Tải bản đầy đủ (.doc) (28 trang)

SKKN: Rèn kĩ năng giải bất phương trình bậc nhất một ẩn qua các dạng bài tập cho HS lớp 8

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (276.52 KB, 28 trang )

Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

A – ĐẶT VẤN ĐỀ
I : Cơ sở lí luận .
Cùng với sự phát triển của đất nước ta , sự nghiệp giáo dục cũng khơng
ngừng đổi mới . Vì thế các nhà trường phải luôn chú trọng đế chất lượng của
học sinh một cách tồn diện .Bởi vậy phải có sự đầu tư đích đáng cho nề giáo
dục . Với vai trị là mơn học cơng cụ , bộ mơn tốn đã góp phần tạo điều kiện
cho các em học tốt bản thân mơn tốn và các mơn học khác .
Một vấn đề được đặt ra là dạy học như thế nào để học sinh không những
nắm vững nội dung kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải rèn luyện
khả năng tư duy lô gic , rèn luyện kỹ năng làm bài tập của bộ mơn tốn cũng
như các mơn khoa học khác , có thái độ , quan điểm rõ ràng trong các bài tập
của mình để tạo được sự húng thú , say mê trong học tập , tiếp thu kiến thức và
có thể đưa các kiến thức đó ra áp dụng vào cuộc sống đời thường là câu hỏi mà
mỗi thầy cô luôn phải đặt ra để có thể truyền đạt kiến thức một cách tốt nhất
cho học sinh thân yêu của mình .
Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của
các em trong , quá trình giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc ra những nội
dung kiến thức cơ bản một cách rõ ràng ngắn gọn và đầy đủ nội dung , phải đi
từ dễ đến khó , từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển rút ra những nội dung
kiến thức chính trong bài học đồng thời có thể gợi mở , đặt vấn đề để học sinh
phát triển tư duy và kĩ năng phân tích nội dung và làm các bài tập tốn học một
cáh chặt chẽ, rõ ràng và có hệ thống , đồng thời giúp cho các em nhận ra các
dạng bài toán đẫ học một cách nhanh nhất .
Qua một thời gian giảng dạy bộ mơn tốn tại trường THCS Tứ Dân , bản
thân tôi đã cố gắng chú trọng rèn luyện tư duy cho học sinh trong qua trình học
tốn và đạt được một số kết quả , có thể đây là bước đầu trao đổi thành một đề
tài về kinh nghiệm rèn tư duy trong học tốn của học sinh . Tơi mạnh rạn viết


thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài ; “ Rèn kĩ năng giải bất phương

trình bậc nhất một ẩn qua các dạng bài tập “ của mình để cùng trao đổi

1


Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

vi các đồng nghiệp nhằm mục đích cùng trao đổi học hỏi lẫn nhau trong bồi
dưỡng học sinh giỏi lớp 8 một cách tốt hơn .
II : Cơ sở thực tiễn
* Trường THCS Tứ Dân chất lượng cụ thể là :
- 75% mức độ đạt yêu cầu trong đó có 20% học sinh khá giỏi
( kết quả khảo sát chất lượng đầu năm )
* Đối với học sinh lớp 8 :
- Phân chia thành các nhóm tiếp thu kiến thức như sau
+ Nhóm những em tiếp thu nhanh , giải quyết vấn đề nhanh , linh hoạt :
25%
+ Nhóm học sinh biết vận dụng trực tiếp ; 50%
+ Nhóm học sinh chưa biết vận dụng : 25%
( Phân chia các nhóm tiếp thu về bộ mơn Tốn )
- Về tài liệu : SGK , SGV đầy đủ , sách nâng cao , sách tham khảo của
học sinh và giáo viên còn hạn chế , phần lớn là do giáo viên và học sinh tự
mua sám .
- Qua qua trình trực tiếp giảng dạy các khối lớp từ các tiết luyện tập ,
kiểm tra , các tiết bồi dưỡng học sinh giỏi , học sinh yếu kém và các tiết dự giờ
của các đồng nghiệp tôi nhận thấy : Học sinh thường lúng túng , khơng tìm ra

hướng giải quyết hoặc tìm ra hướng giải quyết nhưng không biết làm thế nào ,
làm từu đâu ,các bài làm của các trong các giờ kiểm tra trên lớp cũng như các
bài kiểm tra một tiết thường không chặt chẽ , không hợp loogic làm cho lời
giải của các em trở nên rời rạc , khơng hợp lí đặc biệt là những bài tốn khó ,
những tình huống tốn học mang tính thực tiễn .
- Bên cạnh đó một số khá lớn các em học sinh phụ hynh đi làm ăn xa
khơng có thời gian quan tâm đến việc học tập của các em , khơng đơn đóc các
em học được làm cho các em ngày càng mải chơi và không chịu học làm cho
kiến thức của các em bị hổng dẫn đến kết quả học tập kém và làm cho cac em
càng trỏ nên lười học .
B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I : Các giải pháp thực hiện
2


Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

1. Hình thành thái độ u thích bộ mơn Tốn cho các em học sinh .
2 . Phân loại bài tập và yêu cầu đối tượng học sinh qua từng dạng bài tập
để phù hợp và hiệu quả khi giải bài tập có liên quan đến bất phương trình bậc
nhất một ẩn .
3 . Rèn cho học sinh khả năng suy luận , tư duy , vận dụng các kiến thức
đã học vào các bài tập liên quan .
4 . Rèn kĩ năng giải toán cho học sinh .
5 . Tham khảo các tài liệu trong thư viện , trên báo chí cũng như thơng
qua mạng internet , ý kiến của các đồng nghiệp , các chuyên gia ,điều tra ,
thống kê kết quả học tập của các em , hiệu quả công tác giảng dạy , đúc rút
kinh nghiệm kịp thời …. Về các vấn hiên cứu và một số vấn đề liên quan .

