
1
24sin34cos3 xxxx
3
2
cos
3
4cos
x
xxxx sin3cos)cos3(sin3
Ví dụ 8: (8)
xxxxxxxx cos
2
3
sin
2
1
3cos
2
1
3sin
2
3
cos3sin3cos3sin3
3
sin
6
3sin
xx
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 7 Nguyễn Công Mậu
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :
1) Giải phương trình :
xxxx 3sin43cos29cos33sin3
3
2) Giải phương trình :
3 1
8
sin
cosx
x cosx
3) Giải phương trình :
2
sin 2 2sin 1 4 2 2sin cos2x x sin xcosx cos x x x
4) Giải phương trình :
4cos sin 2 2cos2 1sinx x x x
5) Giải phương trình :
3
2sin cos2 0x x cosx
6) Giải phương trình :
3 3
sin x cos x sinx cosx
7) Giải phương trình :
24sin33cossin8
66
xxx
8) Giải phương trình :
xxxx cos3sin)sin3(cos3
III. Phương trình đẳng cấp thuần nhất theo sin và côsin cùng một cung:
1) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai theo sin và côsin cùng một cung:
Phương trình có dạng : asin
2
x + bsinxcosx + ccos
2
x + d = 0. (1)
Cách giải 1: (Dng cơng thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin v cơsin cng cung)
(1)
1 cos2 1 cos2
sin 2 0
2 2 2
x b x
a x c d
sin 2 ( )cos2 (2 )b x c a x d a c
.
Cách giải 2: (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)
Xét hai trường hợp :
+ Nếu x =
;
2
k k Z
có là nghiệm phương trình hay không.
+ Nếu x
;
2
k k Z
, chia hai vế phương trình cho cos
2
x ta được:
atan
2
x + btanx + c + d(1 + tan
2
x) = 0
(a + d)tan
2
x + btanx + c + d = 0.
Ví dụ 1: Giải phương trình cos
2
x -
3
sin2x = 1 + sin
2
x (1)
Ví dụ 2: Giải phương trình 4sin
2
x – 3sinxcosx +
3 4
cos
2
x = 4 (2)
Ví dụ 3: Giải phương trình : 10cos
2
x – 5sinxcosx + 3sin
2
x = 4 (3)
Ví dụ 4: Giải phương trình : cos
2
x + sinxcosx + 3sin
2
x = 3. (4)
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: (1)
12sin32cos12sin3sincos
22
xxxxx
3
cos
3
2cos
2
1
2sin
2
3
2cos
2
1
xxx
Ví dụ 2: +Xét cosx = 0 thì
1sin
2
x
nghiệm đúng phương trình (2).
Vậy (2) có nghiệm
kx
2
.
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 8 Nguyễn Công Mậu
+Xét
0cos x
. Chia hai vế PT(2) cho
x
2
cos
và thay
x
x
2
2
tan1
cos
1
và đặt ăn
phụ t = tanx :
Ta có :
kxxtttt
66
tantan
3
3
)1(44334
22
Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là :
kx
2
;
Zkkx ;
6
Ví dụ 3: (3)
3)2cos1(
2
3
2sin
2
5
)2cos1(5 xxx
72sin52cos7 xx
Ví dụ 4: +Xét cosx = 0 thì
1sin
2
x
nghiệm đúng phương trình (2).
Vậy (2) có nghiệm
kx
2
.
+Xét
0cos x
. Chia hai vế PT(2) cho
x
2
cos
và thay
x
x
2
2
tan1
cos
1
và đặt ăn
phụ t = tanx :
Ta có :
kxxtttt 2arctan2tan2)1(331
22
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) Giải phương trình : 3sin
2
x - 5
3
sinxcosx – 6cos
2
x = 0
2) Giải phương trình : sin
2
x +
2
(1 3)sin cos 3 0x x cos x
3) Giải phương trình : 2sin
2
x + sinxcosx – 5cos
2
x = 1
4) Giải phương trình : cos
2
x – 3sin
2
x – 4sinxcosx = 0
2) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc cao theo sin và côsin cùng một cung:
Đây là loại phương trình được mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên cơ sở sau:
+ Một biểu thức theo sinx hoặc cosx có bậc k có thể biến đổi thành một biểu thức
theo sinx và cosx có bậc k + 2n nhờ đẳng thức :
1cossin
22
xx
.
