slike bài giảng toán chuyên đề - nguyễn linh giang chương 2 hàm của hai biến ngẫu nhiên

Mts vn đ chnlctrong
toán cho k s
Nguyn Linh Giang
Vin CNTT&TT
PhnII. Xácsutvàthng kê
¸ Mô t khóa hc
̈ Dành cho sinh viên đihc
̈ Xây dng các mô hình xác sutvàc s
thng kê
̈ Phân tích s bt đnh
̈ Suy dinthng kê
̈ Phân tích s liuthcnghim
2.6. Hàm cahaibinngu nhiên
¸ Hai binngu nhiên
̈ X và Y là hai binngu nhiên trên <Ω, F, P>, ta có:
̈ Xác sutcacp (X, Y) trên mtminbtk D
bng bao nhiêu ?
()
∫
=−=≤<
2
1
,)()()()(
1221
x
x
XXX
dxxfxFxFxXxP
ξ
()
.)()()()(

2
1
1221
∫
=−=≤<
y
y
YYY
dyyfyFyFyYyP
ξ
[]
?))(())((
2121
=
≤
<
∩
≤
< yYyxXxP
ξ
ξ
2.6. Hàm cahaibinngu nhiên
̈ Hàm phân b xác sut liên hpcaX vàY, vi
x và y là hai s thcbtk:
¸ Tính cht:
[
]
,0),(
))(())((),(
≥≤≤=

≤
∩
≤
=
yYxXP
yYxXPyxF
XY
ξ
ξ
.1),( ,0),(),(
=
+
∞
+
∞=
−
∞
=
−
∞
XYXYXY
FxFyF
()
).,(),()(,)(
1221
yxFyxFyYxXxP
XYXY
−
=
≤

≤<
ξ
ξ
()
).,(),()(,)(
1221
yxFyxFyYyxXP
XYXY
−
=
≤
<
≤
ξ
ξ
2.6. Hàm cahaibinngu nhiên
¸ Tính cht
̈ Hàm mt đ phân b xác sutliênhp
()
).,(),(
),(),()(,)(
1121
12222121
yxFyxF
yxFyxFyYyxXxP
XYXY
XYXY
+−
−
=

≤
<
≤<
ξ
ξ
.

),(
),(
2
yx
yxF
yxf
XY
XY
∂∂
∂
=
. ),(),(




dudvvufyxF
xy
XYXY
∫∫
∞−∞−
=
.1 ),(

=
∫∫
∞+
∞−
∞+
∞−
dxdyyxf
XY
2.6. Hàm cahaibinngu nhiên
̈ Xác sut đ cp (X, Y) trong mtmin
D nào đó:
¸ Các thng kê biên
()
.),(),(
),(),( ),(
),()(,)(




yxyxfdudvvuf
yxFyxxFyyxF
yyxxFyyYyxxXxP
XY
xx
x

yy
y
XY
XYXYXY
XY
ΔΔ==
+Δ+−Δ+−
Δ
+
Δ
+
=
Δ
+
≤
<
Δ
+
≤<
∫∫
Δ+Δ+
ξ
ξ
xΔ
X
Y
yΔ
D
()
∫∫

∈
=∈
Dyx
XY
dxdyyxfDYXP
),(
.),(),(
.),()( ),,()( yFyFxFxF
XYYXYX
+
∞=
+
∞
=
.),()( ,),()(
∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
== dxyxfyfdyyxfxf
XYYXYX
¸ ohàmcahàmdidutíchphân
.),()(
)(
)(
∫
=
xb
xa

dyyxhxH
2.6. Hàm cahaibinngu nhiên
()
()
() () () (, )
(,) (, ) .

bx
ax
dH x db x da x h x y
hxb hxa dy
dx dx dx x
∂
=−+
∂
∫
̈ Trng hprirc
¸ X, Y: các binngu nhiên rirc
¸ p
ij
= P(X = x
i
, Y = y
j
) là hàm phân b liên hp
¸ Các hàm phân b biên là:
¸ Hàm mt đ phân b biên:
∑∑
=====
jj

ijjii
pyYxXPxXP ),()(
∑∑
=====
ii
ijjij
pyYxXPyYP ),()(
mnmjmm
inijii
nj
nj
pppp
pppp
pppp
pppp
LL
MMMMMM
LL
MMMMMM
LL
LL
21
21
222221
111211
2.6. Hàm cahaibinngu nhiên
∑
j
ij
p

∑
i
ij
p
2.6. Hàm cahaibinngu
nhiên
̈ Ví d
¸ Cho các binngunhiênX, Y vi
¸ Xác đnh các hàm mt đ biên f
X
(x) và f
Y
(y)
¸ Gii:
̈ Ta có: do
̈ Tđó:
.1 ),(