II: Các biện pháp thực hiện
*: Hình thành thái độ học tập bộ mơn .
Học sinh ở cấp THCS đang ở lứa tuổi hiếu động , bồng bột , giải quyết
vấn đề hầu như dựa vào cảm tính . nắm được sự phát triển tâm lí này , giáo
viên cần phải tạo cho học sinh một thái độ học tập đúng đắn , nghiêm túc nhằm
tạo cho học sinh có tính kỉ luật , khoa học … đồng thời kích thích sự hứng thú
say mê học tập của các em trong q trình học mơn tốn . Cho học sinh thấy
được tầm quan trọng của môn tốn trong thức tế cuộc sống và trong các mơn
học khác
Để làm được điều này là một giáo viên cần có nhiều biện pháp như : Cho
học sinh tổ chức các nhóm học tập để rèn luyện tính tập thể , tổ chức trò chơi ,
tiến hành đo đạc , giới thiệu các bài học lí thú …Đặc biệt là phải phân rõ dạng
bài tập để học sinh dễ hình dung và tiếp thu nó .
* Phân loại và yêu cầu các đối tượng học sinh qua từng bài tập cụ thể để
phù hợp và hiệu quả khi giải bài tập .
Được chia làm hai phần ;
+ Giới thiệu kiến thức cơ bản
+ Các dạng bài tập áp dụng
3


Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

Giỏo tùy từng đối tượng học sinh mà cho bài tập có nội dung phù hợp để có
hiệu quả khi giảng dạy .
* Rèn cho học sinh khả năng suy luận , tư duy , vận dụng các kiến thức
đã học vào các bài tập liên quan .
Sau khi đã cho học sinh làm các bài tập ở dạng tổng quát thì giáo viên

cho những bài tập tưng tự nhưng cách hỏi khác nhau để cho học sinh tư duy .
Hoắc có thể đưa những bài tập khơng có dạng tổng quát nhưng có thể sử dụng
kiến thức cơ bản đã học để giải quyết nó với mục đích làm cho các em phải
biết tư duy , phân tích để có hướng giải quyết đúng tạo cho các em cảm giác
như mình vừa có được một thành cơng và chính điều đó làm cho các em hiểu
sâu vấn đề và biết vận dụng vấn đề một cách thành thạo .
* Rèn luyện kĩ năng giải toán cho các em qua các dạng bài tập

1- Giới thiệu kiến thức cơ bản
a) Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Bất phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng : ax + b > 0
( hoặc ax + b < 0 : ax + b ≥ 0 ; ax + b ≤ 0 ) trong đó x là ẩn a , b là các số đã
cho a ≠ 0
b) Bất phương trình tương đương
ĐN : hai bất phương trình được gọi à tương đương nếu chúng có cùng một
tập hợp nghiệm .
Các phép biến đổi tương đương
+ Định lí 1 : Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một bất
phương trình thì được một bất phương trình mới tương đương .
- Hệ quả 1 ; Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một bất phương
trình thì được một bất phương trình tương đương .
- Hệ quả 2 : Nếu chuyển hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu của nó
thì được một bất phương trình tương đương .
+ Định lí 2 :

4


Sáng kiến kinh nghiệm


Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

- Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số dương thì được một
bất phương trình tuơng đương .
- Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số âm và đổi chiều của
bất phương trình thì được một bất phương đương

2- Các dạng bài tập
Dạng 1 : Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau .
a) x – 4 < - 8
b)x+3>-6
c ) -2x > -3x +d ) -4x -2 > -5x +6
Với bài tập này học sinh có thể giải rễ ràng bằng cách sử dụng các phếp biến
đổi tương đương .

Giải
a ) x – 4 < - 8 ↔ x < -8 + 4 ↔ x < - 4
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = {x / x < - 4 }
b ) x + 3 > - 6 ↔ x > - 6 – 3 ↔ x > -9
Vậy tập nghiệm cuả bất phương trình đã cho là S = {x / x > - 9 }
c ) -2x > - 3x + 3 ↔ -2x + 3x > 3 ↔x > 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = {x / x > 3 }
d) – 4x – 2 .> -5x + 6 ↔ - 4x + 5x > 6 + 2 ↔ x > 8
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là : S = {x / x > 8 }

Bài 2 : Giaỉ các bất phương trình sau ;
a ) (x + 2 ) 2 < 2x ( x + 2) +4
b ) (x + 2 ) ( x + 4 ) > ( x – 2 ) (x + 8) + 26
Bài tập này sẽ làm cho học sinh hơi bối rối vì các em thấy lũy thừa của x

khơng là bậc nhất nên không biết làm như thế nào vì vậy giáo viên đưa ra một
gợi ý nhỏ cho các em : Hãy thực hiện các phép tính ở hai vế và thu gọn .

Giải
5


Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

2

a) ( x + 2 ) < 2x ( x + 2) + 4
↔ x2 + 4x + 4 < 2 x2 + 4x + 4
↔ x2 < 2 x2 ↔ x2 > 0 ↔ x > 0 hoặc x < 0.
Sau khi giải đến bất phương trình x 2 > 0 sẽ có nhiều học sinh biến đổi như
sau ; x2 > 0 ↔ x > 0 như vậy thì khi kết luận nghiệm thì sẽ thiếu nghiệm của
bất phương trình vì vậy cần nhắc lại cho các em lũy thừa chẵn của một số ,
biểu thức bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng 0 do vậy thay cho việc tìm các
gía trị của x để x2 > 0 ta đưa về tìm x để x 2 = 0 khi đó những giá trị cịn lại
của x sẽ làm cho x2 > 0 .
b ) ( x + 2) ( x + 4 ) > ( x – 2 ) ( x + 8 ) + 26
↔ x2 + 6x + 8 > x2 + 6x -16 + 26
↔0 > 2 ( vơ lí )
→ Bất phương trình vơ nghiệm .
Khi làm xong bài tập 2 giáo viên có thể cho học sinh rút ra các bước làm :
Bước 1 : Thực hiện các phép tính ở hai vế của bất phương trình .
Bước 2 : Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế , các hạng tử bằng số
sang một vế rồi thu gọn bất phương trình

Bước 3 : Giải bất phương trình sau khi thu gọn.