),( Nnk
Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx.
xxxxx
2322
cossinsin)cos(sin
(bậc 3).
Hoặc sinx = sinx.
xxxxxxx
4235222
cossincossin2sin)cos(sin
(bậc 5).
+ Chú ý : i) Số 0 không có bậc. Một hằng số khác 0 có bậc là 0.
ii) Xác định bậc của mỗi hạng tử trong PTLG chứa sin và côsin là khi
chúng đã cùng một cung ( ví dụ với cung 3x thì sin3x có bậc 1, với cung 1x thì sin3x
có bậc 3)
Từ những ý tưởng trên ta có thể nêu định nghĩa về PTLG đẳng cấp bậc n theo sin
và côsin của cùng một cung như sau:
“ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT có bậc các hạng tử hơn, kém nhau
2k, k
N
”
Cách giải 1: ( tương tự đẳng cấp bậc 2)
(Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và có thuật toán,
nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai)
+Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm đúng PT không. (nếu đúng ghi nhận kết quả)
+Bước 2: -Xét cosx
0. Chia hai vế PT cho
x
n
cos
và thay
k
k
x
x
2
2
tan1
cos
1
.
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 9 Nguyễn Công Mậu
-Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì được PT đa thức bậc n theo t.
-Giải tìm nghiệm t = t
0
rồi giải PT tanx = t
0
để tìm x.
Cách giải 2 : (Biến đổi về PT tích theo sin và côsin)
( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng không định hướng được kết quả biến đổi. Đòi
hỏi kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Không có thuật toán
như cách 1. Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
xxxx
2
coscossintan
(1)
Giải cách 1:
+ĐK:
mx
2
.
+(1)
xxxx
32
coscossinsin
(*) (đẳng cấp bậc 3).
+cosx = 0 không nghiệm đúng PT. (vì
01
; vô lý)
+cosx
0, chia hai vế (*) cho cos
3
x được :
kxxttxxx
4
1tan111tan)tan1(tan
32
(t = tanx)
Giải cách 2:
(*)
xxxxx
3332
cossincos)cos1(sin
(**)
kxxx
4
1tan1tan
3
Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tôi minh họa lại như sau:
(**)
0)2sin2)(cos(sin0)cossin1)(cos(sin0cossin
33
xxxxxxxxx
kxxxx
4
1tan0cossin
.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
xxx cossincos
3
(2) (đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (2)
+ cosx
0, chia hai vế (2) cho cos
3
x được :
)tan1()tan1(tan1
2
xxx
kxxtttt 0tan00)1(
2
(với t = tanx )
Giải cách 2:
(2)
0)1cos(sinsin0sinsincossin)1(coscos
22
xxxxxxxxx
kxxxx 0sin0)22(sinsin
Ví dụ 3: Giải phương trình:
0cos2cossincos2sin3
233
xxxxx
(3)
(đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (3)
+ cosx
0, chia hai vế (3) cho cos
3
x được :
0)3(3033)tan1(2tan2tan3
223223
ttttxxx
kx
kx
x
x
t
t
3
3tan
0tan
3
0
Giải cách 2:
(3)
0)cos1(cos2cossinsin3
223
xxxxx
0cos3sin3sin0sincos2)cossin3(sin
222
xxxxxxxx
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 10 Nguyễn Công Mậu
kx
kx
x
kx
xx
x
3
3tan0cos3sin
0sin
Ví dụ 4 : Giaûi phöông trình 3cos
4
x – 4sin
2
xcos
2
x + sin
4
x = 0 (4) (đẳng cấp bậc 4)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 thì sinx =
1
không nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx
0
+ Chia hai vế (2) cho cos
4
x rồi đặt ẩn phụ t = tan
2
x thì được:
31034
2
tttt
Giải cách 2:
(4)
0)sincos(sin)cossin3cos3(
422224
xxxxxx
0)sin(cossin)sin(coscos3
222222
xxxxxx
3tan
02cos
0)sincos3(2cos
22
x
x
xxx
Ví dụ 5: Giải phương trình :
xxxxx cossin2coscossin
266
(5)
Giải cách 1:
Nếu biến đổi :
)cossincos)(sincos(sincossin
22442266
xxxxxxxx
=
=
xxxx
2244
cossincossin
Và biến đổi :
xxxxxxx
22442222
cossin2sincos)sin(cos2cos
Thì PT (5)
0cossincossin
22
xxxx
(*)
Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản
+ Nếu từ PT:
xxxxxx cossin)sin(coscossin
22266
(đẳng cấp bậc 6)
Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: (Với t = tanx )
)1.5(012
0
02
234
2345
tttt
t
ttttt
Khi đó PT (5.1)
02
11
0
11
2
2
2
2
2
t
t
t
t
t
t
tt
(5.2)
PT (5.2) đặt ẩn phụ
t
tu
1
thì được PT bậc hai
100
2
uuuu
.
