Chuyên đề nhị thức newton

1
CHUYÊN ĐỀ
NHỊ THỨC NEWTON

A. TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

ĐỊNH NGHĨA
Nhị thức Newton là khai triển tổng lũy thừa có dạng:
()
n
0n 1n1 2n22 knkk nn
nn n n n
a b C a C a b C a b C a b C b
-
+ = + + ++ ++

n
knkk
n
k0
C a b (n 0, 1, 2, )
-
=
==
å
.
Số hạng thứ k+1 là
knkk
k1 n
TCab
-

+
= ,
()
k
n
n!
C
k! n k !
=
-
, thường được gọi là số hạng tổng quát.
Tính chất
i)
knk
nn
CC (0kn)
-
=££.
ii)
kk1k
nn n1
CC C (1kn)
-
+
+= ££.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I. Dùng định nghĩa và tính chất chứng minh hoặc rút gọn đẳng thức
Ví dụ 1. Chứng minh đẳng thức
kk1k2k3k

nn n n n3
C3C 3C C C

+
+++= với 3kn££.
Giải

Áp dụng tính chất ta có:
kk1k2k3
nn n n
C3C 3C C

+++
(
)
(
)
(
)
kk1 k1k2 k2k3
nn n n n n
CC 2C C C C

=++ +++

(
)
(
)
kk1k2kk1k1k2

n1 n1 n1 n1 n1 n1 n1
C2CC CC CC
-
+++ ++ ++
=+ += + + +


kk1k
n2 n2 n3
CC C
-
++ +
=+=.

Ví dụ 2. Tính tổng
14 15 16 29 30
30 30 30 30 30
SC C C C C=- + +.
Giải

Áp dụng tính chất ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
13 14 14 15 15 16 28 29 30

29 29 29 29 29 29 29 29 30
S C C C C C C C C C=+- +++ ++


13 29 30 13
29 29 30 29
CCC C=- +=
.
Cách khác:
()
()()
30
01213142930
30 30 30 30 30 30
11 C CC C CC-=-+- + +
(
)
(
)
30 18 17 14 29 30
30 30 30 30 30 30
C C C C C C 0Þ-+-+ +=

(
)
16 15 14
30 30 30
SC C C S 0Þ- + - +=
16 15 14 14 15
30 30 30 30 30

2S C C C 2C CÞ= - + =
Vậy
14 15
30 30
2C C
S 67863915
2
-
==
.


2
Ví dụ 3. Rút gọn tổng:
0 2006 1 2005 2 2004 k 2006-k 2006 0
2007 2007 2007 2006 2007 2005 2007 2007-k 2007 1
SCC CC CC CC CC=++++ ++.
Giải

Áp dụng công thức ta có:
()
k2006-k
2007 2007-k
2007 ! (2007 k)!
CC .
k ! 2007 k ! (2006 k)!1!
-
=

() ()

2007 ! 2006!
2007.
k ! 2006 k ! k ! 2006 k !
==



k
2006
2007C=
với
k 0, 1, 2, , 2006"=
.
Suy ra:
()
()
2006
0 1 k 2006
2006 2006 2006 2006
S 2007 C C C C 2007 1 1= + ++ ++ = + .
Vậy
2006
S 2007.2=
.

II. Khai triển nhị thức Newton
1. Dạng khai triển
Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa là 1 hoặc 1 và – 1 xen kẽ nhau.
i) Khai triển

()
n
ab+ hoặc
()
n
ab- .
ii) Cộng hoặc trừ hai vế của 2 khai triển trên.

Ví dụ 4.
Tính tổng
0 1 2 2 3 3 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007 2007
S C 2C 2 C 2 C 2 C 2 C=- + - ++ -
.
Giải
Ta có khai triển:
2007 0 1 2 2 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
(1 2) C 2C 2 C 2 C 2 C-=- + -+ -
.
Vậy
S1=-
.

Ví dụ 5.
Rút gọn tổng
0 2 2 4 4 2004 2004 2006 2006
2007 2007 2007 2007 2007
SC 3C 3C 3C 3C=+ + ++ + .
Giải

Ta có các khai triển:
2007 0 1 2 2 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
(13)C3C3C 3C3C+=+ + ++ +
(1)
2007 0 1 2 2 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
(1 3) C 3C 3 C 3 C 3 C-=- + -+ - (2)
Cộng (1) và (2) ta được:
(
)
0 2 2 4 4 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007
2C 3C 3C 3 C 4 2++++ =
Vậy
(
)
2006 2007
S2 2 1=

Ví dụ 6.
Rút gọn tổng
2006 1 2004 3 3 2002 5 5 2007 2007
2007 2007 2007 2007
S 3 .2C 3 .2 C 3 .2 C 2 C=+ + ++.
Giải
Ta có các khai triển:
2007
(3 2)+=
2007 0 2006 1 2005 2 2 2006 2006 2007 2007

2007 2007 2007 2007 2007
3C 3.2C 3.2C 3.2C 2C++ ++ + (1)
2007
(3 2)-=
2007 0 2006 1 2005 2 2 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
3C 3.2C 3.2C 3.2C 2C-+ -+- (2)
Trừ (1) và (2) ta được:
3
(
)
2006 1 2004 3 3 2002 5 5 2007 2007 2007
2007 2007 2007 2007
2 3 .2C 3 .2 C 3 .2 C 2 C 5 1++++=
Vậy
2007
51
S
2
-
=
.

2. Dạng đạo hàm
2.1. Đạo hàm cấp 1
Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng dần từ 1 đến n (hoặc giảm từ n đến 1) (không kể dấu).

Hai khai triển thường dùng:
()

n
0 1 22 kk nn
nn n n n
1 x C C x C x C x C x+ = + + ++ ++ (1)
( ) () ()
nkn
0 1 22 kk nn
nn n n n
1 x C C x C x 1 C x 1 C x- = - + - + - + + - (2)
i) Đạo hàm 2 vế của (1) hoặc (2).
ii) Cộng hoặc trừ (1) và (2) sau khi đã đạo hàm rồi thay số thích hợp.