Bài 3 : Giải các bất phương trình sau :
1− x
2
1− x
5
− ≤
2
4
8
x−
1
x+
1
b:
− ≥
1
+
8
4
3
a:

Giáo viên cho học sinh nhận xét các bất phương trình trên có đặc điểm gì và
gợi ý học sinh hãy quy đồng và khử mẫu .

Giải
1− 2x
1 − 5x

2 − 4 x −16 1 − 5 x
−2 ≤


⇔ 2 − 4 x −16 ≤ 1 − 5 x
4
8
8
8
⇔ −4 x + 5 x ≤ 14 +1 ⇔ x ≤ 15
a;

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : S = {x / x ≤ 15}
6


Sáng kiến kinh nghiệm
b)

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

x −1
x +1
3 x − 3 −12 4 x + 4 + 96
−1 ≥
+8 ⇔

4
3
12

12
⇔ 3 x − 4 x ≥ 100 +15 ⇔−x ≥ 115 ⇔ x ≤ −115

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ; S = {x / x ≤ -115}
Qua bài tập này giáo viên cho học sinh rút ra cách giải bất phương trình có
chứa mẫu :
Bước 1 : Quy đồng và khử mẫu
Bước 2 : Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và các hạng tử bằng số
sang một vế và thu gọn bất phương trình .
Bước 3 : Giải bất phương trình sau khi thu gọn .

Bài 4 : Giải bất phương trình :
mx + 1 ≥ m2 + x ( với m là tham số )
Học sinh có thể biến đổi tương đương bình thường
mx + 1 ≥ m 2 + x ⇔ mx − x ≥ m 2 − 1 ⇔ ( m − 1) x ≥ ( m − 1) ( m + 1)
Đến bước này sẽ có nhiều em vội vàng suy ra x ≥ ( m + 1 ) bàng cách chia (m1)(m+1) cho (m-1) mà quên mất điều kiện để một phép chia có nghĩa là số chia
phải khác không và quy tắc chia hai vế của bất phương trình cho một số âm
phải đổi chiều bất phương trình . Vậy giáo viên phải hướng dẫn các em phân
chia trường hợp của m- 1 là ( m-1) > 0 ; (m – 1 ) <0 ; ( m- 1 ) = 0 và học sinh
có thể giải tiếp như sau :
+ Nếu m < 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≤ m + 1
+ Nếu m > 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≥ m + 1
+ Nếu x = 1 thì bất phương trình có dạng 0x ≥ 0 nghiệm đúng với mọi giá
trị của x.

Bài 5 : Giải bất phương trình ( với a là hằng số ) .
x +1
+ ax
a


>

x+2
− 2x
a

Đây là bất phương trình có chứa mẫu do đó cần phải tìm điều kiện để cho
mẫu có nghĩa sau đó biến đổi và rút gọn bất phương trình .
7


Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân
Gii

Bt phương trình có nghĩa khi a ≠ 0
x +1
+ ax
a


>

x 1
+ + ax
a a

⇔ ax + 2x


>

x+2
− 2x
a

>

x 2
+ − 2x
a a

2 1

a a

⇔ (a + 2) x >

1
a
1

- Nếu a > - 2 : a ≠ 0 thì nghiệm của bất phương trình là : x > a(a + 2)
1

- Nếu a < - 2 thì nghiệm của bất phương trình đã cho là : x < a(a + 2)
- Nếu a = -2 thì bất phương trình có dạng 0x > -

1
2


nghiệm đúng với mọi x

Bài 6 : Giải bất phương trình :
x + 2 x + 5 x + 8 x + 11
+
>
+
89
86
83
80
Với bài tập này phần lớn học sinh sẽ vận dụng cách làm một cách máy móc
đó là quy đồng , rút gọn rồi mới giải bất phương trình , làm như vậy thì các em
sẽ khá vất vả hoặc có em thì lại tách thành
x
2
x
5
x
8
x 11
+
+
+
>
+
+
+
89 89 86 86 83 83 80 80


Làm như vậy cũng rất phức tạp nên giáo viên có thể cho học sinh nhận xét về
mối quan hệ giữa tử và mẫu của mỗi phân thức và hướng dẫn học sinh tạo ra
các phân thức có tử giống nhau bằng cách cộng thêm vào mỗi phân thức với 1
khi đó ta có :

x + 2 x + 5 x + 8 x +11
+
>
+
89
86
83
80

8


Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

x +2
  x +5
  x +8
  x +11 
⇔
+1 ÷+ 
+1÷> 
+1÷+ 

+1÷
 89
  86
  83
  80

x + 91 x + 91 x + 91 x + 91

+
>
+
89
86
83
80
1
1
1 
 1
⇔ ( x + 91) 
+
− − ÷> 0
 89 86 83 80 
⇔ x + 91 < 0
⇔ x < −91

Bên cạnh các bài toán với yêu cầu cụ thể là giải bất phương trình thì cịn
những bài tốn mà để giải được nó thì phải đưa về bài tốn giải bất phương
trình . Bài tốn này địi hỏi học sinh phải có sự tư duy logic , phân tích chặt chẽ
.


Bài 7 : Tìm giá trị của x thỏa mãn cả hai bất phương trình
2 x 3 − 2 x 3x + 2
+


5
3
2

x 3 − 2 x 3 x −5
+

2
5
6

Học sinh phải hiểu các giá trị cần tìm của x chính là nghiệm chung của cả hai
bất phương trình và để tìm được thì ta phải đi giải 2 bất phương trình và tìm
phần chung trong tập nghiệm của chúng .

