bài toán tiệm cận và khảo sát hàm số

Bài 07: Tiệm cận và Khảo sát hàm số – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN BÀI TIỆM CẬN VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bài 1: Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
. Tìm ñiểm M nằm trên ñồ thị hàm số ñể tổng khoảng cách từ
M ñến 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
Giải:
Gọi ñiểm M trên ñồ thị hàm số có tọa ñộ là:
0 0
0
1
1 ; 1M x x
x
 
+ + +
 
 

Phương trình tiệm cận ñứng và tiệm cần xiên là:

1 0; 0
x x y
− = − =


0
0
0
0
( )
1
1
( )
2
2
d M TCD x
S x
d M TCX
x
x

→ =

⇒ ⇒ = +

→ =



Áp dụng BðT Côsi ta có:

4 4
4
1
2 8 in S= 8
2
S M≥ = ⇒

Dấu “=” xảy ra
2 4
0 0 0
2
4
0
1 1 1
2
2
2
x x x
x
⇔ = ⇔ = ⇔ = ±

Vậy có 2 ñiểm M thõa mãn là:
4 4
1 2
4 4 4 4
1 1 1 1
1 ;1 2 ; 1 ;1 2
2 2 2 2
M M
   

+ + + − − −
   
   

Bài 2: Cho hàm số
1
2
x
y
x
+
=
−
. Tìm
ñ
i
ể
m M n
ằ
m trên
ñồ
th
ị
hàm s
ố

ñể
t
ổ
ng kho

ả
ng cách t
ừ

M
ñế
n 2 ti
ệ
m c
ậ
n là nh
ỏ
nh
ấ
t

Giải:


G
ọ
i
ñ
i
ể
m M trên
ñồ
th
ị
hàm s

ố
có t
ọ
a
ñộ
là:
0
0
3
2 ;1M x
x
 
+ +
 
 

Ph
ươ
ng trình ti
ệ
m c
ậ
n
ñứ
ng và ti
ệ
m c
ầ
n ngang là:
2 0; 1 0

x y
− = − =


0
0
0
0
( )
1
3
( )
d M TCD x
S x
d M TCN
x
x

→ =

⇒ ⇒ = +

→ =



Áp d
ụ
ng B
ð

T Côsi ta có:
2 3 in S=2 3
S M≥ ⇒

D
ấ
u “=” x
ả
y ra
2
0 0
3 3
x x
⇔ = ⇔ = ±

V
ậ
y có 2
ñ
i
ể
m M thõa mãn là:
(
)
(
)
1 2
2 3;1 3 ; 2 3;1 3
M M+ + − −

Bài 3:
Cho hàm s
ố

2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
−
. Tìm m
ñể
ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố
t
ạ
o v

ớ
i 2 tr
ụ
c t
ọ
a

ñộ
m
ộ
t tam giác có di
ệ
n tích là 8
Bài 07: Tiệm cận và Khảo sát hàm số – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Page 2 of 2

Giải:
Ta tìm
ñượ
c PT ti
ệ
m c
ậ
n xiên là:
: 1
m
d y x m
= + +

Ta có

(
)
( )
Ox 0; 1
Oy ( 1);0
m
m
d A m
d B m
∩ = +



∩ = − +




( )
2
2
1 1 1
. 1 8
2 2 2
3
( 1) 16
5
OAB A B
S OA OB x y m
m

m
m
⇒ = = = + =
=

⇔ + = ⇔

= −

△

Bài 4:
Cho
[ ]
2
2 cos 1
( ) ; 0;
2sin
x x α
y f x
α π
x
α
+ +
= = ∈
+
.
Tìm
α
ñể

kho
ả
ng cách t
ừ
g
ố
c T
ọ
a
ñộ
O là Max.

Giải:

Ta tìm
ñượ
c ti
ệ
m c
ậ
n xiên có PT là:

2( os sin ) : 2( os sin ) 0
y x c
α α
x y c
α α
= + − ⇔ − + − =
△

[ ]
2 2 os
2( os sin )
4
( ) 2 os 2
4
2 2
0;
3
( ) ax 2
4
os 1
4
π
c α
c α α
π
d O c α
α π
π
d O TCX M α
π
c α
 
+
 
−
 
 

⇒ → = = = + ≤
 
 
 ∈

⇒ → = ⇔ ⇔ =

 
+ = ±
 

 

△

Bài 5:
L
ấ
y
ñ
i
ể
m M b
ấ
t kì thu
ộ
c
ñồ
th
ị

hàm s
ố

2
3 1
( )
2
x x
y f x
x
+ −
= =
−
(C).
CMR: Tích các kho
ả
ng cách t
ừ
M
ñế
n 2 ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a (C) luôn không
ñổ
i.

Giải:
G
ọ
i
ñ
i
ể
m M trên
ñồ
th
ị
hàm s
ố
có t
ọ
a
ñộ
là:
0 0
0
9
2 ; 7M x x
x
 
+ + +
 
 

Ph
ươ

ng trình ti
ệ
m c
ậ
n
ñứ
ng và ti
ệ
m c
ầ
n xiên là:
2 0; 5 0
x x y
− = − + =


0
0
0
0
( )
9 9 2
. ons
9
( )
2
2
2
d M TCD x
P x c t

d M TCX
x
x

→ =

⇒ ⇒ = = =

→ =





………………….Hết………………


Nguồn:
Hocmai.vns