Ví dụ 7.
Tính tổng
1 2 2 3 28 29 29 30
30 30 30 30 30
S C 2.2C 3.2 C 29.2 C 30.2 C=- + -+ -
.
Giải
Ta có khai triển:
()
30
0 1 2 2 29 29 30 30
30 30 30 30 30
1 x C Cx Cx Cx Cx+ = + + + + + (1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
()
29
1 2 29 28 30 29
30 30 30 30

C 2C x 29C x 30C x 30 1 x+++ + =+ (2)
Thay x = – 2 vào (2) ta được:
()
29
1 2 2 3 28 29 29 30
30 30 30 30 30
C 2.2C 3.2 C 29.2 C 30.2 C 30 1 2-+ -+ - =
Vậy S 30=- .

Ví dụ 8.
Rút gọn tổng
12345 2627 2829
30 30 30 30 30
S C 3.2 C 5.2 C 27.2 C 29.2 C=+ + ++ +
.
Giải
Ta có khai triển:
()
30
0 1 2 2 29 29 30 30
30 30 30 30 30
1 x C Cx Cx Cx Cx+=++ ++ + (1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
()
29
1 2 29 28 30 29
30 30 30 30
C 2C x 29C x 30C x 30 1 x+++ + =+ (2)
Thay x = 2 và x = – 2 lần lượt vào (2) ta được:
()

29
1 2 2 3 28 29 29 30
30 30 30 30 30
C 2.2C 3.2 C 29.2 C 30.2 C 30 1 2+ + + + + = + (3)
()
29
1 2 2 3 28 29 29 30
30 30 30 30 30
C 2.2C 3.2 C 29.2 C 30.2 C 30 1 2-+ -+ - =- (4)
Cộng hai đẳng thức (3) và (4) ta được:
(
)
(
)
12345 2627 2829 29
30 30 30 30 30
2 C 3.2 C 5.2 C 27.2 C 29.2 C 30 3 1++++ + =-

Vậy
(
)
29
S153 1=




4
Ví dụ 9. Rút gọn tổng
0 1 2 2006 2007

2007 2007 2007 2007 2007
S 2008C 2007C 2006C 2C C=+++++.
Giải
Ta có khai triển:
()
2007
x1+=
0 2007 1 2006 2 2005 2006 2007
2007 2007 2007 2007 2007
Cx Cx Cx CxC+++++ (1)
Nhân 2 vế (1) với x ta được:
()
2007
xx 1+=
0 2008 1 2007 2 2006 2006 2 2007
2007 2007 2007 2007 2007
Cx Cx Cx Cx Cx+++++
(2)
Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
0 2007 1 2006 2 2005 2006 2007
2007 2007 2007 2007 2007
2008C x 2007C x 2006C x 2C x C+++++

()
2006
(1 2008x) x 1= + + (3)
Thay x = 1 vào (3) ta được:
0 1 2 2006 2007 2006
2007 2007 2007 2007 2007
2008C 2007C 2006C 2C C 2009.2+++++=.

Cách khác:
Ta có khai triển:
()
2007
x1+=
0 2007 1 2006 2 2005 2006 2007
2007 2007 2007 2007 2007
Cx Cx Cx CxC+++++ (1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
0 2006 1 2005 2 2004 2005 2006
2007 2007 2007 2007 2007
2007C x 2006C x 2005C x 2C x C+++++
()
2006
2007 x 1=+ (2)
Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được:
0 1 2 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
CCC CC 2+++++= (3)
0 1 2 2006 2006
2007 2007 2007 2007
2007C 2006C 2005C C 2007.2++++=
(4)
Cộng (3) và (4) ta được:
0 1 2 2006 2007 2006
2007 2007 2007 2007 2007
2008C 2007C 2006C 2C C 2009.2+++++=.
Vậy
2006
S 2009.2= .

Ví dụ 10.
Cho tổng
012 n1 n
nnn n n
S2C3C4C (n1)C (n2)C
-
= + + +++ ++ , với n
+
Î Z .
Tính n, biết
S 320= .
Giải
Ta có khai triển:
()
n
0 1 22 n1n1 n n
nn n n n
1x C CxCx Cx Cx

+=++ ++ + (1)
Nhân 2 vế (1) với x
2
ta được:
()
n
02 13 24 n1n1 nn2 2
nnn n n
Cx Cx Cx C x Cx x 1 x
-+ +

++++ + =+
(2)
Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
01223 n1n nn1
nn n n n
2C x 3C x 4C x (n 1)C x (n 2)C x
-+
+++++ ++

()
n
2n1
2x 1 x nx (1 x)
-
=++ +
(3)
Thay x = 1 vào (3) ta được:
012 n1 n n1
nnn n n
2C 3C 4C (n 1)C (n 2)C (4 n).2

+++++ ++ =+ .
n1
S 320 (4 n).2 320 n 6
-
=Û+ =Þ=
.

5
Cách khác:

Ta có khai triển:
()
n
0 1 22 n1n1 n n
nn n n n
1x C CxCx Cx Cx

+ = + + + + + (1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
()
n1
12 32 nn1
nn n n
C2Cx3Cx nCx n1x
-
-
++ ++ =+ (2)
Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được:
0123 n1nn
nnnn n n
CCCC C C 2
-
+++++ +=
(3)
123 n1n n1
nnn n n
C2C3C (n1)C nC n.2

++++- + = (4)
Nhân (3) với 2 rồi cộng với (4) ta được:

012 n1 n n1
nnn n n
2C 3C 4C (n 1)C (n 2)C (4 n).2

+++++ ++ =+
.
n1
S 320 (4 n).2 320
-
=Û+ =.
Vậy n 6=.

2.2. Đạo hàm cấp 2
Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng (giảm) dần từ 1.2 đến (n–1).n hoặc tăng (giảm) dần từ 1
2

đến n
2
(không kể dấu).
Xét khai triển:
()
n
0 1 22 33 n1n1 nn
nn n n n n
1x C CxCx Cx Cx Cx

+ = + + + + + + (1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
()

n1
1 2 32 43 nn1
nn n n n
C 2Cx 3Cx 4Cx nCx n1 x
-
-
++ + ++ =+ (2)
i) Tiếp tục đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
23 42 nn2
nn n n
1.2C 2.3C x 3.4C x (n 1)nC x
-
++ ++-
n2
n(n 1)(1 x)
-
=- + (3)
ii) Nhân x vào 2 vế của (2) ta được:
()
n1
1223344 nn
nn n n n
Cx 2Cx 3Cx 4Cx nCx nx1 x
-
+++++ =+ (4)
Đạo hàm 2 vế của (4) ta được:
21 22 232 2nn1 n2
nn n n
1C 2Cx 3Cx nCx n(1 nx)(1 x)

