SKKN: Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
PHẦN A: MỞ ĐẦU
1. TÊN ĐỀ TÀI:
Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
2. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Toán học là môn khoa học nó có vai trò khá quan trọng
trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. Toán học giúp chúng ta có cái
nhìn tổng quát hơn, suy luận chặt chẽ lô gíc. Học tốt môn toán giúp các em học
tốt các môn học khác. Do đó mỗi em học sinh cần học phải học tập tốt bộ môn
toán.
Đại số là môn học mới đối với học sinh lớp 7. Các em còn có nhiều bỡ
ngỡ, Giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau được vận dụng rất nhiều
trong chương trình đại số lớp 7, hay gặp trong các vòng thi Violimpic toán trên
mạng và thi học sinh giỏi toán hàng năm. Dạng toán này rất đa dạng đòi hỏi
người học phải có tư duy sáng tạo, phân tích tổng hợp và biết vận dụng kiến
thức đã học mới có thể giải được.
Để giúp học sinh làm tốt dạng toán: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
Đặc biệt là trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 7, nên tôi đã
mạnh dạn trình bày một đề tài mang tính kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh lớp
7 giải một số bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”.
3. PHẠM VI VÀ THỜI GIAN THỰC HIỆN:
- Đề tài này được áp dụng trong việc giảng dạy môn toán, cho học sinh lớp
7 và bồi dưỡng học sinh giỏi năm học 2013 – 2014.
- Thời gian thực hiện 20 tiết trong đó có 3 tiết kiểm tra.
B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
1. KHẢO SÁT THỰC TẾ:
- Học sinh lớp 7A do tôi dạy toán gồm 33 em, nhìn chung các em ngoan, có
ý thức học tập, nhưng do sống ở nông thôn, điều kiện kinh tế chưa khá, bên cạnh
đó một số gia đình chưa quan tâm đúng mức tới việc học tập của các em, các em
có ít sách tham khảo, thời gian học còn ít. Do vậy số học sinh giỏi môn toán còn
hạn chế.
- Qua giảng dạy một số tiết ở học kì I, tôi nhận thấy đa số các em học sinh

hiểu bài, nắm vững kiến thức cơ bản và biết vận dụng các kiến thức đó vào làm
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
1
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
được hầu hết các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập. Nhưng với đối tượng
học sinh khá, giỏi thì không chỉ dừng lại ở đó, mà còn phải làm được các dạng
bài tập mở rộng và nâng cao.
- Thực tế tôi thấy học sinh chưa có phương pháp giải bài tập áp dụng tính
chất dãy tỉ số bằng nhau ở dạng khó. Khi gặp các bài toán ở dạng này các em
thường lúng túng và không biết cách làm.
2. SỐ LIỆU ĐIỀU TRA TRƯỚC KHI THỰC HIỆN:
Qua thực tế kiểm tra tôi nhận thấy số học sinh biết cách giải các bài tập
nâng cao ở dạng này rất thấp chỉ khoảng 9%. Trước tình hình học sinh như trên
tôi đã có kế hoạch xây dựng một chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài
tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”.
3. NHỮNG BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:
Qua kinh nghiệm giảng dạy và được sự giúp đỡ của đồng nghiệp, thông qua
một số tư liệu tham khảo nhắc lại một số cơ sở lý thuyết và giải quyết một số bài
tập ở một số dạng, nhằm giúp các em thấy được sự bổ ích và đạt được kết quả
tốt khi học chuyên đề này.
Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
theo các dạng chính sau:
- Dạng I: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.
- Dạng II: Chia tỉ lệ.
- Dạng III: Chứng minh tỉ lệ thức.
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
2
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
3

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Dạng I: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.
* Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
- Tính chất: Ta luôn có
a c a c a c
b d b d b d
+ −
= = =
+ −
- Tính chất mở rộng:
a c e a c e ma nc pe
b d f b d f mb nd pf
± ± ± ±
= = = =
± ± ± ±
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Ví dụ 1: Tìm x, y biết.

2 3
x y
=
và
20x y
+ =
Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

20
4
2 3 2 3 5 5

x y x y x y
+ +
= = = = =
+

4 2.4 8
2
x
x x
⇒ = ⇒ = ⇒ =

4 3.4 12
3
y
y y
= ⇒ = ⇒ =
Vậy:
8x
=
;
12y
=
.
Ví dụ 2: Tìm x, y biết.