Trở lại với ẩn t thì các PT này vô nghiệm.
+ Với t = 0
kxx 0tan
.
Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:
kx
2
cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x =
2
k
. Phù hợp với mọi
cách giải.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Có thể giải lại các bài trong các ví dụ và bài tập tương tự ở
phân PT đưa về PT bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung như :
1) Giải phương trình sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x (đẳng cấp bậc 3)
2) Giải phương trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)
3) Giải phương trình sinx – 4sin
3
x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)
4) Giải phương trình :
3 3
sin x cos x sinx cosx
(đẳng cấp bậc 3)
5) Giải phương trình :
24sin33cossin8
66
xxx
(đẳng cấp bậc 6)
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 11 Nguyễn Công Mậu
6) Giải phương trình :
xxxx cos3sin)sin3(cos3
(đẳng cấp bậc 3)
7) Giải phương trình :
3 3
sin x cos x sinx cosx
(đẳng cấp bậc 3)
8) Giải phương trình : 4
4 4
(sin ) 3sin 4 2x cos x x
(đẳng cấp bậc 4)
9) Giải phương trình :
xxxx sin3cos)cos3(sin3
(đẳng cấp bậc 3)
10) Giải phương trình :
8 8 2
17
sin 2
16
x cos x cos x
(đẳng cấp bậc 8)
11) Giải phương trình :
6 6 2
sin 2 1x cos x cos x
(đẳng cấp bậc 6)
IV. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và côssin cùng một cung:
1) Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và
côsin)
Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c
)R
(1)
Cách giải : Đặt t = sinx + cosx =
2
4
sin2
tx
(*)
2
1
cossincossin21
2
2
t
xxxxt
(1)
)1.1(0220
2
1
.
2
2
bcatbtc
t
bat
.
Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t
0
thỏa mãn
2
0
t
.
Thay giá trị t
0
vào PT (*) và giải PT sin2x =
1
2
0
t
để tìm x.
2) Phương trình chứa hiệu và tích ( còn gọi là phương trình phản xứng)
Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c
)R
(2)
Cách giải : Đặt t = sinx - cosx =
2
4
sin2
tx
(**)
2
1
cossincossin21
2
2
t
xxxxt
(1)
)1.2(0220
2
1
.
2
2
bcatbtc
t
bat
.
Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t
0
thỏa mãn
2
0
t
.
Thay giá trị t
0
vào PT (**) và giải PT sin2x = 1-
2
0
t
để tìm x.