++ ++ =++ (5)

Ví dụ 11.
Tính tổng
234 15 16
16 16 16 16 16
S 1.2C 2.3C 3.4C 14.15C 15.16C=- + +
.
Giải
Ta có khai triển:
()
16
0 1 2 2 3 3 15 15 16 16
16 16 16 16 16 16
1x C CxCx Cx Cx Cx+=++ + ++ + (1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
()
15
1 2 3 2 15 14 16 15
16 16 16 16 16
C 2C x 3C x 15C x 16C x 16 1 x++ ++ + =+ (2)
Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
2 3 4 2 16 14 14
16 16 16 16
1.2C 2.3C x 3.4C x 15.16C x 240(1 x)+ + + + = + (3)
Thay x = – 1 vào đẳng thức (3) ta được:
234 15 16
16 16 16 16 16
1.2C 2.3C 3.4C 14.15C 15.16C 0-+ + =.
Vậy S = 0.

6
Ví dụ 12. Rút gọn tổng
2 1 2 2 2 3 2 2006 2 2007
2007 2007 2007 2007 2007
S 1 C 2 C 3 C 2006 C 2007 C=++++ + .
Giải
Ta có khai triển:
()
2007
0 1 2 2 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
1 x C C x C x C x C x+=++ ++ + (1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
()
2006
1 2 3 2 2007 2006
2007 2007 2007 2007
C 2C x 3C x 2007C x 2007 1 x+ + + + = + (2)
Nhân x vào 2 vế của (2) ta được:
1 2 2 3 3 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
C x 2C x 3C x 2006C x 2007C x++++ +

()
2006
2007x 1 x= + (3)
Đạo hàm 2 vế của (3) ta được:
2 1 2 2 2 3 2 2 2006 2005 2 2007 2006

2007 2007 2007 2007 2007
1 C 2 C x 3 C x 2006 C x 2007 C x++ ++ +

2005
2007(1 2007x)(1 x)= + + (4)
Thay x = 1 vào đẳng thức (4) ta được
2 1 2 2 2 3 2 2007 2005
2007 2007 2007 2007
1 C 2 C 3 C 2007 C 2007.2008.2++++ =
.
Vậy
2005
S 2007.2008.2=
.

3. Dạng tích phân
Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ số đứng trước tổ hợp (và lũy thừa) giảm dần từ 1 đến
1
n1+
hoặc tăng dần từ
1
n1+
đến 1.
Xét khai triển:
()
n
0 1 22 n1n1 n n
nn n n n
1x C CxCx Cx Cx

+=++ ++ +
(1).
Lấy tích phân 2 vế của (1) từ a đến b ta được:
()
bbbbb
n
0 1 n1 n1 n n
nn n n
aaaaa
1 x dx C dx C xdx C x dx C x dx

+= + ++ +
òòòòò

()
b
n1
b
bb
b
2nn1
01 n1 n
nn n n
a
aaa
a
1x
xx x x
CC C C

n1 1 2 n n1
+
+
-
+
Þ=++++
++

2 2 n n n1 n1
01 n1 n
nn n n
ba b a b a b a
CC C C
12 n n1
++
-
- -
Þ+ ++ +
+
n1 n1
(1 b) (1 a)
n1
++
+-+
=
+
.
Trong thực hành, ta dễ dàng nhận biết giá trị của n.
Để nhận biết 2 cận a và b ta nhìn vào số hạng
n1 n1

n
n
ba
C
n1
++
-
+
.





7
Ví dụ 13.
Rút gọn tổng
2 2 3 3 9 9 10 10
01 2 8 9
999 9 9
32 32 32 3 2
SC C C C C
23 910
- -
=+++++
.
Giải
Ta có khai triển:
()
9

0 1 22 88 99
99 9 9 9
1x C CxCx Cx Cx+=++ ++ +
()
33333
9
01 8899
99 9 9
22222
1 x dx C dx C xdx C x dx C x dxÞ+ = + ++ +
òòòòò

()
3
10
33 3 3
3
23 910
01 2 8 9
99 9 9 9
2
22 2 2
2
1x
xx x x x
CC C C C
10 1 2 3 9 10
+
Þ=+++++

10 10 2 2 9 9 10 10
01 8 9
99 9 9
43 32 32 32
CC C C
10 2 9 10

Þ=+ ++ +
.
Vậy
10 10
43
S
10
-
=
.

Ví dụ 14.
Rút gọn tổng
234 n n1
012 3 n1 n
nnnn n n
222 2 2
S2C C C C C C
234 n n1
+
-
=+ + + ++ +
+

.
Giải
Ta có khai triển:
()
n
0 1 22 33 n1n1 nn
nn n n n n
1x C CxCx Cx Cx Cx

+=++ + ++ +
()
22222
n
01 22 nn
nn n n
00000
1xdx C dxC xdxC xdx C xdxÞ+ = + + ++
òòòòò

()
2
n1
222
2
2nn1
01 n1 n
nn n n
0
000
0

1x
xx x x
CC C C
n1 1 2 n n1
+
+
-
+
Þ=++++
++

23 n n1 n1
012 n1 n
nnn n n
22 2 2 31
2C C C C C
23 n n1 n1
++
-
-
Þ+ + ++ + =
++
.
Vậy
n1
31
S
n1
+
-

=
+
.

Ví dụ 15.
Rút gọn tổng sau:
2 3 100 101
0 1 2 99 100
100 100 100 100 100
21 21 2 1 2 1
S3C C C C C
2 3 100 101
-+ - +
=+ + ++ +
.
Giải
Ta có khai triển:
()
100
0 1 2 2 99 99 100 100
100 100 100 100 100
1 x C Cx Cx Cx Cx+=++ ++ +
()
2
100
1
1x dx
-
Þ+ =
ò

22 2 2
0 1 99 99 100 100
100 100 100 100
11 1 1
CdxCxdx CxdxCxdx
- -
+++ +
òò ò ò
.

8
()
2
101
222
2
2 100 101
0 1 99 100
100 100 100 100
1
111
1
1x
xx x x
CC C C
101 1 2 100 101
-

-
+

Þ=++++

101 2 100 101
0 1 99 100
100 100 100 100
3212121
3C C C C
101 2 100 101
+
Þ= + ++ +
.
Vậy
101
3
S
101
=
.
III. Tìm số hạng trong khai triển nhị thức Newton
1. Dạng tìm số hạng thứ k
Số hạng thứ k trong khai triển
n
(a b)+ là
k1n(k1)k1
n
Ca b
-
.