( )
: 3 : 5x y
− =
và
24y x

− =
Phân tích đề bài: Ta phải viết tỉ lệ thức dưới dạng dãy tỉ số bằng nhau.
Giải:
Từ:
( )
: 3 :5
5 3 3 5
x y y x
x y
− = ⇒ = ⇒ =
− −
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

24
3
3 5 3 5 8
y x y x
−
= = = = −
− − − −

( )
3 5. 3 15
5
x
x x
⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
4

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014

( )
3 3. 3 9
3
y
y y
= − ⇒ = − − ⇒ =
−
Vậy:
15x
= −
;
9y
=
.
Ví dụ 3: Tìm x, y, z biết.
8 12 15
x y z
= =
và
10x y z
+ − =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

10
2
8 12 15 8 12 15 5
x y z x y z+ −
= = = = =

+ −

8.2 16x
⇒ = =

12.2 24y = =

15.2 30z
= =

Vậy:
16x
=
;
24y
=
;
30z
=
.
Nhận xét: Ơ ví dụ 1 và ví dụ 3 ta áp dụng ngay được tính chất dãy tỉ số bằng
nhau. Trong thực tế nhiều bài tập phải qua quá trình biến đổi mới có thể đưa
được về dạng để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Sau đây là một số
dạng và cách biến đổi.
Ví dụ 4: Tìm x, y, z biết.
2 3 4
x y z
= =
và.
2 3 34x y z

+ + =
Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến
đổi dãy tỉ số sao cho hệ số của x, y, z ở các tử của dãy tỉ số bằng hệ số của x, y,
z trong đẳng thức, bằng cách áp dụng tính chất cơ bản của phân số. Cụ thể nhân
cả tử và mẫu của tỉ số
2
x
với 2 và nhân cả tử và mẫu của tỉ số
3
y
với 3 rồi áp
dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y. z.
Giải:
Ta có:
2 3
2 3 4 4 12 4
x y z x y z
= = = = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
5
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014

2 3 2 3 34
2
4 9 4 4 9 4 17
x y z x y z
+ +
= = = = =
+ +

2 2.2 4
2
x
x x
⇒ = ⇒ = ⇒ =

2 3.2 6
3
y
y y
= ⇒ = ⇒ =

2 4.2 8
4
z
z z
= ⇒ = ⇒ =
Vậy:
4x
=
;
6y
=
;
8z
=
.
Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết.
1 2 3

2 3 4
x y z
− − −
= =
và
2 3 14x y z
− + =
.
Phân tích đề bài: Cách làm giống ví dụ 4
Giải:
Ta có:
1 2 3 1 2 4 3 9
2 3 4 2 6 12
x y z x y z− − − − − −
= = = = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1 2 4 3 9 1 2 4 3 9
2 6 12 2 6 12
x y z x y z− − − − − + + −
= = =
− +


2 3 6 14 6
1
8 8
x y z− + − −
= = =

1
1 1 2 3
2
x
x x
−
⇒ = ⇒ − = ⇒ =


2
1 2 3 5
3
y
y y
−
⇒ = ⇒ − = ⇒ =


3
1 3 4 7
4
z
z z
−
⇒ = ⇒ − = ⇒ =
Vậy:
3x
=
;

5y
=
;
7z
=
Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 6: Tìm x, y biết.
7 9x y
=
và
10 8 68x y
− =
Phân tích đề bài: Ta viết đẳng thức
7 9x y
=
về dạng dãy tỉ số bằng nhau sau đó
vận dụng cách làm ở ví 4.
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
6
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Giải:
Từ:
10 8
7 9
9 7 90 56
x y x y
x y= ⇒ = = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

10 8 10 8 68

2
90 56 90 56 34
x y x y
−
= = = =
−

2 9.2 18
9
x
x x⇒ = ⇒ = ⇒ =

2 7.2 14
7
y
y y= ⇒ = ⇒ =
Vậy:
18x
=
;
14y =
.
Ví dụ 7: Tìm x, y, z biết.
2 3 4x y z
= =
và
169x y z
+ + =
.
Phân tích đề bài: Ta đưa dãy đẳng thức

2 3 4x y z
= =
về dạng dãy tỉ số bằng
nhau sao cho hệ số của x, y, z trong dãy tỉ số bằng nhau bằng bằng 1.
Cách làm chia các tích cho 12 [ vì:
( )
2;3;4 12BCNN
=
] sau đó làm như ví dụ
3
Giải:
Từ:
2 3 4
2 3 4
12 12 12 6 4 3
x y z x y z
x y z= = ⇒ = = = = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

169
13
6 4 3 6 4 3 13
x y z x y z
+ +
= = = = =
+ +

13 6.13 78
6
x

x x
⇒ = ⇒ = ⇒ =

13 4.13 52
4
y
y y
= ⇒ = ⇒ =

13 3.13 39
3
z
z z
= ⇒ = ⇒ =
Vậy:
78x
=
;
52y
=
;
39z =
.
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
7
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Ví dụ 8: Tìm x, y biết.
4 7
x y
=

và
. 112x y
=
Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến
đổi dãy tỉ số bằng nhau làm xuất hiện tích x.y bằng cách lập luận để chứng tỏ
0x
≠
rồi nhân hai vế của hai tỉ số
4 7
x y
=
với x. Thay
. 112x y
=
vào rồi tính.
Giải:
Vì
. 112 0x y x
= ⇒ ≠
Nhân cả hai vế của
4 7
x y
=
với x ta được:

2
112
16
4 7 7
x xy

= = =

2
2 2
16 4.16 64 8
4
x
x x x
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±
Nếu
112
8 8. 112 14
8
x y y y
= − ⇒ − = ⇒ = ⇒ = −
−
Nếu
112
8 8 112 14
8
x y y y
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Vậy:
8x
= −
;
14y
= −
hoặc

8x
=
;
14y
=
Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 9: Tìm x, y, z biết.
2 3
x y
=
;
2 3
y z
=
và
2 3 19x y z
− + =
Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số
2 3
x y
=
;
2 3
y z
=
về một dãy ba tỉ số bằng
nhau bằng cách biến đổi y ở hai dãy tỉ số về cùng mẫu sau đó làm giống ví dụ 4
Giải:

2 3

2 3 4 6
4 6 9 4 12 27
2 3 6 9
x y x y
x y z x y z
y z y z

= ⇒ =


⇒ = = = = =


= ⇒ =


Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
8
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014

2 3 2 3 19
1
4 12 27 4 12 27 19
x y z x y z
− +
= = = = =
− +

1 4.1 4

4
x
x
⇒ = ⇒ = =

1 6.1 6
6
y
y y
= ⇒ = ⇒ =

1 9.1 9
9
z
z z= ⇒ = ⇒ =
Vậy:
4x =
;
6y =
;
9z
=
Ví dụ 10: Tìm x, y, z biết.
3 4 5
x y z
= =
và
2 2 2
2 2 3 100x y z+ − = −
.

Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến
đổi dãy tỉ số bằng nhau làm xuất hiện
2 2 2
; ;x y z
bằng cách bình phương các tỉ số
sau đó làm giống ví dụ 4.
Giải:
Từ:
2 2 2 2 2 2
2 2 3
3 4 5 9 16 25 18 32 75
x y z x y z x y z
= = ⇒ = = = = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 2 2 2 2 2
2 2 3 2 2 3 100
4
18 32 75 18 32 75 25
x y z x y z
+ − −
= = = = =
+ − −

2
9.4 36 6x x
⇒ = = ⇒ = ±

2
16.4 64 8y y

= = ⇒ = ±

2
25.4 100 10z z
= = ⇒ = ±
Từ
3 4 5
x y z
= =

⇒
x, y, z cùng dấu
Vậy:
6; 8; 10x y z
= − = − = −
Hoặc
6; 8; 10x y z
= = =
Ví dụ 11: Tìm x, y, z biết.
2 3
x y
=
;
4 9
x z
=
(1) và
3 3 3
1009x y z
+ + = −

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
9
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số
2 3
x y
=
;
4 9
x z
=
về một dãy ba tỉ số bằng
nhau giống ví dụ 8 rồi lập phương các tỉ số để xuất hiện
3 3 3
; ;x y z
sau đó áp
dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y, z.
Giải:
Ta có:
2 3 4 6
x y x y
= ⇒ =


3 3 3
4 6 9 64 216 729
x y z x y z
⇒ = = ⇒ = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

3 3 3 3 3 3
1009
1
64 216 729 64 216 729 1009
x y z x y z
+ + −
= = = = = −
+ +

( )
3
64. 1 64 4x x
⇒ = − = − ⇒ = −

( )
3
216. 1 216 6y y
= − = − ⇒ = −

( )
3
729. 1 729 9z z
= − = − ⇒ = −
Vậy:
4x
= −
;
6y
= −

và
9z
= −
Ví dụ 12: Cho
a b c
b c a
= =
và
0a b c
+ + ≠
;
2012a
=
. Tính: b, c.
Phân tích đề bài: Vì
0a b c
+ + ≠
ta áp dụng ngay tính chất dãy tỉ số bằng
nhau để tìm giá trị của dãy tỉ số này rồi từ đó tìm ra giá trị của a, b, c.
Giải:
Vì
0a b c
+ + ≠
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1
a b c a b c
b c a b c a
+ +
= = = =

+ +
Mà
2012a
=

2012b⇒ =

2012 2012b c
= ⇒ =
Vậy:
2012a b c= = =
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
10
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Ví dụ 13: Cho ba tỉ số bằng nhau
a b c
b c a c a b
= =
+ + +
khi
0a b c
+ + =
.
Tính giá trị mỗi tỉ số đó.
Phân tích đề bài: Vì
0a b c
+ + =
nên không thể áp dụng tính chất dãy tỉ số
bằng nhau với ba tỉ số. Ta chỉ có thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau với
hai tỉ số.

Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1
a b a b
b c a c b c
−
= = = −
+ + −
và:
1
b c b c
a c a b c b
−
= = = −
+ + −
Vậy mỗi tỉ số đã cho bằng có giá trị bằng -1
Ví dụ 14: Tìm x biết.