=
∫∫
∞+
∞−
∞+
∞−
dxdyyxf
XY
⎩

⎨
⎧
<<<
=
. otherwise0,
,10c,
),(
yx
yxf
XY
0
1
1
X
Y
y
21
22
),(
1
0
2
1
0




1
0

0
=⇒====
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅=
∫∫∫ ∫ ∫
=
∞+
∞−
∞+
∞−==
c
ccy
cydydydxcdxdyyxf
yy
y
x
XY
,10 ),1(22),()(
1



∫∫
=

∞+
∞−
<<−===
xy
XYX
xxdydyyxfxf
.10 ,22),()(

0


∫∫
=
∞+
∞−
<<===
y
x
XYY
yydxdxyxfyf
2.6. Hàm cahaibinngu
nhiên
̈ Ví d: X và Y là hai binngu nhiên Gauss có hàm
mt đ phân b liên hp:
¸ Các hàm mt đ biên s là:
byx
eyxf
Y
Y
YX

YX
X
X
yyxx
YX
XY
.1|| , ,
,
12
1
),(
2
2
2
2
2
)(

))((2

)(
)1(2
1
2
<+∞<<∞−+∞<<∞−
−
=
⎟
⎟
⎠

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−−
−
−
−
−
ρ
ρσπσ
σ
μ
σσ
μμρ
σ
μ
ρ
),,(
2
1
),()(
2
2/)(
2

22
XX
x
X
XYX
Nedyyxfxf
XX
σμ
πσ
σμ
−−
∞+
∞−
==
∫
),,(
2
1
),()(
2
2/)(
2


22
YY
y
Y
XYY
Nedxyxfyf

YY
σμ
πσ
σμ
−−
∞+
∞−
==
∫
).,,,,(
22
ρσσμμ
YXYX
N
2.6. Hàm cahaibinngu nhiên
̈ Các binngunhiênđclp
¸ Hai binngunhiênX vàY đccoilàđclp
thng kê nuhais kin{X(ξ)∈A} và {Y(ξ)∈B}
là đclp đivihaitpA, B btk trên trc x
và y.
¸ ivihais kin: {X(ξ)≤x} và {Y(ξ)≤y}, nu
hai binngunhiênX vàY làđclp, s có:
¸ Trong trng hprirc:
()
))(())(())(())(( yYPxXPyYxXP
≤
≤
=
≤
∩

≤
ξ
ξ
ξ
ξ
)()(),( yFxFyxF
YXXY
=
).()(),( yfxfyxf
YXXY
=
., allfor )()(),( jiyYPxXPyYxXP
jiji
=
=
=
=
=
2.6. Hàm cahaibinngu
nhiên
¸ Ví d: Cho f
XY
(x, y), xác đnh xem X, Y có đclp
hay không.
̈ Gii: tính f
X
(x), f
Y
(y) và kimtrah thc:
f

XY
(x, y)= f
X
(x)f
Y
(y)

otherwise.,0
,10 ,0,
),(
2
⎩
⎨
⎧
<<∞<<
=
−
xyexy
yxf
y
XY
.10 ,2 22
),()(

0
0

0
2

0
<<=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
==
∫
∫∫
∞
−
∞
−
∞
−
∞+
xxdyyeyex
dyeyxdyyxfxf
yy
y
XYX
.0 ,
2
),()(
2
1
0

∞<<==
−
∫
ye
y
dxyxfyf
y
XYY
),()(),( yfxfyxf
YXXY
=
2.6. Hàm cahaibinngu
nhiên
¸ Hàm cahaibinngu nhiên
̈ Cho X, Y là hai binngu nhiên và g(x, y)
̈ Bin Z = g(X, Y), xác đnh f
Z
(z) theo f
XY
(x, y)
̈ Ta có:
¸ D
Z
là mintrong khônggianx, y saochog(x, y)≤z
(
)
(
)
[
]

∫∫
∈
=
∈
=
≤
=
≤
=
z
Dyx
XY
zZ
dxdyyxf
DYXPzYXgPzZPzF
,
,),(
),(),()()(
ξ
X
Y
z
D
z
D
2.6. Hàm cahaibinngu
nhiên
̈ Ví d: Z = X+Y, xác đinh f
Z
(z)

¸ Ly đohàmF
b
(z), ta s có f
Z
(z)b
()
∫∫
∞+
−∞=
−
−∞=
=≤+=




,),()(
y
yz
x
XYZ
dxdyyxfzYXPzF
∫
=
)(
)(
.),()(
zb
za
dxzxhzH

() ()
∫
∂
∂
+−=
)(
)(
.
),(
),(
)(
),(
)()(
zb
za
dx
z
zxh
zzah
dz
zda
zzbh
dz
zdb
dz
zdH

(, )
(, ) ( , ) 0
( , ) .
zy zy
XY
Y XY
XY
fxy
f xydxdy f z yy
zz
fzyydy
+∞ − +∞ −
−∞ −∞ −∞ −∞
+∞
−∞
∂
∂
⎛⎞
⎛⎞
==−−+
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
=−
∫∫ ∫ ∫
∫
()