Ví dụ 16.

Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển
25
(2 3x)-
.
Giải
Số hạng thứ 21 là
20 5 20 5 20 20 20
25 25
C2(3x) 2.3Cx-= .

2. Dạng tìm số hạng chứa x
m

i) Số hạng tổng quát trong khai triển
n
(a b)+
là
knkk f(k)
n
Ca b M(k).x
-
= (a, b chứa x).
ii) Giải phương trình
0
f(k) m k=Þ, số hạng cần tìm là
000
knkk
n
Ca b
-

và hệ số của số hạng chứa x
m

là M(k
0
).
Ví dụ 17. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
18
x4
2x
æö
÷
ç
+
÷
ç
÷
÷
ç
èø
.
Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển
()
18
18
11
x4
2x 4x
2x

æö
÷
ç
+= +
÷
ç
÷
÷
ç
èø
là:
()()
18 k k
k 1 1 k 3k 18 18 2k
18 18
C2x 4x C2 x
-

= .
Số hạng không chứa x ứng với
18 2k 0 k 9-=
Û
=
.
Vậy số hạng cần tìm là
99
18
C2.

Ví dụ 18.
Tìm số hạng chứa x
37
trong khai triển
()
20
2
xxy- .
Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển
()
20
2
xxy- là:
k 2 20 k k k k 40 k k
20 20
C(x) (xy) (1)Cx y

-=- .
Số hạng chứa x
37
ứng với 40 k 37 k 3-=
Û
= .
Vậy số hạng cần tìm là
3373 373
20
C x y 1140x y-=- .

9
Vớ d 19.
Tỡm s hng cha x
3
trong khai trin
()
10
2
1xx++ .
Gii
S hng tng quỏt trong khai trin
()
()
10
10
2
1xx 1x1x
ộự
++ = + +
ởỷ
l
kk k
10
Cx(1 x)+
.
Suy ra s hng cha x
3
ng vi
2k3ÊÊ

.
+ Vi k = 2:
22 2 2 2 3 4
10 10
Cx(1 x) C(x 2x x)+= ++
nờn s hng cha x
3
l
23
10
2C x
.
+ Vi k = 3:
33 3
10
Cx(1 x)+ cú s hng cha x
3
l
33
10
Cx.
Vy s hng cn tỡm l
(
)
323 3
10 10
C 2C x 210x+=
.

Cỏch khỏc:

Ta cú khai trin ca
()
()
10
10
2
1xx 1x1x
ộự
++ = + +
ởỷ
l:
0 1 2 2 2 3 3 3 10 10 10
10 10 10 10 10
C Cx(1x)Cx(1x) Cx(1x) Cx(1x)+++ ++ +++ +.
S hng cha x
3
ch cú trong
22 2
10
Cx(1 x)+ v
33 3
10
Cx(1 x)+ .
+
22 2 2 2 3 4 23
10 10 10
Cx(1 x) C(x 2x x) 2Cx+= ++ị
.
+
33 333456 33

10 10 10
Cx(1 x) C(x 3x 3x x) Cx+= +++ị .
Vy s hng cn tỡm l
23 33 3
10 10
2C x C x 210x+=.

3. Dng tỡm s hng hu t
i) S hng tng quỏt trong khai trin
n
(a b)+ l
mr
knkk k
p
q
nn
Ca b C. .
-
=ab
( , ab l hu t).
ii) Gii h phng trỡnh
0
m
p
(k ,0 k n) k
r
q
ỡ
ù
ù

ẻ
ù
ù
ù
ẻÊÊị
ớ
ù
ù
ẻ
ù
ù
ù
ợ
Ơ
Ơ
Ơ
.
S hng cn tỡm l
000
knkk
n
Ca b
-
.

Vớ d 20.
Tỡm s hng hu t trong khai trin
10
3
1

5
2
ổử
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
.
Gii
S hng tng quỏt trong khai trin
10
11
10
23
3
112.5
5
22
ổử
ữ
ỗ
ữ
ổử
ỗ
+

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
+=
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ốứ
ỗ
ữ
ỗữ
ữ
ỗ
ốứ
l
kk
k
23
10
1
C2.5
32

.
S hng hu t trong khai trin tha iu kin:
()
k
k0
2
k, 0k10
kk6
3
ỡ
ù
ù
ẻ
ộ
ù
=
ù
ờ
ẻÊÊị
ớ
ờ
ù
=
ờ
ù
ở
ẻ
ù
ù
ợ

Ơ
Ơ
Ơ
.
+ Vi k = 0: s hng hu t l
0
10
11
C
32 32
=.

10
+ Với k = 6: số hạng hữu tỉ là
632
10
1 2625
C2.5
32 2
=
.
Vậy số hạng cần tìm là
1
32
và
2625
2
.

4. Dạng tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Newton

Xét khai triển
n
(a bx)+
có số hạng tổng quát là
knkkk
n
Ca bx
-
.
Đặt
knkk
kn
uCab, 0kn
-
=££
ta có dãy hệ số là
{}
k
u .
Để tìm số hạng lớn nhất của dãy ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: giải bất phương trình
k
k1
u
1
u
+
³ ta tìm được k
0

và suy ra
00
kk1 n
uu u
+
³³³
.
Bước 2: giải bất phương trình
k
k1
u
1
u
+
£
ta tìm được k
1
và suy ra
11
kk1 0
uu u
-
³³³
.
Bước 3: số hạng lớn nhất của dãy là
{
}
01
kk
max u , u

.

Chú ý:
Để đơn giản trong tính toán ta có thể làm gọn như sau:
Giải hệ bất phương trình
kk1
0
kk1
uu
k
uu
+
-
ì
³
ï
ï
Þ
í
ï
³
ï
î
. Suy ra hệ số lớn nhất là
000
knkk
n
Ca b
-
.