2 x 3 − 2 x 3x + 2
+

⇔ 12 x + 30 − 20 x ≥ 45 x + 30
* 5
3
2
⇔ 12 x − 20 x − 45 x ≥ 0 ⇔ − 53x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
x 3 − 2 x 3 x −5


* +
2
5
6

(1)

⇔ 15 x +18 −12 x ≥ 15 x − 30 ⇔ −12 x ≥ −48

( 2)
⇔x≤4

Từ (1) và (2) ta có x

≤0

Bài 8: Tìm các số nguyên x thỏa mãn cả hai bất phương trình
2x − 5 3 − x
3x − 2 x
≥ + 0,8 và 1 −
>
5
2
6
4
Giải
9



Sáng kiến kinh nghiệm
Xột bt phng trỡnh :

Đỗ Thị Hơng – THCS Tø D©n
3x − 2 x
≥ + 0,8
5
2
⇔6 x − 4 ≥ 5 x +8
⇔6 x − 5 x ≥ 4 +8

(1)

⇔ x ≥12
Xét bất phương trình :

2 x −5 3 − x
>
6
4
⇔12 − 4 x +10 > 9 − 3 x
⇔−4 x + 3 x > 9 − 22
⇔−x > −13
1−

(2)

⇔ x <13
Từ (1) và (2) ta có 12 ≤ x <13
Sau khi tìm được các giá trị của x thỏa mãn cả hai bất phương trình thì học

sinh lại thêm bước lựa chọn các giá trị nguyên của x
Vì x € Z nên x = 12
Nhận xét : Khi cho bài tập thì giáo viên có thể cho những bài tập tương tự
nhau nhưng tập sau phải đòi hỏi cao hơn bài tập trước để tạo cho các em vừa
biết lợi dụng các bài tập đã biết để làm tương tự nhưng lại phải tư duy thêm để
trả lời được câu hỏi của bài như vậy sẽ tạo cho các em sự hứng thú và say mê
học tập .
Bài 9 : tìm số nguyên x lớn nhất thỏa mãn mỗi bất phương trình sau
a) 5,2 + 0,3x < - 0,5
b) 1,2 – ( 2,1 – 0,2x ) <4,4

Giải
a) 5,2 + 0,3x < - 0,5

⇔ 0, 3 x < −0, 5 − 5, 2
⇔ 0, 3 x < −5, 7
⇔ x < −19

10


Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

Hc sinh khi làm đến đây có nhiều em sẽ khơng biết vậy x sẽ nhận giái trị
nào thì giáo viên có thể gợi ý : Số nguyên nhỏ hơn -19 và gần với -19 nhất là
bao nhiêu thì học sinh sẽ tìm được đó là -20
b) 1,2 – ( 2,1 – 0,2x ) < 4,4
⇔ 1, 2 − 2,1 + 0, 2 x < 4, 4

⇔ 0, 2 x < 4, 4 + 0,9
⇔ x < 26, 5
Vậy số nguyên x lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là 26.
Bài 10: Với giá trị nào của x thì
a) Giá trị phân thức

5 x −2
5 −2 x
lớn hơn giá trị phân thức
6
3

4 x +5
1, 5 − x
nhỏ hơn giá trị phân thức
5
2
Ở bài tập này học sinh phải thiết lập được mối quan hệ giữa các phân thức và
đưa về giải bất phương trình.
b) Giá trị phân thức

Giải

a) Giá trị phân thức

5x − 2
5 −2 x
lớn hơn giá trị phân thức
nghĩa là
6

3

5 − 2x 5x − 2
>
⇔ 5 − 2 x > 10 x − 4
6
3
⇔ −2 x −10 x > −4 − 5 ⇔ −12 x > −9
3
⇔x<
4

5 − 2x
5x − 2
lớn hơn giá trị phân thức
khi x <
3
6
1,5 − x
4x + 5
b) Giá trị phân thức
nhỏ hơn giá trị phân thức
nghĩa là
5
2
1,5 − x
4 x +5
<
5
2

⇔ 3 − 2 x < 20 x + 25

Vậy giá trị của phân thức

11

3
4


Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

22 x > −22
⇔ x > −1
Vậy với x > - 1 thì Giá trị phân thức

1, 5 − x
nhỏ hơn giá trị phân thức
5

4 x +5
2
Dạng bài tập này sau khi giải học sinh thường hay kết luận nghiệm của bất
phương trình do vậy giáo viên chú ý học sinh hãy kết luận theo yêu cầu của bài
.

Bài 11: Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình sau dương
m +1

= 1− m
x −1

Đây là phương trình chứa mẫu vì vậy cần tìm điều kiện để phương trình có
nghĩa : Điều kiện x – 1 ≠ 0 suy ra x ≠ 1
Là bài tốn về phương trình nhưng để trả lời được nó thì lại phải sử dụng đến
bất phương trình

Giải

m+1
= 1 − m ⇔ (1 + m) = (1 − m) x − 1 + m
x−1
⇔ (1 − m) x = 1 + m + 1 − m ⇔ (1 − m) x = 2
- Nếu m = 1 thì phương trình có dạng 0x = 0 phương trình vơ nghiệm
- Nếu m ≠ 0 thì x =
Vì x ≠ 1 nên

2
1− m

2
≠ 1 ⇒ m ≠ −1
1− m

Nghiệm của phương trình là x =

2
với m ≠ +-1
1− m

12


Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

m ≠ + − 1 m ≠ + − 1 m < 1
⇒
⇒
Phương trình có nghiệm dương khi 
1 − m > 0  m < 1
 m ≠ −1
5− x

1− 2x



+

:
Bài 12: Cho biểu thức A = 
2 ÷
1 − x x + 1 1 − x  x2 −1

1

2


a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A > 0
Giải
Điều kiện x ≠ 1; x ≠ − 1; x ≠

1
2

2
 x +1+ 2 − 2x − 5 + x  1− x
A=
÷.
1 − x2

 2x −1
a)
2
=−
2x −1

b) A > 0 ⇒

−2
1
> 0 ⇒ 2x − 1 < 0 ⇒ 2x < 1 ⇒ x <
2x − 1
2

Kết hợp với điều kiện ta được x <
Vậy với x <


1
2

1
2

và x ≠ -1

và x ≠ -1 thì A > 0

Giáo viên chú ý học sinh với một biểu thức trong đó có liên quan đế giá trị
của biểu thức thì bao giờ cũng phải tìm điều kiện để cho biểu thức có nghĩa :
các mẫu thức khác 0 ; phân thức chia khác 0. Sau khi tìm được các giá trị của
biến thì phải so sánh với điều kiện trước khi kết luận .