Ví dụ 1: Giải phương trình
02cos12)sin(cos122sincossin xxxxxx
(1)
Ví dụ 2: Giải phương trình
4
sin27cos2sin3sin2sin32cos8
xxxxxx
(2)
Ví dụ 3: Giải phương trình
02cos2sinsin
23
xxx
(3)
Ví dụ 4: Giải phương trình
12cossin)2sincos(sin12cossin
22
xxxxxxx
(4)
Ví dụ 5: Giải phương trình
1)1(sin2sin2coscossinsin
2
xxxxxx
(5)
Ví dụ 6: Giải phương trình
0sincos2cos)1cos(sin xxxxx
(1)
HƯỚNG DẪN CÁC VÍ DỤ:
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 12 Nguyễn Công Mậu
Ví dụ 1: (1)
012)cos(sin122sincossin xxxxx
)1(0122sin)cos(sin12
)1(0cossin
bxxx
axx
(1a)
kx
4
(1b)
xxtt
t
t
tt cossin1
13
1
01312
2
2
02sin1
k
xxt
+ Vậy (1) có 2 họ nghiệm là
)(
2
;
4
Zk
k
xkx
Ví dụ 2: (2)
072sin3)sin(cos8sincos xxxxx
)2(072sin3)sin(cos8
)2(0cossin
bxxx
axx
(2a)
kx
4
(2b) : Đặt t =
(*)12sin2sin1)2(;sincos
22
txxttxx
(2b)
3
2
3
2
2
0483
2
t
t
t
tt
, thay t = -2/3 vào (*):
Sin2x =
kx
kx
9
5
arcsin
2
9
5
arcsin
2
1
9
5
Ví dụ 3: (3)
0)1cossincos)(sincos1( xxxxx
2
2
01cossincossin
1cos
k
x
kx
xxxx
x
Ví dụ 4: (4)
012)cos(sin12cossin
0cossin
012)cos(sin12cossincossin
xxxx
xx
xxxxxx
2
4
k
x
x
Ví dụ 5: (5)
0)1(sin2sin2)coscos(sin1sin
2
xxxxxx
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 13 Nguyễn Công Mậu
012sin2cossin
1sin
012sin2cossin1sin
0)1(sin2sin21sincos1sin1sin
xxx
x
xxxx
xxxxxx
Ví dụ 6: (6)
0sincossincos1cossin
22
xxxxxx
0sincossincossincos1cossin xxxxxxxx
01sincos1cossin)sin(cos xxxxxx
)6(01)sin)(cos1cos(sin
)6(0sincos
bxxxx
axx
(6a)
kx
4
(6b): Đặt t = sinx +cosx (
2t
) ;
12sin2sin1
22
txxt
(*)
(6b)
01.1
2
1
2
t
t
023
3
tt
0)2)(1(
2
ttt
1
2
1
t
t
t
thay vào (*) thì sin2x = 0
2
k
x
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Giải các phương trình sau :
1)
2
4
cos2)1cos(sin2sin2
xxxx
.
2)
xxxxx cossin4sin
2
1
cossin
44
3)
02sin2coscos
23
xxx
4)
)cos2(8sin3sin3
2
xxx
5)
0sincos)cossin1(2cos xxxxx
6)
06cos6sin3sin
23
xxx
D. PHẦN BÀI TẬP NÀY ĐƯỢC BIÊN SOẠN TƯƠNG TỰ CÁC ĐỀ THI
ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009
(Không hướng dẫn-bạn tự nghiên cứu đáp án các đề thi đại học)
Bài 1:Giải các phương trình sau :
a)
x
x
x
x 2cos3
cos21
3sin
2sin4
; b)
xxxx 4cossin3cos2sin
2222
c)
04sin32cos43sin xxx
; d)
012sin
2
1
sin2cos3sin
2
xxxx
e)
0
2cos2
cossincossinsincos
2266
x
xxxxxx
; g)
x
xx
x
xx
sin
cossin4
cos
1
cot.cos
2
Bài 2:Giải các phương trình sau :
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 14 Nguyễn Công Mậu
a)
0
sin22
3
4
cos
4
sin2cossin2
44
x
xxxx
b)
xxxxxxxxx cos.sincossin2cos.2coscotcossin
233
c)
xgxxxx
22
cot).2cos(cos32coscos10
d)
xxxxx sin32sincossin23cos2
Bài 3:Giải các phương trình sau :
a)
0cossin2cos2sincossin1
33
xxxxxx
; b)
x
xxx
2
2
tan
1
cot.cossin1
c)
)cos1(sin2sincos)sin1(1
22
xxxxx
;
d)
02cot2cottan2tan
22
xxxx
Bài 4 : Giải các phương trình :
a)
012sin
2sin34
cossincossin8
2
66
x
x
xxxx
; b)
0sin2cos.3sin
22
xxx
c)
0
32cos5
2cos2cossincossin
4466
x
xxxxx
; d)
xxxx tan2sintan.sin
e)
)cos1(sin2sincos)sin1(1
22
xxxxx
; g)
xxx 7cos1coscos2
2
Bài 5 : Giải các phương trình :
a)
12sinsin)cos1(cos)sin1(
22
xxxxx
; b)
21cos3
2
cos
2
sin
2
x
xx
c)
02cossin2sin2)2cos1(cos3 xxxxx
;
d)
4
5
cos4
2
3
sin
1
2
cos
1
x
xx
e)
02cossin2sin2)2cos1(cos3 xxxxx
f)
xxxxxxx cossin3cossin2coscos3sin
2233
Bài 6: a) Giải phương trình
3
)cos1)(cos21(
sincos21
xx
xx
b) Giải phương trình :