2 1 3 2 2 3 1
5 7 6
x y x y
x
+ − + −
= =

( )
1
Phân tích đề bài: Ta nhận thấy tử số của tỉ số thứ ba bằng tổng hai tử số của hai
tỉ số đầu do đó, áp dung tính chất dãy tỉ số bằng nhau của hai tỉ số đầu để tìm x.

Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 1 3 2 2 3 1
5 7 12
x y x y
+ − + −
= =

( )
2
Từ
( )
1
và
( )
2

6 12x
⇒ =


2x
⇒ =

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
11
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm x, y biết.

a)
6 9
x y
=
và
30x y− =
b)
19 21
x y
=
và
2 34x y− =

c)
4 5
x y
=
và
. 180x y =
d)
: 4 :5x y =
và
. 5x y =
e)
2 4
x y
=
và
2 2
. 4x y

=
f)
2 4
x y
=
và
4 4
. 16x y
=
g)
5
3
x
y
=
và
2 2
2 3 92x y
− =
h)
3 2x y=
và
2 2
208x y+ =
Bài 2: Tìm x, y, z biết.
a)
2 3 4
x y z
= =
và

9x y z+ + =

b)
4 3 9
x y z
= =
và
3 4 62x y z− + =

c)
10 6 21
x y z
= =
và
5 2 28x y z
+ − =

d)
2 3 4
3 4 5
x y z
= =
và
49x y z
+ + =

e)
9
7
x

y
=
;
7
3
y
z
=
và
15x y z− + = −

f)
2 3 5
x y z
= =
và
. . 810x y z =
g)
5 6 10
x y z
= =
và
. . 1680x y z = −

h)
2 3 4
x y z
= =
và
2 2 2

2 108x y z
− + =
Bài 3: Tìm x, y, z biết.
a)
7
20
x
y
=
;
5
8
y
z
=
và
2 5 2 100x y z
+ − =
b)
1 2 3
2 3 4
x y z
− − −
= =
và
2 3 50x y z+ − =

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
12
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014

c)
12 15 20 12 15 20
7 9 11
x y z x y z− − −
= =
và
48x y z
+ + =
Bài 4: Tìm x biết.
1 2 1 4 1 6
18 24 6
y y y
x
+ + +
= =
.
Bài 5: Tìm các số
1 2 9
, , ,t t t
biết.

3 9
1 2
3 9
1 2

9 8 7 1
t t
t t
− −

− −
= = = =
và
1 2 9
90t t t+ + + =
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
13
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Dạng II: Chia tỉ lệ.
I - Chú ý:
1) x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c
: : : :x y z a b c
⇔ =
( Hay
x y z
a b c
= =
)
2) x, y, z tỉ lệ nghịch với a, b, c
1 1 1
: : : :x y z
a b c
⇔ =
( Hay
ax by cz
= =
)
II – Bài tập:
Ví dụ 1: Chu vi của hình chữ nhật bằng 28 dm. Tính độ dài mỗi cạnh, biết rằng
chúng tỉ lệ với 3; 4.

Phân tích đề bài: Trong hình chữ nhật có hai kích thước là chiều dài và chiều
rộng (còn được gọi là hai cạnh của hình chữ nhật) chiều rộng thì ngắn hơn chiều
dài. Hai cạnh của chúng tỉ lệ với 3; 4 vậy cạnh ngắn tỉ lệ với 3 còn cạnh dài tỉ lệ
với 4.
Nếu gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b
( )
0 a b< <
. Vì hai cạnh hình
chữ nhật ti lệ với 3 và 4 nên ta có:
3 4
a b
=
.
Chu vi hình chữ nhật là
( )
2 a b+
nên ta có:
( )
2 28 14a b a b
+ = ⇒ + =

Như vậy ta đã đưa bài toán về dạng bài áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Giải:
Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b
( )
0 a b< <
Theo bài ra ta có:
3 4
a b
=

và
( )
2 28a b
+ =
Từ
( )
2 28 24a b a b
+ = ⇒ + =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

14
2
3 4 3 4 7
a b a b+
= = = =
+

3.2 6a
⇒ = =
;
4.2 8b
⇒ = =
Vậy độ dài hai cạnh hình chữ nhật là 6cm và 8cm.
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
14
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có số đo các góc
µ µ
µ
, ,A B C

lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3.
tính số đo các góc của tam giác ABC.
Phân tích đề bài: Ở bài này cho các góc
µ µ
µ
, ,A B C
lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3.
Vậy ta lấy luôn
µ µ
µ
, ,A B C
là số đo ba góc cần tìm.
Vì số đo các góc
µ µ
µ
, ,A B C
lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3 nên ta có:
µ µ
µ
1 2 3
A B C
= =
Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam ta có:
µ µ
µ
0
180A B C+ + =
Giải:
Gọi ba góc trong và góc ngoài của tam giác ABC lần lượt là:
µ µ

