slike bài giảng toán chuyên đề - nguyễn linh giang chương 1 xác suất và thống kê

Mts vn đ chnlctrong
toán cho k s
Nguyn Linh Giang
Vin CNTT&TT
PhnII. Xácsutvàthng kê
¸ Mô t khóa hc
̈ Dành cho sinh viên đihc
̈ Xây dng các mô hình xác sutvàc s
thng kê
̈ Phân tích s bt đnh
̈ Suy dinthng kê
̈ Phân tích s liuthcnghim
Ni dung
¸ PhnI. Xácxut trong tính toán và thuttoán
¸ Phn II. Xác sutvàthng kê
̈ Khái nimxácsutvàcácbinngunhiên
¸ Khái nimxácsut
¸ Các binngu nhiên và các đctrng
¸ Mts hàm phân b xác sutquantrng
¸ nh luts ln
¸ Hàm cabinngu nhiên
¸ Các đnh lý giihn
̈ clng tham s cad sai s thng kê
̈ C s thng kê toán hc
̈ Các quá trình ngunhiên
Tài liu
¸ Papoulis, Probability, Random
variable, Stochastic Processes
¸ Trossets M. W, An introductions to
statistical inference and data analysis.
¸ J. S. Bendat, A. G. Piersol. Random Data:

analysis and measurement procedures.
II. C s lý thuytxácsut
¸ 2.1. Khái nimxácsut.
¸ 2.2. Các binngu nhiên.
¸ 2.3. Mts phân b xác sutquantrng
¸ 2.4. nh luts ln.
¸ 2.5. Phân b t nhiên ( phân b Gauss).
¸ 2.6. Các đnh lý giihn trung tâm.
2.1. Khái nimxácsut
¸ Khái nimxácsut
̈ nh nghakinhđincaLaplace v xác sut:
̈ nh nghaxácsuttheotunsuttng đi:
,
N
)(
A
N
AP =
n
n
AP
A
n
lim)(
∞→
=
2.1. Khái nimxácsut
̈ Phát biutiênđ caKolmogorov
¸ Ω: không gian mu: tphpttc các ktccthc
nghim – không gian các s kinc s

Ω = { ξ
1
, ξ
2
, … ξ
k
, …, ξ
n
, … }
¸ S kin – là mttpcon ca Ω. S tpcon cakhông
gian mu: 2
n
nun< ∞.
¸ Trng-σ
F
cacáctpcon ca Ω
¸ P: đ đoxácsuttrêncácphnt catrng-σ
F
̈ A – s kinbtk
̈ 3 tiên đ xác sut
¸ < Ω,
F
, P >: mô hình xác sut
).()()( then , If (iii)
1)( (ii)
0)( (i)
BPAPBAPBA
P
AP
+=∪=∩

=Ω
≥
φ
2.1. Khái nimxácsut
̈ Các s kin: A và B
¸ Các s kinlitr: A ∩ B = ∅
¸ Phân hoch ca Ω:
¸ Ví d: thí nghimgieohaiđng xu đng thi
̈ Các s kinc s:
̈ S kinA -tpcon ca
Ω A = { ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
}
Ω==∩
=
U
n
1
and ,
i
iji
AAA
φ
B
A
φ

=∩ BA
1
A
2
A
n
A
i
A
j
A
),( ),,( ),,( ),,(
4321
NNSNNSSS
=
=
=
=
ξ
ξ
ξ
ξ
¸ Xác sutcóđiukinvàcács kin đclp
̈ N thí nghim đclp,
̈ N
A
, N
B
, N
AB

: s lnxuthincacács kin
A, B và AB.
̈ Vis lnthcnghim N ln
̈ Xác sutcóđiukin: P(A|B)
.)( ,)( ,)(
N
N
ABP
N
N
BP
N
N
AP
ABBA
≈≈≈
)(
)(
/
/
)|(
BP
ABP
NN
NN
N
N
BAP
B
AB

B
AB
===
2.1. Khái nimxácsut
2.1. Khái nimxácsut
̈ Các tính chtcaxácsutcóđiukin:
¸ P(A|B) là đilng không âm:
¸ P(Ω|B) = 1
¸ NuA∩B = ∅ ,
,0
0)(
0)(
)|( ≥
>
≥
=
BP
ABP
BAP
,1
)(
)(
)(
)(
)|( ==
Ω
=Ω
BP
BP
BP