ZX
fz dy
̈ Ví d: X, Y là hai binngu nhiên hàm
mđclpvi cùng tham s λ. Xác đnh
hàm mt đ f
Z
(z) caZ = X+Y.
2.6. Hàm cahaibinngu
nhiên
),()( ),()( yUeyfxUexf
y
Y
x
X
λλ
λλ
−−
==
).( )(
2

0
2

0
)(2
zUezdxedxeezf
z
z
z

z
xzx
Z
λλλλ
λλλ
−−−−−
===
∫∫
Moment liên hpvàhàmđc tính liên hp
-Mô t các tham s biudin thông tin trong hàm phân b
liên hpcahaiđilng ngunhiên.
-Cho hai binngunhiênX và Y và hàm hai bin
Xác đnh binngunhiênZ:
Ta có k vng caZ:
),( YXgZ
=
),,( yxg
.)( )(


∫
∞+
∞−
== dzzfzZE
ZZ
μ
Theo đnh nghahàmcabinngu nhiên, ta s xác đnh
hàm ca Z tính theo các đctrng ca XY
mà không phi tính
Trong đó là vùng không gian trong mtphng xy tha

mãn bt đng thc trên. Ta có:
.
()
(
)
∑∑
Δ
∈
ΔΔ=
Δ
+
≤
<
=
Δ
=
Δ+≤<
z
Dyx
XY
Z
yxyxf
zzYXgzPzzfzzZzP
),(
),(
),()(
z
D
Δ
),( YXgZ =

),( yxf
XY
).(zf
Z
(,)
() (, ) (, ) .
z
ZXY
xy D
z
fzz gxy f xyxy
Δ
∈
Δ= ΔΔ
∑
∑
Ly tích phân, ta có
Hay:
Nu X và Y là rirc,
Vì k vng là toán t tuyn tính, ta có


() () (,) (,) .
ZXY
E
Z z f z dz g x y f x y dxdy
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
==
∫∫∫

[( , )] (,) (,) .
XY
E
gXY gxyf xydxdy
+∞ +∞
−∞ −∞
=
∫∫
[( , )] ( , )( , ).
ij i j
ij
Eg
XY
g
x
y
PX x Y
y
===
∑
∑
(,) [ (,)].
kk k k
kk
E
ag XY aEg XY
⎛⎞
=

⎜⎟
⎝⎠
∑∑
Nu X và Y là các binngunhiênđclp,
)( XgZ
=
)].([)]([)()()()(
)()()()()]()([








YhEXgEdyyfyhdxxfxg
dxdyyfxfyhxgYhXgE
YX
YX
==
=
∫∫
∫∫
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−

∞+
∞−
)(YhW
=
Hipbin: Cho hai binngunhiênbtk X và Y
Ta có:
Ta thy
Nuthì
.
)()()()(),(
________
YXXY
YEXEXYEXYEYXCov
YX
−=
−
=
−
=
μ
μ
[
]
. )()(),(
YX
YXEYXCov
μ
μ
−
−

=
,YaX
U
+=
. )()(),( YVarXVarYXCov ≤
{}
[
]
. 0)(),( 2)(
)()()(
2
2
≥++=
−+−=
YVarYXCovaXVara
YXaEUVar
YX
μμ
Các binngu nhiên không tng quan: nuthì
X và Y gi là không tng quan. Khi đó
Trcgiao: X và Y gilàtrcgiaonu
Nu X hoc Y có k vng bng 0, thì t tính trcgiaos
suy ra tính không tng quan.
Nu X và Y là đclp, ta có
,0
=
XY
ρ
,)( ,)( YYhXXg
=

=
).()()( YEXEXYE =.0)(
=
XYE
),()()( YEXEXYE =
,11 ,
),(
)()(
),(
≤≤−==
XY
YX
XY
YXCov
YVarXVar
YXCov
ρ
σσ
ρ
YXXY
YXCov
σ
σ
ρ
=
),(
¸ Binngu nhiên Gauss
̈ Binngu nhiên Gauss mtchiu
∫
∫

∞
∞−
∞
∞−
−=−≡
=≡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−=
dxxpxxE
dxxxpxE
x
xp
)()())((
)()(
2
1

exp
2
1
)(
222
2
μμσ
μ
σ
μ
σπ
2.8. Phân b Gauss
̈ Phân b Gauss nhiuchiu( d chiu)
¸ Trong đó, x, μ là các vector d-chiu
¸ ∑ ma trnhipbin–đixng, xác đnh na
dng.
¸ Khi ∑ xác đnh dng.
∫
∫
∑
∑
−−=−−≡Σ
=≡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−−=

−
xxxxxx
xxxx
xxx
dpE
dpE
p
TT
T
d
)())(()))(((
)()(
)()(
2
1
exp
)2(
1
)(
1
2/12/
π
)(
ii
xE
=
μ
)))(((
jjiiij
xxE

μ
μ
σ
−
−
=
2.8. Phân b Gauss
¸ Ma trn hip bin
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
≠
∑
33
22
,11
00
σ
σ
σσ

σ
jiij
2.8. Phân b Gauss
2.8. Phân b Gauss