µ
, ,A B C


µ µ
µ
( )
0 0
0 , , 180A B C
< <

Theo bài ra ta có:
µ µ
µ
1 2 3
A B C
= =
và
µ µ
µ
0
180A B C+ + =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

µ µ
µ
µ µ
µ
0
0

180
30
1 2 3 1 2 3 6
A B C A B C+ +
= = = = =
+ +

µ
0 0
1.30 30A⇒ = =
;
µ
0 0
2.30 60B = =
;
µ
0 0
3.30 90C = =
Vậy số đo ba góc
µ µ
µ
, ,A B C
của tam giác ABC lần lượt là:
0 0 0
30 ;60 ;90
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có các góc A, B, C tỉ lệ với 7: 5: 3. Các góc ngoài
tương ứng tỉ lệ với các số nào.
Phân tích đề bài: Nếu gọi ba góc của tam giác ABC lần lượt là:
µ µ
µ

, ,A B C
.
Vì ba góc
µ µ
µ
, ,A B C
tỉ lệ với 7: 5: 3 nên ta có
µ µ
µ
7 5 3
A B C
= =

Tổng ba góc của một tam giác bằng
0
180
nên ta có:
µ µ
µ
0
180A B C+ + =
Từ đó ta tìm được số đo các góc của tam giác,
Mà tổng của góc ngoài và góc trong tại một đỉnh của tam giác bù nhau.
Giải:
Gọi ba góc trong và góc ngoài của tam giác ABC lần lượt là:
µ µ
µ
, ,A B C
và
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

15
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014

µ µ
µ
1 1
1
; ;A B C

µ µ
µ
( )
0 0
0 , , 180A B C
< <
Theo bài ra ta có:
µ µ
µ
7 5 3
A B C
= =
và
µ µ
µ
0
180A B C+ + =
.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

µ µ

µ
µ µ
µ
0
0
180
12
7 5 3 7 5 3 15
A B C A B C+ +
= = = = =
+ +

µ
0 0
7.12 84A⇒ = =

µ
0 0 0
1
180 84 96A⇒ = − =


µ
0 0
5.12 60B = =

µ
0 0 0
1
180 60 120B

⇒ = − =

µ
0 0
3.12 36C
= =

µ
0 0 0
1
180 36 144C
⇒ = − =

µ µ
µ
0 0 0
1 1 1
: : 96 :120 :144 4 :5: 6A B C
⇒ = =
Vậy các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với:
4 :5 :6
.
Ví dụ 4: Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng, trị giá
mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ.
Phân tích đề bài:
Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c
Vì giá trị mỗi loại tiền đều bằng nhau nên ta có:
2000 5000 10000a b c= =
Có 16 tờ giấy bạc các loại nên:
16a b c+ + =

Giải:
Gọi số tờ tiền của loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c
Theo bài ra ta có:
2000 5000 10000a b c= =
và
16a b c+ + =
Từ:
2000 5000 10000
5 2 1
a b c
a b c
= = ⇒ = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

16
2
5 2 1 5 2 1 8
a b c a b c+ +
= = = = =
+ +

5.2 10a
⇒ = =
;
2.2 4b
= =

1.2 2c
= =
Vậy số tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng lần lượt là 10 tờ, 4 tờ và

2 tờ.
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
16
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Ví dụ 5: Ba đội công nhân I, II, III phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ
kho theo thứ tự đến ba địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m. Hãy phân
chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách
cần chuyển.
Phân tích đề bài: Vì phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ
lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển nên ta có:
1500 2000 3000a b c
= =
Tổng số hàng cần chuyển đến ba kho là 1530 nên ta có:
1530a b c
+ + =
.
Giải:
Gọi số lượng hàng chuyển tới ba kho lần lượt là a, b, c
( )
, , 0a b c
>
.
Theo bài ra ta có:
1500 2000 3000a b c
= =
và
1530a b c
+ + =
Từ:
1500 2000 3000

4 3 2
a b c
a b c= = ⇒ = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1530
170
4 3 2 4 3 2 9
a b c a b c+ +
= = = = =
+ +

4.170 680a⇒ = =
;

3.170 510b
= =
;

2.170 340c
= =
Vậy số hàng cần chuyển tới ba kho A, B, C lần lượt là: 680 tạ, 510 tạ, 340 tạ.
Ví dụ 5: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2: 3: 4. Hỏi ba chiều cao
tương ứng ba cạnh đó tỉ lệ với số nào.
Phân tích đề bài: Nếu gọi ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó là:
1 2 2
, ,h h h
.
Vì cạnh và chiều cao tương ứng của một tam giác là hai đại lượng tỉ lệ
nghịch nên ta có