BP
BP
),|()|()|( BCPBAPBCAP
+
=
∪
2.1. Khái nimxácsut
¸ NuB ⊂ A thì P( A|B ) = 1
̈ B⊂A => AB = B => P( A|B ) = P( AB)/P(B) = P(B)/P(B)= 1.
¸ NuA ⊂ B thì P( A|B ) > P( A )
̈ A ⊂ B => AB = A =>
P(A|B) = P( AB )/P(B) = P(A)/P(B) > P(A)
¸ Cho, A
1
, A
2
, …, A
n
là các s kin đôi mtloitr và
hpca chúng to thành Ω:
̈ ViB làmts kinbtk, ta s có
.,
1
Ω=∅=∩
=
U
n
i
iji
AAA

∑∑
==
==
n
i
ii
n
i
i
APABPBAPBP
11
).()|()()(
2.1. Khái nimxácsut
¸ Ví d: thí nghim gieo quân xúc xc.
̈ S kinA: {s trên mtxúcxcchn}
̈ S kinB: {s trên mtxúcxcbng 2}
̈ B ⊂ A => P(A|B) = 1
¸ Ví d: thí nghim gieo quân xúc xc,
̈ S kinA: {s trên mtxúcxcbng 2} ,
̈ S kinB: {s trên mtxúcxclàchn},
̈ A ⊂ B.
̈ Vics kinB xuthin làm cho kh nng xut
hins kinA lnhn trong trng hp không
có thông tin v B.
2.1. Khái nimxácsut
̈ Các s kin đclp: cho hai s kin A và B
P(AB) = P(A) P(B)
¸ Nu A và B là hai s kin đclp, :
̈ nh lý Bayes
̈ nh lý Bayes tng quát:

)()|( APBAP
=
)(
)(
)|(
)|( AP
BP
ABP
BAP ⋅=
,
)()|(
)()|(
)(
)()|(
)|(
1
∑
=
==
n
i
ii
iiii
i
APABP
APABP
BP
APABP
BAP
2.1. Khái nimxácsut

̈ Giithíchđnh lý Bayes:
¸ P(A) là xác suttiênnghimcas kin A.
¸ S kin B là nhng tri thcminhn đct
ktqu thcnghim.
¸ Xác sutcóđiukin P(A|B) caA vi điu
kins ki nB xyra.
¸ Nhng tri thcmisđc dùng đ làm tng
tri thcv s kinA.
2.1. Khái nimxácsut
¸ Ví d:
̈ Trong hpcó6 qu cutrng và 4 qu cu đen.
̈ Loib ngu nhiên hai qu cu không hoàn li.
̈ P{qu cuth nhtlàtrng và qu cuth hai là
đen} = ?
̈ Gii:
̇ W
1
= “qu cuth nhtb loilàtrng”
̇ B
2
= “qu cuth hai b loilàđen”
̇ P(W
1
∩B
2
) = ?
̈ Câu hi: hai s kinW
1
và B
2

có đclp không ?
2.1. Khái nimxácsut
¸ Ví d: hai hp B1 và B2 lnltcha 100 và 200
bóng đèn. Hp B1 có 15 bóng hng và B2 - 5. Gi
thit, các hp đclachnngu nhiên và mtbóng
đèn đclyrangu nhiên.
̈ (a) Xác đnh xác sut đ bóng đèn đclyrađólà
bóng b li?
̈ (b) Gi s chúng ta kimtramtbóngđèn và thy
bóng đób li, kh nng bóng đèn đólàt hpnào?
2.1. Khái nimxácsut
¸ Các thí nghimlp, thí nghim Bernoulli
̈ Xét n thí nghim đclpvi các mô hình (Ω
1
, F
1
, P
1
),
(Ω
2
, F
2
, P
2
), , (Ω
n
, F
n
, P

n
).
¸ Cho
ξ
1
∈Ω
1
,
ξ
2
∈Ω
2
, ,
ξ
n
∈Ω
2
:làcács kinc s.
¸ Liên hpca n thí nghimtoras kinc s liên
hp
ω
= (
ξ
1
,
ξ
2
, ,
ξ
n

