Chuyên đề Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

Ba Huy

1
      

I. Phương pháp giải
Cho đồ thị (C): y = f(x). Bài toán liên quan đến viết phương trình tiếp
tuyến của (C) có 3 dạng. Phương pháp giải từng dạng cụ thể như sau:
Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm M(x
0
;y
0
).
 B1. Tính f’(x
0
).
 B2. Viết pttt dạng: y = f’(x
0
)(x – x
0
) + y
0

Chú ý: Trong thực hành giải toán, thường chúng ta gặp dạng này trong
trường hợp tiếp điểm chưa biết một thành phần tọa độ nào đó. Khi đó, ta tìm
thành phần tọa độ còn lại như sau:
o Nếu cho x
0
thì tính y
0
bằng cách: y

0
= f(x
0
).
o Nếu cho y
0
thì tính x
0
bằng cách: x
0
là nghiệm của pt f(x) = y
0
.
Đôi khi, tiếp điểm thỏa mãn một điều kiện gì đó.
Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k.
 B1. Giải phương trình f’(x) = k (*) để tìm hoành độ tiếp điểm x
0
.
 B2. Tìm tung độ tiếp điểm y
0
= f(x
0
).
 B3. Viết pttt dạng: y = k(x – x
0
) + y
0
.
Chú ý:
o Phương trình (*) có thể cho nhiều hơn 1 hoành độ tiếp điểm. Do

vậy bài toán có thể có nhiều hơn 1 tiếp tuyến.
o Trong thực hành giải toán, thường ta gặp dạng này với giả thiết
như là: tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường nào
Ba Huy

2
đó; hay tiếp tuyến tạo với một đường thẳng nào đó một góc

. Khi
đó, việc làm trước tiên là tìm hệ số góc k.

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(a;b).
Cách 1
 B1. Viết dạng pt đường thẳng có hệ số góc k và đi qua điểm A(a;b)
y = k(x – a) + b (*)
 B2. Đặt điều kiện và giải điều kiện tiếp xúc: Hệ sau có nghiệm







 

 








Chú ý rằng nghiệm x
0
của hệ (**) chính là hoành độ tiếp điểm.
 B3. Từ k tìm được ở hệ (**), thế vào phương trình (*) ta được pttt.
Cách 2
 B1. Gọi M(x
0
;y
0
)  (C) là tiếp điểm  y
0
= f(x
0
) (1). Viết dạng pttt tại M
y = f’(x
0
)(x – x
0
) + y
0
 B2. Đặt điều kiện để tiếp tuyến qua A(a;b)
b = f’(x
0
)(a – x
0
) + y
0

(2)
 B3. Giải hệ (1), (2) tìm được x
0
và y
0
. Từ đó viết được pttt.
II. Bài tập
Dạng 1. Viết pttt khi biết tiếp điểm
Bài 1. Viết pttt của đthị (C): y = x
3
+ 4x
2
+ 5x – 4 trong những trường hợp
sau:
a. Biết tiếp điểm là A(-3; -10).
b. Biết tiếp điểm có hoành độ bằng 1.
c. Biết tiếp điểm có tung độ bằng -6.
Bài giải
Ba Huy

3
y’ = 3x
2
+ 8x + 5
a.
o y'(-3) = 3.(-3)
2
+ 8.(-3) + 5 = 8
o Pttt tại A(-3;-10) là: y = f’(x
0

)(x – x
0
) + y
0
= 8(x + 3) – 10 = 8x + 14 .
b.
o y
0
= y(1) = 6  Tiếp điểm là B(1;6).
o y'(1) = 16
o Vậy pttt tại B(1;6) là: y = 16(x – 1) + 6 = 16x – 10.
c.
o Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của pt:


 

  

 



 


   
Có 2 tiếp điểm là M(-1;-6), N(-2;-6).
o Tại điểm M(-1;-6)
y'(-1) = 0

Tiếp tuyến là: y = 0(x + 1) – 6 = -6
o Tại điểm N(-2;-6)
y'(-2) = 1
Tiếp tuyến là: y = 1(x + 2) – 6 = x – 4.
Bài 2. Viết pttt của đồ thị (C) tại giao điểm giữa (C) với trục hoành. Với




 
 

Bài giải
 Gọi M là giao điểm giữa (C) và trục hoành.





Ba Huy

4





 
 


Tiếp điểm là M(2;0).
Ta có
2
51
' '(2)
5
(2x 1)
yy

Vậy pttt tại M là:
1 1 2
( 2)
5 5 5
y x x

Bài 3. Cho đồ thị (C
m
): y = x
3
+ mx
2
– m – 1. Viết phương trình tiếp tuyến
của (C
m
) tại các điểm cố định mà
 
m
C
đi qua.
Bài giải

 Gọi M(x
0
;y
0
) là điểm cố định mà (C
m
) đi qua





 


  





 

 


 

 





 



 

 







 