3
1 2
1 2 3
2 3 4
6 4 3
h
h h
h h h
= = ⇒ = =

1 2 3
: : 6: 4 :3h h h
⇒ =
Giải:
Gọi ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó là:
1 2 3
, ,h h h
.
( )
1 2 3
, , 0h h h
>
Theo bài ra ta có:
1 2 3
2 3 4h h h
= =

⇒

3

1 2
6 4 3
h
h h
= =

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
17
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014

⇒

1 2 3
: : 6: 4 :3h h h
=
Vậy ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó của tam giác tỉ lệ với
6: 4 :3
.
Ví dụ 6: Một lớp học có 35 em, sau khảo sát chất lượng số học sinh được xếp
thành ba loại: Giỏi, khá và trung bình. Số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3, số
học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi loại.
Phân tích đề bài: Nếu gọi số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt
là: a, b, c
( )
*
, ,a b c N
∈

Vì số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3 nên ta có:
2 3

a b
=

Số học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5 nên ta có:
4 5
b c
=
.
Lớp học có 35 em nên ta có:
35a b c+ + =
Giải:
Gọi số học sinh giỏi, Khá trung bình của lớp đó lần lượt là: a, b, c
( )
*
, ,a b c N∈
Theo bài ra ta có:
2 3
a b
=
;
4 5
b c
=
và
35a b c+ + =

2 3 8 12
8 12 15
4 5 12 15
a b a b

a b c
b c b c

= ⇒ =


⇒ = =


= ⇒ =



Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

35
1
8 12 15 8 12 15 35
a b c a b c
+ +
= = = = =
+ +


8.1 8a
⇒ = =
;
12.1 12b
= =
;

15.1 15c
= =

Vậy số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt là: 8 em, 12 em, 15 em.
Ví dụ 7: Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giac vuông tỉ lệ với 8: 15,
cạnh huyền dài 51cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông.
Phân tích đề bài:
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là: a, b
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
18
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Vì hai cạnh tỉ lệ với 8: 15 nên ta có:
8 15
a b
=
Áp dụng định lí Pi – Ta – Go vào tam giác vuông đó ta được:
2 2 2
51a b
+ =
Giải:
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là: a, b
Theo bài ra ta có:
8 15
a b
=
và
2 2 2
51a b
+ =
(Định lí Pi – Ta – Go)

Từ
2 2 2
51a b
+ =

2 2
2601a b
⇒ + =
và
2 2
8 15 64 225
a b a b
= ⇒ =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 2 2 2
2601
9
64 225 289 289
a b a b
+
= = = =


2
64.9 576 24a a
⇒ = = ⇒ =
;
2
225.9 2025 45b b

= = ⇒ =
.
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là: 24cm, 45cm.
Ví dụ 8: Hai xe ô tô cùng khởi hành từ hai địa điểm A và B. Xe thứ nhất đi
quãng đường AB hết 4 giờ 15 phút. Xe thứ hai đi quãng đường BA hết 3 giờ 45
phút. Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn quãng đường
xe thứ nhất đã đi là 20 km. Tính quãng đường AB.
Phân tích đề bài:
Gọi vận tốc, thời gian, quãng đường của xe đi từ A đến B là
1
v
;
1
t
và
1
s

Thì vận tốc, thời gian và quãng đường của xe đi từ B về A là
2
v
;
2
t
và
2
s

Ta có 4 giờ 15 phút
1 17

4
4 4
h h= =
và 4 giờ 45 phút
3 15
3
4 4
h h= =
Trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ
nghịch.
Từ tỉ số thời gian ta tìm được tỉ số vận tôc của hai xe là:
1 2
2 1
15
15
4
17
17
4
v t
v t
= = =
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
19
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Với cùng thời gian (Từ lúc xuất phát đến chỗ gặp nhau) vận tốc và quãng
đường là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có:
1 2
15 17
s s

=
Và
2 1
20s s
− =
.
Giải: 4 giờ 15 phút
1 17
4
4 4
h h= =
; 4 giờ 45 phút
3 15
3
4 4
h h= =
Gọi vận tốc, thời gian và quãng đường của xe đi từ A đến B là
1
v
;
1
t
và
1
s

Thì vận tốc, thời gian và quãng đường của xe đi từ B về A là
2
v
;

2
t
và
2
s

Trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ
nghịch. Ta có:
1 2
2 1
15
15
4
17
17
4
v t
v t
= = =
Với cùng thời gian (Từ lúc xuất phát đến chỗ gặp nhau) vận tốc và quãng
đường là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Ta có:
1 2 1 2 2 1
1 2
20
10
15 17 17 15 2
s s s s s s
v v
−

= = = = = =
−

1
15.10 150s⇒ = =
;
2
17.10 170s
= =
Quãng đường AB là:
150 170 320
+ =
(km)
Đ/S:
320km
Ví dụ 9: Ba kho A, B, C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm
1
7
số
gạo của kho đó, xuất ở kho B đi
1
9
số gạo của kho đó, xuất ở kho C đi
2
7
số gạo
của kho đó. Khi đó số gạo của ba kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc
đầu, biết rằng kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo.
Phân tích đề bài: Gọi số gạo ở ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c
Số gạo ở kho A sau khi thêm