Ví dụ 21.
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
()
17
10,2x+.
Giải
Khai triển
()
17
10,2x+ có số hạng tổng quát là
kkk
17
C(0,2)x.
Ta có:
() ()
() ()
kkk1k1
17 17
k k k1 k1
17 17
17 ! 17!
5
C (0, 2) C (0, 2)
k! 17 k ! (k 1)! 16 k !
17 ! 17 !
C (0, 2) C ( 0, 2)
5
k! 17 k ! (k 1)! 18 k !
++

ì
ï
ï
³
ï
ì
ï
ï
³
-+-
ï
ïï
Û
íí
ïï
³
ïï
ï
³
î
ï
ï

ï
î


5(k 1) 17 k
2k3

18 k 5k
ì
+³ -
ï
ï
ÛÛ££
í
ï
-³
ï
î
.
+ Với k = 2: hệ số là
22
17
C (0, 2) 5, 44= .
+ Với k = 3: hệ số là
33
17
C(0,2) 5,44=.
Vậy hệ số lớn nhất là 5,44.




11
Ví dụ 22.
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
10
2x

1
3
æö
÷
ç
+
÷
ç
÷
÷
ç
èø
.
Giải
Khai triển
()
10
10
10
2x 1
132x
3
3
æö
÷
ç
+=+
÷
ç
÷

÷
ç
èø
có số hạng tổng quát là
k10kkk
10
10
1
C3 2x
3
-
.
Ta có:
() ()
() ()
k10kk k19kk1
10 10
k 10kk k111kk1
10 10
10! 10!
32
C3 2 C 3 2
k!10 k! (k 1)!9 k!
10! 10!
C3 2 C 3 2
23
k! 10 k ! (k 1)! 11 k !
-+-+

ì

ï
ï
³
ï
ì
ï
ï
³
-+-
ï
ïï
Û
íí
ïï
³
ïï
ï
³
î
ï
ï

ï
î


3(k 1) 2(10 k)
17 22
kk4
2(11 k) 3k

55
ì
+³ -
ï
ï
ÛÛ££Þ=
í
ï
-³
ï
î
.
Vậy hệ số lớn nhất là
464
10
10
1 1120
C32
27
3
=.

5. Dạng tìm hệ số chứa x
k
trong tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (tham khảo)

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân với công bội q khác 1 là:
n
n12 n1
1q

Suu uu
1q
-
=+++=
-
.
Xét tổng
m1 m2 mn
S(x) (1 bx) (1 bx) (1 bx)
++ +
=+ ++ +++
như là tổng của n số hạng đầu tiên
của cấp số nhân với
m1
1
u(1bx)
+
=+
và công bội
q(1bx)=+
.
Áp dụng công thức ta được:
nmn1m1
m1
1(1bx) (1bx) (1bx)
S( x) (1 bx)
1(1bx) bx
++ +
+
-+ + -+

=+ =
-+
.
Suy ra hệ số của số hạng chứa x
k
trong S(x) là
1
b
nhân với hệ số của số hạng chứa
k1
x
+
trong khai
triển
mn1 m1
(1 bx) (1 bx)
++ +
+-+.

Ví dụ 23.
Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
trong khai triển và rút gọn tổng sau:
()()() ()
456 15
S(x) 1x 1x 1x 1x=+ ++ ++ +++ .
Giải
Tổng S(x) có 15 – 4 + 1 = 12 số hạng nên ta có:
12 16 4
4

1(1x) (1x) (1x)
S(x) (1 x)
1(1x) x
-+ + -+
=+ =
-+
.
Suy ra hệ số của số hạng chứa x
4
là hệ số của số hạng chứa x
5
trong
16
(1 x)+.
Vậy hệ số cần tìm là
5
16
C4368=
.

Nhận xét:
Bằng cách tính trực tiếp hệ số của từng số hạng trong tổng ta suy ra đẳng thức:

12
444 4 5
456 15 16
CCC C C++++ = .

Ví dụ 24
*

. Tìm hệ số của số hạng chứa x
2
trong khai triển và rút gọn tổng sau:
()() () ()
299100
S(x) 1 x 2 1 x 99 1 x 100 1 x=++ + ++ + + + .
Giải
Ta có:
() () () ()
98 99
S(x) 1x121x 991x 1001x
é
ù
=+ + +++ + + +
ê
ú
ë
û
.
Đặt:
()() () ()
29899
f(x) 1 2 1 x 3 1 x 99 1 x 100 1 x=+ + + + + + + + +
()() ()()
2 3 99 100
F(x)(1x) 1x 1x 1x 1x=+++ ++ +++ ++
S(x) f(x) xf(x)Þ=+ và
/
F (x) f(x)= .
Suy ra hệ số của số hạng chứa x

2
của S(x) bằng tổng hệ số số hạng chứa x và x
2
của f(x), bằng tổng 2
lần hệ số số hạng chứa x
2
và 3 lần hệ số số hạng chứa x
3
của F(x).
Tổng F(x) có 100 số hạng nên ta có:
100 101
1(1x) (1x) (1x)
F(x) (1 x)
1(1 x) x
-+ + -+
=+ =
-+
.
Suy ra hệ số số hạng chứa x
2
và x
3
của F(x) lần lượt là
3
101
C và
4
101
C .
Vậy hệ số cần tìm là

34
101 101
2C 3C 12582075+= .

Nhận xét:
Bằng cách tính trực tiếp hệ số của từng số hạng trong tổng ta suy ra đẳng thức:
222 2 2 3 4
2 3 4 99 100 101 101
2C 3C 4C 99C 100C 2C 3C++++ + = + .

Ví dụ 25
*
. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển và rút gọn tổng sau:
()() () ()
2n1n
S(x) 1x 21x (n1)1x n1x
-
=++ + ++- + + + .
Giải
Ta có:
() () () ()
n2 n1
S(x) 1x121x (n1)1x n1x

é
ù
=+ + +++- + + +
ê
ú
ë

û
.
Đặt:
()() () ()
2n2n1
f(x) 121x 31x (n1)1x n1x

=+ + + + + + - + + +
()() ()()
23 n1n
F(x)(1x) 1x 1x 1x 1x
-
=+++ ++ +++ ++
S(x) f(x) xf(x)Þ=+ và
/
F (x) f(x)= .
Suy ra hệ số của số hạng chứa x của S(x) bằng tổng hệ số số hạng không chứa x và chứa x của f(x),
bằng tổng hệ số số hạng chứa x và 2 lần hệ số số hạng chứa x
2
của F(x).
Tổng F(x) có n số hạng nên ta có:
nn1
1(1x) (1x) (1x)
F(x) (1 x)
1(1x) x
+
-+ + -+
=+ =
-+
.