Bài 13 : Tìm các số nguyên a và b sao cho a2 - 2ab + b2 - 4a +7 < 0
Giáo viên hướng dẫn , dẫn dắt học sinh biến đổi vế trái của bất đẳng thức sau
đó đánh giá để tìm được a , b.

Giải
Do a , b nguyên ta cộng 1 vào vế trái của bất đẳng thức đã cho ta được
a2- 2ab + b2 - 4a +7 < 0
13


Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân


a 2 − 2ab + 2b 2 − 4a + 8 ≤ 0
⇔ 2a 2 − 4ab + 4b 2 − 8a + 16 ≤ 0

⇔ ( a 2 − 4ab + 4b 2 ) + ( a 2 − 8a + 16 ) ≤ 0
⇔ ( a − 2b ) + ( a − 4 ) ≤ 0
2

2

⇔ a = 4; b = 2
Bài 14: Tìm x biết rằng

 3x − 5 
 7 =x



Giáo viên giới thiệu cho học sinh biết khái niệm phần nguyên : Phần nguyên
của a kí hiệu [a] là số ngun lớn nhất khơng vượt quá a
Ví d ụ ; [3,135] = 3 ; [-1,47] = -2
0 ≤ a − b < 1
- Nếu b là phần ngun của a thì ta có 
b ∈ Z

Từ đó học sinh có thể dựa vào đó để giải bài toán .

Giải
Theo đề bài , x là số nguyên lớn nhất không vượt qua

 3x − 5 

 7 = x⇔



3x − 5
. Do đó
7

 3x − 5
− x<1
0 ≤
7

x∈ Z


Giải bất phương trình 0 ≤

3x − 5
− x < 1 ta có
7

−4 x − 5
< 1 ⇔ 0 ≤ −4 x − 5 < 7
7
5
⇔ 5 ≤ −4 x < 12 ⇔ − ≥ x > −3
4

0≤


Ta lại có x € Z do đó x = -2.

 34 x + 19 
= 2x + 1
 11 


Bài 15: Tìm x biết rằng 

14


Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

Ta có 2x +1 là số ngun lớn nhất khơng vượt quá

34 x +19
nên
11

 34 x + 19
− 2x − 1 < 1
34 x + 19 
0 ≤

= 2x + 1 ⇔ 
11

 11 


 2 x + 1∈ Z

34 x + 19
− 2 x − 1 < 1 ⇔ 0 ≤ 12 x + 8 < 11
11
Giải
4
1
1
3
⇔ −8 ≤ 12 x < 3 ⇔ − ≤ 2 x < ⇔ − ≤ 2 x + 1 <
3
2
3
2
0≤

Mặt khác 2x + 1 € Z nên 2x + 1 = 0 hoặc 2x + 1 = 1
Suy ra x = -

1
2

hoặc x = 0

Bài 16 : Cho một dãy các số tự nhiên bắt đầu từ 1 . Người ta xóa đi một số thì
trung bình cộng của các số cịn lại bằng 35


7
. Tìm số bị xóa .
17

Giải
Giả sử ta có n số tựu nhiên liên tiếp từ 1 đến n :
- Nếu xóa số 1 thì trung bình cộng của các số còn lại là
2 + 3 + 4 + ..... + n ( 2 + n ) ( n − 1) 2 + n
=
=
n −1
2 ( n − 1)
2

- Nếu xóa số n thì trung bình cộng của các số còn lại là
1 + 2 + 3 + ..... + ( n − 1) n ( n − 1) n
=
=
n −1
2 ( n − 1) 2

n
7 n+2
≤ 35 ≤
2
17
2
7
Ta có ⇔ n ≤ 70 ≤ n + 2

17
14
14
⇔ 68 ≤ n ≤ 70
17
17
Do n là số tự nhiên nên n = 69 hoặc n = 70
15


Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

Nu n = 70 thì tổng của 69 số cịn lại là 35
Nếu n = 69 thì tổng của 69 số còn lại là 35

7
.69 ∉ N loại
17

7
.68 = 2408 số bị xóa là
17

( 1 + 2 + 3 + …..+ 69 ) – 2408 = 7

Dạng 2 : Bất phương trình chúa ẩn trong dấu GTTĐ .
Với dạng tốn này để giải bất phương trình loại này ta phải khử dấu giá trị
tuyệt đối . Ta nhớ lại rằng : Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó

nếu biểu thức khơng âm , bằng số đối của nó nếu biểu thức âm .
│A│= A nếu A≥ 0
-A nếu A < 0
Do đó để khử dấu giá trị tuyệt đối cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức
âm hay không âm . Nếu biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối là nhị thức
bậc nhất ta cần nhớ định lí sau :
Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b ( a ≠ 0 )
Nhị thức ax + b ( a ≠ 0 )
+ Cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức .
+ Trái dấu với a với các giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.