1
7
số gạo của kho A là:
1 8
7 7
a
a a
+ =
.
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
20
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Số gạo ở kho B sau khi xuất
1
9
số gạo của kho B là:
1 8
9 9
b
b b− =
.
Số gạo ở kho C sau khi xuất
2
7
số gạo của kho C là:
2 5
7 7
c
c c− =
Vì sau khi thêm vào kho A và xuất ở kho B và kho C thì số gạo của ba kho

bằng nhau nên ta có:
8 8 5
7 9 7
a b c
= =
Lúc đầu kho B nhiều hơn kho A là 20 tạ nên ta có:
20b a
− =
Giải:
Gọi số gạo ở ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c
( )
, , 0a b c
>
.
Số gạo ở kho A sau khi thêm là:
1 8
7 7
a
a a
+ =
.
Số gạo ở kho B sau khi xuất là:
1 8
9 9
b
b b− =
.
Số gạo ở kho C sau khi xuất là:
2 5
7 7

c
c c− =
Theo bài ra ta có:
8 8 5
7 9 7
a b c
= =
và
20b a
− =
Từ
8 8 5
7 9 7 35 45 56
a b c a b c
= = ⇒ = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

20
2
35 45 56 45 35 10
a b c b a−
= = = = =
−


35.2 70a⇒ = =
;

45.2 90b = =
;

56.2 112c = =
Vậy: số gạo ở mỗi kho lúc đầu lần lượt là 70 kg, 90 kg và 112 kg.
Ví dụ 10: Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cái cầu hết 38 triệu đồng. Xí
nghiệp I có 40 xe ở cách cầu 1,5km, xí nghiệp II có 20 xe ở cách cầu 3km, xí
nghiệp III có 30 xe ở cách cầu 1km. Hỏi mỗi xí nghiệp phải trả cho việc xây
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
21
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
dựng cầu bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ
nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu.
Phân tích đề bài: Gọi số tiền phải góp của ba xí nghiệp lần lượt là: a, b, c
Vì số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí
nghiệp đến cầu nên ta có:
40 20 30
: : : :
1,5 3 1
a b c =
Tổng số tiền mà ba xí nghiệp cần đóng là 38 triệu nên ta có:
38a b c
+ + =
Giải:
Gọi số tiền phải góp của ba xí nghiệp lần lượt là: a, b, c
( )
, , 0a b c
>
Theo bài ra ta có:

40 20 30
: : : :

1,5 3 1
a b c =
và
38a b c
+ + =
Từ
40 20 30
: : : : 8: 2 :9
1,5 3 1 8 2 9
a b c
a b c
= = ⇒ = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

38
2
8 2 9 8 2 9 19
a b c a b c+ +
= = = = =
+ +

8.2 16a
⇒ = =
;
2.2 4b = =
;
9.2 18c
= =
Ba xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu lần lượt là: 16 triệu đồng, 4 triệu
đồng bà 18 triệu đồng.

Ví dụ11 : Tổng ba phân số tối giản bằng
25
5
63
các tử của chúng tỉ lệ nghịch với
20: 4: 5. Các mẫu của chúng tỉ lệ thuận với 1: 3 : 7. Tìm ba phân số đó.
Phân tích đề bài: Gọi ba phân số cần tìm lần lượt là: a, b, c.
Vì tử của ba phân số tỉ lệ nghịch với 20: 4: 5 và mẫu của chúng tỉ lệ thuận với
1: 3 : 7 nên ba phân số đó tỉ lệ với
1 1
1
20 5
4
: : : :
1 3 7
a b c
=
Tổng ba phân số đó bằng
25
5
63
nên ta có:
25
5
63
a b c
+ + =
.
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
22

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Giải:
Gọi ba phân số cần tìm lần lượt là: a, b, c.
Theo bài ra ta có:
1 1
1
20 5
4
: : : :
1 3 7
a b c
=
và
25
5
63
a b c
+ + =
Từ:
1 1
1
1 1 1
20 5
4
: : : : : : : :
1 3 7 20 12 35
a b c a b c
= ⇒ =

20 12 35
21 35 12
a b c
a b c⇒ = = ⇒ = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

25
5
5
63
21 35 12 21 35 12 68 63
a b c a b c+ +
= = = = =
+ +

5 5
21.
63 3
a
⇒ = =
;
5 25
35.
63 9
b = =
;
5 20
12.
63 21
c

= =
Vậy ba phân số cần tìm lần lượt là:
5
3
;
25
9
;
20
21
.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 64m. Tính độ dài mỗi cạnh biết
rằng chúng tỉ lệ với 3 và 5.
Bài 2: Tính chiều dài ba cạnh của một tam giác có chu vi là 30m và ba cạnh tỉ lệ
với 4: 5: 6.
Bài 3: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ
lệ với 1: 2: 3.
Bài 4: Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vườn trường có diện tích
2
300m
. Lớp 7A nhận 15% diện tích vườn, lớp 7B nhận
1
5
diện tích còn lại. Diện
tích còn lại của vườn sau khi hai lớp trên nhận được đem chia cho ba lớp 7C,
7D, 7E tỉ lệ với
1 1 5
: :
2 4 16