13
Suy ra hệ số số hạng chứa x và x
2
của F(x) lần lượt là
2
n1
C
+
và
3
n1
C
+
.
Vậy hệ số cần tìm là
23
n1 n1
n(n 1)(2n 1)
C2C
6
++
++
+=
.

Nhận xét:
Bằng cách tính trực tiếp hệ số của từng số hạng trong tổng ta suy ra đẳng thức:
222 2 2
n(n 1)(2n 1)
1 2 3 (n 1) n

6
++
++++- + =
.







B. BÀI TẬP

Tính giá trị của các biểu thức
1)
32
555
22
AA P
M
PP
-
=+
2)
2
5432 5
4321
32
5555
PPPP A

M
P2P
AAAA
æö
÷
ç
÷
ç
=+++
÷
ç
÷
÷
ç
-
èø


Rút gọn các biểu thức

3)
nn1
MP P
-
=- 4)
1 2 3 2007
M 1 P 2P 3P 2007P=+ + + + +
5)
kk1
n1 n1

MA kA
-

=+
, với
2kn£<
6)
n2 n1
nk nk
MA A
++
++
=+
, với
2kn£<

7)
222 2
234 n
111 1
M
AAA A
=++++
, với n2³
8)
kk1k2k3k4
nn n n n
M C 4C 6C 4C C

=+ + + + , với 4kn££

Rút gọn các tổng khai triển sau
9)
024 2n
2n 2n 2n 2n
SC C C C=++++
10)
135 2n1
2n 2n 2n 2n
S C C C C
-
=++++

11)
0 2 2 4 4 2002 2002
2003 2003 2003 2003
SC 3C 3C 3C=+ + ++
12)
4 6 8 2006
2007 2007 2007 2007
S C C C C=++++
13)
2006 1 2004 3 2002 5 2 2005
2007 2007 2007 2007
S2C2C2C 2C=++++
14)
16 17 18 30
30 30 30 30
SC C C C=++++
15)

15 16 17 18 30
30 30 30 30 30
SC C C C C=- +-+-

Rút gọn các tổng đạo hàm sau
16)
1 2 23 34 2930
30 30 30 30 30
S C 2.2C 3.2 C 4.2 C 30.2 C=- + - +-
17)
01 2 282930
30 30 30 30 30 30
S30C 29C 28C 2C C C=-+-+-+
18)
2n 1 0 2n 2 1 2n 3 2 2n 1
2n 2n 2n 2n
S 2n.3 C (2n 1).3 C (2n 2).3 C C

= +


14
19)
1n1 2n2 3n3 n1 n
nnn nn
S C .3 2C .3 3C .3 (n 1)C 3 nC
-
=+ + ++-+
20)
1n1 2n22 3n33 n1 n1 nn

nn n n n
S C2 .3 2C2 3 3C2 3 (n 1)C 2.3 nC3
-
=+ + ++- +

21)
234 n
nnn n
S 2C 2.3C 3.4C (n 1)nC=+ + ++-

22)
2 3 4 2 2n 2n 2
2n 2n 2n 2n
S 2C 2.3C 2 3.4C 2 (2n 1)2nC 2
-
=- + -+-
23)
0n2 n42 n3 n2
nnnn
S (n 1)nC 2 3.4C 2 2.3C 2 2C

=- ++ + +
24)
122 232 2nn1
nn n n
S C 2C 3 3C 3 nC 3
-
=+ + ++

25)

20n 21n1 2n22 n1
nn nn
S nC2 (n 1)C2 2C 2 2C

=+- ++ +

Rút gọn các tổng tích phân sau

26)
23 n1
012 n
nnn n
21 21 2 1
SC C C C
23 n1
+
-
=+ + ++
+

27)
0 1 2 99 100
11 1 1
Sa a a a a
2 3 100 101
=+ + ++ +
, trong đó:
100 2 99 100
0 1 2 99 100
(x 2) a a x a x a x a x-=++++ + .

28)
0 2 4 2004 2006
2007 2007 2007 2007 2007
11 1 1
S C C C C C
3 5 2005 2007
=+ + ++ +


Tìm số hạng trong các khai triển sau

29) Số hạng thứ 13 trong khai triển
25
(3 x)-

30) Số hạng thứ 18 trong khai triển
225
(2 x )-
31) Số hạng không chứa x trong khai triển
12
1
x
x
æö
÷
ç
+
÷
ç
÷

÷
ç
èø

32) Số hạng không chứa x trong khai triển
12
28
3
15
xx x
-
æö
÷
ç
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø

33) Số hạng chứa a, b và có số mũ bằng nhau trong khai triển
21
3
3
ab

b
a
æö
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
ç
èø


Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau

34) Hệ số của số hạng chứa
4
x trong khai triển
12
x3
3x
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷

÷
ç
èø

35) Hệ số của số hạng chứa
8
x trong khai triển
12
5
3
1
x
x
æö
÷
ç
+
÷
ç
÷
÷
ç
èø

36) Hệ số của số hạng chứa
8
x trong khai triển
8
2
1x(1x)

éù
+-
êú
ëû

15
37) H s ca s hng cha
5
x trong khai trin
()
10
23
1xx x++ +
38) H s ca s hng cha
3
x trong khai trin
210
(x x 2)-+
39) H s ca s hng cha
4
x
trong khai trin
210
(1 x 3x )++

40) H s ca s hng cha
3
x trong khai trin:
345 50
S(x) (1 x) (1 x) (1 x) (1 x)=+ ++ ++ +++

41) H s ca s hng cha
3
x
trong khai trin:
345 22
S(x) (1 2x) (1 2x) (1 2x) (1 2x)=+ ++ ++ +++
42) Tỡm h s ca s hng cha x
10
trong khai trin
10 10
(1 x) (x 1)++.
T ú suy ra giỏ tr ca tng
()() ()
22 2
01 10
10 10 10
S C C C=+++

43) Rỳt gn tng
010 19 28 91 100
10 20 10 20 10 20 10 20 10 20
S CC CC CC CC CC=+++++
44) Rỳt gn tng
()() ()()
22 22
0 1 2006 2007
2007 2007 2007 2007
SC C C C=++++

Tỡm s hng hu t trong khai trin ca cỏc tng sau
45)
()
7
3
16 3+ 46)
()
9
3
32+ 47)
10
5
1
5
3
ổử
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
48)
10
5
2
2

3
ổử
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ


Tỡm h s ln nht trong khai trin ca cỏc tng sau

49)
()
21
12x+ 50)
11
12x
23
ổử
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ữ

ỗ
ốứ
51)
()
100
10,5x+ .