Bài 1 : Giải các bất phương trình sau
a) │3x - 1│ > 5

b) │3-2x│ < x + 1

Giải
a) │3x - 1│ > 5
* Xét khoảng x <

(1)
1
3

thì ( 1) có dạng

1 – 3x > 5 ⇔ −3 x > 5 − 1

⇔ − 3x > 4 ⇔ x <


−4
3

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là x <
16

−4
3


Sáng kiến kinh nghiệm
* Xột khong

x

1
3

Đỗ Thị Hơng THCS Tø D©n

thì (1) có dạng

3 x −1 > 5 ⇔ 3 x > 5 + 1
⇔ 3x > 6 ⇔ x > 2

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là x > 2
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là : x > 2 : x <

−4
3


b) │3-2x│ < x + 1
* Xét khoảng x >

3
2

,(2) có dạng

2x − 3 < x + 1 ⇔ 2x − x < 3 + 1 ⇔ x < 4
Vậy bất phương trình có nghiệm trong khoảng này là
* Xét khoảng x ≤

3
2

3
< x <4
2

, ( 2 ) có dạng

2
3

3 − 2 x < x + 1 ⇔ − 2 x − x < 1 − 3 ⇔ − 3x < − 2 ⇔ x >
Vậy bất phương trình có nghiệm trong khoảng này là
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là :

2

3
3
2

2
< x<4
3

Bài 2 : Giải bất phương trình
a) │x│- x + 2 ≤ 2│x - 4│
b) │x - 1│+│x - 5│> 8

(1)
(2)

Giải
a) Lập bảng xét dấu các biểu thức x và x - 4
x
0
x
0
+
x-4

* Xét khoảng x < 0 ; ( 1) có dạng
- x – x + 2 ≤ 2 ( 4 – x ) ⇔ 0x = 6
Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét x < 0
17


4

0

+
+


Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

* Xét khoảng 0 ≤ x < 4 ,(1) có dạng
x – x + 2 ≤ 8 - 2x ⇔ x ≤ 3
Nghiệm của bất phương trình đang xét trong khoảng này là 0 ≤ x ≤ 3
* Xét khoảng x ≥ 4 , (1) có dạng
x – x + 2 ≤ 2x – 8 ↔ x ≥ 5 thỏa mãn x ≥ 4
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ 3 ; x ≥ 5
b) Lập bảng xét dấu các biểu thức ( x – 1 ) ; ( x – 5 )
x
x-1
x-5
* Xét khoảng x < 1 , (2) có dạng

1
0


+
-


5

0

+
+

1 − x + 5 − x > 8 ⇔ − 2 x > 2 ⇔ x < − 1 thỏa mãn x < 1

* Xét khoảng 1 ≤ x < 5 , (2) có dạng
x −1+ 5 − x > 8 ⇔ 0x > 2

khơng xảy ra với mọi x do đó bất
phương trình vơ nghiệm trong khoảng đang xét .
* Xét khoảng x ≥ 5 , ( 2) có dạng

x − 1 + x − 5 > 8 ⇔ 2 x > 14 ⇔ x > 7 nghiệm đúng với mọi x ≥ 5
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là x < - 1 ; x > 7.
Nhận xét : Trong cách cách giải trên ta đã khử dấu GTTĐ bằng cách xét từng
khoảng giá trị của biến . Trong một số trường hợp , có thể giải nhanh hơn cách
dùng phương pháp chung nói trên bởi các biến đổi tương đương sau :
Dạng 1
a) Với a là số dương , ta có : │f(x) │ < a ⇔ −a < f ( x) < a
b) │f(x) │ < g (x) ⇔ − g ( x) < f ( x) < g ( x)
Dạng 2 :
a) Với số a dương ta có : │f(x) │ > a

 f ( x ) < −a
⇔

 f ( x) > a

 f ( x) < − g ( x)

b) │f(x) │ > g (x) ⇔ 
 f ( x) > g ( x)
Dạng 3 : │f(x)│ > │g(x)│ ⇔ [

f ( x )] > [ g ( x) ]
2

Bài 3 : Giải bất phương trình
18

2


Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

a) 3│2x - 1│ < 2x + 1

(1)

b) │5x - 3│ < 3x + 2 ( 2)

Giải
a) Cách 1 : (Theo phương pháp chung )
* Xét khoảng x <


1
,
2

(1) có dạng

3( 1 – 2x ) <2x + 1

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là
* Xét khoảng x ≥

1
,(1)
2

1
4

⇔ 3 − 6 x < 2 x + 1 ⇔ −8 x < −2 ⇔ x >

1
1
4
2

có dạng

3(2 x − 1) < 2 x + 1 ⇔ 6 x − 3 < 2 x + 1 ⇔ 4 x < 4 ⇔ x < 1


Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là

1
≤ x <1
2

1
< x <1
4

Cách 2 : Biến đổi thành phương trình tương đương theo dạng 1b
3│2x - 1│ < 2x + 1

3(2 x − 1) > −(2 x + 1)
⇔
3(2 x − 1) < 2 x + 1
6 x − 3 > −2 x − 1 8 x > 2
⇔
⇔
6 x − 3 < 2 x + 1
4 x < 4
1

1
x >
⇔
4 ⇔ < x <1
4

x < 1


b) │5x - 3│ < 3x + 2

5 x − 3 < −(3x + 2)
⇔
5 x − 3 > 3 x + 2
1

x < 8
8x < 1

⇔
⇔
2x > 5
x > 5


2

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là x <

1
8

hoặc x >

5
2


Dạng 3 : Bất phương trình tích , bất phương trình thương .

19


Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

Vi dạng bài tập này học sinh có thể lập bảng để xét dấu nhưng cũng có thể
sử dụng các phép biến đổi tương đương . Khi sử dụng phép biến đổi tương
đương cần chú ý :
- Tích (thương ) của hai số cùng dấu là số dương
- Tích ( thương ) của hai số trái dấu là số âm .