2cos
2cos
3sin3cos2cos2
3
x
x
xxx
c) Giải phương trình
3
cos
cossin43cos3
2
x
xxx
E. CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009.
Baøi 1:
Giaûi caùc phöông trình sau
:
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 15 Nguyễn Công Mậu
a) (KA-2003)
xx
x
x
x 2sin
2
1
sin
tan1
2cos
1cot
2
b) (KB-2003)
x
xxx
2sin
2
2sin4tancot
c) (KD-2003)
0
2
costan.
42
sin
222
x
x
x
Baøi 2:
Giaûi caùc phöông trình sau
:
a) (KB-2004)
xxx
2
tan)sin1(32sin5
b)(KD-2004)
xxxxx sin2sin)cossin2)(1cos2(
c) (KA-2004) Cho
ABC
không tù thoả điều kiện :
3cos22cos222cos CBA
.
Tính ba góc của
ABC
.
Baøi 3:
Giaûi caùc phöông trình sau
:
a) (KA-2005)
0cos2cos.3cos
22
xxx
b) (KB-2005)
02cos2sincossin1 xxxx
c) (KD-2005)
0
2
3
)
4
3sin().
4
cos(sincos
44
xxxx
Baøi 4:
Giaûi caùc phöông trình sau
:
a) (KA-2006)
0
sin22
cossinsincos2
66
x
xxxx
b) (KB-2006)
4)
2
tan.tan1(sincot
x
xxx
c) (KD-2006)
01cos2cos3cos xxx
Baøi 5:
Giaûi caùc phöông trình sau
:
a) (KA-2007)
xxxxx 2sin1sin)cos1(cos)sin1(
22
b) (KB-2007)
xxx sin17sin2sin2
2
c) (KD-2007)
2cos3
2
cos
2
sin
2
x
xx
Baøi 6:
Giaûi caùc phöông trình sau
:
a) (KA-2008)
x
x
x 4
7
sin4
2
3
sin
1
sin
1
b) (KB-2008)
xxxxxx cossin3cossincos3sin
2233
c) (KD-2008)
xxxx cos212sin)2cos1(sin2
Baøi 7:
Giaûi caùc phöông trình sau
:
a) (KA-2009) Giải phương trình
1 2sin x cosx
3.
1 2sin x 1 sinx
b) (KB-2009) Giải phương trình
3
sin x cosx sin 2x 3cos3x 2(cos4x sin x)
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 16 Nguyễn Công Mậu
c) (KD-2009) Giải phương trình
3cos5x 2sin3xcos2x sinx 0
.
F. MỤC THAM KHẢO THÊM VỀ CÁCH GIẢI PH.TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
* Việc giải PTLG là vấn đề thường gặp trong các đề thi đại học .Phương pháp thường sử
dụng khi giải phương trình lượng giác là thực hiện một số phép biến đổi lượng giác thích
hợp kể cả việc biến đổi đại số để đưa PTLG về dạng phương trình lượng giác cơ bản hay các
phương trình lượng giác thường gặp hoặc đưa về dạng phương trình tích hoặc đặt ẩn phụ để
đưa về phương trình đại số bậc hai,bậc ba…;hoặc đôi khi còn phải sử dụng đến phương pháp
đánh giá hai vế của phương trình. Để đạt được kết quả cao trong việc giải PTLG yêu cầu học
sinh cần nắm vững các yêu cầu tối thiểu sau đây :
1)Học thuộc (hoặc thông qua suy luận) các công thức lượng giác,các cung, góc có liên
quan đặc biệt,giá trị lượng giác của các cung(góc) đặc biệt.