C. HNG DN GII
1)
32
555
22
AA P
60 20 120
M80
PP 22
-
-
=+=+=
.
2)
2
5432 5
4321
32
5555
PPPP A
M
P2P

AAAA
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
=+++
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
-
ốứ
120 24 6 2 20
21
120 60 20 5 2
ổử
ữ
ỗ
=+++ =
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
.
3)
nn1 n1

P P n!(n1)!(n1)!n(n1)!(n1)!(n1) (n1)P
- -
- = =- =- -=- .
4) T cõu 3 ta cú:
nn1n
nP P P
+
=-
1 2 3 2007
M 1 P 2P 3P 2007Pị=+++ ++


(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 3 2 4 3 2008 2007 2008
1PP PP PP P P P=+ - + - + - + + - =
.
5)
()()
kk1
n1 n1
(n 1)! (n 1)!
MA kA k
nk1! nk!

-


=+ = +
-


()() ()()
1k nkk
(n 1)! (n 1)!
nk1! nk! nk! nk!
ộựộ
ự
-
ờỳờ
ỳ
=- + =- +
ờỳờ
ỳ
- - -
ờỳờ
ỳ
ởỷở
ỷ


()()
k
n
n(n 1)! n !

A
nk! nk!
-
===

.

16
6)
()()
n2 n1
nk nk
(n k)! (n k)!
MA A
k2! k1!
++
++
++
=+= +

()
n1
nk
(n k)!k (n k)!k
kA
k1! (n k)(n1)!
+
+
++
== =

ộự
-+-+
ởỷ
.
7)
()
()
2
k
k2!
11 1 11
k! k! k(k 1) k 1 k
A
k2!
-
====-

-

222 2
234 n
111 1
M
AAA A
ị=++++
11111 11 1
1 1
22334 n1n n
ổửổ ửổ ử ổ ử
ữữữ ữ

ỗỗ ỗ ỗ
=- +- +- ++ - =-
ữữữ ữ
ỗỗ ỗ ỗ
ữữữ ữ
ữữữ ữ
ỗỗ ỗ ỗ
-
ốứố ứố ứ ố ứ
.

8)
kk1k2k3k4
nn n n n
M C 4C 6C 4C C

=+ + + +


(
)
(
)
(
)
(
)
kk1 k1k2 k2k3 k3k4
nn n n n n n n
CC 3C C 3C C C C

=+ + + + + + +


kk1k2k3
n1 n1 n1 n1
C3C3CC

++++
=+++
(
)
(
)
(
)
kk1 k1k2k2k3
n1 n1 n1 n1 n1 n1
CC 2CC CC

++ ++ ++
=++ +++


(
)
(
)
k k1 k2 k k1 k1 k2
n2 n2 n2 n2 n2 n2 n2

C2CC CC CC
-
+++ ++ ++
=+ += + + +
kk1k
n3 n3 n4
CC C
-
++ +
=+=.
9)
()
2n
0123 2n12n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
11 CCCC C C
-
+ = + + + + + + (1)

()
2n
01 23 2n12n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
11 CCCC C C
-
- =-+-+- + (2)
Cng (1) v (2) ta c
(
)
2n 0 2 4 2n

2n 2n 2n 2n
2 2 C C C C= ++++
.
10) Tr 2 khai trin
()
2n
11+ ,
()
2n
11- ta c
2n 1
S2
-
= .
11)
()
2003
13+
()
2003
13+- ị
(
)
2002 2003
S2 2 1=-
.
12) (1 + 1)
2007
+ (1 1)
2007

(
)
0 2 2007 2006 0 2
2007 2007 2007 2007
2S C C 2 S 2 C Cị- - = ị= + +
.
13)
()
2007
21+
()
2007
21-
()
2007
2007 2007
2007
31
2S C 3 1 S
2
+
ị- = -ị=
.
14)
()
30
0 1 15 16 30
30 30 30 30 30
1 1 C C C C C+ =++++++
30 30 16 15 16 30 15 30

30 30 30 30 30 30
2 C C C C C 2S C 2ị =++++++ị+=.
15)
()
30
0 1 14 15 16 30
30 30 30 30 30 30
1 1 C C C C C C =- + + - +-
(
)
30 29 16 15 15 15 16 30
30 30 30 30 30 30 30 30
0 C C C C C C C C
ộự
ị=- + + - + - +-
ờỳ
ởỷ

15
15
30
30
C
2S C 0 S
2
ị- =ị=
.
16)
()
30

0 1 2 2 3 3 30 30
30 30 30 30 30
1 x C C x C x C x C x+=++ + ++ (1)
o hm 2 v ca (1) ta c:
()
29
12 32 3029
30 30 30 30
30 1 x C 2C x 3C x 30C x+=+ + ++ (2)
Thay x = 2 vo 2 v ca (2) ta c:
1 2 2 3 3 4 29 30
30 30 30 30 30
C 2.2C 3.2 C 4.2 C 30.2 C 30-+ - +- =
17) S1= 18)
2n
Sn.2= .
19) Khai trin, o hm v thay x = 1 ca (3 + x)
n
suy ra
n1
Sn.4
-
= .
17
20) Khai trin, o hm v thay x = 1 ca (2 + 3x)
n
suy ra
n1
S3n.5
-

= .
21) Khai trin, o hm 2 ln v thay x = 1 ca (1 + x)
n
suy ra
n2
S(n1)n.2
-
=- .
22) Tng t 21)
S2n(2n1)=-
.
23) Khai trin, o hm 2 ln v thay x = 1 ca (x + 1)
n
suy ra
n2
S(n1)n.2
-
=-
.
24) Khai trin (1 + x)
n
, o hm, nhõn vi x ri o hm ln na, thay x = 3,
n2
Sn(13n).4
-
=+ .
25) Tng t 24)
n2
S2n(12n).3
-

=+ .
26) Khai trin (1 + x)
n
, tớch phõn t 1 n 2,
n1 n1
32
S
n1
++
-
=
+
.
27)
1
100
0
(x 2) dx-=
ũ
11 1 1 1
2 99 100
0 1 2 99 100
00 0 0 0
a dx a xdx a x dx a x dx a x dx++ ++ +
ũũ ũ ũ ũ

()
1
101
0

x2
101
-
ị=
11 1 1
1
2 3 100 101
01 2 99 100
0
00 0 0
xx x x x
a a a a a
1 2 3 100 101
++++ +

101
0 1 2 99 100
21 1 1 1 1
aaa a a
101 2 3 100 101
-
ị=+++++
. Vy
101
21
S
101
-
=
.