Bài 1 : Tìm x sao cho a) (x – 2 ) (x – 5 ) > 0
b)

x+2
x −5

<0

Giải
a) Cách 1 : lập bảng xét dấu x – 2 và x - 5
x
2
x–2
0

+
x–5

(x – 2) ( x – 5 )
+
0
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình là x < 2 hoặc x > 5
Cách 2 : Sử dụng phép biến đổi tương đương .
(x–2)(x–5)>0

5

0
0

+
+
+

 x − 2 > 0
 x > 2


 x − 5 > 0 ⇔  x > 5 ⇔  x > 5
x < 2
 x − 2 < 0
 x < 2




 x − 5 < 0
 x < 5



Kết luận : Nghiệm của bất phương trình là : x > 5 ; x < 2
c) Lập bảng xét dấu của các nhị thức
x
x+2
x–5
x+2
x −5

+

-2
0

0

+
-

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình là x < -2 ; x > 5

Bài 2 : Giải các bất phương trình sau
a) x2 - 2x + 1 < 9
b) ( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0
20


5

0


+
+
+


Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

Gii
a) Cách 1 :
2
a) x2 - 2x + 1 < 9 ⇔ ( x − 1) < 9 ⇔ x − 1 < 9

⇔ −3 < x −1 < 3 ⇔ −2 < x < 4

Cách 2 : Biến đổi bất phương trình về dang bất phương trình tích
x2 − 2x + 1 < 9 ⇔ x 2 − 2x − 8 < 0
⇔ ( x + 2) ( x − 4) < 0

Lập bảng xét dấu của nhị thức (x + 2 ) , ( x – 4 )
x
-2
x+2
0

x–4

(x + 2) ( x – 4 )
+
0
Nghiệm của bất phương trình là – 2 < x < 4
b)
( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0

+
-

4

0
0

⇔ ( x − 3) ( x 2 + 3 x + 9 ) ( x + 1) ( x 2 − x + 1) ( 3 − x ) ( x + 1) ≥ 0
⇔ ( x − 3) ( x + 1)

( 3 − x) ≥ 0
2
2
⇔ − ( x − 3) ( x + 1) ≥ 0
2

x = 3
⇔
 x = −1


Vậy nghiệm của bất phương trình là x = 3 , x = - 1

Bài 3 : Giải bất phương trình sau
x3 − 4 x 2 + 5 x − 20
a) 3 2
>0
x − x − 10 x − 8

x2 + 2x + 2 x2 + 4 x + 5
b)
>
−1
x +1
x+2

Giải
x3 − 4 x 2 + 5 x − 20
x 2 ( x − 4) + 5( x − 4)
>0⇔
>0
a) 3 2
x − x − 10 x − 8
( x + 2)( x + 1)( x − 4)
ĐK ; x ≠ -1 ; x ≠ -2 ; x ≠ 4

21

(1)

+

+
+


Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

( x − 4) ( x + 5)

(1)
( x + 1) ( x + 2 ) ( x − 4 )
2

>0⇔

(x

2

+ 5)

( x + 1) ( x + 2 )

>0

⇔ ( x + 1)( x + 2) > 0

x
-2

-1
x+2
0
+

+
x+1

0
+
(x + 2) ( x + 1 )
+


+
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là : x < -2 ; - 1 < x < 4 ; x > 4

x2 + 2 x + 2 x2 + 4x + 5
b)
>
− 1 (2)
x+1
x+ 2
ĐK : x ≠ -1 ; x ≠ -2

x2 + 2 x = 2 x2 + 4 x + 5 − x − 2
(2) ⇔
>
x+1
x+ 2

x 2 + 2 x + 2 x 2 + 3x + 3

>
x +1
x+2
2
2
x + 2 x + 2 x + 3x + 3


>0
x +1
x+2
( x 2 + 2 x + 2)( x + 2) ( x 2 + 3 x + 3)


>0
( x + 1)( x + 2)
( x + 1)( x + 2)


1
> 0 ⇔ ( x + 1)( x + 2) > 0
( x + 1)( x + 2)
 x +1 > 0

 x > −1

⇔
Vì (x + 2) > ( x + 1 ) nên ta có (x + 1)( x + 2) > 0 ⇔ 

x + 2 < 0
 x < −2

Kết luận : Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x > -1 , x < - 2 .
Bài 4: Tìm điều kiện của x , y để biểu thức A có giá trị lớn hơn 1

 x
x − y   y2
1  x
A= 2
− 2
+
÷:
÷:  3
y + xy x + xy   x − xy 2 x + y  y

 x
x− y  
y2
1  x
A=

:

÷:
÷
 y ( x + y x( x + y )   x( x + y )( x − y ) x + y  y

ĐK : xy ≠ 0 ; x ≠ y ; x ≠ - y
22



Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

x 2 − xy + y 2   y 2 + x 2 − xy  x
A=
÷: 
÷:
xy ( x + y )   x( x + y )( x − y )  y


=

x−y
y
=1−
x
x

y
 xy < 0
 <0
⇔
A > 1 ⇔ x
x ≠ − y
 xy ≠ 0, x ≠ y, x ≠ − y

Vậy A nhận giá trị lớn hơn 1 khi xy < 0 và x + y ≠ 0

Qua việc tham khảo một số loại sách và đồng nghiệp tôi thấy hầu hết các
loại sách được trình bày theo lối :
- Đưa ra nội dung kiến thức cơ bản .
- Đưa ra các dạng toán và hướng giải quyết các dạng toán này .
- Một số chú ý khi làm các dạng bài toán này .
- Đưa ra một số bài toán nâng cao và cách giải để học sinh tham khảo . Đó
chính là tiền đề để bồi dưỡng học sinh giỏi mà trong các giờ lên lớp giáo viên
không thể bồi dưỡng được . Vì kiến thức ở lớp chỉ là các kiến thức cơ bản để
cho học sinh từ yếu , kém , trung bình cũng như học sinh khá giỏi nắm đuộc
cái can bản của chi thức .
- Kinh nghiệm đúc rút ra trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi là không
những củng cố lại phần kiến thức cơ bản mà học sinh được học ở lớp mà còn
củng cố cho học sinh một số kĩ năng , cách giải các bài tốn , cách phân tích
các bài tốn để có thể giải một số bài tốn khó nhưng được quy về một số dạng
nào đó mà học sinh đã có dịp bồi dưỡng , đặc biệt là rèn luyện cho các em cách
tư duy các bài toán , từ dễ đến khó , từ đơn giản đến phức tạp , một số kĩ xảo
để giải các bài toán có liên quan đến bất phương trình bậc nhất một ẩn .
- Rèn cho các em có tinh thần học tập , khả năng tự học tự đọc và tìm lời
giải hay , phong phú , tạo hứng thú học tập bộ mơn tốn mà nhiều người cho là
khơ khan .
C: KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
23


Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

Tụi so sánh chất lượng học sinh khi chưa áp dụng sáng kiến với khi áp dụng
tấy kết quả tăng lên rõ rệt :

* Khi chưa áp dụng sáng kiến .
- Phân chia thành các nhóm tiếp thu kiến thức như sau
+ Nhóm những em tiếp thu nhanh , giải quyết vấn đề nhanh , linh hoạt :
25%
+ Nhóm học sinh biết vận dụng trực tiếp ; 50%
+ Nhóm học sinh chưa biết vận dụng : 25%
( Phân chia các nhóm tiếp thu về bộ mơn Tốn )
* Khi áp dụng sáng kiến :
- Phân chia thành các nhóm tiếp thu kiến thức như sau
+ Nhóm những em tiếp thu nhanh , giải quyết vấn đề nhanh , linh hoạt :
32%
+ Nhóm học sinh biết vận dụng trực tiếp ; 55%
+ Nhóm học sinh chưa biết vận dụng : 13%
( Phân chia các nhóm tiếp thu về bộ mơn Tốn )
D : BÀI HỌC KINH NGHIỆM
- Khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy đa số học sinh đều lúng túng
khi là bài tập , chỉ dừng lại ở những bài tập cơ bản và dễ , các bài toán phải ở
sẵn dạng quên thuộc đã là thì học sinh theo dạng đó mới làm được chưa có
những suy luận logic , phân tích bài tốn hợp lý để giải các bài tốn mà nó
chưa có sẵn dạng quen thuộc . Nếu có bài tập nâng cao thì làm xong bài nào
chỉ biết có bà đó mà khơng biết cách suy luận để chuyển về những bài toán về
dạng đã làm , đã giải , không biết mở rộng những bài toán đã làm …
- Sau khi áp dụng kinh nghiệm thì tơi thấy :
+ Học sinh vận dụng kiến thức nhanh vào giải toán .
+ Học sinh giải các bài toán từ cơ bản mở rộng lên những bài tốn nâng cao
chính xác và nhanh hơn .
+ Tạo điều kiện cho học sinh khả năng tư duy thành thói quen , suy nghĩ ,
phân tích nội dung và yêu cầu của bài tốn một cách cẩn thận chính xác trước
khi giải một bài toán nối riêng và các bài tốn nói chung .
24



Sáng kiến kinh nghiệm

Đỗ Thị Hơng THCS Tứ Dân

+ Tạo nếp suy nghĩ , nếp khai thác chiều sâu , hay mở rộng bài toán .
+ Tạo nếp tự học , độc lập suy nghĩ trong đại đa số học sinh , đồng thời có ý
thức tham khảo ý kiến đồng nghiệp , các cách làm hay của các em để từ đó rút
ra những lời giải hay trong q trình giải tốn .
+ Giúp học sinh say mê , hứng thú trong q trình học tập bộ mơn tốn hơn
và các mơn học khác .
Bên cạnh những thành cơng đó thì cịn tồn tại một số hạn chế sau : Cách giải
các bài toán chưa đa dạng , phong phú . Các bài toán đưa ra chưa thật sự điển
hình .Giáo viên cần tìm hiểu thêm nhiều sách tham khảo hơn nữa .
E : ĐIỀU KIỆN THỰC HIỆN SÁNG KIẾN
- Để thực hiện được sáng kiến này đòi hỏi giáo viên phải tham khảo thêm tài
liệu . Học sinh trong lớp phải từ trung bình trở lên , khơng có học sinh yếu kém
. Giáo viên cũng như học sinh phải đầu tư thời gian nghiên cứu bài nhiều hơn .
G : KẾT LUẬN
Việc đổi mới phương pháp dạy học theo chiều hướng tích cực , phát huy tính
độc lập của học sinh khơng thể trong chốc lát mà là cả một quá trình lâu dài
từng bước từ thấp đến cao . Mục tiêu cuối cùng là hướng dẫn cho học sinh nắm
được nội dung kiến thức của từng tiết học , của từng chương , từng cấp học để
học sinh giải các bài toán một cách chặt chẽ , có đủ cơ sở lý luận trong lời giải
của mình , học tốn và vận dụng tốn học vào các bộ môn khác cũng như thực
tế .
Vấn đề sách tham khảo trường còn hạn chế chưa đáp ứng được nhu cầu của
giáo viên và học sinh vì vậy cần đầu tư thêm về tài liệu học tập cũng như các
thiết bị phục vụ cho công tác giảng dạy được tốt hơn , giáo viên chủ động

trong công tác giảng dạy và học sinh chủ động trong việc học tập .
Bản thân tôi cũng đã tham gia giảng dạy được vài năm nhưng kinh nghiệm
chưa nhiều nên vẫn còn phải học tập nhiều ở các cô chú đi trước để đạt kết quả
cao hơn trong công tác giảng dạy . Mặc dù vậy tôi cũng mạnh dạn đưa ra sáng
kiến kinh nghiệm này và vận dụng vào trong giảng dạy và đã ít nhiều có kết
quả đối với học sinh tôi được phân công giảng dạy .
25


×