2)Cần nắm vững cách giải PTLG cơ bản và các trường hợp đặc biệt.Cách giải các
phương trình lượng giác thường gặp .
3)Phải có thói quen là đề cập đến TXĐ của phương trình (lấy điều kiện) trước khi tiến
hành phép biến đổi và đối chiếu điều kiện khi có kết quả.
* Tại sao đề cập đến việc biến đổi thích hợp:Vì các đồng nhất thức lượng giác thường
rất đa dạng.Chẳng hạn :
-Nếu cần biến đổi cos2x thì tuỳ theo đầu bài ta sẽ sử dụng một trong các đồng nhất sau:
Cos2x = cos
2
x – sin
2
x = 2cos
2
x -1 = 1-2sin
2
x.
Ví dụ : Giải phương trình :
a) cos2x = sinx- cosx → biến đổi Cos2x = cos
2
x – sin
2
x
b) cos2x = cosx → biến đổi Cos2x = 2cos
2
x -1
c) cos2x = sinx → biến đổi Cos2x = 1-2sin
2
x
-Nếu cần biến đổi cos
4
x-sin
4
x thì tuỳ theo đầu bài ta sẽ sử dụng một trong các đồng nhất
sau:
cos
4
x-sin
4
x = cos
2
x – sin
2
x = Cos2x = 2cos
2
x -1 = 1-2sin
2
x.
*Cần chú ý đến các đồng nhất lượng giác thường gặp khi giải toán như:
1
sin2x = (sinx
cosx)
2
Cos
3
x.sin3x+sin
3
x.cos3x =
4
3
sin4x
4
4cos3
2
2cos1
2sin
2
1
1sincos
2
244
xx
xxx
8
4cos35
4
2cos31
2sin
4
3
1sincos
2
266
xx
xxx
*Cần chú ý đến các số hạng có chứa thừa số (cosx+sinx) là: cos2x ; cos
3
x+sin
3
x ;
Cos
4
x-sin
4
x ; cos3x-sin3x ; 1+tanx ; cotx-tanx ;
4
sin2
x
….Tương tự đối với các
số hạng có chứa thừ số cosx-sinx.
*Các phép biến đổi lượng giác thường được tiến hành theo các hướng sau:
+Hạ bậc phương trình(nếu có).
+Đưa về cùng cung:
-Nếu cùng hàm và cùng cung thì tiến hành đặt ẩn phụ.
-Nếu cùng cung nhưng còn hai hàm sin và côsin thì thường biến đổi về ph.
trình tích
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 17 Nguyễn Công Mậu
(Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như: đặt nhân tử
chung,dùng hằng đẳng thức,nhóm hạng tử,nghiệm tam thức bậc hai)
-Nếu cùng cung và còn hai hàm sin ; côsin với bậc các hạng tử hơn,kém nhau 2n
(với n là số tự nhiên) thì ta có thể chia hai vế của phương trình cho cos
k
x hoặc sin
k
x (k
là bậc lớn nhất trong phương trình) để đưa phương trình đã cho về dạng còn chứa
duy nhất hàm tang hoặc côtang của một cung rồi tiến hành đặt ẩn phụ.
*Khi đánh giá hai vế của phương trình thì các bất đẳng thức thường được dùng để
ước lượng như:
1sin x
;
1cos x
;
22
cossin baxbxa
;
1cossincossin
22
xxxx
nm
(với
3,;, nmNnm
)
-Đối với phương trình sinax
sinbx =
2
1sin
1sin
bx
ax
(dấu
lấy tương ứng)
Tương tự đối với các phương trình : cosax
cosbx =
1
; sinax
cosbx =
2
CHÚ Ý: Vì trong tài liệu này tôi biên soạn theo nhiều thời điểm khác nhau, sau đó
gộp lại nên có hai phông chữ đó là Times New Roman và VNI-Times . Vậy khi sử
dụng có gì trở ngại bạn tự đổi phông chữ!