Do đó có hai điểm cố định mà (C
m
) đi qua là M
1
(1;0) và M

2
(-1;-2).
Ta có y’ = 3x
2
+ 2mx
o Tại M
1
(1;0)
y'(1) = 3 + 2m
Pttt là: y = (3 + 2m)(x – 1) = (3 +2m)x – 3 – 2m.
o Tại M
2
(-1;-2)
y'(-1) = 3 – 2m
Pttt là: y = (3 – 2m)(x + 1) – 2 = (3 – 2m)x 1 – 2m.
Lời bình: Để giải được các bài toán thuộc dạng toán trên ta phải nắm vững
phương pháp giải bài toán gốc (đã biết tiếp điểm). Nếu bài toán chưa cho biết
tiếp điểm thì việc đầu tiên phải làm là tìm tiếp điểm để đưa về bài toán gốc.
Ba Huy

5
Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
Bài 1. Cho đồ thị (C): y = x
3
– 3x – 1. Viết pttt của (C):
a. Biết tt có hệ số góc k = 9.
b. Biết tt song song với đường thẳng (d): y = -3x + 1.
c. Biết tt vuông góc với đường thẳng
( ): 6 2 0xy
.

Bài giải
a. Ta có y’ = 3x
2
– 3
o Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: y’ = k
 3x
2
– 3 = 9 
21
23
xy
xy

Có hai tiếp điểm là A(2;1), B(-2;-3).
o Phương trình tiếp tuyến tại A là: y = 9(x – 2) + 2 = 9x – 16.
Phương trình tiếp tuyến tại B là: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15.
b. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm. Đường thẳng d có hệ số góc
là k
d
= -3.
o Do tiếp tuyến song song với d nên k = k
d
= -3.
o Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của pt: y’ = k
2
3 3 3 0 1x x y

Tiếp điểm là M(0;-1).
o Phương trình tiếp tuyến tại M: y = -3(x – 0) – 1 = -3x – 1.
c. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm. Đường thẳng  có hệ số

góc là
1
6
k
.
o Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  nên
Ba Huy

6
1
. 1 . 1 6
6
k k k k

o Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: y’ = k
2
3 3 6 3xx

x 3 1
31
y
xy

Có hai tiếp điểm là
( 3; 1), ( 3; 1)MN

o Phương trình tiếp tuyến tại M:
6( 3) 1 6x 6 3 1yx
.
Phương trình tiếp tuyến tại N:

6( 3) 1 6x 6 3 1yx

Bài 2. Cho đồ thị
32
13
( ): 1
32
C y x x x
. Viết pttt của (C) hợp với
trục Ox góc 45
0
.
Bài giải
Ta có y’ = x
2
– 3x + 1.
Có 2 khả năng xảy ra:
+) KN1: Hệ số góc của tiếp tuyến k = 1.
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: y’ = k
2
01
3x 1 1
1
3
2
xy
x
xy

Có hai tiếp điểm A(0;1), B(3;-1/2).

Tiếp tuyến tại A: y = 1(x – 0) + 1 = x + 1
Tiếp tuyến tại B:
17
1( 3)
22
y x x

+) KN2. Hệ số góc của tiếp tuyến k = -1.
Ba Huy

7
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: y’ = k
2
5
1
6
3x 1 1
1
2
3
xy
x
xy

Có hai tiếp điểm
51
(1; ), (2; )
63
MN
.

Tiếp tuyến tại M:
5 11
1( 1)
66
y x x

Tiếp tuyến tại N:
15
1( 2)
33
y x x

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
Bài 1. Cho đồ thị (C): y = x
3
– 2x + 6. Viết pttt của (C) qua A(1;4).
Bài giải
 Phương trình đường thẳng (d) có hsg k và qua A có dạng: y = k(x – 1) + 4.
 (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
3
2
2x 6 ( 1) 4
32
x k x
xk

3 2 3 2
2x 6 (3 2)( 1) 4 2 3 0
02
3 19

24
x x x x x
xk
xk

 Vậy có hai tiếp tuyến là:
19 19 3
2( 1) 4 2x 6; ( 1) 4
4 4 4
y x y x x

Bài 2. Cho đồ thị (C): y = x
3
– 3x + 2. Tìm những điểm M trên đường thẳng
(d): y = 4 sao cho từ M có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Ba Huy

8
Bài giải
( ) ( ;4)M d M a

Đường thẳng  qua M có dạng y = k(x – a) + 4.
 là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
3
32
2
3 2 2
2
3x 2 ( ) 4
(1) 3x 2 (3 3)( ) 4

3 3 (*)
2 3a 3a 2 0 ( 1)(2 (2 3a)x 2 3a) 0
10
( ) 2 (2 3a)x 2 3a 0 (2)
x k x a
x x x a
xk
x x x x
xk
f x x

Để qua M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc đến (C) thì hệ (1) phải có 2
nghiệm k
1
, k
2
thỏa mãn k
1
.k
2
= -1. Điều này xảy ra khi và chỉ khi pt (2) có 2
nghiệm x
1
, x
2
khác -1 và thỏa mãn k
1
.k
2
= -1 (k xác định theo x trong (*)).

2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
0 (2 3a) 8(2 3a) 0
( 1) 0 6a 6 0
(3 3)(3 3) 1 9( ) 9( ) 9 1
f
x x x x x x

22
(2 3a)(3a 6) 0
1
2 3a 2 3a 2 3a
9 9 2. 10 0
2 2 2
a

2
2
3
28 28
1 ;4
27 27
28
27
aa
a a M
a