28) Khai trin (1 + x)
2007
, tớch phõn t 1 n ,
2005
2
S
251
=.
29)
12 13 12
25
C3x 30)
17 8 34
25
C2x- 31)
6
12
C924= .
32) S hng tng quỏt ca
12 12
28 4 28
3
15 3 15
xx x x x

ổửổử
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ

+=+
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ốứốứ
l
()
k
428k
16 1
12 k
5
kk
315
12 12
Cx x Cx
ổử
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ốứ

= .
Suy ra s hng khụng cha x ng vi k tha
k
10k5
5
-==
.
Vy s hng khụng cha x l
5
12
C 792= .
33) S hng tng quỏt ca
21
21
11 11
36 62
3
3
ab
ab a b
b
a

ổử
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ữ
+=+
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ốứ
l
k72k
7
k
223
21
Ca b
+
.
Suy ra
k72k
7k9
223
-=-+ =

. Vy s hng cn tỡm l
55
9
22
21
Cab.
34)
55
9
35)
495
.
36)
88
22
1x(1x) x(1x)1
ộựộự
+- = -+
ờỳờỳ
ởỷởỷ


016 8 48 4 36 3 8
8888
C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x) C=-++-+-++.
Suy ra h s ca s hng cha
8
x ch cú trong 2 s hng
48 4
8

Cx(1 x)-
v
36 3
8
Cx(1 x)-
.
+
(
)
48 4 48 0 1 44
88444
Cx(1 x) Cx C Cx Cx-= - ++
nờn cú h s cha x
8
l
40
84
CC.
+
(
)
36 3 36 0 1 22 33
883333
Cx(1 x) Cx C Cx Cx Cx-= - + - nờn cú h s cha x
8
l
32
83
CC.
Vy h s cn tỡm l

40 32
84 83
C C C C 238+=.

18
37)
()
()
()
10 10
10
23 2
1xx x 1x 1x++ + = + +

(
)
(
)
0 1 10 10 0 1 2 10 20
10 10 10 10 10 10
CCx CxCCx Cx=+++ + ++
.
Thực hiện phép nhân phân phối ta suy ra hệ số của số hạng chứa
5
x chỉ có trong 3 số hạng:
125
10 10
C.Cx,
315
10 10

C.Cx và
505
10 10
C.Cx.
Vậy hệ số cần tìm là
12 31 50
10 10 10 10 10 10
C.C C.C C.C 1902++=.
38)
10
210
(x x 2) 2 x(1 x)
éù
-+ =- -
ëû


010 282 2 373 3 1010 10
10 10 10 10
C2 C2x(1 x) C2x(1 x) Cx(1 x)=-+ -++ -
.
Suy ra hệ số của số hạng chứa
3
x
chỉ có trong 2 số hạng
282 2
10
C2x(1 x)-
và
373 3

10
C2x(1 x)
.
+
282 2 282 3 4 28
10 10 10
C2x(1 x) C2(x 2x x) 2C2-= -+Þ- là hệ số của số hạng chứa
3
x .
+
373 3
10
C2x(1 x)
có hệ số của số hạng chứa
3
x là
37
10
C2-
.
Vậy hệ số cần tìm là
28 37
10 10
2C 2 C 2 38400 =-
.
39) (Tương tự) 1695.
40) Áp dụng công thức cấp số nhân cho tổng 48 số hạng ta có:
48 51 3
3
1(1x) (1x) (1x)

S(x) (1 x)
1(1x) x
-+ + -+
=+ =
-+
.
Suy ra hệ số của số hạng chứa
3
x là hệ số của số hạng chứa
4
x của
51
(1 x)+ .
Vậy hệ số cần tìm là
4
51
C 249900= .
41) Áp dụng công thức cấp số nhân cho 20 số hạng ta có:
20 23 3
3
1(12x) (12x) (12x)
S( x) (1 2x)
1(12x) 2x
-+ + -+
=+ =
-+
.
Suy ra hệ số của số hạng chứa
3
x là hệ số của số hạng chứa

4
x của
23
1
(1 2x)
2
+
.
Vậy hệ số cần tìm là
44
23
1
C 2 70840
2
=
.
42)
10 10
(1 x) (x 1)++
(
)
(
)
0 1 10 10 0 10 1 9 10
10 10 10 10 10 10
C Cx Cx Cx Cx C=++++ + ++.
Thực hiện phép nhân phân phối ta suy ra hệ số của số hạng chứa
10
x là:
()() ()

22 2
01 10
10 10 10
CC C+++.
Mặt khác
10 10 20
(1 x) (x 1) (1 x)++=+
có hệ số của số hạng chứa x
10
là
10
20
C
.
Vậy
10
20
S C 184756==
.
43)
10 20
(1 x) (1 x)++
(
)
(
)
0 1 10 10 0 1 20 20
10 10 10 20 20 20
C Cx Cx C Cx Cx=+++ +++
.

Thực hiện phép nhân phân phối ta suy ra hệ số của số hạng chứa
10
x là:
010 19 28 91 100
10 20 10 20 10 20 10 20 10 20
CC CC CC CC CC+++++.
Mặt khác
10 20 30
(1 x) (1 x) (1 x)++=+ có hệ số của số hạng chứa x
10
là
10
30
C .
Vậy
10
30
SC= .
19
44)
2007
4014
SC= 45) Số hạng cần tìm là
42
7
C 16.3 5040= .
46) Số hạng cần tìm là
93
9
C2 8=

và
33
9
C 3 .2 4536=
.
47) Số hạng cần tìm là
0
10
5
11
C
243
3
=
và
10 5 2
10
5
1
C3.5 25
3
=
.
48) Số hạng cần tìm là
010
10
2
1 1024
C2
9

3
=
,
56
10
2
1
C 2 .3 5376
3
-
=-
và
10 2 2
10
2
1
C2.3 4
3
=
.
49) Hệ số lớn nhất là
14 14
21
C2
50) Hệ số lớn nhất là
6
11
6
2
C

3
.
51) Hệ số lớn nhất là
66 66 66
100 100
100 34
11
C2 C
22
=.
………………………………………