. Tính diện tích vườn giao cho mỗi lớp.
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
23
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Bài 5: Ba công nhân được thưởng 100000 đồng, số tiền thưởng phân chia tỉ lệ
với mức sản xuất của mỗi người. Biết mức sản xuất của người thứ nhất so với
mức sản xuất của người thứ hai bằng 5: 3, mức sản xuất của người thứ ba bằng
25% tổng số mức sản xuất của hai người kia. Tính số tiền mỗi người được
thưởng.
Bài 6: Có ba gói tiền gói thứ nhất gồm toàn tờ 500 đồng, gói thứ hai gồm toàn
2000 đồng, gói thứ ba gồm toàn tờ 5000 đồng. Biết rằng tổng số tờ giấy bạc của
ba gói là 540 tờ và số tiền ở các gói bằng nhau.
Bài 7: Cho tam giác ABC có các đường cao
a
h
,
b
h
,
c
h
tỉ lệ thuận với 2; 3; 4.
Chu vi tam giác ABC bằng 13. Tính độ dài cạnh lớn nhất của tam giác ABC.
Bài 8: Ba tổ công nhân có mức sản xuất tỉ lệ với 5; 4; 3. Tổ I tăng năng xuất
10%, tổ II tăng năng xuất 20%, tổ III tăng năng xuất 10%. Do đó trong cùng một
thời gian, tổ I làm được nhiều hơn tổ II là 7 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ
làm được trong thời gian đó.
Bài 9: Tìm ba số tự nhiên biết rằng BCNN của chúng bằng 3150, tỉ số của số
thứ nhất và số thứ hai là 5: 9, tỉ số của số thứ nhất và số thứ ba là 10: 7.
Bài 10: Số tự nhiên M được chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; 4. Tổng các

bình phương của ba phần đó là 9512. Tìm A.
Bài 11: Số tự nhiên A được chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; 4. Biết tổng
các bình phương của ba phần đó là 564. Tìm A.
Bài 12: Chia số A thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; 4. Tổng các lập phương
của ba số đó là 9512. Tìm A.
Bài 13: Tìm ba phân số, biết rằng tổng của chúng bằng
3
3
70
, các tử của chúng tỉ
lệ với 3: 4: 5, các mẫu của chúng tỉ lệ với 5: 1: 2.
Một số M được chia làm 3 phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ
thuận với 4 và 5; phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ nghịch với 5 và 3. Biết phần
thứ ba hơn phần thứ hai là 10. Tìm số M.
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
24
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Bài 14: Ba máy xay, xay được 350 tấn thóc. Số ngày làm việc của ba máy tỉ lệ
với 3: 4: 5, số giờ làm việc của ba máy tỉ lệ với 6: 7: 8, công xuất các máy tỉ lệ
nghịch với 5: 4:3. Hỏi mỗi máy xay được bao nhiêu tấn thóc.
Dạng III: Dạng chứng minh tỉ lệ thức.
Có nhiều phương pháp chứng minh tỉ lệ thức. Sau đây là một số cách
chứng minh tỉ lệ thức áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức
a c
b d
=
với
, , 0b c d ≠
. Và

c d≠ −
Chứng minh rằng:
a b c d
b d
+ +
=

Phân tích đề bài: Quan sát tỉ lệ thức phải chứng minh, dùng phương pháp phân
tích suy luân ngược để tìm ra hướng chứng minh. Khi chứng minh ta chứng
minh theo chiều xuôi. Khi chứng minh chú y điều kiện có nghĩa của tỉ lệ thức.
Có:
a c
b d
= ⇐
Cần CM:
a b
c d
= ⇐
Cần CM:
a b b
c d d
+
= ⇐
+
để CM:
a b c d
b d
+ +
=
Giải:

Từ
a c a b a b
b d c d c d
+
= ⇒ = =
+

b a b c d a b
d c d d b
+ + +
⇒ = ⇒ =
+

hay:
a b c d
b d
+ +
=
(đpcm)
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức
a c
b d
=
với
, , 0b c d ≠
. Và
;a b c d≠ − ≠ −
Chứng minh rằng:
a c
a b c d

=
+ +
Phân tích đề bài:
a c a b a a b a c
b d c d c c d a b c d
+
= ⇐ = ⇐ = ⇐ =
+ + +
Giải:
Từ:
a c a b a b
b d c d c d
+
= ⇒ = =
+
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
25