).
¸ Xét không gian liên hp
Ω
=
Ω
1
×Ω
2
×

×Ω
n
:
ξ
1
∈
Ω
1
, ,
ξ
n
∈Ω
n
,
¸ S kintrong khônggianliênhp Ω có dng
A
1
×
A
2

×

×
A
n
.
¸ Nu n thí nghimlàđclp, ta có
P(A
1
×
A
2
×

×
A
n
)=P(A
1
)
×

×
P(A
n
)
2.1. Khái nimxácsut
¸ Vn đ: s kinA vixácsutp xuthin trong thí
nghim đnl. Xác đnh xác sut đ s kinA xuthin
đúng k ln, k ≤ n tinhng lnxácđnh trong n thí

nghim.
¸ P{ A xuthin đúng k lntrong n thí nghim} = C
k
n
p
k
q
n-k
̈ Công thc Bernoulli.
.)()()( )()()(
}) ({}) ({}) ({}) ({
}) ,,,,, ({)(
21
21
0
knk
knk
iiii
iiii
qpAPAPAPAPAPAP
PPPP
PP
nk
nk
−
−
==
==
=
=

444344421
L
444344421
L
LL
LL
ξξξξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ω
2.1. Khái nimxácsut
¸ nh lý De Moivre - Laplace
̈ Gi thitn→∞ vip cđnh.
̈ Vi k trong lân cnca np.
̈ Có thclng xác sut Bernoulli bng:
¸ Công thc Stirling clng n!:
.
2
1
2/)(
2
npqnpkknkk
n
e
npq
qpC
−−−
≈

π
1
2
!~ 2
n
n
nne
π
+
−
npq
̈ clng công thc Bernoulli
¸ Các hng s c
1
và c
2
khá gnnhau.
()()
1
2( )
knk
knk
np nq
n
nkk k nk
n
pq c
k
π
−

−
−−
⎛⎞
>
⎜⎟
⎝⎠
!
,
()!!
knk knk
n
n
p
qpq
nkkk
−
−
⎛⎞
=
⎜⎟
−
⎝⎠
{}
111
12 1 12 ( ) 12
1
nnkk
ce
+−
−−

=
{
}
11 1
12 12( ) 1 12 1
2
.
nnk k
ce
−+ +
−−
=
()()
2
2( )
knk
knk
np nq
n
nkk k nk
n
pq c
k
π
−
−
−−
⎛⎞
<
⎜⎟

⎝⎠
2.1. Khái nimxácsut
2.1. Khái nimxácsut
̈ Ví d:
¸ Gieo đng xu n ln. Xác đnh xác sut đ
nhn đc k lnxuthinmtngatrong n
lngieo.
¸ Gieo quân xúc xc đu8 ln. Xác đnh xác
sut đ mt3 hocmt 4 xuthin5 ln.
¸ Gi s ta đt hàng 5,000 snphm. Xác sut
đ mtsnphmb lilà0.1. Xácđnh xác
sut đ tng s snphmlikhôngquá400.
2.2. Các binngu nhiên
¸ nh ngha
̈ Cho (Ω,
F
, P) – mô hình xác sutca thí nghim,
̈ X –làmt hàm ánh x mis kinc s ξ∈Ω vào
mtgiátr thc x
∈
R.
̈ Binngu nhiên (đilng ngu nhiên - r.v):là
mthàmgiátr huhnánhx tphpttc các s
kinc s (ktcc thí nghim) Ω vào tphps thc
nutp A={
ξ
|X(
ξ
)
≤

x} là mts kin A
⊂ F
đivi
migiátr x
∈
R.
2.2. Các binngu nhiên
¸ Hàm phân b xác sut
̈ Hàm phân b xác sutcabinngu
nhiên X ( pdf ) là xác sutcas kin
A = {ξ|X(ξ)≤x}
̈ F
X
(x)=P{ξ|X(ξ)≤x} ≥ 0
̈ Ví d
¸ X – r.v: X(ξ) = c, ξ∈Ω, F
X
(x) = ?
)(xF
X
x
c
1
¸ X – r.v:trong thí nghimgieođng xu, Ω =
{S, N}. X(N)=0, X(S)=1. F
X
(x) = ?
)(xF
X
x

1
q
1
2.2. Các binngu nhiên
2.2. Các binngu nhiên
̈ Tính chtca hàm phân b xác sut
¸ F
X
(x) là hàm phân b xác sut:
̈ F
X
(-∞) = 0; F
X
(+∞) = 1
̈ H
àm phân b xác sutlàhàmđn điu không
gim
:
N
u x
1
≤ x
2
thì F
X
(x
1
) ≤ F
X
(x

2
)
̈ H
àm phân b xác sut là hàm liên tcv bên
phi
: F
X
(x
+
) = F
X
(x) ∀x